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Universit`a degli Studi di Brescia, Dipartimento di Ingegneria dell’Informazione Appello di RICERCA OPERATIVA (INFLT, ETELT, ITID) Brescia, 11 settembre 2023
Avvertenze:
- ogni foglio deve riportare chiaramente: cognome, nome, n. di matricola e corso di laurea dello studente; ogni foglio va riconsegnato, compresa la brutta copia e il presente tema d’esame;
- il compito NON `e frazionabile, tempo complessivo a disposizione: 165 minuti.
- svolgere i quesiti di teoria su un foglio separato, che verr`a ritirato dopo 45 minuti dall’inizio dell’esame.
Quesiti di teoria (6 punti/quesito, voto minimo: 17/30)
1 Sia P un generico problema di Programmazione Lineare di massimo con soluzione ottima x∗. Sia c 3 ∈ R il coefficiente della variabile x 3 in funzione obiettivo. Dopo aver spiegato che cosa vorrebbe dire operare un’analisi di sensitivita sul problema P, giustificare o confutare adeguatamente la seguente affermazione: dato ∆c 3 una variazione su c 3 , x∗^ rimane soluzione di base ottima se e solo se ∆c 3 ≥ −r 3 , dove r 3e il costo ridotto all’ottimo di x 3.
2 Siano P e Q due problemi di Programmazione Lineare le cui funzioni obiettivo sono rispettivamente fP e fQ. Sappiamo che {A, B} e {C, D, E} sono due sottoinsiemi di vertici ammissibili rispettivamente per i due problemi e che fP (A) = 34, fP (B) = 10, fQ(C) = 5. 5 , fQ(D) = 9, fQ(E) = 3.4. Stante queste sole informazioni, P potrebbe essere il duale di Q? Perch´e?
3 Sia dato il seguente problema di Programmazione Lineare Intera Q:
min 3 x 1 − 4 x 2 + 2x 4
x 1 + x 2 + x 3 − x 4 ≥ 2 x 2 − x 4 ≤ 10 x 1 + x 3 ≤ 5 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 ≥ 0 , intere Sia Q∗^ il rilassamento continuo di Q. Senza applicare alcun algoritmo risolutivo, dire se le seguenti affermazioni sono vere o false, motivando le risposte alla luce della teoria.
3.1 Analizzando la matrice dei vincoli, possiamo affermare con sicurezza che Q ha una soluzione diversa da Q∗. 3.2 La base costituita dalle colonne delle variabili (x 2 , x 3 , x 4 ) e ammissibile per Q*. 3.3 La soluzione ammissibile in cui x 1 = 0, x 2 = 1, x 3 = 5 e x 4 = 1e una soluzione non di base per Q*.
Esercizi (7.5 punti/esercizio, voto minimo: 18/30)
Esercizio 1 La squadra di atletica di Matriciopoli sta preparando le prossime Kruskaliadi, rinomate competizioni sportive cittadine. In particolare, il dirigente sportivo intende formare due squadre eterogenee di atleti, Alfa e Beta, affinch´e si allenino in parallelo in due impianti sportivi differenti. I dieci atleti disponibili ad allenarsi sono riportati in tabella, ognuno con una differente abilita in ciascuna disciplina: dove 0 indica che l’atleta none adatto a concorrere e 5 che l’atleta `e estremamente abile nel rispettivo sport.
atleta corsa a ostacoli salto in alto triathlon Adamo 0 4 1 Bice 1 0 3 Clotilde 5 5 0 Demetrio 2 1 0 Ernesto 3 0 5 Fedrigo 4 3 1 Genoveffa 1 0 5 Herbert 1 2 0 Ippolito 0 5 4 Leonida 4 0 1
a. Formulare un modello di Programmazione Lineare Intera che aiuti il dirigente nella formazione delle due squadre, affinch´e sia minimizzato il numero di atleti scartati, tenendo conto che [5.5 punti] :
- ogni squadra deve essere formata da almeno 3 atleti.
- in ciascuna squadra devono essere presenti al massimo due atleti che hanno una preparazione 5 in una disciplina.
- la bravura media degli atleti in ciascuna disciplina sia in ogni squadra almeno pari a 3.
- l’atleta Leonida vuole allenarsi con almeno uno dei suoi due amici: Ippolito e Herbert.
b. Si integri il modello al punto [a.] per imporre che :
- l’atleta 5 e 3, se selezionati, stiano nella stessa squadra. [1 punto]
- il numero di componenti di ciascuna squadra sia dispari. [1 punto]
Esercizio 2 Sia P il seguente problema di Programmazione Lineare, con α ∈ R.
max 12 x 1 + x 2 + 10x 3
3 x 1 − x 2 − x 3 = − 6 2 x 1 + x 2 + x 3 ≤ − 2 α x 1 , x 3 ≤ 0 x 2 ≥ 0
a. Posto α = 1,
a.1 si trovi la soluzione ottima per D (di cui si richiede di riportare la formulazione), senza utilizzare l’algoritmo del simplesso; [3 punti] a.2 si trovi la soluzione ottima per P, sfruttando le condizioni di ortogonalit`a. [3 punti]
b. Trovare i possibili valori di α affinch´e D abbia una soluzione ottima multipla e dire se e in quale caso la soluzione (λ 1 , λ 2 , λ 3 , λ 4 , λ 5 ) = (0, 1 , 10 , 0 , 9) `e una soluzione ottima non di base per D (dove λ 3 , λ 4 , λ 5 sono le variabili di slack/surplus associate rispettivamente ai vincoli di P). [0.75 punti]
Esercizio 4 Si ipotizzi di voler risolvere il Problema del Commesso Viaggiatore sul grafo non orientato pesato in figura:
a. Si scriva la matrice di adiacenza di G. [1.5 punti]
b. Riportare un esempio di soluzione ammissibile per il problema. [1.5 punti]
c. Riportare un esempio di soluzione non ammissibile per il problema. [1.5 punti]
d. Si supponga di voler costruire un Modello P di Programmazione Lineare Intera per il problema, introducendo per ogni lato (i, j) una variabile bianaria xij con l’usuale significato. Di questo modello, riportare:
- il vincolo che assicura il passaggio dal nodo B una e una sola volta; [1.5 punti]
- il vincolo che eviti il formarsi del sottociclo C − A − D − G; [1 punto]
e. Quanti vincoli `e necessario includere in P per evitare il formarsi di sottocicli? [0.5 punti]
[b) Ad esempio, F, B, C, G, D, A, E, F ; c) Ad esempio, F, B, C, D, A, E, F ; d) xF B + xBC + xBA + xBE = 2; xCB + xAB + xAE + xDE + xCD ≥ 1 ; e) Ad esempio, in caso di CC, 27 −
2
.]
F
B
A
E
C
D
G
