1
CAPITOLO 12
Probabilità
Un esperimento in cui esiti non possono essere previsti con certezza è chiamato
esperimento causale. Esempi di esperimenti casuali sono: il lancio di una moneta
osservandone il risultato, l'osservazione della frequenza dei pezzi difettosi di una catena di
montaggio e l'osservazione della variazione giornaliera di un indice di borsa.
La singola esecuzione di un esperimento casuale è detta prova. Ci sono esperimenti casuali
che possono essere eseguiti ripetutamente in condizioni identiche e altri che possono essere
concepiti come tali. Un esempio del primo tipo di esperimento e il lancio di una moneta no
un esperimento in cui un determinato farmaco viene somministrato a cavie può essere
considerato ripetibile, sostanzialmente nelle stesse condizioni, se si assume che le cavie
usate siano simili nelle loro caratteristiche rilevanti.
Una caratteristica degli esperimenti casuali è che i possibili esiti sono noti e specificati prima
che l'esperimento venga eseguito. Il singolo esito è chiamato evento elementare ed è
indicato con 𝜔 . L'insieme di tutti gli eventi elementari è chiamato spazio campionario ed è
indicato con Ω . A volte lo spazio campionario sarà costruito con l’ausilio di un dramma
chiamato albero degli eventi.
Esempi
1) Si descriva l'esperimento che consiste nel lanciare tre volte una moneta e
nell'osservare le facce che si presentano. In un singolo lancio si può uscire testa (T) o
croce (C). Lo spazio campionario è dato da Ω=
{𝑇𝑇𝑇,𝑇𝑇𝐶,𝑇𝐶𝑇,𝑇𝐶𝐶,𝐶𝑇𝑇,𝐶𝑇𝐶,𝐶𝐶𝑇,𝐶𝐶𝐶}.
2) Si descriva lo spazio campionario dell'esperimento che consiste nel lanciare una
moneta ripetutamente finché non esce testa. Lo spazio campionario
dell'esperimento è costituito da un'infinità numerabile di elementi: Ω=
{𝑇,𝐶𝑇,𝐶𝐶𝑇,𝐶𝐶𝐶𝑇,…}.
3) Si immagini di osservare la durata di una lampadina elettrica prodotta da una certa
azienda produttrice di materiale elettrico. Si definisca lo spazio campionario
connesso all'esperimento. I possibili risultati dell'esperimento sono tutti i numeri
reali dell'intervallo[0,𝑇], dove T è la durata massima desumibile dalle caratteristiche
tecniche del processo produttivo. Si può allora scrivere Ω={𝜔: 0≤𝜔≤𝑇}.
Spazi campionari costituiti da un numero finito o da un'infinità numerabile di elementi si
chiamano discreti; quelli costituiti da un'infinità non numerabile di elementi si dicono
continui. Un evento è un sottoinsieme dello spazio campionario Ω . Un evento si realizza se
si manifesta uno degli eventi elementari che lo compongono.
Richiami insiemistica
Siano A e B due eventi arbitrari dello spazio campionario Ω . Allora:
• L'evento unione di A e B, indicato con𝐴∪𝐵 , è formato da tutti gli eventi elementari
che appartengono ad A, a B o a entrambi;
• l'evento intersezione di A e B, indicato con𝐴∩𝐵 , è formato da tutti gli eventi
elementari che appartengono sia ad A che a B. I due eventi si dicono disgiunti o
incompatibili se non hanno nessun evento elementare in comune, cioè se 𝐴∩𝐵=∅ ;
• l'evento complementare di A, indicato con 𝐴, è formato da tutti gli eventi elementari
di Ω che non appartengono ad A.
