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3.1 Concetto di Matrice
3.2 Operazioni tra matrici
Quadrata Nulla Diagonale Colonna Riga A = ( a 11.^.^.^ a 1 m ) A = 011... (^01) n 021... (^02) n
......... (^0) n 1... (^0) nn A =
- 0 0 0 0 * 0 0 0 0 * 0 0 0 0 *
A =
) A^ =
a 11 a 21
... an 1 Somma di Matrici Siano matrici , matrice
È un gruppo commutativo per matrici di stesse dimensioni
- elemento neutro^ (matrice nulla)
è l’opposto della matrice
- Associativa A , B m x n A + B m x n A = a 11 a 12 a 13 a 21 a 22 a 23 a 31 a 32 a 33 B = b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 b 31 b 32 b 33 ⟹ A + B = a 11 + b 11 a 12 + b 12 a 13 + b 13 a 21 + b 21 a 22 + b 22 a 23 + b 23 a 31 + b 31 a 32 + b 32 a 33 + b 33 ( Mm xn (ℂ), + ) A + B = B + A , ∃ (^0) m xn − A = − a 11 − a 12 − a 13 − a 21 − a 22 − a 23 − a 31 − a 32 − a 33 A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) Moltiplicazione per Scalare Sia matrice , , moltiplicazione per scala, è un gruppo
- elemento neutro
è l’opposto della matrice
- Associativa A m x n λ ∈ ℂ A = ( a 11... a 1 n ......... am 1... amn ) ⋅ λ ⟹ λ ⋅ A = ( λ a 11... λ a 1 n ......... λ am 1... λ amn ) ( Mm xn (ℂ), ⋅ ) A ⋅ 1 = A ∃ 1 − A = − a 11 − a 12 − a 13 − a 21 − a 22 − a 23 − a 31 − a 32 − a 33 A ( A + B ) ⋅ λ = λ A + λ B
Moltiplicazione di Matrici (^) Siano , = , moltiplicazione tra matrici, non è un gruppo
- non è commutativa
- Associativa
- = quindi l’elemento neutro è l’ Identità = Am xn , Bn xs A ⋅ B = Cm xs = a 11 a 12 a 21 a 22 a 31 a 32
b 11 b 12 b 13 b 21 b 22 b 23 ) C = ( a 11 ⋅ b 11 ) + ( a 12 ⋅ b 21 ) ( a 11 ⋅ b 12 ) + ( a 12 ⋅ b 22 ) ( a 11 ⋅ b 13 ) + ( a 12 ⋅ b 23 ) ( a 21 ⋅ b 11 ) + ( a 22 ⋅ b 21 ) ( a 21 ⋅ b 12 ) + ( a 22 ⋅ b 22 ) ( a 21 ⋅ b 13 ) + ( a 22 ⋅ b 23 ) ( a 31 ⋅ b 11 ) + ( a 32 ⋅ b 21 ) ( a 31 ⋅ b 12 ) + ( a 32 ⋅ b 22 ) ( a 31 ⋅ b 13 ) + ( a 32 ⋅ b 23 ) ( Mm xn (ℂ), ⋅ ) Mm xn (ℂ) x Mm xn (ℂ) → Mm xn (ℂ) A ⋅ B ≠ B ⋅ A A ( BC ) = ( A B ) C ( a b c d )( 1 0 0 1 )^ ( a b c d )^ I = 1 0... O 0 1... O
............ 0 0... 1 ( 1 0 0 1 )( a b c d )^ ( a b c d ) Trasposizione (^) Sia matrice , la sua trasposta sarà Di fatto la trasposizione di matrice scambia tra di loro righe e colonne in questo modo: dove A m x n AT^ n x m A = ( a b c d e f ) ⟹ AT^ = a d b e c f ( AT^ ) T^ = A Trasposizione Coniugata Sia matrice , la sua trasposta coniugata sarà [ricordo che il coniugato di sarà ] Di fatto la trasposizione coniugata di matrice scambia tra di loro righe e colonne e coniugata i numeri complessi presenti nella matrice in questo modo: dove A m x n AH^ n x m z = a + ib z = a − ib A = a i d + i b e − 2 i c f + 7 i ⟹ AH^ = ( − a i b c d − i e + 2 i f − 7 i ) ( AH^ ) H^ = A ( A , B ) → A ⋅ B
3.4 Matrice Inversa
Def Il Rango di una matrice equivale al numero di colonne dominanti nella loro forma a scala Esso dipende inequivocabilmente dal numero di righe in quanto in una matrice il rango ( ) sarà al massimo (numero di righe), quindi
- Se il sistema ha un’unica soluzione
- Se il sistema ha infinite soluzioni dipendenti da variabili Am xn , rK A m rK A ≤ m rK A = n rK A < n Def (^) Data una matrice una Matrice inversa Destra per è un matrice tale che: matrice identità di dimensioni Am xn , A Rn xm R ⋅ A = Im xm = ( 1... O ......... 0... 1 )^ m x m Teorema (^) Data una matrice le seguenti affermazioni sono equivalenti:
- A ammette inversa destra
- Il sistema ha soluzione (sempre soluzione)
- Il rango di A è m (numero di righe), quindi Am xn , A x = b ∀ b rK A = m DIM ammette matrice destra Ipotesi : ha soluzione Tesi : Questo sistema ha soluzione se e solo se tutte le righe di hanno un 1 dominante A x = b ∀ b rK A = m ( A | b ) → ( U | c ) → 1... | 1... | 1... | ∀ c U ⟹ rK A = m 2 ⟹ 1
Am xn
Ipotesi : Tesi : Dato il sistema lineare ha soluzione Quindi prendo verifico che è soluzione ∃ Rn xm : A R = I bm x 1 A x = b x = Rb x A ⋅ x = A ⋅ Rb → A x = A Rb = ( A R ) b = I b Ipotesi : Tesi : Dove con = i-esima colonna di con = i-esima colonna di Voglio trovare le opportune colonne tali che: quindi Per ipotesi, ogni sistema lineare ammette soluzione Se per ogni prendo come una soluzione di , la matrice è inversa destra rK A = m ∃ Rn xm : A R = I R = ( c 1 c 2.^.^.^ cm ) ci R I = ( e 1 e 2.^.^.^ em ) ei I ( c 1 c 2.^.^.^ cm ) A ( c 1 c 2.^.^.^ cm ) = ( e 1 e 2.^.^.^ em ) (^) ( Ac 1 Ac 2... Acm ) = ( e 1 e 2.^.^.^ em ) A x = ei ( A |^ ei ) → ( U |^ ?) i = 1,..., m ci A x = ei R ( c 1 c 2.^.^.^ cm ) 1 ⟹ 2 3 ⟹ 1 Osservazione (^) Se Am xn ammette inversa destra, allora m ≥ n
Def (^) Data una matrice una Matrice inversa Sinistra per è un matrice tale che: matrice identità di dimensioni Am xn , A Ln xm A ⋅ L = In xn = ( 1... O
......... 0... 1 )^ n x n Teorema (^) Data una matrice le seguenti affermazioni sono equivalenti:
- A ammette inversa sinistra
- Il sistema ha un’unica soluzione (il vettore nullo)
- Il rango di A è n (numero di colonne), quindi
- ammette inversa destra Am xn , A x = 0 rK A = n AH^ A DIM ammette matrice sinistra 2 ⟹ 1 Ipotesi : Tesi : Se , allora Considerando l’esistenza di moltiplico: ∃ Ln xm : L A = I A x = 0 x = 0 L L ⋅ A x = L ⋅ 0 → I x = 0 → x = 0 Ipotesi : Se , allora Tesi : L’unico modo per il quale questa matrice in forma a scala abbia soluzione è la presenza di tutte colonne dominanti quindi A x = 0 x = 0 rK A = n ( A |^ b ) → ( U |^ c ) → ( 1... | 1... | ) Ipotesi : Tesi : ammette inversa destra Dimostro che il rango di è uguale ad per poter applicare il Th. delle inverse destre (mostro che ha un’unica soluzione) Supponiamo che dove e Quindi il prodotto sarà e quindi l’unico modo perché il sistema abbia soluzione è che per ipotesi rK A = n AH^ A AH^ A n AH^ A = 0 xH^ AH^ A x = x 0 → ( A x ) H^ A x = 0 A x = y → yH^ y = 0 y = y 1 y 2 ... yn yH^ = ( y 1 y 2.^.^.^ yn ) yH^ y = y 1 y 1 +... + yn yn = | y 1 |^2 +... + | yn |^2 yi = 0 yH^ y = 0 ⟹ y = 0 ⟹ A x = 0 x = 0 Ipotesi : Tesi : L’utilizzo la trasposizione per dimostrare l’esistenza di ∃ Rn xm : ( AH^ A ) R = I ∃ Ln xm : L A = I L (( AH^ A ) R ) H^ = ( I ) H^ → RH^ AH^ A = IH^ → H^ AH^ A = I → L A = I 3 ⟹ 4 4 ⟹ 1 1 ⟹ 2
Am xn
