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Argomento 10
Integrali impropri
Premessa
Nell’Arg. 9 `e stata introdotta la nozione di integrale definito
∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ per funzioni continue f : [a, b] → R. Una deroga alla continuita di fe anche stata introdotta, ma solo per considerare funzioni con un numero finito di punti di discontinuita di I specie. Cosı, la limitatezza della funzione integranda f ed il fatto che l’intervallo di integrazione [a, b] fosse chiuso e limitato non sono mai stati messi in discussione. In questo capitolo ci occupiamo di estendere il concetto di integrale ad alcune situazioni in cui l’intervallo di integrazione e/o la funzione integranda non sono limitati.
I. Intervalli illimitati
Sia f : [a, +∞) → R una funzione continua. Per ogni c ≥ a la funzione f `e continua in [a, c] : quindi possiamo calcolare l’integrale definito
∫ (^) c a f^ (x)^ dx.
a c a
Vogliamo esaminare cosa accade a questi valori quando c → +∞, cio`e studiare il lim c→+∞
∫ (^) c a f^ (x)^ dx.
1
Definizione 10.1 Sia f continua in [a, +∞); il limite
lim c→+∞
∫ (^) c
a
f (x) dx , (®)
se esiste, si chiama integrale improprio di f in [a, +∞), e si indica con il simbolo ∫ (^) +∞
a
f (x) dx.
Piu in particolare, diciamo che l’integrale improprioe convergente, e che f e integrabile in senso improprio in [a, +∞), se il limite (®)e finito.
Se invece lim c→+∞
∫ (^) c
a
f (x) dx = +∞ (oppure −∞) l’integrale improprio di f in [a, +∞) `e detto
divergente.
Quindi ∫ (^) +∞
a
f (x) dx = lim c→+∞
∫ (^) c
a
f (x) dx, quando il limite esiste.
Se lim c→+∞
∫ (^) c a f^ (x)^ dx^ non esiste, diciamo che l’integrale improprio di^ f^ in [a,^ +∞)^ non esiste.^
2
(^1) Abbiamo gia incontrato l’espressione F (c) = ∫^ c a f^ (x)^ dx^ nell’Arg.9, con il nome di funzione integrale di^ f.^ Chiara- mente, per c → +∞, la funzione F puo convergere, divergere o non ammettere limite. (^2) Se la funzione f e sempre ≥ 0 (oppure sempre ≤ 0) ogni integrale improprio puo essere convergente oppure divergente a +∞ (−∞), ma comunque esiste.
Vediamo alcuni esempi:
Esempio 10.2 Sia f (x) = e−x^ per x ∈ [2, +∞). Allora
∫ (^) c
2
e−x^ dx =
[
−e−x
]c 2 =^ e
− (^2) − e−c
e quindi (^) ∫ +∞
2
e−x^ dx = lim c→+∞
∫ (^) c
2
e−x^ dx = lim c→+∞
e−^2 − e−c
= e−^2.
Dunque f `e integrabile in senso improprio in [2, +∞) e l’integrale improprio vale e−^2.
Esempio 10.3 Sia f (x) = 1 per x ∈ [5, +∞). Allora
∫ (^) c 5 f^ (x)^ dx^ =^ c^ −^ 5 e quindi
lim c→+∞
∫ (^) c
5
f (x) dx = lim c→+∞ (c − 5) = +∞.
Dunque f non e integrabile in senso improprio in [5, +∞) e l’integrale improprioe divergente.
Esempio 10.4 Sia f (x) = cos x per x ∈ [π, +∞). Allora
∫ (^) c π cos^ x dx^ = [sin^ x]
c π = sin^ c^ e quindi
lim c→+∞
∫ (^) c
π
cos x dx = lim c→+∞
sin c non esiste.
Dunque f non `e integrabile in senso improprio in [π, +∞) e l’integrale improprio non esiste.
Esempio 10.
1
x^2
dx = lim c→+∞
∫ (^) c
1
x^2
dx = lim c→+∞
[
x
]c
1
= lim c→+∞
c
1
x
dx = lim c→+∞
∫ (^) c
1
x
dx = lim c→+∞ [log x]c 1 = lim c→+∞ (log c) = +∞.
Osservazione 10.6 Se a < b < c, l’additivit`a dell’integrale definito rispetto all’intervallo di inte- grazione (vd. Arg.9, formula ♣) garantisce che
∫ (^) c
a
f (x) dx =
∫ (^) b
a
f (x) dx +
∫ (^) c
b
f (x) dx ,
e poich`e
∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ e un numero deduciamo, studiando il limite per^ c^ →^ +∞,^ che^ f^e integrabile (in senso improprio) in [a, +∞) se e solo se lo `e in [b, +∞). Quindi, l’esistenza e la convergenza di
a f^ (x)^ dx^ dipendono solo dal comportamento di^ f^ per valori “molto grandi” di^ x,^ cio`e dalla natura di f in un intorno di +∞.
III. Caso generale
Le precedenti definizioni possono facilmente essere estese ai casi in cui la funzione e continua in un intervallo del tipo (−∞, a], oppure del tipo [a, b) e none limitata in un intorno sinistro di b (ad esempio se l’asintoto verticale e x = b). Se invece il dominio sul quale si vuole integrare la funzione fe unione di un numero finito di intervalli del tipo considerato nelle Definizioni 10.1 e 10.7, l’integrale improprio su questo dominio e detto convergente se e solo se loe in ognuno di essi, ed il suo valore `e la somma dei valori sui vari intervalli.
Esempio 10.10 La funzione f (x) =
√ (^3) x `e definita e continua nell’insieme [− 1 , 0) ∪ (0, 2], e non
`e limitata per x → 0. Gli integrali impropri
− 1 f^ (x)^ dx^ e^
0 f^ (x)^ dx^ sono entrambi convergenti. Infatti (^) ∫ (^0)
− 1
f (x) dx = lim c→ 0 −
∫ (^) c
− 1
√ (^3) x dx = lim c→ 0 −
[
x^2 /^3
]c
− 1
= lim c→ 0 −
c^2 /^3 − 1
e, analogamente, (^) ∫ 2
0
f (x) dx =
Perci`o, l’integrale improprio
− 1 f^ (x)^ dx^ converge, e vale
Ulteriori chiarimenti relativi a questo caso generale si possono trovare nell’Esempio 10.19.
Interpretazione geometrica
Dalla teoria dell’integrale definito sappiamo che, se f e continua e positiva in [a, b], il numero ∫ (^) b a f^ (x)^ dx^ rappresenta l’area della regione di piano compresa tra l’asse^ x, il grafico di^ f^ e le due rette verticali x = a e x = b. Tale regionee sicuramente limitata (cioe racchiudibile in un opportuno cerchio centrato nell’origine) e di conseguenza ha area finita. Anche agli integrali impropri di funzioni positivee associabile la nozione di area di una regione. Nel caso della Definizione 10.1, con f positiva, la regione a destra della retta x = a e compresa tra il grafico di f e l’asse delle ascisse non `e limitata. Diciamo che questa regione ha area finita se l’integrale improprio
a f^ (x)^ dx^ converge, e ha^ area infinita^ se questo integrale diverge. In questo modo l’area della regione considerata (ossia l’integrale improprio
a f^ (x)^ dx) viene vista come il limite, per c → +∞, delle aree delle regioni comprese tra l’asse x, il grafico di f e le due rette verticali x = a e x = c (ossia lim c→+∞
∫ (^) c a f^ (x)^ dx).
0
1
(^1 2) c 3 4 5 6
area azzurra =
1
x^2
dx =
= lim c→+∞
∫ (^) c
1
x^2
dx = lim c→+∞ (area tratteggiata)
L’Esempio 10.5 si interpreta dicendo che la regione a destra della retta verticale x = 1 e compresa fra il grafico di f (x) = (^) x^12 e l’asse x ha area finita di valore 1, anche se la regione `e chiaramente illimitata.
Un discorso analogo si puo fare nel caso della Definizione 10.7. L’Esempio 10.8 mostra che la regione compresa tra il grafico di f (x) = (^1) x , il semiasse positivo delle y (chee l’asintoto verticale), l’asse orizzontale e la retta verticale x = 1 ha area infinita.
Il teorema del confronto
Puo accadere che sia molto difficile determinare, direttamente attraverso la definizione, l’esistenza o meno di un integrale improprio di una funzione f , perch´e questo comporta il calcolo esplicito di una sua primitiva. In tal caso, per stabilire se un integrale improprioe convergente o divergente, possono essere utili il seguente teorema e le sue conseguenze.
Teorema 10.
Siano f e g continue e positive in [a, +∞) con 0 ≤ f (x) ≤ g(x) ∀x ∈ [a, +∞).
Se
a
f (x) dx diverge, allora diverge anche
a
g(x) dx.
Se
a
g(x) dx converge, allora converge anche
a
f (x) dx.
Analoghi enunciati valgono per integrali impropri su intervalli del tipo: (a, b], [a, b), (−∞, a].
L’interpretazione geometrica `e immediata (vedi figura):
- se l’area sottesa alla funzione f
e infinita, loe a maggior ragione quella sottesa alla g; - se l’area sottesa alla funzione g
e finita, loe a maggior ragione quella sottesa alla f.
0
1
2 4 6 8 10
grafico di g grafico di f
Esempio 10.12 Sia f (x) =
sin^2 x 2 + x^2
. Allora posto g(x) =
1 + x^2
, per ogni x ∈ R si ha 0 ≤ f (x) ≤
g(x) e inoltre
∫ (^) +∞
0
g(x) dx =
0
1 + x^2
dx = lim c→+∞
∫ (^) c
0
1 + x^2
dx = lim c→+∞
[arctan x]c 0 =
π 2
Quindi anche
0
sin^2 x 2 + x^2
dx `e convergente.
Esempio 10.13 Per x → +∞, e−x 2 `e infinitesima di ordine superiore ad ogni potenza (negativa)
di x, quindi per ogni x abbastanza grande vale sicuramente: 0 < e−x 2 <
x^2
Dall’Es. 10.5 sappiamo che l’integrale improprio di
x^2
in un intorno di +∞ (ossia in ogni intervallo
della forma [a, +∞), a > 0) e convergente. Quindi anche quello di e−x 2 loe.
Funzioni “test”
Il teorema del confronto e comodo da applicare se conosciamo il carattere dell’integrale improprio di una famiglia di funzioni “semplici” con le quali confrontare funzioni piu complicate, come abbiamo gia fatto negli Esempi 10.12, 10.13, 10.14, 10.16 e 10.17. Tra le piu comode funzioni test con cui confrontare l’assegnata funzione vi sono le potenze. Nelle seguenti tabelle sono riassunti i comportamenti degli integrali impropri delle potenze.
0
xα^
dx =
+∞ per α ≥ 1 (diverge)
1 1 − α
per α < 1 (converge)
1
xα^
dx =
+∞ per α ≤ 1 (diverge)
1 α − 1
per α > 1 (converge)
L’interpretazione geometrica `e la seguente: le funzioni del tipo
xα^
con α < 1, (come ad esempio 1 √ x
) “vanno all’infinito” lentamente per x → 0 +, quindi il loro grafico `e “vicino” all’asse verticale,
e delimita una regione illimitata e tuttavia di area finita (in Rosa nella prima figura). Le stesse funzioni vanno lentamente a zero per x → +∞, e quindi il loro grafico `e “meno vicino” all’asse orizzontale, e delimita una regione di area infinita.
Al contrario, le funzioni dello stesso tipo, ma con α > 1 (come ad esempio
x^2
) “vanno a zero”
velocemente per x → +∞; quindi il loro grafico e “vicino” all’asse orizzontale e delimita una regione illimitata ma di area finita (in Azzurro nella seconda figura). Le stesse funzioni vanno velocemente all’infinito per x → 0 +, e quindi il loro graficoe “meno vicino” all’asse verticale e delimita una regione di area infinita.
0
1
2
3
y
0.5 1 1.5x 2 2.5 3
0
x
dx = 2
R
0
1
2
3
y
0.5 1 1.5x 2 2.5 3
1
x^2
dx = 1
A
Esempio 10.18 Stabiliamo il comportamento dei seguenti integrali impropri.
0
x + 1 √ (^3) x(1 + x (^2) ) dx.
La funzione integranda f `e positiva e continua in (0, 2]. Inoltre per x → 0 +^ si ha f (x) ∼ √ (^31) x , quindi l’integrale improprio converge.
4
x + 1 √ (^3) x(1 + x (^2) ) dx.
La funzione integranda f `e positiva e continua in [4, +∞). Inoltre per x → +∞ si ha f (x) ∼ (^) x 1 √ (^3) x , quindi l’integrale improprio converge.
Esempio 10.19 Studiamo il comportamento di
0
√ (^4) x + 1 − 1
3 x^3 + x^2
dx.
La funzione integranda f e positiva e continua in (0, +∞) e none limitata in un intorno destro di
Per ogni 0 < x 0 < +∞ lo spezzamento (0, +∞) = (0, x 0 ] ∪ [x 0 , +∞) ci porta a considerare singolar- mente i due integrali impropri
∫ (^) x 0
0
f (x) dx e
x 0
f (x) dx.
Il secondo integrale `e convergente, in quanto, per x → +∞, si ha f (x) ∼
3 x^2
x^3
3 x^11 /^4
Invece,
per x → 0 +^ si ha f (x) =
(1 + x)^1 /^4 − 1 x^2 (3x + 1)
x/ 4 x^2
4 x
e quindi l’integrale improprio
∫ (^) x 0 0 f^ (x)^ dx^ diverge
In conclusione, l’integrale
0
√ (^4) x + 1 − 1
3 x^3 + x^2
dx non converge.
E utile osservare che la scelta del puntox 0e totalmente ininfluente, ai fini della determinazione del comportamento dell’integrale assegnato. Questo comportamento dipende esclusivamente dai valori assunti da f in un intorno destro di x = 0 e in un intorno di +∞.
- Un’altra famiglia di funzioni ”test” delle quali
e noto il comportamentoe:
2
xα^ logβ^ x
dx
converge solo nei casi
α > 1 , β qualunque oppure α = 1, β > 1 e diverge negli altri casi.
Esempio 10.20 Studiamo il comportamento, al variare di a > 0, di
3
x + 5 xa^ log(1 + x^2 )
dx.
Per x → +∞ si ha
x + 5 xa^ log(1 + x^2 )
2 xa−^1 log x
e quindi l’integrale `e convergente se e solo se a > 2.
