jack_bauer

condizioni di equilibrio locale e globale

- Che cosa è una condizione di equilibrio locale?

- Che cosa è una condizione di equilibrio globale?

- Qual è la differenza tra le due?

- In che casi e sotto quali ipotesi, si usa una piuttosto che l'altra?

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marjokaci

non saprei

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maclaurin

Se ho ben capito, la tua domanda si riferisce ad un problema riguardante le equazioni differenziali. Iniziamo a parlare di cosa sia un punto di equilibrio: data una funzione f, un punto k del dominio si dice di equilibrio se è un punto fisso per f, cioè se f(k)=k. Esempio: il punto 1 è di equilibrio per la funzione x², perché (1)²=1. -1 non è d'equilibrio perché (-1)²=1 e quindi "f(-1)" è diverso da -1. Premesso ciò, dividiamo i concetti di "locale" e "globale". Locale significa "verificato in un intorno del punto scelto". Es: x è il nostro punto fisso, le proprietà locali le studiamo in un suo intorno del tipo (x-δ, x+δ) con δ>0, ma piccolo. Quando, tali proprietà, si vogliono studiare "per ogni δ>0" (quindi volendo anche su tutto R), allora si parla di studio globale del problema. Veniamo ora ai problemi. In generale, si è soliti studiare funzioni del tipo f(x(t)), ovvero: ad ogni tempo t è associata una certa posizione x, a cui noi applichiamo la nostra legge f. Ciò che noi ci auguriamo è che, per t che tende all'infinito, i risultati di f siano sempre determinabili. Questo, però non sempre accade. Ad esempio di basta già una funzione potenza del tipo x² per avere "un'esplosione" per t grande, cioè valori difficilmente calcolabili o impossibili da calcolare. Data la difficoltà di questi problemi, si è soliti iniziare lo studio del fenomeno da un punto di vista "locale", ovvero per tempi "vicini" al nostro dato iniziale. Trovati questi risultati si vede se "sono stabili" nel tempo, o meno. Esempio pratico: se tu getti una pallina di gomma per terra, con grande forza, sei sicuro che questa non buchi il soffitto della tua casa, ma che, al più, supererà di qualche centimetro la tua altezza. La sostanza è che non hai risultati inaspettati, quindi puoi procedere tranquillamente con uno studio globale. Un altro esempio che ti porto è quello del famoso "butterfly effect", una farfalla batte le ali a Milano e si scatena un uragano a New York. Quindi, una piccola variazione sul "dato locale" ti crea un "disastro" sul processo lungo....non puoi sperare ad uno studio globale. Dopo questo "sololoquio" e sperando di aver chiarito i punti, passo alle definizioni matematica. Un punto di equilibrio k per una funzione f è detto: 1) d'equilibrio: Per ogni ε>0 esiste δ>0 : |x(t)-k|<δ implica che |f(x(t))-k|<ε Attenzione: in questo caso il valore assoluto è inteso come "distanza euclidea su R" o "norma a 2" e questa cosa che ho scritto significa che: per dei punti x(t) che distano "poco" da k i loro trasformati tramite f, distano "poco" da f(k)=k (essendo k di equilibrio, quindi fisso per f). Da un punto di vista matematico tu hai che |x(t)-k|<δ <=> -δk-δ0 tale che |x(t)-k|<δ implica che f(x(t)) tende a k per t che all'infinito. Se h=infinito, allora k si dice attrattore globale. Il punto di equilibrio di dice asintoticamente stabile se verifica queste due proprietà. Esempio pratico: supponi di avere una parabola con concavità verso l'altro ed una pallina poggiata sul suo ventre. Se dai una piccola botta alla pallina (verso destra o verso sinistra) essa si muoverà un po', ma la forza di gravità la riporterà nella sua posizione iniziale (punto di equilibrio stabile, piccole perturbazioni non creano il panico). Se invece la parabola ha concavità verso il basso e la pallina è posizionata sulla sua sommità, una piccola botta di lato rischia di farla cadere e quindi non si troverà più nella sua posizione iniziale (equilibrio instabile, la pallina cade e chi la fa cadere paga pegno ;) ). Spero di esserti stato d'aiuto Ciao

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