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Ex.
Sia p la proporzione di file corrotti da un virus informatico in un pc. Su un campione casuale
semplice di n=240 file, 156 risultano essere corrotti.
Determinare:
a) La stima di p 𝑝̂ =
156
𝑛
b) Il limite inferiore dell’intervallo di confidenza di livello 1 − 𝛼 = 0. 95 per p
𝛼
2
- 975
1 −𝛼
(μ) = [𝑋
𝑛
1 −
𝛼
2
𝑛
1 −
𝛼
2
] = [ 0. 65 − 1. 96 ∙
] = 0. 589 ( 6 )
c) Il limite superiore dell’intervallo di confidenza di livello 1 − 𝛼 = 0. 95 per p
Dalla formula soprastante:
[ 0. 65 + 1. 96 ∙
] = 0. 7103
d) La statistica test z osservata per verificare 𝐻
0
: 𝑝 = 0. 55 vs 𝐻
1
𝑛
− μ
0
e) Il P-value del test
𝑜𝑠𝑠
= 2 [ 1 − 𝜙(|𝑧
𝑜𝑠𝑠
|)] = 2 [ 1 − 0. 9992 ] = 0. 001 ( 6 )
Ex.
Si vuole verificare l’efficacia di 3 diversi trattamenti A,B,C per la cura dell’ipercolesterolemia
somministrando il trattamento a 3 diversi gruppi di pazienti. Al termine dell’esperimento si sono
ottenute le seguenti statistiche campionarie relative a ogni singolo trattamento
A. 𝑛
𝐴
𝐴
𝐴
2
B. 𝑛
𝐵
𝐵
𝐵
2
C. 𝑛
𝐶
𝐵
𝐶
2
Assumendo la normalità e l’omoschedasticità delle 3 popolazioni, determinare:
a) La media campionaria relativa a tutte e 22 le osservazioni
𝑛 𝑇𝑂𝑇
b) La devianza tra i gruppi SSB
𝑖
1
𝑛
2
𝑚
𝑖= 1
2
2
2
2
c) La devianza entro i gruppi SSW
𝑖𝑗
𝑖
2
𝑛
𝑖
𝑗= 1
𝑚
𝑖= 1
d) La statistica test F osservata per verificare l’uguaglianza delle medie delle 3 popolazioni
𝑜𝑠𝑠
Ex.
Si consideri il modello di regressione lineare 𝑌 𝑖
𝑖
𝑖
. Le statistiche riassuntive di un
campione di 7 osservazioni sono
𝑖
𝑖
2
𝑖
𝑖
2
𝑖
𝑖
Determinare:
a. La covarianza campionaria 𝜎̂
𝑋𝑌
𝑋𝑌
𝑖
𝑖
𝑖
𝑖
𝑥
2
𝑖
2
𝑖
2
2
𝑦
2
𝑖
2
𝑖
2
2
b. Il coefficiente di correlazione campionaria 𝑝̂
𝑋𝑌
𝑋𝑌
𝑋𝑌
𝑥
2
𝑦
2
c. L stima dei minimi quadrati della pendenza b della retta di regressione
𝑋𝑌
𝑥
2
d. La stima dei minimi quadrati dell’intercetta a della retta di regressione
𝑛
𝑛
Con 𝑌
𝑛
- 8
7
e 𝑋
𝑛
93
7
[ 12. 335 + 1. 8946 ∙
] = 13. 70 ( 60 )
e) La media campionaria dei dati del campione B
𝐵
f) La varianza campionaria corretta del campione B
𝐵
2
2
g) La statistica test t osservata per verificare 𝐻
0
𝐵
1
𝐵
𝑛
0
2
h) La decisione su𝐻
0
𝐵
1
𝐵
11 ° un livello di significatività 0.
- 05
𝑛− 1 , 0. 95
( 3 ), 0. 95
= 2. 5334 → | 0. 7098 | > 2. 5334 dunque accetto
i) La varianza combinata (pooled)
𝑝
2
1
1
2
2
2
2
1
2
j) La statistica test t osservata per verificare 𝐻
0
𝐴
𝐵
1
𝐴
𝐵
𝐴
𝐵
𝑝
2
1
2
𝑝
2
k) La decisione su 𝐻
0
𝐴
𝐵
1
𝐴
𝐵
a un livello di significatività 0.
1 −
𝛼
2
- 995
- 01
quindi si accetta
Ex. 5
Si consideri la tabella a doppia entrata delle frequenze assolute per la coppia di caratteri X (
modalità sulle righe) e Y (4 modalità sulle colonne) su un campione di n=82 unità statistiche
Si vuole verificare l’indipendenza fra le variabili. Calcolare:
a) La statistica test osservata per verificare l’ipotesi d’indipendenza fra i due caratteri
2
= 𝑛 [(∑ ∑
𝑖𝑗
2
𝑖∙
∙𝑗
𝑐
𝑗= 1
𝑟
𝑖= 1
)]
= 82 [
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
2
− 1 ]
b) I gradi di libertà della distribuzione χ
2
della statistica test sotto H 0
c) La decisione del test per l’indipendenza a un livello di significatività 0.
- 05
- 95
2
( 6 ) = 12. 5916 → 1. 127 > 12. 5916 quindi accetto
