Variabili aleatorie parte seconda, Slide di Statistica

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Statistica

Variabili aleatorie continue

Francesco Pauli

A.A. 2015/

Indice

Variabili aleatorie continue

La distribuzione normale

Risultati asintotici del calcolo delle probabilità

Variabili aleatorie doppie continue

Riepilogo

Distribuzione di probabilità di una v.a. continua

I (^) Ricordiamo le lezioni di statistica descrittiva. I (^) Per variabili continue la distribuzione di frequenza veniva rappresentata per intervalli. I (^) Ad esempio con riferimento ai ritardi di un treno potremmo avere

classe prob (0,5] 0. (5,10] 0. (10,15] 0. (15,25] 0. (25,Inf] 0.

Ritardo (minuti)

0 5 10 25

Da istogramma a densità

Abbiamo innite osservazioni, possiamo anare l'istogramma

classe prob (0,5] 0. (5,10] 0. (10,15] 0. (15,25] 0. (25,Inf] 0.

Ritardo (minuti)

0 5 10 25

Da istogramma a densità

Abbiamo innite osservazioni, possiamo anare l'istogramma

Ritardo (minuti)

0 4 8 13 19 25 31 37 43

Da istogramma a densità

Abbiamo innite osservazioni, possiamo anare l'istogramma no a sostituirlo con una curva: la funzione di densità

Ritardo (minuti)

0.0 6.5 13.5 21.5 29.5 37.

Interpretazione della funzione di densità

L'interpretazione è analoga all'istogramma: le aree rappresentano probabilità anziché frequenze.

0 10 20 30 40

Ritardo

5 10

La probabilità di osservare un valore tra 5 e 10 è 0.25, in simboli

P( 5 ≤ X ≤ 10 ) = 0. 25

Funzione di densità e probabilità

Di particolare importanza è P(X ≤ x)

0 10 20 30 40

Ritardo

0 10

La probabilità di osservare X inferiore a 10 è 0.76, in simboli

P(X ≤ 10 ) = 0. 76

Funzione di densità: denizione

Funzione di densità La funzione di densità di una v.a. X è una funzione f (x), non negativa, e la cui area sottesa (integrale) è la probabilità di X : ∫ (^) b

a

f (t)dt = P(a ≤ X ≤ b)

x

a b

⌠ ⌡a

b

f(t)dt

f(x)

Funzione di densità: denizione

Funzione di densità La funzione di densità di una v.a. X è una funzione f (x), non negativa, e la cui area sottesa (integrale) è la probabilità di X : ∫ (^) b

a

f (t)dt = P(a ≤ X ≤ b)

La funzione di densità deve soddisfare alle proprietà (i) f (x) ≥ 0 (ii)

−∞ f^ (t)dt^ =^1

Funzione di ripartizione

Funzione di ripartizione La funzione di ripartizione di una v.a. X è la funzione

F (x) = P(X ≤ x) =

∫ (^) x

−∞

f (t)dt

Si noti che la funzione di ripartizione soddisfa alle seguenti proprietà I (^) F (x) ≥ 0 per ogni x ∈ R; I (^) F (x) è non decrescente; I (^) lim x→−∞ F (x) = 0; I (^) lim x→+∞F^ (x) =^ 1.

Esempio: densità uniforme su [ 0 , 3 ]

Ci sono numerose funzioni di densità, qualunque funzione a valori non negativi con integrale (area totale sottesa) pari a 1 è una funzione di densità.

−1 0 1 2 3 4 x

1 3

Uniforme tra 0 e 3

f (x) =

1 / 3 se 0 ≤ x ≤ 3 0 altrimenti

Qual è P( 1 ≤ X ≤ 2 )?

Distribuzione uniforme su [α, β]

La distribuzione uniforme è molto semplice, possiamo calcolare le probabilità ad essa riferite

x

(^0) α β

1 β − α

c d

p = (^) β − αd^ −^ c P(c ≤ X ≤ d) = d − c β − α

Distribuzione uniforme su [α, β]

La distribuzione uniforme è molto semplice, possiamo calcolare le probabilità ad essa riferite

x

(^0) α β

1 β − α

c d

p = (^) β − αd^ −^ c

x

(^0) α β

1 β − α

x

F(x) = xβ − α^ − α

P(c ≤ X ≤ d) = d − c β − α

F (x) =

x − α β − α