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Universit`a Cattolica del Sacro Cuore - sede di Piacenza
Matematica Finanziaria
Prova scritta del 05.06.
Esercizio 1 (Punti 8)
Per costituire 20000e fra 4 anni viene predisposto un piano che prevede 48 versamenti mensili, pos- ticipati, di importo pari a R costante. In regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo del 7%, calcolare:
- l’importo R delle rate;
- il fondo di costituzione dopo un anno, appena versata la rata prevista per quella data.
Esercizio 2 (Punti 12)
Gli zero coupon bond presenti sul mercato determinano la seguente struttura dei tassi: i(0; 1) = 2%, i(0; 2) = 3%, i(0; 3) = 4%.
- Calcolare i tassi forward i(1; 2), i(1; 3), i(2; 3).
- Determinare il prezzo al tempo t = 0 di un’obbligazione triennale (valore nominale pari a 100) che paga cedole al tasso dell’1, 5% annuo.
- Se un’obbligazione quadriennale con cedole al 4, 5% ha un prezzo pari a P = 115, 13, calcolare i(0; 4).
Esercizio 3 (Punti 12)
Un impiego `e descritto dalla seguente sequenza di entrate e uscite:
Epoca 0 1 2 3 4 5 Flusso -1000 100 100 200 300 R
- Calcolare R in modo che il T.I.R dell’operazione risulti pari al 6%.
- Utilizzando il valore di R trovato, confrontare l’impiego precedente con l’impiego di 1000 euro in una rendita a rata annuale posticipata pari a 230 euro e di durata 5 anni, valutando se il T.I.R della seconda operazione sia minore o maggiore del 6%.
- Trovare il valore di R per il quale i due progetti risultano equivalenti sulla base del criterio del REA, al tasso di valutazione del 6%. Commentare i risultati ottenuti.
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Matematica Finanziaria
Prova scritta del 05.06.
Esercizio 1 (Punti 8)
Per costituire 20000e fra 4 anni viene predisposto un piano che prevede 48 versamenti mensili, pos- ticipati, di importo pari a R costante. In regime di capitalizzazione composta, al tasso annuo del 7%, calcolare:
- l’importo R delle rate; Il tasso mensile equivalente `e dato da: i 12 = 12
√ 1 , 07 − 1 ' 0 , 0057. Quindi la rata di costituzione si ricava dalla relazione 20000 = R · (1, 0057)^48 − 1 0 , 0057 da cui si ottiene R ' 363 , 44.
- il fondo di costituzione dopo un anno, appena versata la rata prevista per quella data. Fra un anno saranno state pagate 12 rate, per cui il fondo di costituzione ammonter`a a:
R · (1, 0057)^12 − 1 0 , 0057 ' 4500 , 64.
Esercizio 2 (Punti 12)
Gli zero coupon bond presenti sul mercato determinano la seguente struttura dei tassi: i(0; 1) = 2%, i(0; 2) = 3%, i(0; 3) = 4%.
- Calcolare i tassi forward i(1; 2), i(1; 3), i(2; 3). I tassi forward si ricavano dalla relazione
[1 + i(0, s + T )]s+T^ = [1 + i(0; s)]s[1 + i(s; s + T )]T
ovvero i(1; 2) = 1 ,^03 2 1 , 02 −^1 '^ 4%,^ i(1; 3) =
√ 1 , 043 1 , 02 −^1 '^0 ,^ 0501%,^ i(2; 3) =^ 1 , 043 1 , 032 −^1 '^0 ,^ 0603%.
- Determinare il prezzo al tempo t = 0 di un’obbligazione triennale (valore nominale pari a 100) che paga cedole al tasso dell’1, 5% annuo. La cedola risulta pari a 1 , 5. Il prezzo dell’obbligazione `e:
P = 1 , 5 1 , 02
1 , 5 1 , 032
101 , 5 1 , 043 ' 93. 117
- Se un’obbligazione quadriennale con cedole al 4, 5% ha un prezzo pari a P = 115, 13, calcolare i(0; 4). Il tasso i(0; 4) si ricava dalla relazione
115 , 13 = 4 ,^5 1 , 02
- 4 ,^5 1 , 032
- 4 ,^5 1 , 043
- 104 ,^5 (1 + i(0; 4))^4 da cui si ricava i(0; 4) ' 0 , 49%.
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Prova scritta del 15.05.
Esercizio 1 (Punti 8)
Si consideri il regime della capitalizzazione semplice al tasso di interesse annuo i.
a. Determinare il tasso i che permette di ottenere un interesse di 80e impiegando 6000e per 6 mesi.
b. Quanto occorre investire in t = 0 per ottenere 2500e dopo un anno, ai tassi annui: 3% nei primi 8 mesi e 2% in seguito?
Esercizio 2 (Punti 11)
Si considerino dei titoli di puro sconto (BOT) aventi i seguenti prezzi riferiti ad un valore nominale pari a 100 alle scadenze sotto riportate:
Prezzo Scadenza 99,3 3 mesi 98,5 6 mesi 97,3 12 mesi 96,8 18 mesi
a. Calcolare i tassi a pronti.
b. Calcolare il tasso forward relativo all’intervallo (3 mesi, 12 mesi).
c. Determinare, in base alla struttura per scadenza, il prezzo e la duration di un titolo dal valore nominale di 3000e scadente tra 18 mesi, con cedole semestrali al tasso cedolare del 4, 5%.
Esercizio 3 (Punti 13)
Per rimborsare un debito di 4. 000 e mi impegno a versare 8 rate semestrali costanti posticipate al tasso del 4% annuo. Subito dopo il pagamento della quinta rata mi trovo nell’impossibilit`a di far fronte alle due rate successive e chiedo pertanto di non pagarle. La banca accetta la mia richiesta ma porta, da subito, il tasso al 5% annuo, lasciando invariata la durata del contratto.
a. Calcolare l’importo della rata iniziale.
b. Calcolare il debito residuo dopo il pagamento della quinta rata.
c. Calcolare l’importo dell’ultima rata.
d. Di quanto si sarebbe dovuto prolungare il contratto se alla ripresa dei pagamenti si fosse stabilito di lasciare l’importo della rata invariato?
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Prova scritta del 15.05.
Esercizio 1 (Punti 8)
Si consideri il regime della capitalizzazione semplice al tasso di interesse annuo i.
a. Determinare il tasso i che permette di ottenere un interesse di 80e impiegando 6000e per 6 mesi. Per ottenere gli interessi indicati, occorre risolvere rispetto al tasso i l’equazione
1 + i
da cui si ricava i ' 2 , 67%.
b. Quanto occorre investire in t = 0 per ottenere 2500e dopo un anno, ai tassi annui: 3% nei primi 8 mesi e 2% in seguito? Il montante indicato `e ottenuto risolvendo rispetto a C l’equazione
C
da cui C =' 2435 , 06.
Esercizio 2 (Punti 11)
Si considerino dei titoli di puro sconto (BOT) aventi i seguenti prezzi riferiti ad un valore nominale pari a 100 alle scadenze sotto riportate:
Prezzo Scadenza 99,3 3 mesi 98,5 6 mesi 97,3 12 mesi 96,8 18 mesi
a. Calcolare i tassi a pronti. I tassi spot sono dati da:
i(0, 3 m) =
i(0, 6 m) =
i(0, 12 m) =
i(0, 18 m) =
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Prova scritta del 16.01.
Esercizio 1
Il 1/4/2011 `e disponibile un titolo di valore nominale 100, cedole annue posticipate (il 1/1 di ogni anno fino al rimborso) di ammontare 3 ciascuna, rimborso alla pari il 1/1/2013. Alla data 1/4/2011 determinare:
- (3 punti) il rateo, il corso secco e il corso tel quel del titolo al tasso annuo di valutazione i = 3, 2%; Il rateo di cedola `e pari a α
12
12
= 0, 75. Il corso secco risulta: PS = 3 · 9 / 12 · (1, 032)−^9 /^12 + 103 · (1, 032)−^21 /^12 = 99, 67. Il corso tel-quel `e invece pari a PT Q = 0, 75 + 99, 67 = 100, 42.
- (3 punti) il valore del titolo al tasso annuo istantaneo δ = 0, 02; Il valore del titolo `e pari a V = 3e−^0 ,^02
9 (^12) + 103e−^0 ,^02 21 (^12) = 102, 41.
- (4 punti) il valore del titolo in ipotesi di struttura non piatta ai tassi annui spot i
= 0, 032 e i
= 0, 03 (tempo misurato in anni dal 1/4/2011) Si ha V = 3(1, 032)−^9 /^12 + 103(1, 03)−^21 /^12 = 100, 74.
Esercizio 2
Oggi, 16/1/2018, dispongo di un capitale pari a A = 9800e che posso impiegare in uno dei seguenti progetti di investimento (tempo misurato in anni a partire da oggi):
P 1 attuo il progetto caratterizzato dai seguenti vettori di importi e scadenze: X 1 = [−9800; 2600; 8000], T 2 = [0; 1; 2];
P 2 oggi impiego il capitale A per acquistare 100 titoli, al prezzo di 98e ciascuno, che hanno valore nominale pari a 100 e danno diritto a cedole annue posticipate pari a 3, rimborso alla pari il 16/1/2020.
- (3 punti) Determinare il REA di P 1 al tasso annuo d’interesse del 2%. Il REA di P 1 al tasso annuo d’interesse del 2% risulta −9800+2600(1, 02)−^1 +8000(1, 02)−^2 = 438, 37.
- (3 punti) Determinare il vettore degli importi del progetto P 2. La spesa totale per l’acquisto dei 100 titoli risulta pari a 9800 e annualmente vengono incassate le cedole per un ammontare pari a 3 · 100 = 300e l’anno. In seguito viene incassato anche il rimborso a scadenza, il 16/1/2020 pari a 10000 e. Quindi il vettore degli importi per il progetto P 2 risulta X 2 = [−9800; 300; 10300] e il corrispondente vettore dei tempi T 2 = [0; 1; 2].
- (4 punti) Scegliere, se possibile, tra P 1 e P 2 utilizzando il criterio del REA al tasso annuo d’interesse del 2%. Il REA del progetto P 2 al tasso del 2% annuo
e −9800 + 300(1, 02)−^1 + 10300(1, 02)−^2 = 394, 157. Poiche il REA di P 1 risulta maggiore di quello di P 2 , si preferisce il primo progetto.
Esercizio 3
Il 1/1/2013 ho ottenuto un finanziamento di ammontare 10000e che devo ammortizzare con 4 rate annue posticipate in uno dei seguenti modi:
a) ammortamento a quote capitale costanti;
b) ammortamento di 4000e a quote capitale costanti e ammortamento dei restanti 6000e con ammortamento francese
Entrambe le tipologie di rimborso prevedono un tasso annuo d’interesse i = 6% in capitalizzazione composta. Con riferimento alla tipologia a):
- (2 punti) determinare l’ammontare di ciascuna quota capitale; La quota capitale risulta pari a C = 100004 = 2500.
- (3 punti) determinare la nuda propriet al 1/1/2015 subito dopo il versamento della seconda rata, al tasso di valutazione i = 5%. La nuda propriet`a coincide col valore attuale delle quote capitale future (calcolate in t = 2). Si ha quindi: N = 2500 1 −(1,05)
− 2 0 , 05 = 4648,^53
Con riferimento alla tipologia b):
- (4 punti) determinare le rate dell’ammortamento, alle scadenze t = 1, 2 , 3 , 4, rispettivamente dei 4000 e e dei 6000e; Siano A 1 = 4000e rimborsati con quote capitale costanti e A 2 = 6000 rimborsati mediante il ver- samento di rate costanti. Nel caso dell’ammortamento italiano le rate risultano pari a: RI 1 = 1240, RI 2 = 1180, RI 3 = 1120 e RI 4 = 1060. Nel caso dell’ammortamento francese la rata risulta R = 1731, 55.
- (3 punti) determinare le rate di ammortamento dell’intero debito e verificare che esse soddisfano la condizione di chiusura finanziaria. Le rate di ammortamento dell’intero debito di 10000 e risultano Rt = RtI + R, t = 1, 2 , 3 , 4 , cio`e R 1 = 2971 , 55 , R 2 = 2911, 55 , R 3 = 2851, 55 , R 4 = 2791, 55. Tali rate soddisfano la condizione di chiusura finanziaria. Infatti si ha: 2971 , 55(1, 06)−^1 + 2911, 55(1, 06)−^2 + 2851, 55(1, 06)−^3 + 2791, 55(1, 06)−^4 =
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Prova scritta del 18.12.
Esercizio 1 (Punti 9)
- Determinare il capitale che occorre investire nel regime della capitalizzazione composta per ottenere 5000e fra un anno e cinque mesi sapendo che i 2 = 3%. Occorre anzitutto determinare il tasso annuo equivalente: i = (1 + i 2 )^2 − 1 = (1, 03)^2 − 1 = 0 , 0609. Il capitale da impiegare si ricava dalla relazione 5000 = C(1 + 0, 0609)^17 /^12 da cui C = 4598, 306.
- Nel regime dell’interesse anticipato, quanto deve valere il tasso di sconto mensile per ottenere 5000 e impiegando il capitale determinato in precedenza per un anno e quattro mesi? Ricordando che nel regime dell’interesse anticipato il montante viene calcolato come M = C 1 −dt , si avr`a^ 5000 =^
4598 , 306 1 −d 12 · 16 dove^ d^12 `e il tasso di sconto mensile da determinare.^ Si ha d 12 = 0, 005
- Quanto a lungo occorrerebbe investire lo stesso capitale in capitalizzazione semplice per ottenere lo stesso montante al tasso i 4 = 1, 5%? Ricordando che nel regime dell’interesse semplice il montante viene calcolato come M = C(1 + it), si ha 5000 = 4598, 306(1 + 0, 015 · t) da cui si ricava t = 5, 8238 trimestri.
Esercizio 2 (Punti 12)
Un’azienda vende a rate un bene il cui prezzo di listino e pari a 15000e. L’acquirente sborsa subito un anticipo pari al 20% del prezzo del bene e s’impegna a pagare tre rate annue posticipate di cui la terzae doppia rispetto alle prime due. La rateizzazione viene effettuata al tasso del 6% semestrale in capitalizzazione composta.
- Calcolare l’importo della seconda e della terza rata. Occorre anzitutto calcolare il tasso annuo equivalente: i = (1 + i 1 )^2 − 1 = (1, 06)^2 − 1 = 0 , 1236. L’importo delle rate si ricava dalla relazione
R
R
(1, 1236)^2
2 R
(1, 1236)^3
da cui si ottiene R 1 = R 2 = R = 3880, 97 e R 3 = 2R = 7761, 94.
- Supponendo che insieme alla prima rata venga pagato l’importo di 2000e , che viene de- curtato dal debito residuo, determinare, mantenendo le stesse scadenze, l’ammontare delle rimanenti rate che l’individuo dovr`a corrispondere. Il debito residuo al termine del primo anno risulta: D 1 = (^38801) , 1236 ,^97 + (^77611) , 1236 ,^942 = 9602, 233. Sot- traendo il versamento di 2000 e da tale debito residuo, l’importo delle nuove rate si determina da 7602 , 233 =
R′
2 R′
(1, 1236)^2
da cui R′^ = 3072, 662.
Esercizio 3 (Punti 11)
Un prestito di 9. 000 e `e rimborsabile con ammortamento italiano mediante 15 rate annue, al tasso annuo dell’8%.
- Scrivere le prime sei righe del piano d’ammortamento. Le quote capitali costanti risultano C = 9000/15 = 600. La prima quota interesse vale I 1 = 9000 ∗ 0 , 08 = 720. Poich`e le quote interessi diminuiscono in progressione aritmetica di ragione C ∗ i = 600 ∗ 0 .08 = 48, le prime sei righe del piano d’ammortamento risultano:
k R Ck Ik Dk 0 − − − 9000 1 1320 600 720 8400 2 1272 600 672 7800 3 1224 600 624 7200 4 1176 600 576 6600 5 1128 600 528 6000 6 1080 600 480 5400
- Dopo il pagamento della sesta rata si ottiene di sospendere i pagamenti per tre anni al termine dei quali si riprende l’ammortamento con una nuova quota capitale al fine di concludere nei tempi prestabiliti il rimborso del debito. Calcolare la nuova quota capitale. Il debito residuo al momento della sospensione risulta D 6 = 5400 e dopo tre anni, all’inizio del nuovo piano d’ammortamento risulta D′^ = 5400 ∗ (1 + 0.08)^3 = 6802, 44480. Poich`e rimangono da versare 6 rate con quote capitali costanti, la nuova quota capitale risulta C′^ = 6802, 44480 /6 = 1. 133 , 74.
- Se nel periodo di sospensione il debitore avesse pagato le corrispondenti quote interessi, quale sarebbe stata la nuova quota capitale? Se il debitore avesse versato gli interessi nel periodo di sospensione del piano, il debito residuo sarebbe rimasto inalterato e quindi alla ripresa dei versamenti il debito residuo sarebbe stato D′^ = 5400. Pertanto la nuova quota capitale risulterebbe C′^ = 5400/6 = 900.
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Matematica Finanziaria
Prova scritta del 22.01.
Esercizio 1 (Punti 12)
Oggi viene acquistato un macchinario il cui costo e 21000e piu IVA al 22%. Il pagamento pu`o essere effettuato pagando 10000e subito e versando un importo X fra 9 mesi.
- Determinare X sapendo che gli interessi sono calcolati nel regime dell’interesse semplice al tasso del 16% annuo. Il costo complessivo, comprensivo di IVA, del macchinario `e C = 21000 · 1 .22 = 25620. La prima alternativa di rimborso prevede un versamento immediato di 10000 e che porta il debito ad un ammontare di 15620 e. Dopo 9 mesi il debito ammonta a
X = 15620
che `e la cifra da versare dopo 9 mesi per chiudere la posizione di debito.
- In alternativa, si possono versare due quote uguali Y , oggi e fra 9 mesi, valutate in capital- izzazione semplice al tasso annuo del 14%. Calcolare Y. Nella seconda alternativa l’importo Y si calcola risolvendo
25620 = Y +
Y
da cui Y = 13448, 978.
- Dire quale delle due forme di pagamento si preferisce secondo il criterio del REA al tasso di valutazione del 9% annuo in capitalizzazione composta e determinare, se esiste, il tasso di svolta rispetto al quale si inverte la preferenza. Il REA della prima alternativa risulta
REA 1 = 15620 − 17494 , 4(1, 09)−^9 /^12 = − 779 , 446
Il REA della seconda alternativa risulta invece
REA 2 = 25620 − 13448 , 978 − 13448 , 978(1, 09)−^9 /^12 = − 436 , 2
Il tasso di svolta rappresenta il tasso tale per cui i due REA siano identici, e scegliere tassi superiori o inferiori ad esso porta ad uninversione delle preferenze. Si calcolare risolvendo REA 1 (j) = REA 2 (j) cio`e
15620 − 17494 , 4(1 + j)−^9 /^12 = 25620 − 13448 , 978 − 13448 , 978(1 + j)−^9 /^12
da cui si ottiene j = 0, 237.
Esercizio 2 (Punti 10)
Per rimborsare un debito di 5000e mi impegno a versare 8 rate semestrali costanti posticipate al tasso del 5% annuo. Subito dopo il pagamento della quinta rata mi trovo nell’impossibilit`a di far fronte alle due rate successive e chiedo pertanto di non pagarle. La banca accetta la mia richiesta ma porta, da subito, il tasso al 6% annuo, lasciando invariata la durata del contratto.
- Calcolare l’importo della rata iniziale. Occorre anzitutto calcolare il tasso semestrale equivalente a quello annuo: i 2 = (1, 05)^1 /^2 − 1 = 0, 0247. L’importo della rata iniziale si calcola risolvendo
5000 = R ·
1 − (1, 0247)−^8
da cui si ottiene R = 696, 445.
- Calcolare il debito residuo dopo il pagamento della quinta rata. Il debito residuo dopo il pagamento della quinta rata risulta
D 5 = 696, 445 ·
1 − (1, 0247)−^3
- Calcolare l’importo dell’ultima rata. La rata finale risulta R′^ = D 5 · (1, 06)^1 ,^5 = 2171, 9987
Esercizio 3 (Punti 10)
Una rendita della durata di 3 anni `e costituita da rate semestrali posticipate di importo pari a R = 50 e R′^ = 3R alternativamente.
- Calcolare il valore attuale e il montante della rendita sapendo che il tasso effettivo annuo
e pari al 10% in capitalizzazione composta. La rendita puo essere considerata come l’unione di due rendite annuali: una posticipata immediata di 3 rate pari a 150 e l’altra anticipata differita di un semestre con rata pari a - Si ottiene quindi V A 1 = 150 ·
1 − (1, 1)−^3
e V A 2 = 50 ·
1 − (1, 1)−^3
(1, 1)^0 ,^5 = 130, 411
da cui VA=373,03+130,411=503,441. Sfruttando la scindibilia del regime dell’interesse composto, il montante della renditae dato da M = V A(1, 1)^3 = 503, 441(1, 1)^3 = 670, 08
- Determinare la duration della rendita al tasso del 10% annuo in capitalizzazione composta. La duration risulta D = 1, 81.
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Matematica Finanziaria
Prova scritta del 26.06.
Esercizio 1 (Punti 8)
Due anni fa sono stati investiti 2500e in capitalizzazione composta al tasso annuo del 6, 5%. Oggi il montante viene ritirato e reimpiegato subito a interesse composto al 2% bimestrale, per 1 anno e 8 mesi.
- Calcolare il montante complessivo alla scadenza. Il montante alla fine del secondo anno `e dato da M = 2500 · 1 , 0652 = 2835, 56. Per calcolare il montante finale, si osserva che un anno e 8 mesi di durata residua dell’impiego equivalgono a 10 bimestri. Quindi M ′^ = 2835, 56 · 1 , 0210 = 3456, 53.
- Determinare a quale tasso dinteresse annuo costante si sarebbe dovuto impiegare il capitale di 2500e per avere alla scadenza finale lo stesso montante. Per determinare il tasso costante occorre risolvere l’equazione 3456 , 53 = 2500(1 + i)^11 /^3 da cui si ricava i = 0, 092377
Esercizio 2 (Punti 12)
Venti mesi fa ho dato inizio alla costituzione di un capitale programmando 20 versamenti mensili costanti posticipati in modo da poter disporre oggi, all’atto dell’ultimo versamento, della somma di 15000e. Il tasso mensile di valutazione e l’1% composto. Subito dopo avere effettuato il settimo versamento sospendo i 4 versamenti successivi e riprendo la costituzione sempre nell’ottica di disporre oggi della stessa somma programmata. Cio viene fatto tenendo presente che all’atto della ripresa della costituzione il tasso diventato dell’1, 1% mensile. Subito dopo aver fatto il diciottesimo versamento sospendo ogni ulteriore versamento e prelevo dal fondo disponibile la somma di 7000e. Determinare:
- la rata originaria; La rata originaria si calcola da
R ·
da cui ri ricava R = 681, 23.
- la rata conseguente alla prima modifica del piano; L’equazione che occorre risolvere per determinare la nuova rata `e la seguente:
R ·
(1, 01)^5 (1, 011)^8 + R 1 ·
dove R `e stato determinato al punto precedente. Si ricava R 1 = 995, 38.
- la somma disponibile oggi. La somma disponibile oggi si ricava da:
M = R ·
(1, 01)^5 (1, 011)^8 + R 1 ·
(1, 011)^2 − 7000(1, 011)^2
da cui si ottiene M = 5843, 45.
Esercizio 3 (Punti 12)
Per ammortizzare un debito di 100.000 vengono pagate 10 rate annuali posticipate e costanti.
- Trovare il tasso d’interesse annuo praticato, sapendo che la prima quota interessi pagata vale I 1 = 3150. Calcolare poi l’importo delle singole rate. Essendo I 1 = D ∗ i, ossia 3150 = 100. 000 ∗ i, il tasso praticato risulta i = 0, 0315. La rata risulta R =
a 10 e 0 , 0315
- Calcolare il debito residuo dopo il pagamento della seconda rata e scrivere le prime righe del piano d’ammortamento, relative alle scadenza k = 0, 1 , 2. Il debito residuo D 2 risulta
D 2 = 11. 812 , 97 ∗ a 8 e 0 , 0315 ∼ 82. 401 , 2
Le prime tre righe del piano d’ammortamento risultano:
k R Ck Ik Dk Ek 0 − − − 100. 000 − 1 11. 812 , 97 8. 662 , 97 3. 150 91. 337 , 03 8. 662 , 97 2 11. 812 , 97 8. 935 , 85 2. 877 , 12 82. 401 , 2 17. 598 , 82
Dopo il pagamento della seconda rata il debitore ottiene la possibilit`a di ridurre le rate del 10%. Calcolare quante rate deve versare per saldare il debito, sapendo che il tasso viene aumentato di mezzo punto percentuale. La nuova rata risulta R′^ = 11. 812 , 97 ∗ (1 − 0 .1) = 10. 631 , 673. Il numero n delle nuove rate da versare deve soddisfare la relazione
401 , 2 = 10. 631 , 673 ∗ ane 0 , 0365
da cui si ottiene n = 9, 28.
Esercizio 3
Per investire la somma di 1000e si pu`o scegliere fra le 2 operazioni seguenti:
- Operazione A: costo di 1000e e ricavi di 500e tra un anno e 700e tra 2 anni.
- Operazione B: costo di 1000e e ricavi di 700e tra un anno ed un capitale CB tra 2 anni.
Determinare:
- (3 punti) Il valore del capitale CB (in funzione del tasso) per il quale i due investimenti hanno lo stesso REA.
REA(A) = −1000 + 500(1 + i)−^1 + 700(1 + i)−^2 REA(B) = −1000 + 700(1 + i)−^1 + CB (1 + i)−^2 Allora deve valere
−1000 + 500(1 + i)−^1 + 700(1 + i)−^2 = −1000 + 700(1 + i)−^1 + CB (1 + i)−^2
da cui CB = 700 − 200(1 + i).
- (3 punti) Il valore del capitale CB per il quale i due investimenti hanno lo stesso TIR. Il TIR di A si calcola da
−1000 + 500(1 + iA)−^1 + 700(1 + iA)−^2 = 0
da cui iA = 0, 1232. Il valore CB per il quale i due progetti hanno lo stesso TIR si ricava da
−1000 + 700(1 + iA)−^1 + CB (1 + iA)−^2 = 0
da cui CB = 475, 33.
- (4 punti) Quale dei due investimenti sia preferibile, in base al criterio del REA, posto CB = 400 in dipendenza del tasso e trovare il tasso i∗^ che individua il punto di indifferenza. Valutare dal punto di vista finanziario il risultato ottenuto. Per CB = 400 il tasso per il quale i due progetti sono indifferenti si determina risolvendo
−1000 + 500(1 + i∗)−^1 + 700(1 + i∗)−^2 = −1000 + 700(1 + i∗)−^1 + 400(1 + i∗)−^2
da cui i∗^ = 0, 5. Inoltre, per tassi minori del 50% risulta preferibile A, mentre per tassi maggiori del 50% risulta preferibile B. Poiche il TIR di A vale iA = 0, 1232 , in corrispondenza a i∗^ = 0, 5 si ha REA(A) < 0. Pertanto, l’operazione A none finanziariamente conveniente e di conseguenza neppure l’operazione B.
