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Variabile
Sia I un insieme di numeri, si dice variabile a valori in I ogni simbolo a , b , x , … che può assumere un qualunque valore numerico appartenente all'insieme I
Espressione algebrica
Se si collegano mediante le quattro operazioni elementari occorrenze di una variabile x e simboli che indicano numeri si ottiene una espressione razionale in x Esempi:
Se si collegano mediante le operazioni elementari e le operazioni di estrazione di radice di ordini assegnati occorrenze di una variabile x e simboli che indicano numeri si ottiene una espressione irrazionale in x Esempi:
Le espressioni razionali ed irrazionali si dicono espressioni algebriche In modo analogo si definiscono le espressioni algebriche in più variabili
Espressione logaritmica
Se in una espressione ogni occorrenza di x è sostituita con una espressione del tipo log a x , si ottiene una espressione logaritmica in x. Esempi: (log 2 x )^3 + 4 log 2 x − 3 log 3 x + 3 log 5 x + 1/
Espressione esponenziale
Se in una espressione ogni occorrenza di x è sostituita con una espressione del tipo a x^ , si ottiene una espressione esponenziale in x. Esempio: 23 x^ + 3 x^ − 5
Espressione trascendente
Se in una espressione solo alcune occorrenza di x sono sostituite con a x^ e/o con log (^) a x si ottiene una espressione trascendente in x. Esempi: 4 x^3 − log a x
52 x^ + x^2 − log 4 x
Equazioni in una variabile
Siano A ( x ), B ( x ) due espressioni nella variabile x. L'uguaglianza A ( x ) = B ( x ) si dice equazione nella variabile x. Ogni numero che sostituito ad x rende vera l'uguaglianza si dice soluzione o radice della equazione.
Una equazione che ammette come soluzione ogni valore di x per il quale le due espressioni non perdono di significato si dice equazione indeterminata o identità in x. Una equazione per la quale non esistono soluzioni si dice equazione impossibile.
Equazioni equivalenti
Data l'equazione A ( x ) = B ( x ) se n è un intero positivo dispari allora l'equazione data è equivalente all'equazione [ A ( x )] n^ = [ B ( x )] n
se n è un intero positivo pari allora l'insieme delle soluzioni dell'equazione A ( x ) = B ( x ) è contenuto nell'insieme delle soluzioni dell'equazione [ A ( x )] n^ = [ B ( x )] n^ , infatti risolvere l'equazione [ A ( x )] n^ = [ B ( x )] n equivale a determinare le soluzioni sia dell'equazione A ( x ) = B ( x ) che dell'equazione A ( x ) = − B ( x )
Teorema fondamentale dell'algebra
Ogni equazione algebrica del tipo a (^) n x n^ + an − 1 x n −^1 +... + a 2 x^2 + a (^) 1 x + a 0 = 0 a coefficienti reali a (^) n , a (^) n −1,... , a (^) 2, a (^) 1, a (^) 0 di grado n ( a (^) n ≠ 0) ammette nel campo complesso n soluzioni se ciascuna è contata secondo il proprio ordine di molteplicità. Se il grado n è dispari, l'equazione ammette un numero dispari di soluzioni reali (ciascuna contata secondo il proprio ordine di molteplicità). Se il grado n è pari, l'equazione ammette un numero pari di soluzioni reali (ciascuna contata secondo il proprio ordine di molteplicità).
Equazione di primo grado
Si dice equazione di primo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a 1 x + a 0 = 0
con a (^) 1, a (^) 0 coefficienti numerici , a 1 ≠ 0. Da a (^) 1 x + a 0 = 0 sommando ad entrambi i membri − a 0
si ottiene l'equazione equivalente a 1 x = − a (^) 0, quindi moltiplicando entrambi i membri per si ottiene la soluzione dell'equazione
Esempio: 3 x + 2 = 0 ammette come soluzione x = − 2 / 3
Interpretazione grafica
della risoluzione di un'equazione
di primo grado
Ogni equazione di primo grado in due variabili del tipo y = mx + q con m , q ∈ ha come rappresentazione grafica la retta di coefficiente angolare o pendenza m e ordinata all'origine q (ordinata del punto nel quale la retta interseca l'asse delle ordinate)
La retta di equazione y = mx + q con m ≠ 0 interseca l'asse delle ascisse nel punto A di ordinata nulla e di ascissa la soluzione dell'equazione di primo grado mx + q = 0
Si ricorda inoltre che l'equazione generale di una retta è del tipo ax + by + c = 0 ed in particolare l'equazione di una retta parallela all'asse x è: y = q ( a = 0 , b ≠ 0, q = − c / b )
l'equazione di una retta parallela all'asse y è:
Si dice equazione di secondo grado nell'incognita x ogni equazione del tipo: a 2 x^2 + a (^) 1 x + a 0 = 0
con a 2, a 1, a 0 coefficienti numerici e a (^) 2 ≠ 0, o con un cambio di lettere a x^2 + b x + c = 0. La soluzione si ottiene con i seguenti passaggi:
Discussione di una equazione di secondo grado: a ≠ 0 e b^2 − 4 ac > 0 se e solo se l'equazione ammette due soluzioni reali e distinte a ≠ 0 e b^2 − 4 ac = 0 se e solo se l'equazione ammette due soluzioni reali coincidenti a ≠ 0 e b^2 − 4 ac < 0 se e solo se l'equazione ammette due soluzioni complesse e coniugate, pertanto non ammette in questo caso soluzioni reali Esempio:
Esempio:
Esempio:
Relazioni fra le soluzioni e i coefficienti dell'equazione a x^2 + b x + c = 0
Interpretazione grafica
della risoluzione di un'equazione
di secondo grado
y = ax^2 + bx + c con a ≠ 0 ha come rappresentazione grafica la parabola con asse parallelo all'asse y , e vertice V Se a < 0 allora la parabola è "rivolta verso il basso" Se a > 0 allora la parabola è "rivolta verso l'alto"
Se b^2 − 4 ac > 0 la parabola y = ax^2 + bx + c interseca l'asse delle ascisse nei punti A( x (^) 1, 0), B( x 2, 0) con x (^) 1, x (^) 2 soluzioni dell'equazione di secondo grado ax^2 + bx + c = 0
Se b^2 − 4 ac = 0 la parabola y = ax^2 + bx + c è tangente all'asse delle ascisse nel punto A( x (^) 1, 0) con x (^) 1 soluzione con molteplicità due dell'equazione di secondo grado ax^2 + bx + c = 0
Se b^2 − 4 ac < 0 la parabola y = ax^2 + bx + c non interseca l'asse delle ascisse
