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PROBABILITA teoriamatematicadell'incertezza
Lopervalutare un fenomeno osservabile^ dal puntodivistadellapossibilità omeno
del suoverificarsi indipendentemente^ dallasua natura CONCETTI (^) PRIMITIVI LaPROVAgeneral'Esito con una certaPROBABILITA
PROVA ogniesperimento soggetto adincertezza
ESITO uno (^) deipossibilirisultatidellaprova PROBABILITA (^) E
Concettoprimitivo
misure mm^ associatoalverificarsidi^ unesito^ o^ un^ insieme diesiti
A SPAZIO^ CAMPIONARIO^ insiemeditutti^ ipossibiliesitidi^ una^ prora
ESEMPI
1 lanciodi^ una moneta
A T C
2 lasequenzadiduelanci di^ una moneta
1 TT TC^ CT^ CC
3 lanciodi una monetafinoa otteneretesta
1 T^ CT^ CCT^ CCCCCCT INFINITA^ NUBERABILE
4 attesadelrisultatodell'esame^ in^ ORE
A 0 0 INFINITA NonNumerabile
EVENTO (^) ognisottoinsieme^ dello 1 Uneventoquindi è un insiemeformatodaesiti
dellaprovaconsiderata
N B un singoloesito è un EVENTOELEMENTARE
ESEMPI
(^1) B il risultato del tiro è (^) TESTA T (^2) la (^) sequenzadeilanci contienesoltantoesitiuguali TT CC (^) ÉLIE (^3) D ottengotestaentro (^) i (^) primi 4 lanci T CT (^) CCT (^) CCT
7 E la profpubblica i risultati il 2 giorno 29 48
MASe si realizza uno (^) degliesiti di un (^) evento A E (^1) diremoche l'evento A si (^) è (^) verificato es precedenti Indicheremo (^) glieventiconletteremaiuscole (^) I IIII ESEMPIO (^) lanciodi (^) un DADO (^) a 20 FACCE (^) S (^1) 2,3 20 Es esce^ la^ faccia^1 Ei esce lafaccia i i Ero esce^ la
faccia 20 io con^ i^ 1,2 20
ME EVENTI^ E^ INSIEMI^ STEFFEN^ UNIONE^ INTERSEZIONE NEGAZIONE UN IONE Dati A^ e^ B^ in^1 allora^ A^ U B^ è^ l'evento^ formato^ datuttigli
esiti in A^ in B o in entrambi
mammà Siverifica^ AU^ B^ se^ si verificanoalmenouno^ tra^ A^ e^ B Silegge A (^) oppure B
ESEMPIO
Sequenzadi 2 lanci di una moneta D TTCT TC cc
A esceTESTA^ alprimolancio^ TT TC B i duelancidannorisultatidiversi^ te ci AVB^ TT TC^
CT
Lanciodi un dado a 20 facce
E 18 U^ E 19 esce^18 o^19 18 19 F (^) esce un numeropari 2,9 6 20 E U E U Eg U^ UEro G (^) esce un numero 17 18 19 20 (^) E 28 U E 19 U (^) Ero F U G^2 4,6 (^18) 19,
evento COMPOSTO^ evento^ ELEMENTARE
unionedieventielementari^ nonpuòesserescrittocomeunionedialtrieventi
ALTRE DEFINIZIONI
Dueeventi^ A e (^) B in 1 sidicono INCOMPATIBILI^ se (^) A A (^) B 0
se si verificaA non puòverificarsiB e viceversa
Dueeventi^ A e (^) B in (^1) sidicono NECESSARI (^) se A U (^) B A siverificacertamentealmeno^ uno diessi
ATTENZIONE (^) la lorointersezionepotrebbeessere non nulla
A A^ e^ A^ sonosia^ INCOMPATIBILI^ che^ NECESSARI Mthfr Ara^0 AVA^ A
PARTIZIONE DI^1
Es En maanchenumerabile
UE 1 necessarietà
E M E^ O Wi t J incompatibilità^ a^2 a^2
INCLUSIONE A C^ B^ se^ tuttigliesiti^ di^ A^ sonoanche^ in^ B^ silegge A è inclusoin^ B
A
B (^) Se (^) si
verifica A^ allora^ si^ verificaancheB
N B A U^ B B AR B^ A SeA^ C^ B^ e^ B^ e^ A^ allora^ A^ E^ B Perqualsiasieventovale^ O C^ E^ C^ A
LEGGI DI
DEMORGAN
AT À^ u^5 AUT A (^) ME
f x^ mafia P E^ PCE^ silegge probabilità^ die
ESEMPIO
Lancio di un dado a 6 facce 1 1,213,415,
A (^) pari 2,4163 (^) B (^) facciaPARI^ minoredi (^6) 2, PCA (^) PCB P A PCB (^) PIA PCB Plr E'plausibile (^) P A Plr (^) KAGA P 13 P (^23) P 6 P 13 76 P 23 16 P^ 1,23 P (^130223) P (^131 )
ASSIOMI OPOSTULATI^ DEL CALCOLO^ DELLE^ PROBABILITÀ
(^1) PIA 70 VACA (^2) PG 1 3 FA^ BCR^ AMB (^) O PLAUB PCA^ PCB Bris (^) Es Em CA (^) ED E O ti (^) J PIÙ E^ PCE
3BISBIS (^) P (^) II Ei (^) E P (^) E sommobilitàCOMPLETA
CONSEGUENZE DEGLI ASSIOMI
Plant PCA^ P^ AMB B (^) BAR (^) BA AUA BRAU (^) BRÀ PIÀ 1 PCA^ S^ A^ UÀ PIO O^1 ACB PCA^ PCB^ A BRA PIANA^ PCB^ PIBRA KE CI^ OE (^) PCE E I^ PIE E (^) PC 1
DISUGUAGLIANZA di BOOLE Datauna collezione^ dieventi Ei CSL (^) i (^) 1, P (^) Y E E (^) I PCE Eh 2 eventi P A^ U^ B^ P A^ P^ B PLANB^ E P A^ P^ B
ESERCIZIO 3
Datidueeventiincompatibili AM B^0 tali che^ P (^) A 0,35 e^ P B (^) 0, P A U^ B^ 0,35 0,4 (^) 0, P AU B P (^) A N B 1 O^1 P A^ A^ B^ P AU^ B^1 0,75 (^) 0,
ESERCIZIO 4
Siipotizzache^ la (^) Pcheun'aziendaimmettesulmercato^ un^ certo n dinuoviprodottisia FIDEI 0 1 2 3 4
PROBAB 0,32 0,9 0,28 0,07 0,
CALCOLA
nuovi (^) podimmessinelmercatosono al ma (^2) 0,32 0,4 0 18 0 9 nuoviprodimmessi (^) sulmercatosono 3 o (^) più 0 07 (^) 0,03 (^) 0, non (^) vengonoproposti nuoviprodotti^ o proposti (^2) 0,32 (^0 18) 0, prodottiimmessi^ sulmercatotra 1 e^3 0,9 0,18 (^0 7) 0,
Sia A n prodotti èalmeno^2 e B n prodotti non è maggiore di 3
g
Sonoincompatibili Noperché (^) A (^2) 3,9 e B (^0) 1,2 3 P (^) A A B P 23 P^33 0,18 0,07 0,
COME ASSEGNARE LE PROBABILITÀ
Semplicequandoabbiamospazi campionari^ con Esiti^ EQui^ probabili
A (^) insiemefinito
Persemplicità a 1 N ma^ possiamoconsiderareogniinsieme di N^ esiti
P 13 P 23 P N^ es lanciodi un dadoregolare a^ Nfacce Pergliassiomi 2 e 3 si ha che P (^) i (^) ti 1 N
DIMOSTRAZIONE RICORDA a 2 N
(^1) P N PERASSIOMA^2 913 U (^) VEN P I^ U^2 U^ U^ N P (^13) P 23 P N^ PER^ ASSIOMA^3 BIS^ INCOMPATIBILI NP i P Ei^ 4N Vi (^1) IN A CN^ evento^ composto^ perchécomposto^ da un^ certo^ diesiti ESEMPIO N (^6) A (^) 2,4 6
P A^ P^2 U^930 6 4N IN FN 31N
In (^) generale (^) p A (^) esiti inesiti^ in Aa^ CASI CASI FAVOREVOLIPossibili
ESEMPIO
Estraiamo 3 (^) polline a (^) casoda un'urna checontiene (^6) pallinebianche e 5 nere
P 1 bianca^ e^2 nere
10 MODALITA^ teniamocontodell'ordine BNN (^6 5 4 ) 11.20.9 (^) gg
input (^3)
rossi g
ESEMPIO
Lanciodi 2 dadi regolari Sapendocheil 10dadodacomerisultato 3 concheprobabilità il
totalesupera 6
A (^) i (^) i 1 6 B il totale (^) supera 6 Ai 10 dadodairisultato^ i^ i^1 B i itg 6 A (^) 3,5 J 11 6 A N^ B (^) 3,4 3,5 3, PIA (^) III I 46 PIA A^ B (^) I 412 P (^) BIAS (^) II 922 12
OSSERV 1^ P^ B^ 2 2^3 5 6 712 0.6^ P^ Blas 0. P BIAa (^) polidisuperare 6 se il 1 dadoda 1 PLAINB
PAa 0 17
P BIAa^ poli di^ superare^6 se^ il^1 dadoda 6 PIAGAB 6136 PAG 6136 1
OSSE^ RV 2 B (^) P A 3 I B (^) profdiaverottenuto3dal 1 dadose iltotalesupera 6
pt E^ F P AsI B (^) profdiaverottenuto^ 1 dal^1 dadose il totalesupera^6 MAI (^) E P (^) Ag B (^) poli di averottenuto^ 6 dal 1 dadose iltotalesupera Pippi^ B E (^) E
Ingenerale P (^) BIA I^ P AI B
IMPORTANTE (^) la probabilitàcondizionata (^) è una misura (^) dipolia tuttiglieffetti Infatti sefissoA^ con^ A^0 e considero^ P^ 1A P (^) I A rispettagliassiomi P BIA Z^ O^ NBE^ R
P AIA 1
se BACIO P B^ u^ CI^ A^ PCBI A^ P CIA ALEE Valgonotutti i teoremigiàvisti inoltre P BIA^ P B non^ haeffetto P A I A 1 se AA B (^) O P BIA O
Quandocondizione^ è comese A evcondizionante
RIFLESSIONE
Appennini iii (^) a casa a normalizzazione
fosse il nuovospaziocampionario
es Casodi spazicampionariconesitiequipolabili
PCBI A (^) ii AMBI IBI
OSSERVAZIONE spessopossiamocalcolareleprobabilitàcondizionateconsiderando^ lo
spazio CAMPIONARIO^ RIDOTTO
es una con GR e 4B
Probabilitàcheleprimeduesiano rosse e la terza blu
estraendo (^) senza reimmissione
Ri Bi^ i esimaestratta è^ rossa^ blu^ i^1 PIRIMR^ M^ B (^) P Ra P RAIRD P (^) B I (^) RanRa (^6110 519 98) III (^) I P (^) RI A (^) RaN B3 (^) E 0,
CASO GENERALE (^) Es En mutualmenteindipendenti se losono a^ 202,0303 a^ man^ YIFIEBEINI
esempio 2 lancimoneta^ TI^ esce^ testa^10 lancio
Ta escetesta20lancio Tae Ta sono^ indipendenti^ DIMOSTRIAMOLO TI TC^ TT^ Ti TT CT^ Tanta TT^1 TT TC CT^ CC PITI 24 1 2 PCI^24 42 PCTINTa 14 12.42^ PCI^ PCE
INCOMPATIBILITÀ INDIPENDENZA
DEFINIZIONE
RELAZIONE
PIANB^ P^ A^ p B
tra INSIEMI^ tra PROBABILITÀ
PREFIBIETA (^) incompatibile
si P^ A^ PCB^ as
no (^) a PIA PCB PLANB incl esce PLAUB
PROBABILITÀ^ si^ PIA^ PCB^ fattorizzazione
INTERSEZIONE indipendenti
PLANB NO^ PLA P BIA LEGGEPROBCOMPOSTE
vale ancheperneventi
LEGGE DELLE PROBABILITA TOTALI
B A A^1 A^ U^ I^ partizione P (^) B P^ BRA^ P^ BRÀ P BIA PCA^ P^ BIA^ P A
PROP t^ B C^ R (^) Ea En partizione di (^) R
P (^) B (^) È P BI E (^) P E^ media con (^) pesiponderataPCE
ESEMPIO (^2) urne (^) Us ZR 3B (^) V2 3 R aB
Estraiamo unapallinada Us e la inseriamo in V2 e viceversa
Qual è^ la^ poleche^ lapallinacheinseriamo^ in^ Us^ sia^ Rossa Ri estraggo^ R da Vi i^ 1, Bi estraggo^ Bdavi^ i^ 2,
P (^) Ra
P Ra È
P (^) RIRa P (^) Ra P RalBa P (^) Ba (^) f 1 48 45 3 8 3 5
FORMULA DI BAYES
B C^1 Ea Enpartizione di A
P E^ P^ BIE^ P^ E^ i 1 M
I^ B
ÈP^ BIE^ P^ Es Ei causeo (^) ipotesisottolequalil'eventoB sipuòverificare Nonconosciamo^ la vera
causachehagenerato B SupponiamoPCE^ sianonote^ Prob APRIORI
B risultatoesperimento osservazione PCBI (^) Ei note ti P Ei (^) B probabilità a posteriori di (^) ciascunadellecause Dopoesperimento osservazione
valutiamoqualecausa è più verosimilecheabbiagenerato il fenomeno B
M (^) personainfetta E test daesitopositivo P (^) M 1 10 P E (^) I M O (^99) P E M 0. PIM^1 P^ M^1
a P (^) falsinegativi PCEI M^1 P^ E^ I^ M^0 6 P^ E^ FFanPCE^ IM P M^ PCE^ M^ P M^ 0.99^10 9 0,0010,9999 (^) 0,
c (^) P MIE (^) è Plein PCE^ P M^99 2 2 a (^) 0,20 DELLAValore BassoARARITADEL^ FENOMENOcausa
IL PROBLEMA MONTY HALL
a 2 3 3 porte^2 nascondonocapre^ e^1 nasconde^ il^ premio
Dopo^ Il^ concorrenteche il concorrentesceglie unaha scelto^ porta (^) ilvince conduttorequellochesinascondedietro alla porta apre una^ delledueposte Il conduttore^ sadovesta^ il^ premio
Apre Seentrambesempre una le porte^ portadovenoncontengononon^ c'è il^ premioil^ premio
apreunaporta^ acaso
Il giocatorepuòsceglierese cambiareporta Cosadevefare
PARADOSSO (^) convienesemprecambiare Ei (^) premiodietro la^ portai i^1 2, P E 43 I^1 2, FASE 1 giocatore^ sceglie una (^) porta supponiamo sia la 1e Montyaprelaporta3 senzapremio A (^) Montyapeporta^3 FASE 2 cambio^ P AIEA 42 PLAI E 2 I^ PCA E 2 O P E^ I A YES^
PAIEAPCE^112 ÈPCAEDPCE^113 1 2 1
73 P Es A^0 è^ giàstataaperta P (^) I A P AIEA^ P^ Er^1 43 CAMBIARE E PCA E PCE (^) LA IG 110 43
E
1 scelgoporta^ con^ il^ premio^ NonMiConviene cambiare
43 scelgoportasbagliata^ DEVO^ CAMBIARE
SCHEMA DELLE PROVE RIPETUTE SCHEMA DI BERNOULLI
Siripetediversevoltelostessoesperimento^ Ipossibiliesitiperciascunaprovasono
Ai se 1 provaho un successo
Ai se (^1) provaho m^ insuccesso Siparla di^ SCHEMA^ di^ Prove ripetute Sdb (^) se (^1) A1 A2 Ai sono indipendenti
2 P Ai p E O 1 sonoEQUIPROBABILI
es si lanciaripetutamente una^ moneta^ Ti^ T all'i esimolancio
Ho uno 5dB doveeventiTi sono (^) monp.com P (^) Ti (^) p ti
ESEMPIO
Estrazionecon reimmissione da U r (^6) Ri i esima estrazione^ è rossa Glieventisono^ indipendenti^ ed^ EQui^ Probabili P Ri (^) p (^) rt Vi caso i (^2) P Ra P Ran Ra P^ Ba A^ Ra cabina antistress^ città^ ri PIRINRa^ retina (^) RE I P Ra P Ra (^) VALEindipendINGENERALE
OSSERVAZ^ estraggo da Ucr^6 senza reimmissione P Ri^ Io VI taRi (^) ma sono indip CASI FAVOREVOLI (^) rebus (^1 2 30) i se io
rib a^ rib 3 Crab^ ita r
p Ri rib rtb Hb^ a^ rib a^ a urbirt 6 a Crab itsCrab^ i^ a r Fb ti
P (^) sempretesta P (^) Asti P (^) fissati
himPIÀTm^ leg pm^ o sempretesto (^) IO (^) infatti sempeT (^) Tata5 Tu
almeno una croce 7 A
Esistonoeventi^ QUASI^ IMPOSSIBILI^ P A^ O^ ma^ A^70 Esistono (^) eventi QUASI CERTI (^) P A 1 ma (^) A SL
RICORDA eventoIMPOSSIBILE^ O ed evento^ CERTO (^1)
FISSIAMO LE IDEE
M 3 K Z
si (^) GEE PCC a^ p
2 successi
insuccesso
P t^ p
CTC
gg
mai EEE CTT PINA (^) I PK (^1) p (^) p a^ p
p 1 p^3 p 1 p^ p^43 PIN 2 3 4372 43 419 0.
ESEMPIO
esame 10 domande^ a^ rispostamultipla 4 risposteperdomanda l'esame^ Unostudente^ non^ è preparato^ sceglie^ a^ caso indipendentemente^ Si^ supera se si^ ri^ nda^ ad almeno^ 6 domande^ p superarel'esame Ai (^) rispostacorretta i esima domanda i (^1) 2,3 10 M so indi P P A 14 I (^) 1,2 3 10 SDB N numero^ di^ rispostecorretto P (^) superal'esame PIN 76 P (^) II N^ K^ È PIN K i (^) p a^ pi (^) È E g^ b^ se
VARIABILI (^) ALEATORIE Variabilealeatoria casuale (^) codificagliesiti dello 1 in casi (^) numerici
Definiamo una^ variabile aleatoria ESITOLEVENTOcome^ unaELEMENTARE^ funzionesufficientemente^ buona
X A^ R^ WERHXCWIE.IR MYLEELÉPÈETEIA
IL (^) BIR w wa
FÈ (^) e μ p^
watt txt^ a WEC I^ DX C^ O
ESEMPIO SDB m^3 N^ no di^ successi^ TIC D CCC TCC CTC^ TTC^ TTT^1 2 w Ccc^ N^ wa o^2 t^ tL^2 t (^8)
Wa TCC^ t^ N^ Wa^ L
VI
CTC 1 N^ wa 1 altri esempi
tempo di^ guasto di un^ dispositivo
V7 TTC^ TEN^ wa^2 numero^ di^ arrivi^ a^ uno^ sportello
Wo TTT^ BN^ US 3 distribuzione^ sulterritorio^ divendite
EVENTI D'INTERESSE PER^ VARIABILI ALEATORIE
X c^ XE^ b^ a^ XE b^ X^ O^ U^ X 3
NOTAZIONE GENERALE
XE B B CIR HEB WEN^ XIN^ E^ B^ CR
