MATEMATICA!
Funzioni continue !
Una funzione f(x), definita in un intorno di un punto x₀, è continua in x, se: lim(x￫x₀) f(x)= f(x₀)!
Una funzione f(x) è quindi continua in x₀ se:!
•È definita in x₀ cioè esiste in f(x₀)!
•Esiste finito lim(x￫x₀) f(x)!
•Il valore del limite è uguale a f(x₀)!
Definizione: una funzione definita in [a;b] si dice continua nell’intervallo [a;b] se è continua in ogni
punto dell’intervallo.!
Data la funzione y=f(x) definita nell’intervallo I chiamiamo:!
•Massimo assoluto di f(x) se esiste il massimo M dei valori assunti dalla funzione in I!
•Minimo assoluto di f(x) se esiste il minimo m dei valori assunti dalla funzione in I!
Teorema di weierstrass
Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b] allora essa assume in tale
intervallo il massimo assoluto e il mimino assoluto!
Teorema dei valori intermedi
Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b] allora essa assume almeno un a
volta tutti i valori compresi tra massimo e minimo !
Teorema di esistenza degli zeri
Se f è una funzione continua in un intervallo limitato e chiuso [a;b] e negli estremi di tale intervallo0
assume valori di segno opposto allora esiste almeno un punto c interno all’intervallo in cui f si
annulla ossia f(c)=0!
Discontinuità
x₀ è punto di discontinuità
Punti di discontinuità di I specie
Un punto x₀ è un punto di discontinuità di I specie per la funzione f(x) quando per x→x₀ il limite
destro e il limite sinistro di f(x) sono entrambi finiti e diversi tra loro!
lim(x→x₀⁻) f(x)=l₁≠lim(x→x₀⁺) f(x)=l₂ !
La differenza |l₂-l₁| è il salto della funzione!
Punti di discontinuità di II specie
Un punto x₀ è un punto di discontinuità di II specie per la funzione f(x) quando per x→x₀ almeno
uno dei due limiti destro o sinistro di f(x) è infinito oppure non esiste!
Punti di discontinuità di III specie
Un punto x₀ è un punto di discontinuità di III specie per la funzione f(x) quando !
1. esiste ed è finito il limite di f(x) per x￫x₀, ossia il lim(x￫x₀) f(x)=l!
2. f non è definita in x₀, oppure, se lo è, risulta f(x₀)≠l!
Derivate!
Rapporto incrementale
Definizione: dati una funzione y=f(x) definita in un intervallo [a;b] e due numeri reali c e c+h (h≠0)
interni all’intervallo il rapporto incrementale di f nel punto c (o relativo a c) è il numero:
∆𝛾/∆x=[f(c+h)-f(c)]/h!
Derivata !
Definizione: data una funzione y=f(x) definita in un intervallo [a;b] la derivata della funzione nel
punto c interno all’intervallo che indichiamo con f’(c) è il limite, se esiste ed è finito, per h￫0 del
rapporto incrementale di f relativo a c: f’(c)=lim(h￫0) [f(c+h)-f(c)]/h!
Significato geometrico
Il significato geometrico del rapporto incrementale è coefficiente angolare della secante al grafico
della funzione !
Il significato geometrico della derivata è il coefficiente angolare m della retta tangente al grafico
della funzione nel suo punto di ascissa c.!
