Teoremi di Algebra e Logica, Schemi e mappe concettuali di Logica

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Teorema di Lagrange^ :

L'ordine (cioè la candinalità) di un sottograppo di un gruppo finito a divide lortire di G.

Dim :

· Lemaz (tutta La classi laterali sono equipotentil

Sia G un gruppo e U2G sottogruppo e geG

gi insiemi^ H^ e gl sono^ equipotenti. dim :

-Y : H-AGH per essere equipotente deve essere biunivoca :

e (^) suvietiva? (^) Exegh Thel t (^) yh =Dx = (^) 4(h) Yiniettiva?^ dati (^) heheltth (^) per assurdo tha) =^ 4(hal (^) dunque ghe= the e

• jghz= gighnAurso Dunque l^ è^ biunivoca (^) dunque H e (^) gll sono (^) equipotenti

· Lerna 3 (insieme della classi laterali

da una partizione del

grappo al G (^) un gruppo e H=G.

L'insieme di tatte Le classi laterali sinistre

Sigte/gecy è^ una^ partizione di^ G (^) , cioè (^) una famiglia di^ insiemi^ non^ vuoti^ ,^ disgiunti , la^ loro unione (^) è tutto l'insieme.

dim :

· non Noti = gH + infatti (^) gegH poiché 1,eH · disgiunti : dobbiamo dimostrate che (^) presi (^) giugn se geHgzH (^) alloraH =d

Suppongo che^ -

per assurdo^ che^ 7xegetegall allora^ Thala Ell to^ X = gehe-gahn e

dunque gr = gr h. hj

Sido abbiamo Ygghih

de yegu = ge

prendendo (^) sempre (^) yeyet - y-gah-frithh

de yegt

ge Poiché vi è (^) una (^) doppia inclusione,

gal = gaH ma^ è^ assurdo^ poiché perhp geleg.n

· gH= G orrio poiché ogni gl contiene

o #

Unendo questi 2 temmi otteniamo che

[a :^ m] · (t) =^ /6) =D (H) divide (G)

Teorema del omomorfismo di Gruppo

Se 4 : (G , #) - + (U ..) è omomorfismo albra:

2) eleal = en conserva l'elemento neutro

1. (^) Y(g) = Ceg)" conserva^

l'inverso

1. (^) e(gm) = (4(g)"Fre * (^) conserva la (^) potenza Dim (^) Q: Categ = 2a (^) ,^ essend^ fleal omomonto^ Yleal · 4(ea) : elea) 7 (teal) in H Dunque (Real)" (^) Y(ea · Y(ea) = Yea) · (feal)" e^ ottengo :

en +(2) = 24 = 0y(ez) = en

&inQ: OMO

Verifico che

flij) è^ L'inverso^ o^ T(y) =+^ Yj) · Th =^ Hy + (^) y) = elea : en Di:^ x induziona g =^ es^ , (^) (1)=^ (4(y))" = Dec : In mcom- figh) = e(y"+^ y) = +(y) -)^. Y(y) = (e(y))"" (^) e(y) mcoma-muo (^) dunque : e(y") = +((y jm)^ = (4( )[" = ((e(g))" = (4())"