Vettori: Proprietà del Prodotto Scalare e Distanza tra Vettori, Dispense di Geometria

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Vettori II

(M.S. Bernabei, H. Thaler)

Prodotto scalare

Siano 𝐴 = (𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ) e 𝐵 = (𝑏 1 , 𝑏 2 , 𝑏 3 ) due vettori dello spazio. Il prodotto scalare fra 𝐴 e 𝐵 (denotato con 𝐴 ∙ 𝐵) è definito come 𝐴 ∙ 𝐵 = (𝑎 1 𝑏 1 + 𝑎 2 𝑏 2 + 𝑎 3 𝑏 3 ).

In due dimensioni si pone 𝐴 ∙ 𝐵 = (𝑎 1 𝑏 1 + 𝑎 2 𝑏 2 ). Esempio. Siano 𝐴 = (3, 4, −1) e 𝐵 = (2, 1, 5), allora 𝐴 ∙ 𝐵 = 6 + 4 − 5 = 5.

= 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐴 ∙ 𝐶 q.e.d.

La norma ( o modulo, lunghezza) del vettore A è il

numero reale

𝐴 := 𝐴 ∙ 𝐴

(talvolta si usa la notazione |𝐴| invece di 𝐴 e anche

𝐴^2 per 𝐴 ∙ 𝐴)

Se 𝐴 = (𝑎 1 , 𝑎 2 , 𝑎 3 ), si ha

𝐴 = 𝑎 12 + 𝑎 22 + 𝑎 32

La norma del vettore 𝐴 = 𝑂𝐴 è semplicemente la lunghezza del vettore in R^3 (risp. in R^2 )

Chiamiamo versore del vettore 𝐴 ≠ 𝟎 il vettore di modulo 1 che ha la stessa direzione e lo stesso verso di 𝐴.

vers(𝐴) :=

𝐴 𝐴

Esempio. Dato il vettore 𝐴 = 1, 2, −4. Trovare il suo versore.

vers(𝐴) =

(1, 2, −4) 21 = (^

1 21 ,^

2 21 ,^

− 21 )^.

Le seguenti uguaglianze seguono dalle proprietà 𝑃𝑆 1 ) e 𝑃𝑆 2 ) :

(𝐴 + 𝐵)^2 = 𝐴^2 + 2 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵^2 () (𝐴 − 𝐵)^2 = 𝐴^2 − 2 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵^2 = (𝐵 − 𝐴)^2 (*) (𝐴 + 𝐵) ⋅ 𝐴 + 𝐵 = 𝐴 ⋅ 𝐴 + 𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐵 ⋅ 𝐴 + 𝐵 ⋅ 𝐵 = 𝐴^2 + 2𝐴 ⋅ 𝐵 + 𝐵^2. Il prodotto scalare permette a decidere quando due vettori sono ortogonali (perpendicolari).

Teorema. Due vettori non nulli 𝐴 e 𝐵 sono ortogonali se e solo se 𝐴 ∙ 𝐵 = 0.

Diremo che due vettori 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 sono ortogonali se i loro vettori equivalenti sono ortogonali.

Come si evidenzia dalle due figure sopra, i due vettori 𝐴 e 𝐵 sono ortogonali se e solo se

𝐴 + 𝐵 = 𝐵 − 𝐴 ⟺ 𝐴 + 𝐵 2 = 𝐵 − 𝐴 2 ⟺ (𝐴 + 𝐵)^2 = (𝐵 − 𝐴)^2_._

Dalle identità (), (*) segue

𝐴^2 + 2 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵^2 = 𝐴^2 − 2 𝐴 ∙ 𝐵 + 𝐵^2

e quindi

4 𝐴 ∙ 𝐵 = 0 ⟺ 𝐴 ∙ 𝐵 = 0. q.e.d.

Esempio. Siano 𝐴 = (1, 3, 1), 𝐵 = 2, 5, 3 , 𝐶 = (3, 2, 1) tre punti. Provare che il triangolo ABC è rettangolo in A.

Dobbiamo provare che i vettori 𝐴𝐵 e 𝐴𝐶 sono ortogonali oppure (𝐵 − 𝐴) ∙ 𝐶 − 𝐴 = 0. Abbiamo (𝐵 − 𝐴) ∙ 𝐶 − 𝐴 = 1, 2, 2 ∙ 2, −1, 0 = 0.

Teorema. Se 𝜗 è l’angolo fra i vettori 𝐴 e 𝐵 , allora

cos 𝜗 = 𝐴 ∙ 𝐵 /( 𝐴 𝐵 )

Dimostrazione. È sufficiente mostrare l’affermazione per angoli 𝜗 acuti. Per angoli ottusi la dimostrazione si svolge in maniera analoga. Sia 𝑃 la proiezione ortogonale del vettore B sulla retta individuata da 𝐴 e sia 𝑄 il vettore tale che

𝐵 = 𝑄 + 𝑃 () Moltiplicando scalarmente l’equazione () per 𝐴 si ha

𝐴 ∙ 𝐵 = 𝐴 ∙ (𝑄 + 𝑃) (**)

La scomposizione del vettore 𝐵 attraverso i vettori 𝑄 e 𝑃.

𝑘 𝐴 = cos 𝜗 𝐵 ⟺

𝑘 = 𝐵 / 𝐴 cos 𝜗 (⧠)

Dalle equazioni (△△) e (⧠) risulta

𝐴 ∙ 𝐵/ 𝐴 2 = 𝐵 / 𝐴 cos 𝜗 e quindi

cos 𝜗 = 𝐴 ∙ 𝐵 /( 𝐴 𝐵 ). q.e.d.

Per vettori applicati 𝐴𝐵 e 𝐶𝐷 poniamo

cos 𝜗 =

Inoltre

Applicando la formula del coseno di un angolo tra due vettori si ottiene

cos(𝐿𝑀𝑁) =

Quindi 𝐿𝑀𝑁 misura 60° (ovvero 𝜋 3 radianti).

Triangolo equilatero

Si noti che l’altezza del triangolo è 23 e quindi

cos 30∘^ = 𝑆𝑇𝑏 = 23