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Teoria di Jourawski
ü [A.a. 2012 - 2013 : ultima revisione 4 gennaio 2013] Si applica la teoria di Jourawski al fine di calcolare la distribuzione di tensioni tangenziali su alcune sezioni soggette a sforzo di taglio.
1. Sezione ad T
T
Lê 2 L Lê 2
L
L
Figura 1 - Una sezione compatta a T Disegnare il diagramma delle tensioni s 23 , e calcolare il valore della s 23 massima
à Soluzione
1. Calcolo baricentro - Il baricentro G della sezione sara' situato sull'asse di simmetria verticale. Per identificare la sua altezza, si calcola l'area A della sezione, ed il momento statico S 1 rispetto ad un asse orizzontale passante per la base inferiore. Sara':
A = 3 L^2
S 1 = 2 L L L +
L
+ L L
L
L^3
da cui l' altezza del baricentro :
yG = S^1 (2) A
L
2. Calcolo momento d' inerzia baricentrico dell' intera sezione - Si calcola il momento di inerzia della sezione considerandola come costituita da un rettangolo superiore di base 2L ed altezza L, e da un quadrato inferiore di lato L. Per ciascuno di essi si calcola il momento baricentrico, e si aggiunge il momento di trasporto:
I 11 = 2 L L^ (3)
3 12
+ 2 L L 3
L − 7
L
2
3 12
+ LL 7
L − L
2 = 11 12
L^4
3. Calcolo del momento statico della parte di sezione sottostante la corda generica, rispetto all'asse orizzontale baricentrico:
Se la corda generica AB, a distanza x 2 dal baricentro, interseca il rettangolo superiore, allora il momento statico dell'area S' rispetto all'asse x 1 baricentrico e' fornito da:
S 1 '^ = L L 7
L − L
6 L^ −^ L^ 2 L^
6 L^ −^ L^ −^ 2 L^ ^ x^2
x 2 2 =^
25 L^3
36 −^ L x^2
2
mentre se la corda interseca il quadrato inferiore, si ha:
S 1 ''^ = L (5)
L − x 2
L − x 2 + x 2 =
49 L^3
L x^2 2 Ne segue che la tensione tangenziale s 23 e' fornita, nei punti del rettangolo superiore, da:
σ 23 = TS^1 (6)
' 2 I 11 L
T I25 L^2 − 36 x 22 M 66 L^4 mentre nei punti del quadrato inferiore si ha :
σ 23 = TS^1 (7)
'' I 11 L
T I49 L^2 − 36 x 22 M 66 L^4 Qualitativamente, il diagramma avra' andamento parabolico, annullandosi agli estremi, con una discontinuita' in corrispondenza dell'attaccatura tra rettangolo e quadrato. Il valore delle tensioni cresce fino all'asse baricentrico, dove il diagramma ha tangenza verticale, per poi decrescere lungo la parte inferiore della sezione. Il valore massimo della tensione si raggiunge sulla fibra superiore del quadrato, dove x 2 = L ê 6 :
σ23 max = 8 (8) 11
T
L^2
mentre lungo la fibra inferiore del rettangolo vale la meta' di questa. In corrispondenza della fibra baricen- trica, si ha x 2 = 0, e quindi:
σ23 bar = (9)
T
L^2
Il diagramma si presenta come :
à Soluzione
1. Calcolo baricentro - Il baricentro G della sezione sara' situato sull'asse di simmetria verticale. Per identificare la sua altezza, si calcola l'area A della sezione, ed il momento statico S 1 rispetto ad un asse orizzontale passante per la base inferiore. Sara':
A = 2 B s S 1 = B s KB +
s 2 O^ +^ H s^
H
2 =^
B^2 s 2 +^ B^ KB^ +^
s 2 O^ s da cui l' altezza del baricentro :
yG = S^1 (11) A
H3 B + sL
2. Calcolo momento d' inerzia baricentrico dell' intera sezione - Si calcola il momento di inerzia della sezione considerandola come costituita da un rettangolo superiore (ala) di base B ed altezza s, e da un rettangolo inferiore (anima) di base s ed altezza H=B. Per ciascuno di essi si calcola il momento baricentrico, e si aggiunge il momento di trasporto:
I 11 = B
s^3 12
- H s HH + s ê 2 − yGL^2 + s
H^3
H
2
1 24 B s^ I5 B
(^2) + 6 B s + 5 s (^2) M
3. Calcolo della massima tensione tangenziale nell'ala - Il massimo valore della tensione tangenziale nell'ala si raggiunge all'attacco tra l'ala e l'anima, quindi lungo le corde a-a e b-b. Si calcoli allora il momento statico dell'area S' ombreggiata rispetto all'asse orizzontale baricentrico:
X 1
X 2
G
T
s
B
B
s
a
a
b
b
Figura 4 - Il calcolo della tensione all'attacco tra ala ed anima
S 1 '^ = s B (13) 2 −^
s 2 KB^ +^
s 2 −^ yGO^ =^
8 HB^ −^ sL^ s^ HB^ +^ sL Ne segue che la tensione tangenziale s 23 e' fornita, nei punti delle corde a-a e b-b, da:
σ 23 = (^) (14)
T S 1 '
I 11 s
= 3 HB^ −^ sL^ HB^ +^ sL I5 B^2 + 6 B s + 5 s^2 M
T
B s
3. Calcolo della massima tensione tangenziale nell'anima - Il massimo valore della tensione tangenziale nell'anima si raggiunge in corrispondenza della corda barcentrica c-c. Si calcoli allora il momento statico dell'area S' ombreggiata rispetto all'asse orizzontale baricentrico:
X 1
X 2
G
T
s
B
B
s
c c
Figura 5 - Il calcolo della tensione massima nell'anima
S 1 '^ = s yG^ yG (15) 2
s H3 B + sL^2
Ne segue che la tensione tangenziale s 23 e' fornita, nei punti della corda c-c, da:
σ 23 = (16)
T S 1 '
I 11 s
3 H3 B + sL^2 4 I5 B^2 + 6 B s + 5 s^2 M
T
B s
T
L L L
2L
2L
2L
L
Figura 8 - La sezione di Figura 7 vista come insieme di tre rettangoli
2. Calcolo momento d' inerzia baricentrico dell' intera sezione - Si calcola il momento di inerzia della sezione considerandola come costituita dai tre rettangoli di Figura:
I 11 = I 1 + A 1 HyG − LL^2 + I 2 + A 2 HyG − 3 LL^2 + I 3 + A 3 yG − 4 L − L 2
2 = 457 30
L^4
3. Calcolo del momento statico della parte di sezione sottostante la corda generica, rispetto all' asse orizzontale baricentrico.
Occorre distinguere tre casi:
Caso A - La corda interseca il rettangolo superiore. Calcolando, per semplicita', il momento statico del complemento di S' si ha:
S 1 '^ = 2 L h dGG' = 2 L h x 2 + (21)
h 2
441 L^3
− L x 22
dove l'altezza h e' fornita da :
h = 5 L − yG − x 2 (22)
a a
X 1
X 2
G
G'
L L L
2L
yG
x 2
h
Figura 9 - Caso A - La corda taglia il rettangolo superiore
Caso B - La corda interseca il rettangolo centrale. Si ha:
S 1 ''^ = A 1 HyG − LL + 3 L h x 2 + (23)
h 2 =^
1003 L^3
200 −^
3 L x 22 2 con :
h = yG − 2 L − x 2 (24)
a a
X 1
X 2
G
L L L
2L
yG
x 2
h
Figura 10 - Caso B - La corda taglia il rettangolo centrale
Caso C - La corda interseca il rettangolo inferiore. Si ha:
S 1 '''^ = L HyG − x 2 L Kx 2 + yG^ −^ x^2 (25) 2
O = 841 L
3 200
− L x^2
2 2
T
L L L
2L
2L
2L
L
Figura 12 - Il diagramma delle s 23
6. Verifica dell'equilibrio
La risultante delle tensioni dovra' essere pari alla forza di taglio applicata T. Ed infatti si puo' verificare che:
2 L ‡
4 L−yG
5 L−yG (^) 3 T 9140 L^4
I441 L^2 − 100 y^2 M y +
3 L (^) ‡ 2 L−yG
4 L−yG (^) T 9140 L^4
I1003 L^2 − 300 y^2 M y +
L (^) ‡ −yG
2 L−yG (^) 3 T 9140 L^4
I841 L^2 − 100 y^2 M y =
T = T
4. Sezione a tre rettangoli
T
L 2L L
L
2L
L
Figura 13 - Una sezione compatta
Le coordinate del baricentro sono note:
xyGG == 2 L2 L (33)
Il momento di inerzia dell'intera sezione rispetto all'asse orizzontale baricentrico e' allora fornito da:
I 11 = 2 L
L^3
12 +^ 2 L L^ L^ +^
L
2
4 L
H2 LL^3
+ 2 L
L^3
+ 2 L L L +
L
2 = 12 L^4
Se la corda interseca i due rettangoli superiori, il momento statico dell'area ad essa sottostante, rispetto all'asse orizzontale baricentrico sara' fornito da:
S 1 '^ = 2 L H2 L − x 2 L x 2 + (35)
2 L − x 2 2
= 4 L^3 − L x 22
mentre se interseca il rettangolo centrale si avra':
S 1 ''^ = 2 L L L + L (36) 2
- 4 L HL − x 2 L x 2 + HL^ −^ x^2 L 2
= 5 L^3 − 2 L x 22
Se infine la corda interseca il rettangolo inferiore, si avra' :
S 1 '''^ = 2 L H3 L − x 2 L x 2 + (^) (37) 3 L − x 2 2
= 4 L^3 − L x 22
4. Calcolo della tensione tangenziale.
Nei tre intervalli in cui la corda e' costante si ha, rispettivamente:
5. Sezione quadrata sollecitata lungo una diagonale
A
B
C
D
X 1
X 2
G
T
H H
H
H
Figura 15 - Una sezione quadrata sollecitata lungo la diagonale
(da Cavallina - D'Anna) Si tracci il diagramma delle tensioni tangenziali utilizzando corde parallele all'asse orizzontale
Soluzione - Il baricentro e' immediatamente calcolabile, essendo situato all'incrocio delle due diagonali. Il momento di inerzia dell'intera sezione rispetto all'asse baricentrico puo' calcolarsi riguardando la sezione come somma dei due triangoli ABC ed ACD. Si ha allora:
I 11 = 2 2 H H (44)
3 36
+ 2 H2 H HL H
2 = H
4 3 Il momento statico dell'area sottostante ad una generica corda appartenente al triangolo inferiore si puo' scrivere:
S 1 '^ =
b 2
HH − x 2 L dGG' = b 2
HH − x 2 L x 2 +
HH − x 2 L =
b 6
HH − x 2 L HH + 2 x 2 L
e quindi le tensioni su quella corda valgono :
σ 23 = (46)
T
2 H^4
HH − x 2 L HH + 2 x 2 L
a a
X 1
X 2
G
T
H H
b
H
H
x 2
G' H− x 2
Figura 16 - Il caso della corda parallela all'asse orizzontale
Le tensioni s 23 raggiungono il valore massimo in corrispondenza del punto di tangenza verticale, ossia dove si annulla la derivata:
(47)
d dx 2
S 1 '
b
d dx
HH − x 2 L HH + 2 x 2 L =
HH − 4 x 2 L
e quindi in H/4. Su tale corda si ha:
σ23 max = (48)
T
H^2
laddove la tensione sulla corda baricentrica vale :
σ23 bar = 1 (49) 2
T
H^2
Infine, il diagramma si viene a completare per simmetria nella parte superiore :
A
B
C
D
X 1
X 2
G
T
H H
Hê 4
Hê 4
Figura 17 - Il diagramma delle s 23
Il diagramma delle s 13 - Sui punti del contorno la tensione tangenziale dovra' essere tangente al contorno
l m gramma delle tensioni tangenziali in presenza di Tm , utilizzando corde parallele al lato BC.
Soluzione - Il momento statico dell'area tratteggiata rispetto all'asse l e' fornito da:
a
a
L
Tm Tl
A
B
C
D
l m
G
T
L
−m
m
Figura 20 - Il calcolo del momentoi statico rispetto all'asse l
Sl'^ = L (^) (52)
L
− m m + 1 2
L
− m = L 8
IL^2 − 4 m^2 M
e quindi la tensione s 3 m e' fornita da:
σ3 m = (^) (53) Tm Sl' I 11 L
= T Sl
' 2 I 11 L
= 3 T
2 2 L^4
IL^2 − 4 m^2 M = 6 T 2 L^4
L^2
− m^2
Ripetendo l' analisi in presenza di Tl , ed utilizzando corde parallele ad AB, si ottiene un identico risultato, e sovrapponendo gli effetti si ha una tensione tangenziale diretta secondo la verticale, che equilibra la forza verticale T, e pari a:
σ 23 = 3 T^ (54) L^4
L^2
2 −^ x^2
2
7. Sezione triangolare
T
B
H
Figura 21 - Una sezione a triangolo isoscele
Le coordinate del baricentro sono ben note, cosi' come e' noto il valore del momento di inerzia I 11 rispetto all'asse X 1 baricentrale:
I 11 = BH^ (55)
3 36 Resta da calcolare il momento statico dell'area sottostante la corda generica rispetto allo stesso asse. In questo caso, e' preferibile calcolare il momento statico dell'area sovrastante la corda, e considerare che esso e' l'opposto del momento statico desiderato:
S 1 '^ = 1
b 2 3
H + x 2 dGG' =
1 2
b 2 3
H + x 2 1 3
x 2 + 2 3
H + H
− x 2 − H 3
b 27 HH^ −^ 3 x^2 L^ H2 H^ +^ 3 x^2 L
ossia:
x2 max = − (^) (60)
H
Ne segue il valore della tensione tangenziale massima :
σ 23 max = 3 T^ (61) BH In corrispondenza della corda baricentrica si ha un valore leggermente inferiore:
σ 23 max = 8 (62) 3
T
BH
X 1
X 2
B
T
BH
T
BH
Hê 6
Figura 24 - I valori notevoli L' andamento delle tensioni s 13 - Su ciascuna corda orizzontale la tensione s 13 varia con legge lineare. Agli estremi, la tensione tangenziale s t e' diretta secondo il contorno, e quindi nel punto di sinistra si ha: σ13 sin = σ 23 Tan@α 1 D (63) dove a 1 e' fornita da:
α 1 = ArcTanB 2 H (64) B
F
Nel punto di destra si ha : σ13 des = σ 23 Tan@α 2 D = − σ13 sin (65) In mezzeria, evidentemente, la s 13 si annulla. In ogni altro punto della corda, la tensione s t e' diretta verso il vertice del triangolo.
à Calcolo
à Calcolo
Grafici
