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PARTIZIONE dello spazio campionario S La probabilita di un evento A è data dal rapporto tra il numero dei casi possibili favorevoli ad a e il numero di tutti i casi possibili, purché tutti EQUI PROBABILI In una successione di prove eseguite nelle medesime condizioni, la probabilità di un evento viene approssimata con la frequenza con la quale tale evento si verifica nelle prove. L’ approssimazione migliora al crescere del numero delle prove. Conseguentemente la probabilità dell’evento é il limite a cui tende la frequenza di successo quando il numero delle prove tende all’infinito. La probabilità di un evento è data dal grado di fiducia che un individuo ha nel verificarsi di un evento. Il grado di fiducia viene quantificato mediante il linguaggio delle scommesse e mediante condizioni di coerenza. IN PARTICOLARE, la probabilità di un evento è data dal prezzo che un individuo coerente ritiene equo pagare per ricevere:
- 1, se l’evento si verifica
- 0, se l’evento non si verifica. Le probabilità devono essere assegnate in modo tale che in un sistema di scommesse non sia possibile avere perdite certe o vincete certe. Sia S uno spazio campionario e sia l’insieme di tutti gli eventi basati su S; si chiama PROBABILITÀ una funzione di insieme definita su tale che siano soddisfatte le seguenti proprietà: N.B. per definizione la probabilità é compresa tra 0 e 1
Impostazioni della^ probabilità
impostazione classica
PCA
n.gg 7 95 ada tueieEIp7EIII impostazione (^) frequentista
impostazione soggettiva
DEFINIZIONE ASSIOMATICA^ DI^ PROBABILITÀ
Kolmogorov 1933
S
DIS
O EPCA 1 per un
qualunque contenuto^ AES
P S 1 prob evento certo
III (^) IIII EditifattifietthinB PIAUB P^ A^ PCB proprietà di^ additività^ completa
data una successione di eventi incompatibili ossia^ tale che
Ai nA (^) ti J^ allora P^ tè Am FIP Am
- Per ogni evento ,
- Dato l’evento impossibile
- REGOLA DELLA SOMMA: dati due eventi A e B qualsiasi, si ha che: QUALE É LA PROBABILITA CHE I CLIENTI CHIEDANO ALMENO UNO DEI DUE SERVIZI. QUALE È LA PROBABILITÀ CHE IL CLIENTE CHIEDA UNO SOLO DEI DUE TRATTAMENTI.
Altre
proprietà
abbiamo pia^1 P^ A
dimostrazione
P S 1 AVA S AMA
PIAUÀ poi 7921 PLAVA
è P^
D 1 P A 1 PCA
P 01 0 (^9705192 7 4) p (^1 1 0) POI 0 P (^) AUB P^ A (^) P B (^) P ANB dimostrazione
AUB AMB U^ AMB U AMB
5 P AUB P AMB P AMB P AMB
β A^
AMB U AMB PLA P AMB P AMB
AMB AMB AMB fffff.BY
ffpf ABf I IgFB P^ AMB^ P^ AMB attLEuffà finita
P AUB PCA PLANB^ PCA^ PCB P AMB
ES copia testo dettato 2 02
R il^ cliente chiede^ rate
Se il^ cliente^ chiede^ sconto
eventi
P RMSc
0,
PIRUSC
PIRUSc^ PCR^ P^ SC^ P^ RASC^ 0,37 0,5 (^) 0,2 0,
P RUSC P^ RMSC
P (^) RUSC (^) 0,
P RMSC
0, P (^) 0,67 (^) 0,2 0,
Sia A un evento e sisno C1, C2, …., Ck k eventi che costituiscono una partizione di S; siano note le seguenti probabilita: (Spiegazione sua: effettuato un ragionamento inverso, alla luce del verificarsi di una conseguenza aggiorniamo la probabilità sulla causa). QUALE É LA PROBABILITÀ CHE QUELLO CHE HO DAVANTI È UN INFORMATICO DAL MOMENTO CHE HA PAGATO L’EXTRA PREZZO DEL SERVIZIO?
- P(B) = PROBABILITÀ A PRIORI
- P (A|B) = PROBABILITÀ A POSTERIORI A il lettore (^) acquista il (^) servizio
B il^ lettore^ è^ un^ informatico
P B^65 0,
P AIB 80
0, P (^) AIB (^50) 0, P A^ P^ B^ P^ AIB^ P^ B P AIB^ 0,650,8 1 0,65 (^) 0,5 0, TEOREMA (^) LEGGE DELLE^ PROBABILITÀ TOTALI PIÙ (^) pè EC (^) ic c1PCaicaD PCAICK dimostrazione
ANCI U^ ANCI UCANC^3 U^ ANCH U^ ANCH
EEEE.EE (^) can canc K 5
P e PCA 1 PCC P^ AI 2 P 3 P AICS P^4 PCAI 4
P A
ÈI PCC (^) PCAICI TEOREMA DI (^) BAYES ES (^) quello di (^) prima A il lettore (^) acquista il^ servizio
B il^ lettore^ è^ un^ informatico
P B^65 0,
P AIB 80
0,
P AIB 50
0, P A^ P^ B^ P^ AIB^ P^ B^ P^ AIB^ 0,650,8 1 0,65 (^) 0,5 0,
PCB A^
IIIB papa.phptpffj pca (^) gy 9Eg98 975
Sia A un evento e sisno C1, C2, …., Ck k eventi che costituiscono una partizione di S; siano note le seguenti probabilita: Il direttore di un supermercato è interessato alla frequenza con la quale i clienti visitano il negozio. Ritiene che la probabilità che un cliente sia occasionale sia di 0,30; che un cliente vada una volta a settimana sia 0,25; che vada più di una volta a settimana sia 0,45. Il direttore ha osservato che i clienti occasionali acquistano prodotti freschi con probabilità 0,15; quelli che visitano il negozio una volta acquistano prodotti freschi con probabilità 0,38, gli altri con probabilità 0,8. Concentrando l’attenzione sul reparto dei prodotti freschi si vuole sapere quale sia la probabilità che un cliente sia occasionale???
def
P C1 P Ca^ P^ CK e PLAICI PCA C2 PCAICK
PICIIA PCI^ PCAICI EFP
CT P^ AIC
9797593 L Pciii FI
PCC
PCAICI
perleggeprob^ totali
ES
ascolta il^ ragionamento
diagramma
ad albero
OCCIÈ
CLIENTI (^1) SE VIE
OCC il^ cliente è^ occasionale
è EE
P PV 0,
F cliente^ acquista (^) p freschi P^ FIOC^0 P (^) FIUU 0, P FIPV (^) 0,
Le variabili aleatorie ci permettono di trasferire le regole della probabilità nella realtá. Gli strumenti che si utilizzano per:
- Funzione di probabilità
- Funzione di ripartizione probabilita che la variabile aleatoria X si realizzi nel valore x
- Con le lettere maiuscole si definisce la variabile aleatoria
- Con le lettere minuscole si definisce La FUNZIONE DI PROBABILITÁ è una variabile aleatoria X è quella legge che associa a ogni stato della v.a. la probabilità dell’evento corrispondente La FUNZIONE DI RIPARTIZIONE di una v.a. è la legge che associa a ogni stato x della v.a. la probabilità che la v.a. assuma valori minori o uguali a x P (^) se (^) PLEES e se P REA (^) Plees e^ E^ A È FÉE E^
P 1 P 1
userò diagramma In EFIK
PETTINE
BARRE
ES lancio moneta v^ a^ se^ navicet
P se
O (^1 8) per o (^) n casi (^) favorevoli tot (^) possibili 1 3 II È (^2) PIU 1 PIXO PLED posso farlo^ perché^ sono eventi disgiunti
F se PC x
ES 3 lanci
Una fabbrica produce ganci per appendere quadri e li vende in confezioni da 20. Il proprietario ha stimato che la probabilità che in una scatola non vi siano ganci difettosi è 0,85; che vi sia un gancio difettoso è 0,12; che ve ne siano due è 0,03. CALCOLARE IL NUMERO MEDIO DI GANCI DIFETTOSI CHE CI SI PUO ASPETTARE DI TROVARE IN 7NA SCATOLA É pari a Il reddito di un promotore finanziario é in parte fisso e in parte variabile. Egli percepisce una quota fissa giornaliera di 50€ + una somma pari a 10€ per ogni contratto concluso.
ES lancio^ di^3 monete^ n^ Volte^ in^ cui^ esce testa
1 8 ECN 0
f
3 2 3 f 15 (^1 3 ) (^2 3 ) (^3 ) ES 2 n di ganci difettosi
085 E X^
μ 0.0 (^857 1) 0,12 2 0, 0,
interpretazione immediata
LINEARITÀ
Elax b^ a^ E^ x^ b^ Elax^ b^ auxtb ES v a (^) contratti (^) conclusi in 1
giorno
PI
Paièieri a
R 10 x 50
È E a^ Ifai pi 1, E (^) R E (^10 50) 10.175 50 67,
Una v.a. Si dice CONTINUA se assume valori nell’intero spazio reale o in un intervallo dell’asse reale R. LA DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ DI UNA V.A. CONTINUA X puo essere descritta:
- Dalla FUNZIONE DI DENSITÁ
- Dalla FUNZIONE DI RIPARTIZIONE Dividiamo l’intervallo L-U in H classi (o intervallini) di uguale ampiezza Immaginiamo di aumentare le classi sempre nello stesso intervallo, cosi le colonne di assottiglieranno. Se aumentiamo da 20 a 40 classi il passaggio si alliscia, fino a vedere quasi una curva liscia. Immaginare di mandare all’infinito il numero delle classi, avro la funzione di ripartizione liscia. Indichiamo con F(x) la FUNZIONE DI DENSITÁ di una v.a. c di X Gode di alcune PROPRIETA
Data una v.a.continua di X si definisce FUNZIONE DI RIPARTIZIONE la seguente probabilita: Quando considero la P di un singolo valore è un intervallo degenere, ossia di ampiezza 0
V A CONTINUE
Sia una v a continua che assume valori nell'intervallo L^ U
g intervallini (^21 ) 2 sei sei
82 UK^
2kt f X^ a
Area probabilità che^ la^ nostra
variabile (^) assuma un (^) valore
3G compreso tra sei_ e sei
E i i^ s ii ai its a
ACY
fino
fingraettunfatti essere
pari alla^ probabilità^ placa b^ chase FUNZIONE DI RIPARTIZIONE^ È fffpta.su
FIN P^ X^ a
AffCt at se prendo uno^ specifico^ punto quanto è^ la^ P^ che^ se
Dato un esperimento aleatorio e il suo spazio campionario S, si dice VARIABILE ALEATORIA DOPPIA (X,Y), la funzione che associa a ogni evento elementare di S una coppia di valori numerici QUINDI:
- Se sia X sia Y sono v.a. semplici discrete ALLORA (X;Y) è una V.A. DOPPIA DISCRETA
- Se sia X sia Y sono v.a. semplici continue ALLORA (X;Y) è una V.A. DOPPIA CONTINUA Siano X1, x2, xi…xh, con h= gli stati o valori possibili delle v.a. X. Siano y1…….. con k= gli stati possibili delle v.a. Y Il direttore di un grande magazzino vuole verificare se i clienti con fd card hanno un comportamento d’acquisto diverso da chi non la ha; si rileva il numero di acquisti e possesso della carta e si ricava la seguente tabella di probabilita: VARIABILI (^) ALEATORIE DOPPIE
ee e 2 a (^2) V (^) A DOPPIE DISCRETE IIII (^) jiq.ae
assumono contemporaneamente questi valori
P se (^) sei y gi^ Pit Anix lees^ e sei yeezy ELÉS È L^ e Pij 1 pij^ 1 a
Y PROBABILITÀ MARGINALE
Plasei
È Pij Pi È (^) Paesi ftp.i i pii (^) pii Iii (^) SOMMAPROBABILITÀMARGINALI iii di^ iii^ iii iii^ VAR X II Riapi
ECM
2 per v^
a Y
ES
Date 2 v.a. X e Y…. Si definisce COVARIANZA di X e Y si indica con sigma: ES: Un’azienda vende prodotti online, ma anche cosmetici e prodotti per l’igiene. Abbiamo la tabella di P:
- Se X e Y sono 2 v.a. INDIPENDENTI allora Cov(X,Y) =
COVARIANZA
Oxy Cov^ x^ y^
IIII sei.mx^ yi (^) My PiJ I secyi.py (^) useMy
E X^ E^ A Y^ ELY^ E^ X^ Y^ E^ X^ ECY
cosmetici igiene
al (^) o 1 2 TROVO (^) LA COVARIANZA 0,05 (^) 0,01 0,06 624 TÈTÈsei^ yy.PIJ.mxMy
0,350,15 0,04 0,54 ECM^ MX^ 1,48 ELY^14 0,
(^421 ) devo calcolare la (^) correlazione III
Var X 0,37 Var Y 0,
Pay p (^) p 911 ho^ una^ debole correlazione (^) negativa E tt EaEcovcse^ y dim
guarda foto
se (^) e (^) Y sono t.c.gg e (^) Y sono (^) linearmente indipendenti
Suano X e Y 2 v.a. Consideriamo la loro relazione lineare: Data la combinazione lineare delle v.a. X e Y: Data la combinazione lineare delle v.a. X e Y la varianza è data da: Un investitore ha impiegato 1/4 delle sue risorse in un fondo azionario e 3/4 in un fondo obbligazionario. I rendimenti del fondo azionario hanno media=6 e deviazione standard=3; i rendimenti del fondo obbligazionario hanno media=4 e deviazione standard=1. La covarianza tra i rendimenti dei due fondi è pari a 2. CALCOLARE IL RENDIMENTO ATTESO E LA DEVIAZIONE STANDARD DELL’INVESTIMENTO COMPLESSIVO.
COMBINAZIONE LINEARE^ DI^2 V^ A
a by c^ a b C e R
se a^1 6 1 C^ O^ Y^ somma v^ a se a 1 b (^1 0 21) Y (^) differenza v a
VALORE ATTESO
Ecaxtby c^ a^ ECM^ b^ ELY^ e^
alla b.my^ e
VARIANZA
IE n
aEm
(^4) EYIEc x^ Earcaancvarini 6 9 E (^) Ettari I'varcustacovex sé Per^ x^ y var (^4) Var X Var (^) Y a (^) TEÈIFEIEE'Farci acova III (^7 7 4) varcx 4 varcx (^) Varci ES rendimento (^) f azionari rend (^) f (^) obbligazionari (^) μ
W rendimento^ complessivo W^
IX
y
a byte a b C 0
E X^ Y aECX^ b^ ECK (^) Varca by c a Var^ x^ b^ Var (^) Y tzab.GOV X Y ECW I'ECM ECY VarCW^
2
Var X^
7 2 Var Y (^) 2.41 COYY
(^4) 4, f 3 f
f (^2) 1,875 6W (^) V751,
Consideriamo la combinazione lienare di x1 fino a xn, data dalla loro somma S=x1,x2,xi…xn In questo caso a1 = a2 = an — rimangono le assunzioni 2, 3, 4
combinazione lineare caso particolare
è sei (^22) sei zen (^) tra loro com (^) lineare f i
f
at f n ÈÉE x ̅ CAMMEEFARIA
VALORE ATTESO x̅
ECx ̅ E^ I Eni e Eni (^) II sei III Imu
E x ̅
μ VARIANZA (^) x̅ condizione 4 var x̅ var III sei 1 vare^ ri È.FI 2 hme
var x̅
diventa (^) sempre (^) più piccola di^ crescere (^) degli addendi
media e^ VARIANZA della^ somma
È sei
ECS E^
È sei EI E sei^ ma varis var^ E
ai
EEIIIEieinuereo
Riguarda sempre fenomeni aleatori dicotomici (o una cosa o un’altra). Esperimenti che ammettono solo 2 esiti possibili:
- Successo: viene codificato con il n.
- Insuccesso: // n. Una v.z. X ha distribuzione Bernoulliana se la sua FUNZIONE DI PROBABILITÁ è data da: In sintesi per scrivere che una v.a. X ha distribuzione di Bernulli di parametro P, osserviamo che x si Lancio moneta bilanciata Vengono eseguite n prove indipendenti, tutte caratterizzate dalla stessa probabilità di successo p. Si tratta di tutte prove Bernulliane Supponiamo di essere in un industria che produce un prodotto e noi dobbiamo monitorare la difettosità. Ha questo prodotto da tanto e conosce le caratteristiche. Dall’esperienza passata sa che la percentuale di pezzi difettosi è dell’1%. L’azienda decide di estrarre a sorte 3 prodotti. QUALE È LA PROBABILITÀ CHE 1, 2, o 3 DI QUESTI SIANO DIFETTOSI? Ci chiediamo QUALE É LA PROBABILITÀ CHE UNO DEI 3 PRODOTTI SIA DIFETTOSO:
DISTRIBUZIONE DI^ BERNOULLI
a P
P P se p
1 P
1 P^ PER^0 I
P se P 1 P
1 2 21 9 1 p probabilità^ di
VALORI avere successo
E X^ P^0 1 P^1 p
var (^) x (^) pct p E a^ A 2
02 1 P 12
p pa^ p^ p ascolta Ber P È E (^3) P PG^1 Ip (^) 0, 0,5 (^) 0, ascolta min^26 DISTRIBUZIONE BINOMIALE
m di successo in m prove
ES successo (^) pdifettoso S^ P^ S^ p (^) 0,
insuccesso p nondifettoso
n (^) prodotti difettosi sono 3 estrazioni (^) indipendenti PLX 1
Distribuzione che vanno a contare il numero di successo in un certo intervallo di tempo o in uno spazio/ dimensione generale. Si utilizzano parametri rigidi L’intervallo viene diviso in un numero grande di intervallini, in modo tale che
- La probabilità di successo in ciascuno di ogni intervallino sia la stessa
- La probabilità che in un intervallino si abbiano 1 o più successi è trascurabile
- Il fatto che in un intervallino si verifichi un successo, non ci da informazioni sulla possibilità che si possa verificare un successo in un altro intervallino Tutti gli intervalli sono INDIPENDENTI Diciamo che una v.a. X ha distribuzione di Poisson di parametro (landa) se la sua FUNZIONE DI DI PROBABILITÀ è: La distribuzione di Poisson puo essere vista come il limite a cui temde la distribuzione binomiale quando n tende all’infinito e p tende a 0. La distribuzione di Poisson è anche chiamata LEGGE DEGLI EVENTI RARI Il responsabile di un cemtro elaborazione dati rileva che durante i 100 precendenti, il sistema informativo ha avuto 4 guasti.
- Quale è la probabilità che in un determinato giorno non ci siano guasti
- Quale è la probabilità di uno o più guasti in 1 giorno
- Quale è la probabilità di almeno 2 guasti in 5 giorni (^1) Ise (^) se c X (^) Em ix (^) I m (^) se.ms cImi
seIj
EE IIBerip5 in
esse Improve Bin m^ p n^ proveindipendenti Ya^ Ya (^) yi 9m Sappiamo che^ E^ Yi^ p ti^ e^ var^ gi p 1 p ti E X^ mp Var X
mp 1 p
ES (^) sopra BIM (^3) 0,
ÈÈ EMPI^5 4 0,6 0,
DISTRIBUZIONE DI^ POISSON
Po 1
P se^ e
1 se (^9 ) m I E^ X^ Var x m (^) medio di successo nell'intervallo m too (^) p o ES
La distribuzione di Poisson può essere utilizzata per approssimare la distribuzione binomiale quando il numero di delle prove è alto e la probabilità di successo è piccola ES: Sappiamo che una cartoleria rilega in modo difettoso i libri nel 4% dei casi, quale è la probabilità che 2/100 libri siano rilegati male? puo essere approssimata con una distribuzione di Poisson di variabile landa approssimo Calcolare la probabilità che ci siano più di 2 libri rilegati male Diciamo che una v.a. CONTINUA X ha distribuzione normale di parametri e se la sua FUNZIONE DI DENSITÁ è; (^1) A 0, n guastiin^
giorno
Po 0,04 P D e
1 e 90 0, 0, 2 III 1 P^ D^1 0,9608 (^90392)
3 Y n
guasti in^ 59g YUPO d 7 5.1^5 0,04 (^) 0,2 YUPO^ 0, PCY 2 1 P^ Y (^0) PLY (^1 1) 0,8187 0,1637 0, N B
n libri
rilegati male BIM (^100) 0,
P 2
1200 0,^ 1 0, E (^) Mip 100.904 4 Poll
BIM 100 0,04 con Po 4
Plx 2 e
4 0, PIX 2 PLX (^2) P 100 P^ X^2 1 P^ D^ PIX 1 PIX (^2 1) 0,
DISTRIBUZIONE NORMALE DI GAUSS
μ
f a of
l RER
Qui si^ ha^ RUN^ μ 62 qui ho μ Me^ Mo
EHM μ^ centro^ di^ simmetria Var (^) X (^62) la normale ha μ 6 nto
i suoipuntidi^ flesso
II
