Distribuzioni di Probabilità Notevoli: Guida per l'Informatica, Appunti di Statistica

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Probabilità e Statistica per l'Informatica F. Stella

“DISTRIBUZIONI NOTEVOLI”

• Parte 1 di 4 -

CAPITOLO 3

Abbiamo visto che esiste una corrispondenza univoca tra la FUNZIONE DI

RIPARTIZIONE e la

• DENSITÀ DI PROBABILITÀ (variabili assolutamente continue)
• DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ (variabili discrete)

Per tale ragione si usa parlare di “Distribuzione” di una variabile intendendo

indifferentemente la sua ripartizione o la sua densità (o distribuzione di

probabilità).

Nel seguito presenteremo dapprima le distribuzioni discrete e successivamente

le distribuzioni assolutamente continue.

La notazione X~F va letta come “la variabile X è distribuita secondo F ”.

L’importanza di questa semplice distribuzione è ovvia, sono variabili di Bernoulli

tutte quelle che individuano il verificarsi di uno specifico evento e che valgono 1 se

questo si verifica e 0 altrimenti.

Immediate sono le determinazioni della MEDIA e della VARIANZA di una

BERNOULLIANA che risultano essere

E X   0  1  p ^  1  p  p

V X    0  1  p  1  p   p  1  p  p

Siano X 1 , X 2 , … Xn, n variabili Bernoulliane di identico parametro p e stocasticamente

indipendenti tra loro.

Sia poi X una variabile aleatoria definita come somma delle Xi ovvero sia

DISTRIBUZIONE BINOMIALE

X  X 1  X 2 ... Xn

Una tale variabile è detta distribuita secondo una Binomiale con parametri n e p

X ~ Bin  n,p 

Una tale variabile può assumere qualsiasi valore intero k compreso tra 0 ed n in

accordo alla seguente probabilità

   

k n k p p k

n X k

    

 

 

 

 P   1

In definitiva la DISTRIBUZIONE DI PROBABILITÀ e la FUNZIONE DI RIPARTIZIONE risultano essere

 

 

 

   



















altrimenti

p p se t n t

n

p t

t n t

X

0

( 1 ) 0 , 1 ,..., ( )

p p t R k

n F t

k nk t

k n k X (^)    

 

 

  (^) 

  

 ( ) ( 1 ) perogni

0 :

L’indipendenza tra le variabili Xi consente di determinare facilmente il VALORE ATTESO e

la VARIANZA della variabile X

E X   E X 1  X 2 ... Xn  E X 1  E X 2  ...E Xn   n  p

V X   V X 1  X 2 ... Xn  V X 1  V X 2  ...V Xn   n  1  p   p

La principale applicazione della distribuzione binomiale consiste nella definizione di

variabili che “contano” le realizzazioni di eventi quando questi siano da considerarsi

indipendenti e con identica probabilità di verificarsi.

Questo è per esempio il caso della variabile X definita nell’esempio 2. 12 e 2. 13 che

risulta essere una variabile aleatoria distribuita secondo una Binomiale con

parametri 3 e 1 / 2.

La distribuzione di Poisson può essere vista come un caso particolare della

distribuzione Binomiale che si ottiene quando il numero di variabili Xi che

compaiono in

DISTRIBUZIONE DI POISSON

X  X 1  X 2 ... Xn

tende ad infinito mentre il valore del parametro p tende a zero in modo tale che il

prodotto n·p resti costante.

In questo caso assumendo  = n·p diremo che la variabile

è distribuita secondo una Poisson con parametro , R+

X  X 1  X 2 ... Xn

X ~ Poi   λ

Osserviamo che la variabile così definita può assumere un qualsiasi valore intero k.

Le probabilità associate ai valori assumibili da X si ricavano dalla seguente relazione

   

k n k

p p k

n X k

   













 P   1

con un passaggio al limite per n+ (sotto il vincolo  = n·p costante) e risultano

  e k N k

X k

k    



!

P

 

Il VALORE ATTESO risulta essere

E X  n  p  

mentre per calcolare la VARIANZA è necessario osservare che

    n

X n p p n p n p

2 2 V 1

          

e che tale quantità diviene uguale a  quando n tende ad infinito per cui

V X  

La distribuzione di Poisson viene utilizzata quando si considerino grandi popolazioni

di individui in cui ogni individuo ha una probabilità p molto piccola di essere

soggetto ad uno specifico evento in esame.

Per tale ragione la distribuzione di Poisson viene anche detta degli eventi rari.

 

 

 

   



altrimenti

e se t , ,..., p (t) t!

t

X 0

01

 

e t R k

F t

k N k t

k

X ^   

perogni !

( )

 

è la probabilità che il guasto si verifichi al tempo (t+ 1 )-mo (nei primi t istanti

funziona).

pX ( t )

Si consideri un esperimento, ripetuto a istanti rappresentati da numeri interi, di

verifica di funzionamento di una macchina:

Se interpretiamo p come la probabilità che a un certo istante la macchina si guasti, la

distribuzione geometrica dà la distribuzione di probabilità del PRIMO guasto, cioè

 



 

 (^)     altrimenti

p p se t N p t

t

X

0

1 ( ) F t p  p  t R

k N k t

k X ^    

 

( ) 1 per ogni

:

L’importanza di questa distribuzione sta nella PROPRIETÀ DI ASSENZA DI MEMORIA

P  X  k  m|X  m   P  X  k 

Per comprenderne il significato, supponiamo che X sia il tempo di vita di una

macchina soggetta a guasti (possono avvenire solo in corrispondenza di intervalli di

tempo unitari), e supponiamo di aver rilevato che per m unità di tempo essa non si

sia guastata.

La PROPRIETÀ DI ASSENZA DI MEMORIA asserisce che la probabilità che la macchina si

guasti all’istante ( k+m)-esimo, condizionata dall’evento X≥ m, è uguale alla

probabilità iniziale che essa si guasti all’istante k-esimo.

In definitiva, la PROPRIETÀ DI ASSENZA DI MEMORIA asserisce che il tempo trascorso

da quando abbiamo iniziato ad esaminare il funzionamento della macchina non

influisce sulla distribuzione del tempo restante al verificarsi del guasto.

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