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2-TRASFORMAZIONI LINEARI Tn questo capitolo presentiamo i) principale strumento di lavoro per raggiungere il nostro obiettivo: le trasformazioni lineari” Quella che segue non è una trattazione sistematica dell'argomento e neppure un riassunto. Si vuole fornire al lettore la possibilità di conoscere e riconoscere, lavorando quasi come per esercizio, le trasformazioni lineari, Pertanto Îl modo «li procedere è varia ponendo ora l'accento su un problema ora su un altro stimolando lo studente a chiudere i calcoli, sistemare i risultati ottenuti e riottenerii in modo analogo allorquando sì propone uno stesso problema. Sottolincamo inoltre che volutamente si è tenuto un simbolismo semplice allo scopo di raggiungere un pubblico che, per non essendo cultore della materia, voglia imparare a muoversi in modo agile e concreto in questi mondi matematici che in realtà sono supportati da rigorose e complesse teorie. Le trasformazioni lineari algebriche di R* su R° costituiscono un legame algebrico ira vettori e matrici; sì rappresentano in forma scalare tramile at + atti +h=% ay + ata At b=% atta Da mentre in forma matriciale come Avtb=ax Gn Io 0 ” x Ono ln <> I Va “a essendo A=| . L020 + |, det A#0 , b ’ . In Ia Tn Vn ba Sa dove v è il vettore da trasformare, b è un vettore assegnalo e x è il vettore Irasformato. Limita le nostre considerazioni agli spazi R* ed R°. Le trasformazioni geometriche di uno spazio R'o R? su se stesso sono corrispondenze biunivoche tra i punti dello spazio. Nel linguaggio delle trasformazioni si 16 dice punto, retta e piano unito il punto, Ja relta ed il piano che corrispondono a se stessi: pertanto retta unita e, per esempio, retta di punti uniti non sono sinonimi. Diciamo subito che tramite le trasformazioni lineari è possibile studiare solo alcune trasformazioni geomelriche. Nel seguito ci occuperemo di caratterizzare lc pricipali proprietà da un lato delle trasformazioni geometriche e dall'altro delle matrici che definiscono le trasformazioni lineari, cercando, volutamente senza troppa sistematicità, di evidenziare come le prime trovino una loro formalizzazione nelle seconde (problema diretto) 0 come le seconde trovino una caratterizzazione nelle prime (problema inverso). In particolare evidenzieremo i problemi diretti che risultano di maggiore interesse nelle applicazioni, PARTE PRIMA 2-1 TRASFORMAZIONI LINEARI DI R° SU R? i Consideriamo il caso di matrice quadrata ad elementi reali non singolare A,,,,divex vettori dello spazio R?. La trasformazione lineare si rappresenta sinteticamente AVIb=x i an ale]. fa an @nflwi lb) Db Ma € per esteso 2-1-1 Isometrie In geometria con il termine trasformazione isometrica s'intende ogni corrispondenza biunivoca tra i punti del piano che conserva la distanza. In algebra isometria è ogni trasformazione lineare tale che A sia ortogonale e cioè ATASI. 1 legame fra le due si stabilisce con la seguente osservazione: Pi | | ha come trasformato e-[1 +anP+b ant anPa td, 
