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Teorema degli 0
Definizione: Sia f continua in [a ; b], allora se f (a)* f (b) < 0, esisterà un punto C Є [a ; b] tale che f (c) = 0
Dimostrazione: Per il teorema di Weirstrass la funzione ha max e min assoluto m;M. Se f (a) * f (b) < 0 vuol dire che il condominio di f , contiene almeno un numero positivo ed un numero negativo, quindi m (minimo) deve essere < 0 e M (massimo) deve essere > 0. Il min assoluto m<0 ed il max assoluto M>0, allora per il teorema di W. , poiché f assume tutti i valori compresi fra M ed m, assumerà anche il valore 0. (m < 0 < M).
Teorema di Weirstrass
Definizione: sia f unas funzione continua i un intervallo a,b chiuso e limitato. Allora:
- f è limitata (il condominio di f è un insieme limitato)
- f ha max e min (il condominio di f ha un valore max e min)
- f assume tutti i valori compresi fra il suo max il suo min
Teorema di Rolle
Definizione: Sia f continua nell’intervallo chiuso e limitato [a ; b] e sia derivabile in (a , b) e f (a) = f (b) allora Э un punto C Є (a , b) tale che f’ (c) = 0
Dimostrazione: Poiché f è continua in [a ; b] cioè intervallo chiuso e limitato, per il teorema di W. ha massimo M e minimo m.
I Caso Se m = M allora la f è costante in tutto l’intervallo e allora la sua derivata prima è 0 in tutti i punti dell’intervallo [a ; b].
II Caso Se M>m allora il punto di max assoluto o il punto di min assoluto cadono all’interno dell’intervallo [a ; b]. Infatti se entrambi fossero sul bordo ( cioè uno in a l’altro in b) poiché f(a) = f(b) dovrebbe risultare che M = m, questo non è possibile. Dunque avrei trovato un punto di min\max che è interno ad [a ; b], dove la funzione è derivabile, allora per il teorema della derivata nulla, in quel punto f’ è nulla, quindi questo punto è quello cercato C = max\min = 0
N.B. (Il teorema di Rolle mi da la sicurezza che nel caso di f continua e derivabile in [a ; b] e f (a) = f(b), che esiste un punto interno con derivata nulla. Questo però non vuol dire che se f(a) ≠ f(b) non si verifichi la stessa cosa. Dipende dal tipo di funzione.
Teorema della derivata nulla
Definizione: Sia f definita su A a valori R, e siano verificate le seguenti ipotesi:
- Xo è max\min relativo di f
- f sia derivabile in Xo
- Xo sia punto interno di A
Allora segue che: f’ (Xo) = 0.
Dimostrazione: Supponiamo che Xo sia punto di max relativo. Cioè che esiste un intorno di Xo (I x o) tale che:
f (Xo) > f (X) per ogni X Є ( I x o) intersecato con A.
Devo dimostrare che:
f (X) – f (Xo) lim _________________ = 0 x→Xo X – Xo
Considero un intorno destro di Xo (cioè x>Xo)
f(X)- f (Xo)
R(x) = ____________ ≤ 0 ( f (Xo)≥ f (X) per ogni x Є I x o )
X – Xo
f(X)- f (Xo)
R(x) = ____________ > 0 ( X > Xo sono a destra )
X - Xo
R(x) ≤ 0 Per ogni X > Xo X Є Ix o per il teorema del confronto fra limiti che : lim R(x) ≤ 0 x→Xo+
Considero un intorno sinistro di Xo, cioè prendo X<Xo
f(X)- f (Xo)
R(x) = ____________ ≤ 0 ( f (Xo)≥ f (X) per ogni x Є I x o )
X – Xo
f(X)- f (Xo)
R(x) = ____________ ≤ 0 ( X < Xo sono a sinistra)
( f (a) – f (b)) g (x) = f (x) - ____________ * (x – a) (b – a)
VERIFICHIAMO SE g (x) SODDISFA LE IPOTESI DEL TEOREMA DI ROLLE:
- g è continua in (a ; b ) perché somma di funzioni continue ( 1° ipotesi teorema di Rolle) f (x) è continua per ipotesi.
( f (a) – f (b) ) ____________ * (x – a) → è continua in [a ; b] (b – a)
- g è derivabile in ( a ; b ) perché somma di funzioni derivabili ( 2° ipotesi teorema di Rolle) f è derivabile in ( a ; b )
( f (a) – f (b) ) ____________ * (x – a) → è derivabile ovunque in [a ; b] (b – a)
- Verifichiamo se g ( b ) = g ( a ) Calcolo g (a ) :
( f (b) – f (a)) g (x) = f (x) - ____________ * (x – a) (b – a)
sostituisco a alle x:
f (b) – f (a) * (a – a) g (a) = f (a) - ___________ = b – a
g ( b ) = f ( a )
QUINDI SE: g ( a ) = f (a ) → g ( a ) = g ( b ) g ( b ) = f (a )
Poiché g ver4ifica tutte le ipotesi del teorema di Rolle allora esiste un punto c appartenente ad ( a ; b ) tale che g’ (c) = 0 Verifico calcolando g’ :
(x – a) = è una funzione f(b) – f (a) _________ = è uyna costante k b – a g’ = f ‘ (x) – k – 1
( La derivata di una costante per una funzione è uguale alla costante k per la derivata della funzione)
f(b) - f(a) g’ ( c ) = f ‘ ( c ) - ______________ → g’ ( c ) = 0 b – a
f(b) - f(a) f ‘ ( c ) = ____________ b – a
1 E
Teorema dell H D 2PITAL
Definizione: Siano f e g due funzioni derivabili in un intorno di Xo sia:
f (x) lim ____ una forma indeterminata del tipo 0/0 o ∞/∞ x→Xo g (x)
f (x) f ‘ (x) allora, se esiste il lim _____ = lim _________ x→Xo g (x) x→Xo g ‘ (x)
N.B. se esiste f ‘ (x) lim _________ x→Xo g ‘ (x)
f (x) potrebbe ancora esistere il lim ______ x→Xo g ‘ (x)
