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SOMMATORIE e PRODUTTORE
(A.1)
la. 21--2^ 22--15^ a> =^5 Somma^ =^ dettata}
μ somma (^) di tolti i valori ai
Identificata con^ la^3
lettera (^) greca Sigma E (^) § ai = arterioseallenza al (^).. (^). an sommatoria :^ § , = (^) ,
di =^21 +^ Zzt^...^ t^ an nelle^ Dimostrazioni
(Può^ capitare) produttore a^ : È ai^ =^ an ' aa....^ -^ an^ £ (^) ai = (^25) i (^) = proprieta ' serrature ① ✗^ e^ IR EI ✗^ ai^ =^ ✗^ E i. (^1)
di
Dim : §^ = ✗ ai = ✗ (^) ai + (^) ✗ art (^)... + (^) 4am =^2 ( ai +^ art (^)... + an) i - PER M VOLTE M ② (^) § , 1 = (^) m (^) anta> + (^)... + (^) an = ÉTÉ m ③ SE m (^) > n £^ ai +^ stai^ =^ Eh i (^) -1 i^ =^ nn^ i -
di
m Dim : (^) (art (^) art (^).. (^).^ +^ an) + (^) ( amm tanta^ +^...^ +^ 2mn) =^ [ai i- ⑥ £^ (ai^ +bi) =^ si i , di +^ £^ b; i (^) -1 i^ - Dim: (^) (an + (^) b) + (^) (aatb (^) a) + (^)... + (^) ( antbn) = (an^ +^ art^...^ +^ an) +^ (^ bi^ tbzt^.^.^.^ bn) =^ È i ai^ + EI bi
⑤ (^) ✗ -^ B^ : (^) costanti £ (^) Hai + B) = ( ✗ (^) EI a)
- (^) (n. p) i (^) - Dim : £ in ✗ (^) di + È (^) B =^ ✗ § i (^) - ai +^ vi.^ p i (^) - ⑥ (^) v0 PROPRIETÀ :^ § in aibi *^ £ in di.^ È^ bi
i -.
Dim (^) : È ÷, sibi (^) = aibtazbzt (^)... + ambn E i (^) , ai.^ È^ bi = (^) (art art^.. (^). an) • ( betb.at^. (^).. b) = i (^) - = = (^) Libri + (^) arbat (^). (^). _ tarbm) t.it/amb+anbzt...tanbn)---ym-.--&I&E.i+Eaibi=
> È
PROPRIETÀ
⑦ (È, a (^) :)!^ E^ ai =^ E^ ai+^ E i =, di '^ £^ i.
ai 25 PRECEDENTE
i -1 i - Per Proprietà commutativa : aias-as-ai-ai-a.sn an.^ -^ -^ an^ § i aids =^2 E^ ai^ ag =
a^ i^ -
, sia^ a>di
:^ <=aa>^ +^.^.^.^ +^ aram) +
- (^) (azast.. (^). 1- (^) diam) + annan an dias^ L considero solo Quando i^ -5 (^) , così Prendo solo metà casistica (^) , ESSENDO Zia> =^ assai
Produttore/^ E^ | Proprietà) ① ÌT^ ✗ (^) ai =^ è^ #^ ai i (^) -1 i - Dim (^) : ✗ di. da>^ -... ✗ (^) dm = ✗ (^) ( aol.az '...^. a) ② ÌT 1 - i (^) =p
③ it i. ( ai^ +bi) =^ È^ ai +^ È i -1 i^ =, bi ④ it e, aibi =^ ÌT^ ai.^ È
in i^ ,
bi ⑤ (^) Per m > n Ì^ ai .IM^ ai =^ È i -1 (^) entri i^ -
di
⑥ ai^ >^ o log.FI ai^ =^ È i. (^) = , lofai Dim : (^) log ( ai ai^... .am/--logai+logaa+.. (^).^ +^ logan
TERMINOLOGIA (A.^ 2) Popolazione=^ insieme generico DI^ Elementi che È^ oggetto r
DI STUDIO Statistico
unità (^) statistica =^ singoli Elementi (^) della Popolazione campione=^ Qualsiasi sottoinsieme della (^) popolazione numerosità (^) campionaria ( m) = utero di unità statistiche
nel CAMPIONE
Popolazione (^) ① Reale :^ ESISTE e^ visibile (^) (es. UNEE BUS MESE scorso) ② Virtuale^ :^ astratta^ o^ riferita^ al^ Futuro (es^.^ Malati^ e^ futuri^ malati^ di una^ malattia) VARIABILE=^ caratteristica dell' unità statistica → (^) ( il tipo di (^) variabile) ① " NUMERO DI^ PASSEGGERI sulla (^) linea 1 Possibilita' in cui ☒ ) si può (^) PRESENTARE la (^) variabile MODALITÀ =^ Valori distinti che (^) può assumere (^) una variazione infiniti (^) ② " Trattamento"^ :^ È^ stato^ curato? si o^ no^ (modalità^ binaria finiti variabile Quantitativa^ :^ SE^ Modalità^ sono Wren ② Qualitativa :^ Altri^ casi^ ⑥ (^) ( annusate ANCHE Mimun) assumono sono certi a) •^ discreta^ =^ rosarita^ in^ corrispondenza^ di^ IN^ > umore a un I (es^.^ Anni^ di^ Età)^ possono assumere^ Qualsiasi
- Continua/ reale^ =^ rosarita^ in^ IR^ >^ varare^ in^ un^ I^ desunto (es (^). Reddito, temperatura
- Con^ scala ad intervallo =^ origine arbitraria (^) , lo zero^ Della scala non
È assoluto ma convenzionale
( es. Temperatura
- con (^) scala di rapporto = (^) univoca la DEFINIZIONE di zero (es^.^ PESO^ ,^ altezza
DISTRIBUZIONE (^) di FREQUENZA FREQUENZA =^ m. (^) di volte che una rosalita si verifica nel collettivo di riferimento (B)
DISTRIBUZIONE di^ FREQUENZA =^ evidenzia core il fenomeno si manifesta urea popolazione in rapporto ad un
criterio (^) di ordinamento deve (^) Fremente quante volte una massima si presenta nel collettivo IN (^) ESAME
campione =^2312 donne
parto (^) prezioso = (^361) donne → (^) il DDE era (^) maggiore (^)? ( v0^ Possibile capire Guardando i dati) varare (^) dde (^) ( mg/^ C)^ va^ DA^0 - Divido onesto intervallo in^ tl^ sotto^ - intervalli corto (^) avanti valori delle donne ci sono in (^) celeste sotto - intervalli materie i (^) risultati in relazione
frequenze assolute :^ il moroso DI DONNE Di un Soto - intervallo
Xn = varare (^) assunti da una variabile ( avanti tre (^) DDE misurato nelle singole donne)
Cn =^ rosalina di variabili
( tutti^ i (^) valori di DDE assumibili :^0 - hfd
fremente assolute =^ M^. Di^ volte MK^ ate^ i^ valori DISTINTI^ CK
compaiono nei^ dati misurati Xn
SE (^) Sono tre le FREQ. Ass. μ trovo^ la^ luresrositsà^ campionaria mi +^ Ma +^... + Ma =^ E (^) ⑦ = @z OF^ Ms EM 5= FREQUENZE (^) dei Soto -^ intervalli^ numerosità^ campionaria Fremente relative per un confronto più^ EQUO
fremente assoluta^ ns
& =^ virtuosità^ campionaria^ fs
MIE+ (^) fzt (^)... + (^) fra =^ È (^) 8s - 3= -1 OF (^) lgs [ 1 K (^) n È (^) 8- = E :p " È 28 > = In Ems^ E. g- = [ in 5=1 5= FREQUENZE Percentuali = Fred (^). Rerat. × loo (^) fs.NO
ISTOGRAMMA
variabile commune e avantitranne sono^ riti^ vicini
-^ basi^ rettangoli^ →^ sotto-^ intervalli M# μ,
- Altezza rettangoli → Fremente^ assente
se modifico la scala Posso cerca confrontare le Frequenze
assolute visivamente confronto Grezzo
funzione di^ ripartizione^ empirica la (^) funzione che associa ad OGNI valore (^) reale ✗o la frazione Delle unità CHE sono inferiori o (^) uguale a (^) ✗o → con^ variabili^ discrete^ →^ Dati^ separati^ e^ non^ sono^ -^ intervalli funzione di (^) ripartizione M^. osservazioni E^ × Empirica (^) calcolata in^ × =
Mirecourt campionaria
FA) = 1m È^ A^ lxi Ex) ^ Éindicatrice sorso 1 e^0 ←^ Vare^1 → condizione^ verificata
✗ a EX 1 vare o → condiz. non cenetta
✗ (^) e > (^) × ' o parentesi indicato Semenza ordinata : core si^ ottiene FH?^ → (^) ✗ha ✗(a)... EXE ... E ✗IN
- Orsino (^) i (^) dati ✗ (^) (e).. (^). ✗ (^) (n)
- conto (^) QUANTI dati (^) ci sono più piccoli (^) di ✗ PROPRIETÀ :^ e) o (^) Fate
- linfa-0^ 3) lim^ FAI^ - ✗→ -^ co^ ✗→ + co valore (^) minore DEL muro fa) - G) Valore maggiore DEL (^) massimo FAI =L
- fai^ non È^ DECRESCENTE (^) E (^) continua a (^) DX
INDICI di POSIZIONE^ (c)
Indice (^) di Posizione MEDIA (^) (aritmetica
MEDIANA
avanti U
MEDIA (^) ARITMETICA
MEDIA aritmetica corre Baricentro della misurazione
non è^ l'^ unico centro [=^ ✗^ ^^ +^ Xzt^.^.^.
= % È Xi
Proprietà:
① Proprietà^ rappresentativa
✗e =^ ✗~ =... = Xm = a E = a
" ""
[
amate e^ -1m (^) È × : = 1m ( at (^)... + (^) a) = ☒
= a
PER Altri " " "" ② proprietà (^) di internauti= la media E- compresa (^) tra il libro p.SN
Minimo e il massimo
✗ (^) (e) EEE ✗ (^) in ¥,^ ✗^ che^ È Kite^ È ✗^ in →^ mine (^) ,^ ✗^ is (^) mxgy →^ ✗INE^ FÈM " E ✗
in →^ ✗idee^ =^ Xin)
③ Proprietà associativa :^ la media (^) rimane invariata (^) SE
UN SOTTO - INSIEME di DATI VIENE^ rimpiazzato con la loro
media parziale considerati
☐neuroni m^
a^ ls^.^ IIG^
- S - 6 uguale M= ✗^ it.^.^ -^ +^ ✗^ a (^) = [ (^) §
✗i 2,5 - 2,5 - G - S - 6 MEDIA
K
K (^) volte k m^ M
ÌMÉTM- ✗aut.. _ + ✗a
= (^) f. (^) μ. [ (^) € ✗i^ +^ E^ =! Exi m (^) i (^) - n.sona.LI?-
⑥ (^) la MEDIA (^) di una (^) trasformazione lineare DEI dati (^) coincide
con la^ trasformazione centrale Della media > presa una funzione
aggiungo auaecosa
(convento^ in^ anno)
Yi =^ atbxi i = (^1)... M 4- = 1m (^) È , 4 : =^ atbe MEDIA (^) DATI MEDIA SEPARO trasformati trasformata Ierimolte m b.IE?xn=Dim:y-=E+bT-+---+a+-bx=a+...+a- + m m = (^) MÌ +^ b.^ E^ = a + be ⑤ (^) baricentro
Prendo i DAT Xe , Xz. .. E sottraggo la media scarti
Scorrano con scarti Ho severe o
m SO^ SE^ ✗^ i^ >^ F E (^) f-i - E) = (^) &, - F) + (^)... + (^) (✗n - E) =^ O
< o se ×:< E i - - sottrarre Dim : E^ μ; - e) (^) = § Proprietà i. = (^) , Ì^ ✗^ i^ time^ =^ ME^ -^ ME^ =^ o £ÈÉ É×
.^ -^ =^ ne terra tecnico A^ :^ a EIR E ÷ , (✗^ i^ - a) '
= È
( Xi -^ e) '
- m (^) ( e - a) ~ ( Dirost. sarà ⑥ (^) la serra DEM scarti (^) Quadratici da una costante e- minima se la costante^ è^ posta uguale alla MEDIA e punto DI
E- arianese
÷ ,
Hi
È (^
×: - E) ' se a #^ E
la MEDIA MINIMIZZA la somma
DEGI scarti al Quadrato
Difetti (^) della MEDIA
- Sensibilità^ ai valori^ anomali^ / Strani^ MEDIA^ molto
- Errori di trascrizione^ sensibile a
- Situazioni^ particolari^ Questi^ Parametri MEDIA aritmetica^ ponderata
merla MEDIA aritmetica le^ unità^ statistiche valgono^ tre^ uguali
casi in (^) cui non È^ così nenia ponderata (^) (es.^ non^ universitari a
ogni valore Ha un PESO Wi... Wm
n
FÉ ✗^ i^ Wi
Xnwnt.^.^.^ +^ Xnwm^ =
& È (^) ✗ i ( ciascunacompreso;^ e) tra £ (^) Wi
' Wi +^... Wim i -
i (^) -1 ✓ Wi (^) pesi
VÙ =
§ μ;) Standardizzati
i - Approssimazione MEDIA non conosciamo i^ dati^ individuali ma^ solo le loro frequenze assolute
calcolo retata degli intervalli Ms =^25 -1^ +25^ CON^ 5=1,... ,^ K
2 MI^ È^ IL PUNTO^ centrale ① (dell'^ intervallo^ 5-^ Esimo^ )
devo Fare un approssimazione della MEDIA
free. k E Usns Ems MJ g- = %, "" ☒ w>^ =^ ns^ EE § soma^ area.^ M J'=p V5' Ass. μ M. CAMPION. le K^ K E (^) -5 (^) % E (^) nsm> = E MIMS =^ E^ fs.ms 5=1 (^) ^ (^) 5--1 5=1 (^) y K MEDIA Ponderata : E =^ E^ WIM> (^) con WI - _ ÷ μ 5= §, WS'
l' approssimazione risulta QUINDI ESSERE
UNA MEDIA aritmetica Ponderata
MEDIANA
serve per trovare circa il centro :^ È^ maggiore di^ circa il SOY. Dei
dati E Minore Decca restante Parte
la. Xi , Xr ,. .. ✗e > → ✗ 7 MEDIANA
SE ✗ (^1)... Xm INSIEME DI (^) DATI e^ ✗ (^) (1)... ✗ (^) (n) sono dati ordinati Me (^) = { ✗ (^) TÈ) se (^) n dispari varare censure
✗ (ma +^ ✗^ Inizia) se m pari MEDIA due valori centrali
(^2) auaesiasi valore tra (^) i DUE (valori centristi va bene^ ) FUNZ. Ripari. empirica = Fonz. con valore (^) sotto una certa (^) sogna f- ( Met^ E^ Me^ = (^) f-
(E) →^ non^ sempre^ ne^ sa. → (^) valori (^) e Decca MEDIANA la (^). (^1) , Z, -3, 4 , 9 Me (^) =3 f-^ (3) =^ § = 0, z → valori^ E della
1+2 Mentana
la (^11) , 2 , 5 Me = (^) 2- =^ 1s F/ 1. (^) 5) = g- = 0, ✓ considerando care^ M^ =^ 1,7 Risulta^ f-^ (11-7)=0, I
MEDIANA Alternativa
approssimazione mediana
conosco il free. assolute delle intervalli ma no i^ valori dei
singoli dati
la n'- (^12) osservazioni Me^ = ✗ lotta^ conosco i valori
E
devo approssimare :
la MEDIANA^ sarà^ sicuraM^. se internati Piccoli potrei fare la
nell' intervallo^ in^ cui
MEDIA DEGI estremi delll' intervallo
coreano no^ ✗co)^ e^ ✗(7)
m non (^) STESSA scrittura DEKA MEDIA :^ E^ = argnim E^ (Xi^ - a) '
PERCHE con la mediana dell^ i^ -
il valore
non È^ UNICO^ nuove
- M^ pari infiniti^ valori^ che^ denimZzaro^ la^ forzate tolti i valori compresi nei due dati (^) centrali sono taci (^) per cui la (^) serranda Dega scarti
È minima
] ambiguità (^) ( a^ varare (^) ate (^) minimizzano
in dispari un solo varare che minimizza → il umore censure
(✗^ i^ -^ a) ' enfatizza varare^ più^ grandi (^) ( posti^ al^ avanzato aumentano^ ) SE Dero (^) minimizzare una funzione al avanzato andrò a
considerare il^ valore^ che^ DA^ PIÙ^ PESO^ Acre^ scarti^ grandi
la (^) media si sbarca a causa (^) di aura valori grandi 14
con i^ valori assoluti tti^ sei^ scarti Hanno^ =^ PESO
(sia^ dati^ piccoli^ CHE^ grana) Dim (^) : M - -2 Xi e Xz (^) con Xr > Xi ^ \ / § (^) / ✗ i -^ a^ / = Ha (^3) soluzioni i -1 costante^ ma^ ✗a-^ ×, in^ tre^ > ① a e (^) [✗^ (^) , (^) xD : È / ✗ (^) i - a/ = (^) Hi- al (^) +1×2-21=(2-+1)+(1-7) -^ Xix, minore di 0
- a^ maggiore^ Di^0 ma HO VAL^.^ ASS^.
(cambio^ segno)
= d- ×' Xr < a < ✗<
② a^ <^ ✗e^ a^ -^ ✗^ i^ EXZ^ za - 2 × 1 Positivi μ
- (^) Za > -2× 1
- (^) - I § (^) Hi - al = Hi -^ a)^ +^ (×,^ - a) =^ ✗^ ^^ +^ ✗^ a -22>-7×^1 #tra i -
Xn +Xr^ - la >^ ×^ ,^ -^ ✗e
③ a (^) > ×, hexa - a 22 > (^2) × 1 si e^
i , / ti -^ a / =^ G- Xi) +^ ( a- ✗^ a) =^22 - Xi -^ ✗^ e > (^) # - xe #
Za-^ Xi - Xz > ✗a - ✗e
nella parte centrale il valore è^ costante, non DIPENDE da a
un auaesrasi varare Di^ a contento neri internano
|
centrale va bene Care mediana
✓
PER auaesiasi Umore di a Al di fuori dell' intervallo la
funzione di perdita^ è^ maggiore^ del^ valore ×, - Xi (^) (valore^ muro) ⑤ (^) trasformazione monotona
la MEDIANA DI una trasformazione che preserva l'ordinamento DEI
DATI , detta trasformazione monotona crescente , coincide con la
trasformazione detta^ MEDIANA
fa) trasformazione^ monotona^ i^ vanesi^ mantengono § I÷¥Èm→^
i = 1- .. M a- coro posizioni
DOPO la^ trasf. Mon. la (^) MEDIANA (^) di 41... Un bca (^) MEDIANA
È invariata
cowaoe-nffE.am?:.:iie::-a
- (^) trasformazioni lineari (^) fu =^ a - bx (^) sono trasf. rolot. cresce. Se bzo
- SE^ i dati non sono^ iterativi e (^) fa)^ =^ × ' Ahora (^) fa)
È trasf. Monotona crescente
Approssimazione del^ OUANTTU SE HO solo le Fremette (^) assolute e non i singoli dati devo (^) ESEGUIRE una approssimazione lineare p _^ f-(^ as- e)^ (as^ -1^ ,^ as)^ :^ internano^ a QP =^ as^ - i^ +^ (as^ -^25 - 1) (^) f- (^) (as) - fla> a) cui (^) le avance - p appartiene 1
smesso ragionamento serra mediana ma con punti =\ dama MEDIANA
strategia generale PER dati raggruppati :
dati C-^ ( as - e (^) i 25 ] → si suppone siano (^) tolti pari al^ valore
centrale M> =^ 25-1+
2 I (^) BLOXPLOT Sono istogrammi semplificati /
Massimo
Diagram a scatola con baffi
3. Quartine QO, 75
ana
- Quartine 9025 MNIMO / I
MEDIE DI (^) BONFERRONI
moda : rosanna
' CHE HA^ la
freouenza più^ mia )
generalizzazione aerea^ MEDIA^ aritmetica studiate anche^ da^ NAGUMO^ , lcolorogorou^ e^ Finti MEDIA di^ Bonfantini^ → classe (^) di MEDIE
- IN^ funzione^ cortina^ E^ strettar.^ monotona^ in^ I^ [a.^ b] -^ ✗e^.^.^.^ Xn^ Dati^ in^ I^ TI a- (^) sit-n.E.su/- trasformazione MEDIA^ aritmetica
Inversa di fa) DEI dati trasformati
se (^) 8h è lineare (^) → creano MEDIA tornare (^) MEDIA art = (^) MEDIA BONF. (MEDIA^ aritmetica SE^ 8h e^ trasf.^ lineare ESEMPIO notevole : ☒ = logx con (^) dati Positivi ✗e... Xn Quando (^) 8h = logx m Viene (^) chiamata così / ① MEDIA Geometrica :^ G-iixixT.in = ( ÌT^ ×^ :[È^ Exp { 1m E
per Evoluzioni^ DEL^ TEMPO^ in^ loft:}
) i (^) - ( (^) di un processo ✗ = (^) exe (^) {eogx } (È^ "
= EXÌÌÈGIITI;)
} =
= è
= EHI
logÈ÷É=
Exp (^) { I.Èlogxi} ÈÈ
PER dati Street. Positivi :^ GE^ E
② MEDIA^ arranca :^ porre (^) 8h = ¥
(per velocità^ ) con dati stretti . Positivi
a- G- E
A =L! .EE)
"
- (^) tre le MEDIE di bonferozoni soddisfano la proprietà di rappresentatività con ✗e =^ ✗ ~ =^...^ =^ Xn a- (^) g-% se sai) -^ _ g- ' |!^ ?ÈÈ) =p " / Intra)^ - - 848cal - - a
