Concentrazione: Indice di Gini e Curva di Lorenz, Appunti di Statistica

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Statistica

Antonio Azzollini

[email protected]

Anno accademico 2018/ Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE)Dipartimento di Matematica, Informatica ed Economia (DiMIE)

Come si definisce e si valuta un indice di concentrazione?

Come si definisce e si valuta un indice di concentrazione?

Consideriamo la distribuzione . Il primo passo consiste nel

mettere in ordine la distribuzione: 1 , 4 , 2 , 3

Successivamente, poniamo A

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

A = 10

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

A =^10

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

11 , 1 , 4 ,+ 4 , 42 ,^ A , 2 ,= 2 , 3 , 3 3 11 ,^1 ,^4 =^ ,+^4 ,^41 ,^22 ,^0 ,+^2 ,^3 ,^3

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

A = 10

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( n ) x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( n ) x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( n )

1 ,^1 4 ,^4 , 2 ,^2 , 3 ,^3 1 ,^4 ,.^2 ,^3

Come si definisce e si valuta un indice di concentrazione?

Consideriamo la distribuzione . Il primo passo consiste nel

mettere in ordine la distribuzione: 1 , 4 , 2 , 3

Successivamente, poniamo

Si osservi che l'ultima quantità introdotta corrisponde

all' ammontare del carattere.

Poniamo A

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

= 1 Q 0

1

, Q

2

, Q

3

, Q

4

Q = 1

1

, Q

2

, Q

3

, Q

4

Q = 1

1

, Q

2

, Q

3

, Q

4

A / =^1

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

= 10 A /

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

A = 10

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

Q =^10

1

, Q

2

, Q

3

, Q

4

ed in analogia= 1.

x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( n )

A

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

A = 10

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

A =^10

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

11 , 1 , 4 ,+ 4 , 42 ,^ A , 2 ,= 2 , 3 , 3 3 11 ,^1 ,^4 =^ ,+^4 ,^41 ,^22 ,^0 ,+^2 ,^3 ,^3

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

A = 10

1

= 1 , A

2

= 3 , A

3

= 6 , A

4

x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( n ) x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( n ) x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( n )

1 ,^1 4 ,^4 , 2 ,^2 , 3 ,^3 1 ,^4 ,.^2 ,^3

In generale consideriamo n dati e li ordiniamo:

x ( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n )

x ( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n − 1 ) = 0 , x ( n )

= n μ

massima concentrazione si ha se

In una equidistribuzione si ha , mentre la

x ( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n )

x =^ μ

( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( n ) x ( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n )

x = μ

( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n )

x =^ μ

( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x

x ( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n ) = μ( n )

A

i = x ( 1 )

• x ( 2 ) +!+ x ( i ) informazione disponibile fino al dato i -esimo. Informazione totale: (^) A n = x ( 1 )
• x ( 2 ) +!+ x ( n ) (^) 👉

A

n

= n μ

In generale consideriamo n dati e li ordiniamo:

x ( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n )

x ( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n − 1 ) = 0 , x ( n )

= n μ

, mentre la

x ( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n )

x =^ μ

( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( n ) x ( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n )

x = μ

( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n )

x =^ μ

( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x ( x ( 1 ) ≤ x ( 2 ) ≤! ≤ x

x ( 1 ) = x ( 2 ) =! = x ( n ) = μ( n )

massima concentrazione si ha se

In una equidistribuzione si ha

Nel caso di equidistribuzione, in cui tutti i dati sono uguali,

Q

i

i μ n μ

i

n

i -esima quota del carattere 👉 👉

P

i

i

n

i -esima quota unità Il rapporto di concentrazione di Gini dell’insieme di dati x 1 ,^ x 2 ,…,^ xn è dato da:

C =

P

i

− Q

i ( ) i = 1 n − 1 ∑

P

i i = 1 n − 1 ∑ Si hanno le seguenti implicazioni:

P

i

= Q

i

per ogni i^ =^1 ,^2 ,…, n^

👉

C = 0

Q

i

= 0 per ogni^ i^ =^1 ,^2 ,…, n^

👉

C = 1

Se invece non c’è equidistribuzione si ha sempre P

i

≥ Q

i . .

C = 1

C =

P

i

− Q

i ( ) i = 1 n − 1 ∑

P

i i = 1 n − 1 ∑

C = 1

C =

P

i

− Q

i ( ) i = 1 n − 1 ∑

P

i n − 1 ∑

Osserviamo che vale la disuguaglianza

P

i

− Q

i ( ) i = 1 n − 1 ∑

≤ P

i i = 1 n − 1 ∑ dove a sinistra abbiamo una misura della concentrazione che è nulla nel caso di equidistribuzione ed è massima nel caso di massima concentrazione, cioè

P

i i = 1 n − 1 ∑ Una scrittura equivalente del rapporto di concentrazione di Gini è data da

C =

n − 1

P

i

− Q

i ( ) i = 1 n − 1 ∑

Alcuni esempi Esempio: 1<2<3< Dati 1 1 0,25 0,1 0, 2 3 0,50 0,3 0, 3 6 0,75 0,6 0, Totale 1,5 0, C = 0 , (^33) verificare che il risultato è uguale con ambedue le formule. La concentrazione è tanto maggiore quanto più le quote unità differiscono dalle quote carattere.

A

i

P

i

Q

i

P

i

− Q

i

Alcuni esempi Esempio: 1<2<3< Dati 1 1 0,25 0,1 0, 2 3 0,50 0,3 0, 3 6 0,75 0,6 0, Totale 1,5 0, C = 0 , (^33) verificare che il risultato è uguale con ambedue le formule. La concentrazione è tanto maggiore quanto più le quote unità differiscono dalle quote carattere.

A

i

P

i

Q

i

P

i

− Q

i Esempio: 1=1<3< Dati 1 1 0,25 0,1 0, 1 2 0,50 0,2 0, 3 5 0,75 0,5 0, Totale 1,5 0, C = 0 , 47 A i

P

i

Q

i Esempio: 0=0<1< Dati 0 0 0,25 0 0, 0 0 0,50 0 0, 1 1 0,75 0,1 0, Totale 1,5 1, C = 0 , 93 A i

P

i

Q

i

P

i

− Q

i

P

i

− Q

i

Se una quantità viene spostata da una unità con dato

minore ad un’altra con dato superiore l’indice aumenta:

x

( 1 )

<! < x

( i )

− c <! < x

( k )

+ c <! < x

( n ) Alcune proprietà

Se una quantità viene spostata da una unità con dato

minore ad un’altra con dato superiore l’indice aumenta:

x

( 1 )

<! < x

( i )

− c <! < x

( k )

+ c <! < x

( n )

Q

1

,…, Q

i − 1 non cambiano

Q

k

,…, Q

n non cambiano Alcune proprietà

Q

i

,…, Q

k − 1 diminuiscono

P

i

− Q

i

,…, P

k − 1

− Q

k − 1 aumentano

Se una quantità viene spostata da una unità con dato

minore ad un’altra con dato superiore l’indice aumenta:

x

( 1 )

<! < x

( i )

− c <! < x

( k )

+ c <! < x

( n )

Q

1

,…, Q

i − 1 non cambiano

Q

k

,…, Q

n non cambiano Alcune proprietà

Q

i

,…, Q

k − 1 diminuiscono

P

i

− Q

i

,…, P

k − 1

− Q

k − 1 aumentano La quota carattere x 1 ,^ x 2 ,…,^ xn a cx 1 , cx 2 ,…, cxn Q i

cx ( 1 )

• cx ( 2 ) +!+ cx ( i ) cx ( 1 )
• cx ( 2 ) +!+ cx ( n )

c x ( 1 )

• x ( 2 ) +!+ x ( (^) ( i )) c x ( 1 )
• x ( 2 ) +!+ x ( (^) ( n ))

x ( 1 )

• x ( 2 ) +!+ x ( i ) x ( 1 )
• x ( 2 ) +!+ x ( n )

A

i A n Se ad ogni elemento di x 1 , x 2 ,…, x n si aggiunge una quantità positiva, l’indice diminuisce perché le quote carattere aumentano, mentre le quote unità restano invariate. Esempi: 2 =^2 <^3 =^3 ,^ C^ =^0 ,^13 -^3 =^3 <^4 =^4 ,^ C^ =^0 ,^096

Qi non cambia da

L’indice C rimane anche esso invariato.= 0

La curva di Lorenz Assegnato un insieme di dati x 1 ,^ x 2 ,…,^ xn si chiama curva di Lorenz o curva di concentrazione la spezzata che unisce i punti di coordinate ( 0 ,^0 ),^ P 1

, Q

( 1 )

, P

2

, Q

( 2 )

,…, P

n

, Q

( (^) n ) Esempio: 1,4,2, Dati 1 0,25 0, 2 0,50 0, 3 0,75 0, 4 1 1

P

i

Q

i 👉 Esempio: 1,4,2, 0, 0, 0, 1, 0 0,25 0,5 0,75 1 Massima concentrazione 0, 0, 0, 1, 0 0,25 0,5 0,75 1 Massima concentrazione Dati 0 0,25 0 0 0,50 0 0 0,75 0 10 1 1

P

i

Q

i 👈 n − 1 n