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Un produttore di batterie al litio commercializza confezioni da 100 pezzi. È noto che il singolo pezzo è difettoso con probabilità pari all’1%. Il produttore vuole definire una politica di garanzia, per le confezioni che non risultino aderenti a certi standard di conformità, basata sul rimborso del prezzo di acquisto. Il problema che si pone, pertanto, è quello di definire gli standard di conformità di una confezione. Il produttore decide che una confezione debba essere considerata conforme se contiene al massimo k * batterie difettose.
- Si determini k * in modo tale da garantire che la probabilità che una confezione risulti non conforme sia al massimo pari al 5%. Si verifichi la correttezza del risultato ottenuto determinando la soluzione a partire dal grafico riportato di seguito.
- Sapendo che una confezione è risultata conforme, si calcoli la probabilità che essa contenga almeno un pezzo difettoso. Si verifichi la correttezza del risultato ottenuto determinando la soluzione a partire dal grafico riportato di seguito.
- Si determini la probabilità che la prima confezione non conforme sia rilevata dopo più di 50 confezioni conformi.
- Relativamente a un lotto di produzione di 5 000 confezioni, si determini il numero medio di pezzi difettosi e il numero medio di confezioni difettose.
Una linea di produzione realizza componenti meccanici per i quali è noto, da precedenti studi, che il 97% dei pezzi realizzati è conforme alle specifiche di progetto. Per rilevare i pezzi non conformi, è stato deciso di realizzare un sistema di controllo automatico, disposto in uscita dalla linea di produzione, costituito da sensori ottici identici che rilevano la presenza di eventuali difetti. È noto che ciascun sensore, relativamente a un pezzo non conforme, riesce a rilevare correttamente la difettosità con probabilità pari al 99% (quindi non rileva la difettosità, erroneamente, con probabilità pari all’1%). È altresì noto che, relativamente a un pezzo conforme, ciascun sensore rileva erroneamente la difettosità con probabilità pari al 2% (quindi non rileva la difettosità, correttamente, con probabilità pari al 98%).
- Si verifichi che la probabilità che un singolo sensore rilevi la difettosità di un pezzo sia pari al 4.9%. Nella fase di progettazione del sistema di controllo della conformità, si è deciso che un pezzo appena realizzato dovrà essere esaminato da 𝑛 sensori disposti in uscita dalla linea di produzione, ciascuno con le caratteristiche precedentemente elencate. Ciascun pezzo sarà identificato come non conforme se almeno 𝑛 − 1 sensori ne rilevano la difettosità.
- Si verifichi che 𝑛 = 3 sia il numero minimo di sensori che garantisca la rilevazione di un pezzo come non conforme con probabilità non superiore allo 0.7%.
- Si calcoli la probabilità che l’identificazione del primo pezzo non conforme (ponendo 𝑛 = 3 ) si verifichi dopo aver identificato almeno 10 pezzi conformi.
- Si consideri la variabile aleatoria di Poisson 𝑌 con parametro 𝜆 = 3 e si calcoli la probabilità che 𝑌 sia almeno pari al suo valore atteso.
Si consideri un sistema S 1 , con riserva pronta e a commutazione perfetta, costituito da un componente principale C 1 e da un componente di riserva R 1. È noto che il tempo al guasto di C 1 è distribuito secondo una legge di Erlang di ordine 2 con media pari a 10 anni, mentre il componente R 1 è caratterizzato da un tasso di guasto costante pari a 0.2 anni-^1.
- Si determini la probabilità che il sistema S 1 sia funzionante dopo almeno il 95% del suo tempo medio.
- Se si osserva che dopo dieci anni il sistema S 1 è funzionante, quanto vale la probabilità che sia ancora funzionante il componente principale C 1? Si consideri il sistema parallelo S 2 costituito da due componenti M 2 e N 2. È noto che il componente M 2 ha tasso di guasto pari a 0.25 anni-^1 , mentre il tempo medio al guasto del componente N 2 è pari a 4 anni.
- Si determini l’espressione del tasso di guasto del sistema S 2. Si consideri il sistema S 3 , a commutazione imperfetta, costituito da un componente principale e da una riserva i cui tempi al guasto sono entrambi distribuiti secondo una legge normale di media 5 anni e deviazione standard 3 mesi. Il dispositivo di commutazione è caratterizzato da un interruttore la cui probabilità di commutazione è pari a 0.80. Tuttavia, il meccanismo di commutazione prevede che possa essere ripetuto il tentativo di commutazione nel caso di commutazione non riuscita. In particolare, la commutazione è considerata fallita solo se essa non riesce entro il terzo tentativo.
- Dopo aver determinato la probabilità c che la commutazione riesca, si calcoli la probabilità che il sistema S 3 sia ancora funzionante dopo 10 anni.
Si consideri il sistema di produzione in cascata P 1 costituito da una prima fase di lavorazione M 1 e una seconda fase di rifinitura N 1. È noto che il tempo di lavorazione per unità di prodotto della fase M 1 è distribuito secondo una legge normale di media pari a 15 minuti e deviazione standard pari a 12 secondi, mentre il tempo di rifinitura per unità di prodotto della fase N 1 è distribuito secondo una legge normale media pari a 10 minuti e deviazione standard pari a 15 secondi.
- Si determini la probabilità che la realizzazione di un prodotto sul sistema P 1 richieda più del 98% del tempo medio unitario di produzione.
- Se si osserva che la realizzazione di un prodotto non è ancora terminata dopo 15 minuti, quanto vale la probabilità che il prodotto sia ancora nella fase di lavorazione M 1? Si consideri il sistema di produzione S 2 costituito da due macchinari identici disposti in cascata per ciascuno dei quali è noto che il tasso di produzione è pari a 0.2 minuti-^1.
- Si determini l’espressione del tasso di produzione del sistema S 2. Si consideri il sistema di produzione S 3 , costituito da una fase di lavorazione M 3 e da una fase di controllo di qualità Q 3 , che è disposta in cascata a M 3 , ma che viene attivata con probabilità c. È noto che il tempo medio di lavorazione per unità di prodotto nella fase M 3 è pari a 30 minuti, mentre il tempo medio per eseguire la fase di controllo qualità è pari a 10 minuti per unità di prodotto. Il dispositivo di commutazione consente di programmare la probabilità c in modo che relativamente a un lotto di 10 prodotti sia inferiore al 5% la probabilità che nessun prodotto sia sottoposto a controllo di qualità.
- Si determini il più piccolo valore di c che garantisca il soddisfacimento della condizione descritta e si calcoli il tempo medio totale per la realizzazione di un prodotto attraverso il sistema S 3.
Un fornitore abituale ha deciso di offrire alla società MOPI S.p.A., a metà del prezzo di listino, una partita parzialmente difettosa costituita da 20 sensori, tra i quali è noto che solo 8 sensori sono funzionanti. La società MOPI S.p.A., dovendo rinnovare alcuni componenti di un sistema di rilevamento, decide di acquistare 10 sensori estratti in modo casuale dall’intera partita offerta dal fornitore.
- Calcolare la probabilità di trovare 3 sensori funzionanti tra i 10 estratti. Successivamente, la società MOPI S.p.A. ha verificato che esattamente 3 sensori tra quelli acquistati risultano funzionanti. Inoltre, il fornitore garantisce che il tempo medio al guasto di ciascun sensore è pari a 12 mesi. La società, pertanto, decide di utilizzare i 3 sensori collegandoli in parallelo, e di considerare il sistema di rilevamento funzionante se almeno 2 sensori sono funzionanti.
- Dopo aver introdotto le opportune ipotesi, scrivere la funzione di distribuzione del “tempo al guasto” dell’intero impianto.
- Calcolare il tempo medio al primo guasto.
- Calcolare la probabilità che solo 2 sensori siano funzionanti dopo 2 anni. Successivamente, la società decide di acquistare altri 2 sensori più sofisticati, il cui tasso di guasto segue la legge h(t) =0.3 t anni-^1.
- Calcolare la probabilità che un singolo sensore risulti guasto entro 3 anni sapendo che alla fine del primo anno risultava funzionante. Collegando i 2 nuovi sensori in parallelo, è stato costruito un nuovo sistema di rilevazione.
- Scrivere la funzione di affidabilità del sistema.
- Calcolare il tasso di guasto dopo 6 mesi.
Un sistema per il controllo qualità posto all’uscita di un impianto di produzione è costituito da 4 sensori identici e indipendenti. Il sistema di controllo è considerato funzionante se almeno 3 dei quattro sensori risultano funzionanti. Il tasso di guasto dei sensori è pari a 0.25 anni-^1.
- Si calcoli la probabilità che il sistema di controllo si guasti entro 3 anni.
- Si calcoli il tempo medio al primo guasto.
- Si calcoli la probabilità che esattamente 2 sensori risultino guasti dopo 3 anni. Successivamente si decide di sostituire il sistema con due sensori di nuova generazione, disposti in parallelo, il cui tasso di guasto segue la legge h(t) =0.1 t anni-^1.
- Si determini l’espressione dell’affidabilità del nuovo sistema.
- Si calcoli la probabilità che un singolo sensore risulti guasto entro 4 anni sapendo che alla fine del secondo anno era funzionante.
- Si calcoli la probabilità che il primo guasto si verifichi dopo 2 anni.
Una linea di produzione è costituita da 3 macchinari indipendenti disposti in parallelo. Il tempo medio al guasto di ciascun macchinario è pari a 5 anni.
- Si determini l’espressione dell’affidabilità del sistema.
- Si calcoli la probabilità che un singolo macchinario risulti guasto entro 4 anni sapendo che alla fine del secondo anno era funzionante.
- Si calcoli il tempo medio al primo guasto. Il responsabile della produzione ha successivamente deciso di considerare guasto il sistema, e quindi di sospendere la produzione sulla linea per procedere alla manutenzione, quando risulta guasto più di un macchinario. Relativamente alla nuova configurazione del sistema
- si determini l’espressione dell’affidabilità,
- si calcoli il tasso di guasto del sistema al secondo anno,
- si calcoli la probabilità che il sistema si guasti entro 4 anni, avendo osservato che alla fine del terzo anno era funzionante.
Un macchinario M 1 che esegue delle lavorazioni per il confezionamento di certi prodotti è caratterizzato da un tasso di produzione p(t) pari a 0. 3 t^2 min-^1.
- Avendo osservato che il confezionamento di un prodotto non è stato concluso dopo 3 minuti, si calcoli la probabilità che si concluda entro 4 minuti.
- Si verifichi che nel caso precedente non vale la proprietà di assenza di memoria. Il sistema S per l’alimentazione del macchinario M 1 è costituito da un generatore principale G e da due generatori di riserva R 1 e R 2 le cui connessioni sono evidenziate nello schema seguente. È noto che il tempo medio al guasto del generatore G è pari a 4 anni, e che ciascuna delle riserve R 1 e R 2 ha tasso di guasto costante pari a 0.25 anni-^1. Inoltre, è noto che i commutatori c 1 e c 2 intervengono in tempo trascurabile, e che c 1 è un commutatore perfetto, mentre c 2 interviene propriamente con probabilità pari al 95%. In particolare, il sistema funziona in modo tale che alla rottura di G intervenga il commutatore c 1 per attivare la riserva R 1 ; l’intervento del commutatore c 2 è limitato al caso in cui per la rottura di R 1 è necessario tentare di attivare la riserva R 2.
- Nell’ipotesi che i generatori G , R 1 e R 2 non siano riparabili, si determini l’espressione dell’affidabilità del sistema di alimentazione S posto a monte del macchinario M 1.
- Avendo osservato che il sistema è ancora funzionante dopo 4 anni, si calcoli la probabilità che funzioni ancora per almeno 2 anni. Con l’obiettivo di rinnovare il commutatore c 2 , è stato acquistato un lotto di 10 commutatori di nuova generazione la cui probabilità di commutazione è pari al 98%. Il produttore garantisce che la probabilità di funzionamento di ciascun commutatore nel lotto è pari al 99%.
- Si calcoli la probabilità di trovare almeno 2 commutatori funzionanti all’interno del lotto acquistato.
Una linea di produzione S è costituita da 2 macchinari identici C 1 e C 2 , che lavorano in parallelo ciascuno con tasso di guasto pari a 0.25 anni-^1 , collegati in serie a un macchinario C 3 , il cui tasso di guasto è pari a 0.2 anni-^1. In riserva a C 3 è disposto un macchinario R 3 il cui tempo medio al guasto è pari a 5 anni. Il sistema S è rappresentato nella figura seguente: Si determini l’espressione dell’affidabilità del sottosistema costituito da C 1 e C 2.
- Si determini la probabilità che il sottosistema costituito da C 3 e R 3 si guasti entro 2 anni.
- Si determini l’espressione della funzione di distribuzione del tempo al guasto del sistema S.
- Si calcoli la probabilità che il sistema S sopravviva per almeno 3 anni. Successivamente il gestore della linea S ha deciso di modificare il sistema in modo tale che il componente C 2 funzioni da riserva per C 1.
- Si calcoli l’affidabilità del nuovo sistema dopo 3 anni.
- Avendo osservato che dopo 3 anni il nuovo sistema è ancora funzionante, si calcoli la probabilità che il macchinario C 1 sia ancora funzionante.
C 3
R 3
C 1
C 2
Un sistema di elaborazione è costituito da 2 sistemi disposti in serie, il primo composto dai processori C 1 e C 2 , che lavorano in parallelo ciascuno con tasso di guasto pari a 0.20 anni-^1 , il secondo composto dai processori C 3 e C 4 , che lavorano in parallelo ciascuno con tasso di guasto pari a 0. anni-^1. In riserva a C 2 è disposto un processore R 2 il cui tempo medio al guasto è pari a 5 anni. Il sistema è rappresentato nella figura seguente:
- Si determini l’espressione dell’affidabilità del sottosistema C 3 – C 4.
- Si determini la probabilità che il sottosistema C 1 – C 2 – R 2 si guasti entro 2 anni, sotto l’ipotesi di commutazione perfetta.
- Si determini l’espressione dell’affidabilità del sistema.
- Si calcoli la probabilità che il sistema sopravviva per almeno 3 anni, sapendo che è ancora funzionante dopo 30 mesi.
- Sotto l’ipotesi che la commutazione C 2 – R 2 riesca con probabilità 0,95 si determini l’espressione della funzione di distribuzione del tempo al guasto del sistema.
- Avendo osservato che dopo 30 mesi il nuovo sistema è ancora funzionante, si calcoli la probabilità che il macchinario C 4 sia ancora funzionante, sotto l’ipotesi di commutazione imperfetta.
C 3
C 4
C 1
C 2
R 2
Un macchinario M 1 esegue lavorazioni per la realizzazione di certi prodotti mediante un processo produttivo suddiviso in due fasi disposte in cascata. Ciascuna fase è eseguita da una macchina M caratterizzata da un tasso di produzione pari a 0.1min-^1 e da un tasso di guasto h(t) = 0.3 t anni-^1.
- Si calcoli la probabilità che la lavorazione di un prodotto si concluda entro il tempo medio di produzione.
- Si determini l’espressione del tasso di produzione p(t) del macchinario M 1 in un generico istante t.
- Si determini l’affidabilità di una macchina M. Si è stabilito di costruire un impianto affiancando a M 1 altri n- 1 macchinari M 2 , …, Mn , identici a M 1 , e di considerare funzionante l’impianto se funzionano almeno 2 macchinari.
- Si determini il minimo valore di n che rende l’affidabilità del sistema dopo 12 mesi non inferiore al 95%.
- Assegnando a n il valore determinato al punto precedente, e avendo osservato che dopo 24 mesi il sistema 2-out-of- n è ancora funzionante, si calcoli la probabilità che tutti gli n componenti siano ancora funzionanti dopo 2 anni.
Un impianto di produzione è costituito da 2 macchinari disposti in parallelo, C 1 e C 2 , che lavorano, rispettivamente, con tasso di guasto pari a 0.20 anni-^1 e 0.25 anni-^1. In riserva a C 1 è disposto un macchinario R 1 il cui tempo medio al guasto è pari a 5 anni, mentre in riserva a C 2 è disposto un macchinario R 2 il cui tempo medio al guasto è pari a 4 anni. Il sistema è rappresentato nella figura seguente:
- Si determini l’espressione dell’affidabilità del sottosistema C 1 – R 1 , sotto l’ipotesi di commutazione perfetta.
- Si determini la probabilità che il sottosistema C 2 – R 2 funzioni per almeno 2 anni, sotto l’ipotesi di commutazione perfetta.
- Si determini l’espressione dell’affidabilità del sistema.
- Si calcoli la probabilità che il sistema sopravviva per almeno 4 anni, sapendo che è ancora funzionante dopo 2 anni.
- Sotto l’ipotesi che la commutazione C 2 – R 2 riesca con probabilità 0.98 si determini l’espressione della funzione di distribuzione del tempo al guasto del sistema.
- Sempre sotto l’ipotesi di commutazione imperfetta per C 2 – R 2 , e avendo osservato che dopo 3 anni il sistema è ancora funzionante, si calcoli la probabilità che il macchinario C 1 sia ancora funzionante.
C 1
R 1
C 2
R 2
Un impianto di produzione è costituito da 2 macchinari disposti in parallelo, C 1 e C 2 , che lavorano, rispettivamente, con tasso di guasto hC1( t )=0.25 anni-^1 e hC 2 ( t )=0.20 t anni-^1. In riserva a C 1 è disposto un macchinario R 1 il cui tempo medio al guasto è pari a 4 anni. Il sistema è rappresentato nella figura seguente:
- Si determini la probabilità che il sottosistema C 1 – R 1 si guasti entro il suo tempo medio al guasto.
- Si determini la probabilità che il componente C 2 funzioni per almeno 3 anni, sapendo che è ancora funzionante dopo un anno.
- Si determini l’espressione dell’affidabilità del sistema.
- Si calcoli la probabilità che il sistema si guasti entro 4 anni, sapendo che è ancora funzionante dopo 2 anni.
- Sotto l’ipotesi che la commutazione C 1 – R 1 riesca con probabilità 0.99 si determini l’espressione della funzione di distribuzione del tempo al guasto del sistema.
- Sempre sotto l’ipotesi di commutazione imperfetta per C 1 – R 1 , e avendo osservato che dopo 4 anni il sistema è ancora funzionante, si calcoli la probabilità che il macchinario C 2 sia ancora funzionante dopo 4 anni.
C 1
R 1
C 2
Un impianto di produzione è costituito da 2 macchinari disposti in parallelo, C 1 e C 2 , che lavorano, rispettivamente, con tasso di guasto hC1( t )=0.25 anni-^1 e hC 2 ( t )=0.20 anni-^1. In riserva a C 1 è disposto un macchinario R 1 il cui tempo medio al guasto è pari a 4 anni. In riserva a C 2 è disposto un macchinario R 2 il cui tempo medio al guasto è pari a 5 anni Il sistema è rappresentato nella figura seguente:
- Si determini la probabilità che il sottosistema C1 – R1 si guasti entro il tempo medio al guasto del sottosistema C2 – R2.
- Si determini l’espressione dell’affidabilità del sistema.
- Si calcoli la probabilità che il sistema funzioni per almeno 3 anni, sapendo che è ancora funzionante dopo 2 anni.
- Sotto l’ipotesi che la commutazione C1 – R1 riesca con probabilità 0.99, e che la commutazione C2 – R2 riesca con probabilità 0.95, si determini l’espressione della funzione di distribuzione del tempo al guasto del sistema.
- Sempre sotto l’ipotesi di commutazione imperfetta, e avendo osservato che dopo 4 anni il sistema è ancora funzionante, si calcoli la probabilità che il sottosistema C 2 – R 2 sia ancora funzionante dopo 5 anni.
C 1
R 1
C 2
R 2
