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Inferenza statistica
Campione casuale in una popolazione normale
Modello probabilistico per l'estrazione di n soggetti da una popolazione normale
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Campione casuale da una popolazione dicotomica
Modello probabilistico per l'estrazione di n soggetti da una popolazione dicotomica
In questo capitolo illustreremo i criteri e le tecniche che consentono di attribuire un valore
a un parametro della popolazione oggetto di studio utilizzando i dati contenuti in un
campione casuale osservato.
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Interpretazione del nostro modello probabilistico per un campione casuale da una
popolazione normale, per la stima della media
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Dati due stimatori T1 e T2 di si dice che T1 è più efficiente di T2 se
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Uno stimatore può essere più efficiente di un altro, nonostante non sia "corretto".
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Stima della varianza di una popolazione normale
Siano X1, ... , Xn n variabili casuali con densità N ( , ) e siano e
incogniti. Si vuole stimare
Possiamo considerare gli stimatori (statistiche):
Si vede che
Possiamo notare invece che è uno stimatore corretto del parametro
Distribuzione chi - quadrato (con r gradi di libertà)
La distribuzione chi - quadrato è una distribuzione per variabili casuali continue per valori
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Siano L1 = g1 (X1, ... , Xn) e L2 = g2 (X1, ... , Xn) due statistiche campionarie tali che
(L1 si chiama limite inferiore e L2 si chiama limite superiore) e
si chiama coefficiente di fiducia (confidenza)
Allora l'intervallo aleatorio (L1, L2) si chiama stimatore per intervallo per di livello
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Intervallo di confidenza per la media di una popolazione normale con
incognito (piccoli campioni)
Siano X1, ... , Xn n variabili casuali i.i.d. come e siano entrambi
incogniti. Vogliamo ottenere un intervallo di confidenza per
Sappiamo che, per qualsiasi valore di
Per un fissato valore di con ( ) possiamo definire i seguenti quantili
Quindi uno stimatore per intervallo per al livello è dato da
L'ampiezza dell'intervallo l2 - l1 non dipende dal campione osservato
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