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Il concetto di variabili aleatorie discrete e delle loro distribuzioni di probabilità. Vengono introdotte le funzioni di probabilità discrete e il concetto di funzione di ripartizione. Vengono forniti esempi e formule per il calcolo del valore atteso e della varianza di una variabile aleatoria discreta. Vengono inoltre introdotte le distribuzioni binomiali e la distribuzione di gauss.
Tipologia: Schemi e mappe concettuali
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Funzioni di probabilità discrete
Si dice variabile aleatoria discreta una quantità che può assumere i valori al verificarsi degli eventi incompatibili e complementari le cui probabilità sono ed è Gli eventi si dicono incompatibili se si escludono a vicenda; sono complementari se due di essi non possono verificarsi contemporaneamente e uno fra tutti certamente si verifica.
Per indicare che ad ogni valore assunto dalla variabile viene associato un valore di probabilità si scrive: Si rappresenta poi la distribuzione in una tabella come la seguente: All’insieme dei valori di probabilità associati a quelli assunti dalla variabile aleatoria si dà il nome di distribuzione di probabilità della variabile. Possiamo rappresentare la distribuzione di probabilità di una variabile casuale discreta con un diagramma cartesiano. Funzioni di probabilità discrete
Quindi: 1/2 1/4 1/8 1/ Funzioni di probabilità discrete
Sommando le probabilità dalla prima fino all’i-esima, si ottiene la probabilità che la variabile assuma valori minori o uguali a La funzione che si ottiene al variare di da 1 a si chiama funzione di ripartizione: Funzioni di probabilità discrete
Lanciamo un dado regolare. La variabile aleatoria è il numero che compare sulla faccia superiore. La variabile può i valore 1, 2, 3, 4, 5, 6 e la probabilità di ciascuno di questi valori è. Funzioni di probabilità discrete
(^) è definita su tutto l’insieme reale, assume valori non decrescenti e si mantiene compresa fra e (). (^) Il suo grafico ha una forma a ‘’a gradini’’ in cui il salto fra un gradino e l’altro rappresenta il valore di probabilità in quel punto. (^) Valgono inoltre le seguenti relazioni: dove le scritture del tipo rappresentano la probabilità che la variabile aleatoria assuma valori appartenenti all’intervallo in questo caso aperto a sinistra e chiuso a destra. Funzioni di probabilità discrete
Data una variabile aleatoria e posto , si chiama varianza di , e si indica con il simbolo oppure , il valore atteso del quadrato della differenza fra la variabile ed il suo valore atteso: Alla radice quadrata della varianza si dà il nome di scarto quadratico medio o deviazione standard , e si indica con il simbolo : Si dimostra che la varianza può essere calcolata con la formula: . Se consideriamo la variabile aleatoria che assume valori con probabilità , la formula diventa:
Calcoliamo il valor medio e la varianza della variabile casuale definita dalla tabella: Valori di sintesi
Chiamiamo esperimento di Bernoulli un esperimento aleatorio che può avere solo due possibili esiti; quello che interessa viene detto successo , l’altro insuccesso. La probabilità dell’evento successo, viene detta parametro dell’esperimento aleatorio. La variabile aleatoria che conta il numero di successi nella ripetizione di volte dell’esperimento viene detta binomiale.
La binomiale
Sia una variabile aleatoria binomiale di parametro. La probabilità che su ripetizioni si verifichino successi è uguale a: con essendo Possiamo quindi scrivere la funzione distribuzione di probabilità nel seguente modo: Essa prende il nome di distribuzione binomiale di ordine e parametro , o anche distr ibuzione di Bernoulli e viene indicata con Per questa distribuzione si ha che: La binomiale
L’evento è quindi unione di cinque eventi disgiunti e quindi la sua probabilità sarà ottenuta dalla somma di tali probabilità: La probabilità di essere ammessi al corso rispondendo a caso alle domande è quindi:
La binomiale
Una variabile aleatoria è continua se può assumere tutti i valori che appartengono ad un certo intervallo , anche illimitato. In tal caso si parla di funzione densità di probabilità definita come segue:
La distribuzione di Gauss
La distribuzione di Gauss
