A.A. 2011/12 - ECO NO MIA E COM ME RCI O - VENEZIA
I teoremi di Cramer e di Rouchè -Capelli
(appunti dalle lezioni)
Un sistema lineare di
m
equazioni in
n
incognite può essere scritto nella forma
Ax=b
, dove
x
denota il vettore delle incognite,
b
il vettore dei termini noti e
A
è la matrice dei coefficienti
del sistema (è una matrice
m
x
n
, cioè ha un numero di righe uguale a quello delle equazioni
ed un numero di colonne uguale a quello delle incognite).
Il calcolo matriciale attraverso il quale è possibile ricondurre un sistema di equazioni lineari
alla scrittura matriciale fornisce delle informazioni che possono essere utili per la risoluzione
del sistema. Si considerino i seguenti casi.
La matrice quadrata Aè invertibile
In questo caso, caratterizzato dal fatto che la matrice
Aha determinante non nullo, il sistema ammette una ed una sola soluzione data da
x=A−1b.
Infatti se si premoltiplica Ax=bper A−1si ottiene
A−1Ax=A−1b,
da cui
x=A−1b
. Dalla conoscenza della matrice inversa è possibile risolvere il sistema lineare
di
n
equazioni in
n
incognite, qualunque sia il vettore
b
dei termini noti. Il teorema che segue
formalizza quanto suggerito e caratterizza la soluzione del sistema
Teorema di Cramer.
Sia
Ax=b
un sistema lineare di
n
equazioni in
n
incognite. Il sistema
ammette un’unica soluzione se e solo se la matrice
A
ha determinante
det
(
A
)
6=
0. In tal caso
la soluzione ha componenti xi(i=1, . ..,n) con
xi=det(Ai)
det(A)
dove
Ai
è la matrice ottenuta da
A
sostituendo la colonna
i
-esima con il vettore
b
dei termini
noti.
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