Concetti di base delle variabili casuali, Appunti di Statistica

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VARIABILI CASUALI

definizione definizione

Una variabile casuale è una

variabile che assume determinati

valori in modo casuale (non

deterministico).

Esempi

• l’esito di una estrazione del Lotto;
• il risultato di una partita di calcio;
• il voto di un esame;
• il numero di autovetture che fanno rifornimento in un determinato distributore in un giorno;
• la durata della vita di una persona;
• il numero di incidenti stradali in un determinato periodo;

esempio 1 esempio 1

Consideriamo il lancio di una moneta. Sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa.

Allora:

Ω = {testa, croce}

⎩

⎨

⎧

=

=

( ) 0

( ) 1

ω

ω

X

X se^ ω^ = testa

se ω = croce

In questo modo, la variabile casuale X associa un numero reale ad ogni esito dell’esperimen- to.

definizione definizione

Poiché ogni elemento x dell’insieme X(Ω) ha una sua probabilità di accadere, definendo una variabile casuale si definisce implicitamente anche una funzione di probabilità:

p : X (Ω ) → ℜ 0

definita dalla relazione p ( x ) = P[X= x ] che gode delle seguenti proprietà:

∑ =

≥

( ) 1

( ) 0

p x

1. p x

Questa funzione p ( x ) costituisce la distribuzione di probabilità della v.c. X.

esempio 2 esempio 2(1)(1)

Consideriamo il lancio di due monete. Sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa.

Lo spazio campione è:

Ω = {TT, TC, CT, CC}

Per ciascun elemento dello spazio campione avremo una trasformazione mediante la X:

X(TT) = 2; X(TC) = 1; X(CT) = 1; X(CC) = 0

conseguentemente l’insieme immagine di X diventa:

X(Ω) = {2, 1, 0}

esempio 2 esempio 2(2)(2)

Dal momento che ciascun elemento di questo insieme ha una probabilità di avverarsi possia- mo costruire una distribuzione di probabilità

x p(x)

0 1/

1 2/4=1/

2 1/

N.B. Per definire una v.c. non basta conoscere il suo dominio Ω e l’insieme dei valori ammissibili della stessa X(Ω); bisogna anche assegnare una legge di distribuzione che mette in evidenza come è distribuita la probabilità sui possibili valori della v.c.

esempio 3 esempio 3(1)(1)

Sia X la variabile casuale che indica il numero di volte che è uscita testa (vedi esempio 2); si rappresenti graficamente la distribuzione di probabilità di tale variabile.

funzione di ripartizione funzione di ripartizione

La (^) funzione di ripartizionefunzione di ripartizione F(x) , è una funzione che associa a ciascun valore definito x 0 la probabilità che la v.c. assuma un valore non superiore a x 0 stesso; formalmente :

F^ (^ x 0 )^ = P [^ X ≤ x 0 ]

F(x) gode delle seguenti proprietà:

( ) [ ]

( ) [ ] 1

0

• ∞ = ≤ +∞ =

− ∞ = ≤ −∞ =

F P X

1. F P X

Graficamente la funzione di ripartizione F(x) , è una funzione monotòna non decrescente che si compone di una serie di gradini; il suo valore minimo è 0, il massimo è 1 :

esempio 3 esempio 3(3)(3)

variabili casuali continue variabili casuali continue

Una v.c. X è continua se è una funzione che può assumere tutti i valori reali in un intervallo limitato [ a,b ] o in un intervallo illimitato; in questo caso anche l’insieme

X( Ω ) è continuo.

P [ X = xi ] = 0

ATTENZIONE ATTENZIONE

Se la v.c. X è continua non ha più senso la definizione di funzione di probabilità data per il caso discreto.

infatti:

∀ x ∈^ [ a^ , b ]

variabili casuali continue variabili casuali continue

Geometricamente la probabilità P(x) è un’area.

funzione di ripartizione funzione di ripartizione

La (^) funzione di ripartizionefunzione di ripartizione F(x) , è una funzione che associa a ciascun valore definito x la probabilità che la v.c. assuma un valore non superiore a x stesso; formalmente :

F ( ) x = P [ X ≤ x ]

F(x) si esprime anche come:

( ) (^) ∫ ( )

−∞

=

x

F x f t dt

funzione di ripartizione funzione di ripartizione

Geometricamente la funzione di ripartizione è una curva monotona non decrescente.

esempio 4 esempio 4(1)(1)

Sia f(x) una funzione così definita:

x

f x

0 ≤ x ≤ 2

altrove

si verifichi se tale funzione è una funzione di densità di probabilità e se ne disegni il grafico.