L’inferenza statistica ha per oggetto l’analisi
dei dati ottenuti da un campione casuale e si
pone come obbiettino quello di dare “valida
generale” alle informazioni desunte dal
campione.
- I dati del campione vengono utilizzati non per descriverlo,
ma per trarre indicazioni valide per l’intera popolazione
La teoria della probabilità :
• Con la teoria delle probabilità si prevedono le
“caratteristiche” del campione casuale conoscendo le
caratteristiche della popolazione
• Con l’inferenza statistica si risolve il problema inverso: dalle
caratteristiche del campione osservato si “risale” a quelle della
popolazione da cui il campione proviene
CAMPIONARIO ED EVENTI:
-L’evento elementare è il singolo risultato indicato con “e”
-Lo spazio campionario è l’insieme degli eventi indicato con
“S” oppure Ω
Esempio:
Indicando con T e C il veriBicarsi di “Testa o Croce”,
descriviamo lo spazio campionario del lancio di tre monete.
• è costituito da 8 eventi: S= { TTT, TTC, TCT, CTT, CCT, CTC,
TCC, CCC}
• Se volessi valutare l’evento “Almeno due volte a testa”? —>
si chiama evento qualsiasi insieme di eventi elementari
Si chiama evento un qualsiasi insieme di eventi elementari,
ossia un qualsiasi sottoinsieme dello spazio campionario S
Definizioni di probabilità :
Soggettiva
I 3 Assiomi:
(Kolmogorov)
1. Se l’evento A è certo P(A)= 1
2. P(A) ≥ 0 per ogni evento A—> regola dell’evento
complementare
3. Se A e B sono due eventi incompatibili P(A U B) = P(A) +
P(B)—> regola della somma o legge dellle probabilità totali
Variabili casuali (o aleatorie o stocastica):
Indicano una quantità il cui valore dipende dall’esito di un
esperimenti casuale
Esempio
Pensiamo all’esperimento casuale del lancio di 3 monete e
conteggiamo il numero di volte in cui esce testa.
Una variabile casuale X è una funzione definita nello spazio
campionario S che associa un numero reale X(e)= x ad ogni
evento elementare S (e=evento)
Funzione di probabilità :
È evidente che non tutti i valori di x, ossia di X(e), ossia
ancora della variabile casuale hanno, in questi casi, uguale
probabilità.
—> Si chiama funzione di probabilità una funzione che
associa ad ogni valore x della variabile casuale il rispettivo
livello di probabilità —> p(x) maggiore o uguale a 0 o deve
fare 1
Mod, media e mediana:
-La moda è un valore di X che assume probabilità massima
• La mediana di una variabile casuale è quel valore che
soddisfa :
-In modo analogo , la media di una distribuzione di probabilità
si ottiene come somma dei prodotti tra i valori della variabile
casuale e i rispettivi livelli di probabilità .
Varianza e valore atteso di una variabile casuale (probabilità)
!
*
Standardizzazione:
La standardizzazione è un procedimento
che riconduce una variabile aleatoria
distribuita secondo una media µ e varianza
σ^2 , ad una variabile aleatoria con
distribuzione "standard", ossia di media
zero e varianza 1 (varianza unitaria)
+ valore atteso nullo
Si indica col simbolo Z—> Z=X-µ/σ (σ=
deviazione standard e NON varianza, non è alla
seconda, X= variabile casuale)
!
*
Utile in psicologia perché permette:
1) di confrontare tra loro le variabili diverse
2) Di esprimere i punteggi di un soggetto ad un test in
rapporto alla media del campione di standardizzazione
In particolare vengono utilizzati i punteggi T, che sono una
trasformazione dei punteggi Z:
—>T= ( Z x 10) + 50<——
Ed hanno media uguale a 50 e deviazione standard uguale a
10
• La standardizzazione di una variabile è una
trasformazione lineare, cioè una trasformazione che
non modifica la forma della distribuzione della
variabile casuale.
—> questa distribuzione si chiama normale
standardizzata
—>È una distribuzione molto importante perché per
z che tende ad ∞, l’area sotto la curva tende a 1.
⬇
▪
Per trovare il valore z sulla tabella faccio la
formula di Z, ponendo caso che trovo 1.23 guarderò
nella colonna verticale Z dove si trova 1.2 e in
orizzontale in alto .03 e poi il numero corrispondente
incrociandoli.
▪
Nel caso di un esercizio con probabilità, tipo
probabilità di avere un QI più alto di 130, devo fare:
"
Per trovare la probabilità di averlo PIÙ BASSO DI
130:
FORMULA Z—> cerco il numero che mi esce sulla
colonna verticale della tabella e vedo il numero
corrispondente
"
Se voglio trovare la probabilità di averlo PIÙ ALTO
di 130 allora faccio:
1-0-9772 (che mi sono già calcolata)= 0.0228 che
approssimato è 0,023
1= è il totale di tutta la curva perché 1=100%
Valore Z=2 che mi ero calcolata già con la formula di prima
—> se dovessi invece trovare la probabilità di trovare un QI
compreso tra 90 e 110–>
1)prendo l’area che sta al di sotto del punteggio Z
corrispondente a 110 (uso la formula Z, ricordando che la
media del QI è sempre 100 e la deviazione standard del
QI sempre 15)
2) faccio la stessa cosa con 90–> visto che mi esce un numero
negativo faccio 1- il totale
2) sottraggo l’area sotto il punteggio Z di 90
Distribuzione normale :
▪
Per le variabili continue la distribuzione di
probabilità più importante è quella normale o a
campana o gaussiana
▪
Abbiamo già visto come questa funzione
dipende solo dai parametri µ e σ
▪
Per questo motivo viene spesso usata la
notazione N(µ, σ2) per indicare una variabile
casuale con distribuzione normale, media µ e
varianza σ2
—> La media determina la posizione della curva
lungo l’asse delle ascisse.
All’aumentare della varianza corrispondono curve
più “schiacciate”
Statistica
inferenziale
Una variabile dicotomica o binaria è un caso particolare
di variabile nominale, e più precisamente si tratta di
una variabile nominale con due sole modalità.
Esempio di variabile dicotomica è il "sesso", che può
assumere due soli valori: maschio e femmina.