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Analisi Matematica 1 e Geometria Secondo appello – 27/08/
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Professore: Firma: Ing. Gestionale
I seguenti quesiti e il relativo svolgimento sono coperti da diritto d’autore; pertanto essi non possono essere sfruttati ©^ c a fini commerciali o di pubblicazione editoriale. Ogni abuso sarà perseguito a termini di legge dal titolare del diritto.
Esercizio 1. È data la funzione f ( x ) = x arctan x. a) Determinarne il dominio, le eventuali intersezioni con gli assi coordinati ed il segno. Individuare eventuali asintoti.
b) Studiare gli intervalli di monotonia di f e individuare eventuali punti estremanti.
c) Studiare la convessità di f e individuare eventuali punti di flesso.
d) Tracciare il grafico della funzione F ( x ) = x arctan |x| ; evidenziando (sul disegno) eventuali estremanti e/o flessi.
Soluzione: a) Il dominio di f è R. Si osserva che f è una funzione pari e continua su R Risulta f ( x ) ≥ 0 per ogni x ∈ R e f ( x ) = 0 solo per x = 0; dunque x 0 = 0 è punto di minimo assoluto e f ( x 0 ) = 0 è il minimo assoluto della funzione. Agli estremi del dominio si trovano i valori dei limiti x^ lim → + ∞ f ( x ) = + ∞;^ e^ x→−∞ lim f ( x ) = + ∞^ : La funzione non ammette asintoti orizzontali o verticali. Cerchiamo eventuali asintoti obliqui per x → + ∞ :
m = (^) x→ lim+ ∞
f ( x ) x
π 2 q = lim x→ + ∞ [ f ( x ) − mx ] = lim x→ + ∞
[
x arctan x − π 2
x
]
= lim x→ + ∞ x
[
arctan x − π 2
]
= lim x→ + ∞ x
[
− arctan
x
]
= lim x→ + ∞ x
[
x
]
Dunque y = + π 2 x − 1 è l’equazione dell’asintoto obliquo per x → + ∞ , mentre, per simmetria, y = − π 2 x − 1 è l’equazione dell’asintoto obliquo per x → −∞. b) La funzione f è derivabile in tutto il suo dominio e risulta
f′ ( x ) = arctan x + x x^2 + 1
Si osserva che f′ ( x ) = 0 per x = 0, mentre f′ ( x ) > 0 per x > 0 e f′ ( x ) < 0 per x < 0. Pertanto la funzione f ha in x = 0 il suo unico punto estremante, punto di minimo relativo (e anche globale). c) La funzione ammette derivata seconda su R e risulta
f′′ ( x ) =
x^2 + 1
Poiché f′′ ( x ) > 0 per ogni x reale, la funzione è convessa su R (e non ha punti di flesso).
d) ...
Esercizio 2. Si consideri la funzione g ( x ) = e−x 2
2 x^2
a) Determinare la parte principale di g ( x ) per x → 0.
b) Al variare del parametro reale α , calcolare il limite lim x→ 0 + (^) log gα ((1+ x ) x ).
Soluzione: a) Noti gli sviluppi di MacLaurin del secondo ordine della funzione esponenziale e t^ = 1 + t + 12 t^2 + o ( t^2 ), della funzione coseno cos t = 1 −^12 t^2 + o ( t^2 ) e del terzo ordine della funzione seno sin t = t − (^) 3!^1 t^3 + o ( t^3 ), otteniamo, per x → 0 ,
g ( x ) = e−x
2
2 x^2
−x^2
−x^2
x −
x^3 + o ( x^3 )
2 x^2
1 − x^2 +
x^4 + o ( x^4 )
x^2 −
x^4 + o ( x^4 )
1 − 2 x^4 + o ( x^4 )
x^4 + o ( x^4 )
La parte principale di g ( x ) in un intorno di zero è dunque 73 x^4. b) Poiché per x → 0 si ha g ( x ) ∼^73 x^4 e log(1 + x ) ∼ x , risulta
lim x→ 0 +
g ( x ) log α (1 + x ) = lim x→ 0 +
7 3 x
4 xα^
lim x→ 0 +^ x^4 −α^ =
0 se α < 4 7 / 3 se α = 4
Esercizio 3. Determinare il carattere delle serie
n =1 (sin^ n ) sin^ 1 n^2. Soluzione: Osserviamo che (^) ∣ ∣∣ ∣(sin^ n ) sin
n^2
∣ ≤^ sin
n^2
n^2
La serie
∑^ n^2 converge e dunque, per il criterio del confronto asintotico, converge anche sin (^) n^12 ; per il criterio del confronto converge quindi anche
(sin n ) sin (^) n^12
; pertanto la serie data converge assolutamente, e quindi semplicemente.
Esercizio 4. Si consideri la funzione f ( x ) = (^) e 2 x^1 (^) +. a) Determinare una primitiva della funzione f.
b) Calcolare, se possibile, l’integrale improprio
0 f ( x )d x^. Soluzione: a) Determiniamo una primitiva F integrando f : ∫ f ( x )d x =
e^2 x^ + d x
=
(^1
t^2 + 1
t
d t ponendo e x^ = t e quindi d x =
t
d t
∫ (^
t
t t^2 + 1
d t
= log |t| −
log
t^2 + 1
- k dove k è una costante arbitraria
= x −
log
e^2 x^ +
