docsity

Come si calcolano le trasformate / antitrasformate di Laplace con i residui?

Salve a tutti, qualcuno saprebbe gentilmente spiegarmi come si calcola una trasformata o un'antitrasformata di Laplace utilizzando i residui? Ad esempio, avendo un'antitrasformata del tipo 1/s(s+1) oppure 2/s(s+1) qual'è il meccanismo da applicare per risalire alla trasformata? Grazie mille!!

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2 risposte

docsity

La scomposizione in fratti semplici si usa per rendere più semplice da risolvere l'antitrasformata di Laplace e quindi in generale passare da una funzione espressa nella variabile s in una espressa nel tempo t. L' antitrasformata si calcola risolvendo l'integrale : f(t)=1/(2π) integrale tra -infinito e + infinito di F(s) ds dove nel tuo esempio F(s)= 1/s(s+1) Se trasformi la funzione F(s) con i fratti semplici l'integrale si risolve in un attimo, oppure puoi consultare direttamente le tabelle dell'antitrasformata : http://www.galileimirandola.it/elettro/QUARTA/TRANSI/TRANSI03.HTM La F(s) la scomponi in questo modo: 1/s(s+1) = A/s + B/(s+1) ora devi calcolare i valori di A e B (i residui). A=F(s) s da calcolare in s=0 (nel polo) quindi: A=1/(s+1) da calcolare in s=0 ==> A=1 B=F(s)(s+1) da calcolare in s=-1 quindi: B= 1/s da calcolare in s=-1 ===> B=-1 La dimostrazione di queste formulela trovi nei testi di matematica ,io non la conosco sinceramente :P. Quindi adesso che hai F(s)=1/s - 1/(s+1) l'integrale di Laplace di questa funzione è la somma dell'integrale di 1/s + l'integrale di 1/(s+1), usando le tabelle con le antitrasformate hai : f(t)= u(t) - e^(-t) dove u(t) è il gradino. Per verificare che la scomposizione è corretta puoi fare una verifica : F(s)=1/s - 1/(s+1) = (s+1)-s /s(s+1) =1/s(s+1) cioè facendo il minimo comune multiplo ti torna l'espressione iniziale. La formula per il calcolo dei residui da utilizzare cambia se hai poli multipli tipo: 1/(s+1)^3 .

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vikjb2

Spiegare in commento è difficoltoso e fuorviante per chi legge. Buono studio

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