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Matematica per le Applicazioni Economiche I ó 08 gennaio 2019
Testo díesame A 1
La prova ha la durata di uníora e 45 minuti. Spiegate con molta cura le vostre risposte.
Esercizio 1 [10 punti] Omettendo lo studio della derivata seconda, si studi il graÖco di
f (x) =
ex ^4
x 4
Esercizio 2 [5 punti] Sia f : [ 2 ; 1]! R la funzione deÖnita da
f (x) = 1 + x^2.
Si individui líestremo superiore di f e si dica se esso Ë il massimo (ossia il valore massimo) di f.
Esercizio 3 [5 punti] Si trovino líinsieme dei punti di accumulazione e líestremo superiore di
ciascuno dei seguenti insiemi:
a. A = fx 2 R : 1 < x < 2 g;
b. B = fx 2 N : 16 < x < 24 g.
Esercizio 4 [7 punti]
a. Si dia la deÖnizione di limx! 1 f (x) = 1.
b. Si calcoli il seguente limite: limx!+ 1
p 1 + x + x^2
p 1 x + x^2
Esercizio 5 [6 punti]
a. Si dica se la seguente funzione f : R! R Ë derivabile:
f (x) =
x se x < 0
x^2 x se x 0
b. Motivando la risposta, si dica se la seguente a§ermazione (in corsivo) Ë vera o falsa:
Se una funzione g : R! R Ë continua e superiormente limitata, allora ammette almeno un
punto di massimo globale.
Esercizio 6 [7 punti] Sia A R^2 líinsieme di deÖnizione della funzione F a valori reali deÖnita
da
F (x; y) =
x
a. Si determini A.
b. Si calcoli líapprossimazione lineare di F (x; y) per (x; y) vicino a (x 0 ; y 0 ) = (1; 1).
SOLUZIONE del Testo díesame A 1
- Per punti.
Líinsieme di deÖnizione Ë Rnf 4 g.
Segno di f :
ñ f (x) < 0 se x 2 ( 1; 4)
ñ f (x) > 0 se x 2 (4; + 1 ).
Limiti:
ñ lim x!
ex ^4 x 4 =ì^
0 +
ex ^4 x 4 = 0.
ñ lim x! 4
ex ^4 x 4 =ì^
1 0 ^ î e dunque^ xlim! 4
ex ^4 x 4 =^ 1.
ñ lim x! 4 +
ex ^4 x 4 =ì^
1 0 +^ î e dunque^ xlim! 4
ex ^4 x 4 = +^1.
ñ lim x!+ 1
ex ^4 x 4 =ì
- 1
- 1 î e per il teorema di de líHÙpital^ x!lim+ 1
ex ^4 x 4 = +^1.
Continuit‡: la funzione Ë continua su Rnf 4 g.
Di§erenziabilit‡: la funzione Ë continuamente di§erenziabile su Rnf 4 g.
Derivata: la funzione derivata Ë deÖnita da f 0 (x) = e
x 4 (x 4)^2
(x 5).
Segno della derivata:
ñ f 0 (x) < 0 se x 2 ( 1; 4) [ (4; 5)
ñ f 0 (x) = 0 se x 2 f 5 g
ñ f 0 (x) > 0 se x 2 (5; + 1 ).
La funzione Ë strettamete decrescente su ( 1; 4) e su (4; 5]; la funzione Ë strettamente
crescente su [5; + 1 ). La funzione ha quindi un minimo relativo in 5 pari a e. Non vi
sono massimi e minimi assoluti. Non vi sono massimi relativi.
-4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
2
4
6
8
x
y
- Per lettera.
a. Abbiamo A = (Rnf 0 g) R.
b. Abbiamo F (1; 1) = 3. Essendo F 1 (x; y) = (^) x^22 ed F 2 (x; y) = 2y, abbiamo F 1 (1; 1) =
2 ed F 2 (1; 1) = 2. Quindi líapprossimazione lineare di F per (x; y) vicino a (1; 1) Ë
3 2 (x 1) + 2 (y 1)
ossia
2 y 2 x + 3.
Matematica per le Applicazioni Economiche I ó 08 gennaio 2019
Testo díesame B 1
La prova ha la durata di uníora e 45 minuti. Spiegate con molta cura le vostre risposte.
Esercizio 1 [10 punti] Omettendo lo studio della derivata seconda, si studi il graÖco di
f (x) =
ex ^6
x 6
Esercizio 2 [5 punti] Sia f : [ 2 ; 4]! R la funzione deÖnita da
f (x) = 2 x^3.
Si individui líestremo superiore di f e si dica se esso Ë il massimo (ossia il valore massimo) di f.
Esercizio 3 [5 punti] Si trovino líinsieme dei punti di accumulazione e líestremo superiore di
ciascuno dei seguenti insiemi:
a. A = fx 2 R : 2 < x < 3 g;
b. B = fx 2 N : 14 < x < 22 g.
Esercizio 4 [7 punti]
a. Si dia la deÖnizione di limx!+ 1 f (x) = 2.
b. Si calcoli il seguente limite: limx!
p 1 + x + x^2
p 1 x + x^2
Esercizio 5 [6 punti]
a. Si dica se la seguente funzione f : R! R Ë derivabile:
f (x) =
x se x < 0
x^2 + x se x 0
b. Motivando la risposta, si dica se la seguente a§ermazione (in corsivo) Ë vera o falsa:
Se una funzione g : R! R Ë continua e inferiormente limitata, allora ammette almeno un
punto di minimo globale.
Esercizio 6 [7 punti] Sia A R^2 líinsieme di deÖnizione della funzione F a valori reali deÖnita
da
F (x; y) =
x
a. Si determini A.
b. Si calcoli líapprossimazione lineare di F (x; y) per (x; y) vicino a (x 0 ; y 0 ) = (1; 1).
- La funzione f Ë strettamente decrescente ed il suo dominio ha un minimo: quindi 2 (ossia
il minimo del dominio) Ë líunica sede di massimo per f. Essendo f ( 2) = 10, concludiamo
che il massimo di f Ë 10. Ovviamente, 10 Ë anche líestremo superiore di f.
- Per lettera.
a. Líinsieme dei punti di accumulazione di A Ë [2; 3]. Líestremo superiore Ë 3.
b. Líinsieme dei punti di accumulazione di A Ë ;. Líestremo superiore Ë 21.
- Per lettera.
a. Diciamo che limx!+ 1 f (x) = 2 se per ogni numero reale " > 0 esiste un numero reale
r" tale che
2 " < f (x) < 2 + " per ogni numero reale x > r".
b. Il limite Ë 1 poichÈ
lim x!
p 1 + x + x^2
p 1 x + x^2
= lim x!
p 1 + x + x^2
p 1 x + x^2
p 1 + x + x^2 +
p 1 x + x^2 p 1 + x + x^2 +
p 1 x + x^2
= lim x!
2 x p 1 + x + x^2 +
p 1 x + x^2
= lim x!
1 x
p 1 + x + x^2 + (^1) x
p 1 x + x^2
= lim x!
q 1 x^2 +^
1 x + 1^
q 1 x^2 ^
1 x + 1
- Per lettera.
a. SÏ. La funzione f Ë speciÖcata da una funzione polinomiale sia sullíintervallo aperto
( 1; 0) che sullíintervallo aperto (0; + 1 ): la funzione f Ë quindi derivabile in ogni
punto dellíinsieme dei reali diverso da 0. Tuttavia, la derivata di f esiste Önita anche
nel punto 0 :
lim h! 0
f (0 + h) f (0)
h
= lim h! 0
h
h
e
lim h! 0 +
f (0 + h) f (0)
h
= lim h! 0 +
h^2 + h
h
= lim h! 0 +^
h + 1 = 1.
Quindi f Ë derivabile ovunque.
b. Lía§ermazione Ë generalmente falsa: si consideri la speciÖcazione g(x) = ex.
- Per lettera.
a. Abbiamo A = (Rnf 0 g) R.
b. Abbiamo F (1; 1) = 4. Essendo F 1 (x; y) = (^) x^32 ed F 2 (x; y) = 2y, abbiamo F 1 (1; 1) =
3 e F 2 (1; 1) = 2. Quindi líapprossimazione lineare di F per (x; y) vicino a (1; 1) Ë
4 3 (x 1) + 2 (y 1)
ossia
2 y 3 x + 5.
SOLUZIONE del Testo díesame C 1
- Per punti.
Líinsieme di deÖnizione Ë Rnf 8 g.
Segno di f :
ñ f (x) < 0 se x 2 ( 1; 8)
ñ f (x) > 0 se x 2 (8; + 1 ).
Limiti:
ñ lim x!
ex ^4 x 8 =ì^
0 +
ex ^8 x 8 = 0.
ñ lim x! 8
ex ^8 x 8 =ì^
1 0 ^ î e dunque^ xlim! 8
ex ^8 x 8 =^ 1.
ñ lim x! 8 +
ex ^8 x 8 =ì^
1 0 +^ î e dunque^ xlim! 8 +
ex ^8 x 8 = +^1.
ñ lim x!+ 1
ex ^8 x 8 =ì
- 1
- 1 î e per il teorema di de líHÙpital^ x!lim+ 1
ex ^8 x 8 = +^1.
Continuit‡: la funzione Ë continua su Rnf 8 g.
Di§erenziabilit‡: la funzione Ë continuamente di§erenziabile su Rnf 8 g.
Derivata: la funzione derivata Ë deÖnita da f 0 (x) = e
x 8 (x 8)^2
(x 9).
Segno della derivata:
ñ f 0 (x) < 0 se x 2 ( 1; 8) [ (8; 9)
ñ f 0 (x) = 0 se x 2 f 9 g
ñ f 0 (x) > 0 se x 2 (9; + 1 ).
La funzione Ë strettamente decrescente su ( 1; 8) e su (8; 9]; la funzione Ë stretta-
mente crescente su [9; + 1 ). La funzione ha quindi un minimo relativo in 9 pari a e.
Non vi sono massimi e minimi assoluti. Non vi sono massimi relativi.
-2 -1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
2
4
6
8
x
y
- La funzione Ë continua e deÖnita su un intervallo chiuso e limitato: líestremo superiore
di f esiste quindi in R e coincide col massimo di f. PoichË f Ë strettamente decrescente
su [ 2 ; 0] e strettamente crescente su [0; 1] almeno uno dei due seguenti casi deve valere:
o il punto 2 Ë un massimizzatore di f o il punto 1 Ë un massimizzatore di f. PoichÈ
1 = f ( 2) > f (1) = 14 , possiamo dire che il massimo Ë 1.
- Per lettera.
a. Líinsieme dei punti di accumulazione di A Ë [3; 4]. Líestremo superiore Ë 4.
b. Líinsieme dei punti di accumulazione di A Ë ;. Líestremo superiore Ë 22.
- Per lettera.
a. Diciamo che limx!+ 1 f (x) = 3 se per ogni numero reale " > 0 esiste un numero
reale r" tale che
3 " < f (x) < 3 + " per ogni numero reale x > r".
b. Il limite Ë 1 poichÈ
lim x!
p 1 x + x^2
p 1 + x + x^2
= lim x!
p 1 x + x^2
p 1 + x + x^2
p 1 x + x^2 +
p 1 + x + x^2 p 1 x + x^2 +
p 1 + x + x^2
= lim x!
2 x p 1 x + x^2 +
p 1 + x + x^2
= lim x!
1 x
p 1 + x + x^2 + (^1) x
p 1 x + x^2
= lim x!
q 1 x^2 +^
1 x + 1^
q 1 x^2 ^
1 x + 1
- Per lettera.
a. SÏ. La funzione f Ë speciÖcata da una funzione polinomiale sia sullíintervallo aperto
( 1; 1) che sullíintervallo aperto (1; + 1 ): la funzione f Ë quindi derivabile in ogni
punto dellíinsieme dei reali diverso da 1. Tuttavia, la derivata di f esiste Önita anche
nel punto 1 :
lim h! 0
f (1 + h) f (1)
h
= lim h! 0
1 h + 1
h
e
lim h! 0 +
f (1 + h) f (1)
h
= lim h! 0 +
1 2 h h^2 + 1 + h
h
= lim h! 0 +
h h^2
h
= lim h! 0 +^
1 h = 1.
Quindi f Ë derivabile ovunque.
b. Lía§ermazione Ë generalmente falsa: si consideri la speciÖcazione g(x) = ex.
Matematica per le Applicazioni Economiche I
Appello d'esame del 12 Febbraio 2019
FILA A - Turno 1
Esercizio 1. (10 punti) Si studi il gra co della funzione
f (x) = xe
− 2 x^2
Soluzione. La funzione è il prodotto di funzioni elementari e sarà pertanto continua e derivabile in tutto il
suo dominio.
Dominio: R. Segno/zeri: f (x) ≷ 0 ⇔ x ≷ 0 , f (0) = 0 è l'unico zero della funzione. f (−x) = −f (x),
quindi la funzione è dispari. Possiamo limitare quindi il resto dell'analisi alla semiretta
[0, +∞).
limx→+∞ f (x) = limx→+∞
x e^2 x^2
= 0 (usando le gerarchie tra in niti).
f ′(x) = e−^2 x
2
(1 − 4 x^2 ) > 0 ⇒ 0 < x <
1
2 ,^ f^
′(^1
2 ) = 0^ è l'unico punto stazionario della funzione:^ f
è strettamente crescente in (0,
1
2 )^ e strettamente decrescente in^ (
1
2 ,^ +∞),^ x^ =^
1
2 è punto di massimo
relativo ed assoluto della funzione, con valore massimo f (^12 ) = 12 e−^
1
f ′′(x) = 4xe−^2 x
2
(−3 + 4x^2 ) > 0 ⇒ x >
√ 3 2
: pertanto f è concava in (0,
√ 3 2
) e convessa in (
√ 3 2
x = 0 e x =
√ 3
2 sono punti di esso a tangente obliqua della funzione.
Usando la simmetria della funzione si può quindi tracciare il gra co:
Esercizio 2. (6 punti)
1. Per una funzione f : (a, b) → R e un punto x 0 ∈ (a, b) si de nisca la derivabilità di f in x 0.
2. Si scriva l'equazione della retta tangente al gra co di una funzione derivabile f (x) in un certo punto
x 0.
3. Si determini l'equazione della retta tangente al gra co della funzione
x + 1 − 1 nel punto x 0 = 0
Soluzione. 1. Vedi libro
2. y = f (x 0 ) + f ′(x 0 )(x − x 0 )
3. y = 0 +
1
2 (x^ −^ 0) =^
1
2 x
Esercizio 3. (6 punti)
Si consideri la funzione
f (x) =
1 − x
2
se x ≥ 1
ax + b se x < 1
e si determinino, se possibile, a e b in modo che essa sia derivabile in tutto R e se ne tracci un gra co.
Soluzione. E' necessario imporre che f sia innanzitutto continua: limx→ 1 − f (x) = a + b = 0 = f (1). Si ha
poi
lim
h→ 0 +
1 − (1 + h)^2 − 0
h
= lim
h→ 0 +
− 2 h − h^2
h
= −2 = lim
h→ 0 −
a(1 + h) + b
h
= a
da cui deduciamo i valori a = − 2 , b = 2.
Esercizio 4. (6 punti)
1. Si enunci il Teorema degli Zeri.
2. Usando il Teorema degli Zeri veri care che nell'intervallo (1, 2) l'equazione
x + x
2
ammette almeno una soluzione.
Soluzione. 1. Vedi libro
2. Considero la funzione f (x) =
x + x
2
− 3. La funzione è continua in [1, 2] e f (1) < 0 mentre f (2) > 0.
Allora esiste un punto x 0 ∈ (1, 2) tale che f (x 0 ) = 0.
Esercizio 5. (5 punti) Si calcolino i seguenti limiti:
1. limx→ 0
ln(1+2x) x
2. limx→−∞ x
(^3) +x (^2) + x^2 ln(−x)+8x+
Soluzione. 1. lim
x−→ 0
ln(1+2x) x
H
= lim
x−→ 0
2
1+2x = 2
2. lim
x−→−∞
x^3 +x^2 +
x^2 ln(−x)+8x+3 =^ x→−∞lim
x
ln(−x) =^ −∞
Esercizio 6. (7 punti) Data la funzione in due variabili:
F (x, y) = 5x
2
− 2 y + 3
Matematica per le Applicazioni Economiche I
Appello d'esame del 12 Febbraio 2019
FILA B - Turno 1
Esercizio 1. (10 punti) Si studi il gra co della funzione
f (x) = 2xe
−x^2
Soluzione. La funzione è il prodotto di funzioni elementari e sarà pertanto continua e derivabile in tutto il
suo dominio.
Dominio: R. Segno/zeri: f (x) ≷ 0 ⇔ x ≷ 0 , f (0) = 0 è l'unico zero della funzione. f (−x) = −f (x),
quindi la funzione è dispari. Possiamo limitare quindi il resto dell'analisi alla semiretta
[0, +∞).
limx→+∞ f (x) = limx→+∞
2 x ex^2
= 0 (usando le gerarchie tra in niti).
f ′(x) = e−x
2
(2 − 4 x^2 ) > 0 ⇒ 0 < x <
√ 2
2 ,^ f^
√ 2
2 ) = 0^ è l'unico punto stazionario della funzione:^ f
è strettamente crescente in (0,
√ 2 2
) e strettamente decrescente in (
√ 2 2
√ 2 2
è punto di massimo
relativo ed assoluto della funzione, con valore massimo f (
√ 2
2 ) =^
√ 2
2 e
− (^12)
f ′′(x) = 4xe−x
2
(−3 + 2x^2 ) > 0 ⇒ x >
3
2 : pertanto^ f^ è concava in^ (0,
3
2 )^ e convessa in^ (
3
2 ,^ +∞),
x = 0 e x =
3
2 sono punti di esso a tangente obliqua della funzione.
Usando la simmetria della funzione si può quindi tracciare il gra co:
Esercizio 2. (6 punti)
1. Per una funzione f : (a, b) → R e un punto x 0 ∈ (a, b) si de nisca la derivabilità di f in x 0.
2. Si scriva l'equazione della retta tangente al gra co di una funzione derivabile f (x) in un certo punto
x 0.
3. Si determini l'equazione della retta tangente al gra co della funzione ln(x + 1) nel punto x 0 = 0
Soluzione. 1. Vedi libro
2. y = f (x 0 ) + f
′
(x 0 )(x − x 0 )
3. y = 0 + 1(x − 0) = x
Esercizio 3. (6 punti)
Si consideri la funzione
f (x) =
x^2 + x se x ≥ 1
ax + b se x < 1
e si determinino, se possibile, a e b in modo che essa sia derivabile in tutto R e se ne tracci un gra co.
Soluzione. E' necessario imporre che f sia innanzitutto continua: limx→ 1 − f (x) = a + b = 2 = f (1). Si ha
poi
lim
h→ 0 +
(1 + h)^2 + 1 + h − 2
h
= lim
h→ 0 +
3 h + h^2
h
= 3 = lim
h→ 0 −
a(1 + h) + b
h
= a
da cui deduciamo i valori a = 3, b = − 1.
Esercizio 4. (6 punti)
1. Si enunci il Teorema degli Zeri.
2. Usando il Teorema degli Zeri veri care che nell'intervallo (0, 2) l'equazione
e
x
+ x
2
ammette almeno una soluzione.
Soluzione. 1. Vedi libro
2. Considero la funzione f (x) = e
x
+ x
2
− 4. La funzione è continua in [0, 2] e f (0) < 0 mentre f (2) > 0.
Allora esiste un punto x 0 ∈ (0, 2) tale che f (x 0 ) = 0.
Esercizio 5. (5 punti) Si calcolino i seguenti limiti:
A limx→ 0
ln(1−x) 3 x
B limx→+∞
x^3 −x^2 + x^3 ln(x)− 3 x+
Soluzione. 1. lim
x−→ 0
ln(1−x) 3 x
H
= lim
x−→ 0
1
3(1−x) =^
1 3
2. lim
x−→+∞
x^3 −x^2 +
x^3 ln(x)− 3 x+2 =^ x→lim+∞
1 − (^1) x + (^) x^13 ln(x)− (^) x^32 + (^) x^23
Matematica per le Applicazioni Economiche I
Appello d'esame del 12 Febbraio 2019
FILA C - Turno 1
Esercizio 1. (10 punti) Si studi il gra co della funzione
f (x) = xe
− x
2 2
Soluzione. La funzione è il prodotto di funzioni elementari e sarà pertanto continua e derivabile in tutto il
suo dominio.
Dominio: R. Segno/zeri: f (x) ≷ 0 ⇔ x ≷ 0 , f (0) = 0 è l'unico zero della funzione. f (−x) = −f (x),
quindi la funzione è dispari. Possiamo limitare quindi il resto dell'analisi alla semiretta
[0, +∞).
limx→+∞ f (x) = limx→+∞
x
e
x^2 2
= 0 (usando le gerarchie tra in niti).
f ′(x) = e−^
x^2
2 (1 − x^2 ) > 0 ⇒ 0 < x < 1 , f ′(1) = 0 è l'unico punto stazionario della funzione: f è
strettamente crescente in (0, 1) e strettamente decrescente in (1, +∞), 1 è punto di massimo relativo
ed assoluto della funzione, con valore massimo f (1) = e−^
1
f ′′(x) = xe−^
x^2
2 (−3 + x^2 ) > 0 ⇒ x >
3 : pertanto f è concava in (0,
3) e convessa in (
x = 0 e x =
3 sono punti di esso a tangente obliqua della funzione.
Usando la simmetria della funzione si può quindi tracciare il gra co:
Esercizio 2. (6 punti)
1. Per una funzione f : (a, b) → R e un punto x 0 ∈ (a, b) si de nisca la derivabilità di f in x 0.
2. Si scriva l'equazione della retta tangente al gra co di una funzione derivabile f (x) in un certo punto
x 0.
3. Si determini l'equazione della retta tangente al gra co della funzione ex+1^ nel punto x 0 = − 1.
Soluzione. 1. Vedi libro
2. y = f (x 0 ) + f
′
(x 0 )(x − x 0 )
3. y = 1 + 1(x + 1) = x + 2
Esercizio 3. (6 punti)
Si consideri la funzione
f (x) =
−x^2 + 2 se x ≥ 1
ax + b se x < 1
e si determinino, se possibile, a e b in modo che essa sia derivabile in tutto R e se ne tracci un gra co.
Soluzione. E' necessario imporre che f sia innanzitutto continua: limx→ 1 − f (x) = a + b = 1 = f (1). Si ha
poi
lim
h→ 0 +
−(1 + h)^2 + 2 − 1
h
= lim
h→ 0 +
− 2 h − h^2
h
= 3 = lim
h→ 0 −
a(1 + h) + b
h
= a
da cui deduciamo i valori a = − 2 , b = 3.
Esercizio 4. (6 punti)
1. Si enunci il Teorema degli Zeri.
2. Usando il Teorema degli Zeri veri care che nell'intervallo (0, 2) l'equazione
ln(x + 1) + x
2
ammette almeno una soluzione.
Soluzione. 1. Vedi libro
2. Considero la funzione f (x) = ln(x + 1) + x
2
− 2. La funzione è continua in [0, 2] e f (0) < 0 mentre
f (2) > 0. Allora esiste un punto x 0 ∈ (0, 2) tale che f (x 0 ) = 0.
Esercizio 5. (5 punti) Si calcolino i seguenti limiti:
A limx→ 0
ln(1+3x) x
B limx→−∞
x^2 ln(−x)−x+ x^3 −x^2 +
Soluzione. A lim
x−→ 0
ln(1+3x) x
H
= lim
x−→ 0
3
1+3x = 3
B lim
x−→−∞
x^2 ln(−x)−x+
x^3 −x^2 +8 =^ x→−∞lim
ln(−x)
x = 0
