Appunti del corso di economia industriale, Neri Salvadori unipi, Appunti di Economia Industriale. Università di Pisa
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Appunti del corso di economia industriale, Neri Salvadori unipi, Appunti di Economia Industriale. Università di Pisa

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corso di economia industriale. economia e commercio università di Pisa (unipi), docente: Neri Salvadori
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NOME CORSO: ECONOMIA INDUSTRIALE

CORSO DI LAUREA: LAUREA TRIENNALE IN ECONOMIA E COMMERCIO, UNIVERSITA’ DI PISA

TESTO D’ESAME: NERI SALVADORI, SIMONE D’ALESSANDRO, DOMENICO FANELLI, ELEMENTI DI ECONOMIA INDUSTRIALE, GIAPPICHELLI EDITORE, TORINO 2012

DOCENTE: SALVADORI NERI

TIPO FILE: SBOBINATURE DELLE LEZIONI

29.2.12

La concorrenza alla Bertrand

Le imprese fissano un prezzo e si vincolano con i consumatori di sposti a pagare quel prezzo con tutta la loro capacità disponibile. Questo comporta che le imprese possono pensare il prezzo che vogliono, però poiché ci sono altre imprese è possibile che le imprese siano costrette a fare un prezzo basso.

Concorrenza alla Bertrand non vuol dire modello di Bertrand. Nel modello di Bertrand ci sono una serie di assunzioni forti che comportano che il prezzo si determini uguale al Cmg (paradosso di Bertrand: in concorrenza perfetta c’è quest’uguaglianza non nel duopolio). Ci possono però essere una serie di altre assunzioni che portano a prezzi diversi dal Cmg.

Quando si parla di un gioco bisogna considerare:

Numero di giocatori

Strategie a disposizione dei giocatori

Esiti

Le assunzioni devono servire a determinare questi tre elementi:

L’assunzione 1 infatti ci dice che il numero delle imprese sono 2 (poi tratteremo invece l’oligopolio, più di due imprese e rimuoveremo quest’assunzione).

L’assunzione 2 ci dice che stiamo supponendo che ogni impresa produce un solo bene e tutti i beni prodotti da tutte le imprese sono omogenei tra di loro, i consumatori non li distinguono. Se l’unica cosa che distingue i beni non è la qualità ma il prezzo solo l’impresa che fa il prezzo più basso è sicura di vendere. Le altre potrebbero vendere o non vendere a seconda di certe circostanze. (tratteremo poi modelli in cui invece c’è differenziazione del prodotto e una delle strategie a disposizione delle imprese sarà quale prodotto produrre).

Assunzione 3: la domanda di mercato. La domanda è decrescente e supponiamo che sia anche concava, la concavità non si giustifica per motivi di realismo ma serve a garantire che la funzione del profitto abbia un solo massimo. Se la funzione del profitto avesse più massimi ci sarebbero dei problemi. La funzione di domanda può essere scritta o come Q funzione di P o come P funzione di Q. a domanda serve a trovare i ricavi. I profitto sono ricavi meno costi.

Assunzione 4: è chiaro che domanda, che determina i ricavi, meno i costi ci da la funzione del pay off. La funzione dei costi che noi tratteremo è composta da due parti, due quantità che un’impresa prende in considerazione: la quantità prodotta: Qi e la capacità dell’impresa. Nel modello di Bertrand e nel modello di Edgeworth considereremo la capacità come data. se la capacità è data non può essere superata. Supponiamo che il costo dipenda da una parte fissa F, un’altra parte che è fissa nei modelli in cui la capacità è data e che è r volte la capacità rK. Se però la capacità non è data rk è

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variabile. Studieremo poi modelli in cui la capacità è una variabile strategica. C’è poi una parte in cui noi assumiamo che il Cmg sia costante e funzione della quantità prodotta; questo avviene solo se la quantità prodotta è minore o uguale a Ki. Se invece la quantità prodotta eccede Ki il costo è infinito, ovviamente se il costo è infinito nessuna impresa entra nel mercato, ciò implica che le imprese non possano eccedere la capacità ki.

→Domanda e costi determinano la funzione del profitto.

Assunzione 5: la regola del razionamento efficiente dice che se pi<pj, se l’impresa i fa un prezzo più basso dell’impresa j però D(pi)>ki, la domanda al prezzo pi è maggiore della capacità dell’impresa i-esima: l’impresa iesima fa il prezzo più basso, vende tutto quello che può vendere ma una parte di consumatori resta insoddisfatta, allora noi assumeremo che la domanda D(pi)-Ki non è servita dall’impresa i e l’impresa j ottiene una domanda residua pari a questa quantità. In questo contesto anche l’impresa che fa il prezzo più alto potrebbe avere una domanda. Il prezzo alto significa ricavo per unità di prodotto più alto, c’è quest’alternativa, si può fare un prezzo basso per guadagnare domanda oppure fare un prezzo basso per aumentare i profitti. Le imprese hanno questa scelta da fare, ma non sarà una scelta del tipo prezzo alto o prezzo basso bensì una scelta del tipo “che prezzo faccio”?

La domanda individuale dell’i esima impresa dipende dal proprio prezzo, dal prezzo dell’altra impresa e dalla capacità dell’altra impresa, non dalla propria.

Se pi<pj la sua domanda è D(pi)

Se pi>pj allora avrà una domanda che sarà uguale al massimo tra 0 e Dpi – kj

Se pi=pj le imprese si dividono a metà il mercato, però ci potrebbe essere il caso in cui un’impresa è talmente piccola che la metà non riesce a soddisfare la metà del mercato, in queste condizioni lascia libera una parte di domanda di cui si approprierà l’altra.

Di è uguale alla metà del mercato, poi c’è la domanda residuale quando Kj è minore di D/2. La domanda residuale quindi uguale a D/2 meno kj.

Figura 1.1

Se il prezzo di un’impresa è minore dell’altra la domanda complessiva è uguale alla domanda dell’impresa. Se invece il prezzo è più alto dobbiamo togliere kj.c’è uno spostamento della curva verso destra di kj. La funzione di domanda individuale dipende da kj, pj ed è funzione di pi. In quest’esempio Kj è minore della metà.

Figura 1.2

In quest’altro esempio kj invece è maggiore della metà, abbiamo sopra e sotto le stesse cose ma, mentre nell’altro caso abbiamo una sola discontinuità, qui ne abbiamo due, kj è più grande, quindi se pj=pi si prende la metà, non si prende meno della metà.

Figura 1.3

L’altra imprese sceglie kj grande, allora noi avremo che per valori bassi del prezzo la domanda è sempre la stessa, per valori alti è zero. Esiste un solo valore per cui si divide a metà.

In tutte e tre queste funzioni di domanda c’è una discontinuità in funzione del prezzo, in un caso la discontinuità è solo a destra, in alcuni casi è sia a destra sia a sinistra.

Regole di razionamento della domanda

Questo non è l’unico tipo di razionamento. Supponiamo che ci siano n consumatori tutti uguali, la domanda di mercato è uguale alla somma delle domande degli n consumatori, si chiama razionamento efficiente quando ciascun consumatore è equamente razionato. Giunto al prezzo pi, giunti al prezzo dell’altra impresa, per ciascun consumatore la quantità che

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si avrà al prezzo più basso sarà ki/n. ciascun consumatore acquisterà una parte al prezzo più basso e il resto al prezzo più alto. Tutti i consumatori sono razionati e tutti allo stesso modo.

Tuttavia esiste anche il razionamento proporzionale, quello dal punto di vista empirico più realistico. Questo razionamento suppone che ci sia un meccanismo del tipo primo arrivato primo servito. Gli altri consumatori dovranno comprare a un prezzo più alto. L’impresa che vende al rpezzo più basso soddisferà un certo numero di consumatori, un consumatore comprerà un po’ da una e un po’ dall’altra e tutti gli altri compreranno al prezzo più alto. Questo significa che la quantità ki per Dpi verrà soddisfatta al prezzo più basso, mentre la quantità 1-kiDpi sarà soddisfatta al prezzo più alto. Noi avremo che la domanda che riceve l’impresa j è uguale al massimo tra 0 e Dpj moltiplicato la quantità insoddisfatta dall’impresa che fa il prezzo più basso.

Figura 1.4

Dal punto di vista grafico nel tratto marcato la relazione è decrescente.

Noi seguiremo la regola del razionamento efficiente perché è più semplice.

Figura 1.5

Confronto tra le 2. La curva di domanda è sempre maggiore col razionamento proporzionale.

… torniamo alle assunzioni…

Assunzione 6: le imprese sono grandi. Anche se il prezzo è il più basso possibile, uguale al costo marginale, la domanda che ne deriva è minore o uguale alla capacità di ciascuna delle imprese. Quando faremo l’assunzione 6 metteremo da parte la 5 e viceversa. Quando c’è la 6 la funzione di domanda si semplifica:

Se pi>pj il max tra i due è zero perché l’altro è negativo, se pi=pj il max è Dpi/2 perché l’altro è negativo.

Assunzione 7: la struttura temporale. Quest’assunzione la faremo solo nei primi 2 modelli. C’è un solo tempo e in questo tempo le imprese fissano i prezzo. Noi stiamo facendo una concorrenza alla Bertrand quindi il prezzo è una variabile strategica, ce ne potrebbero essere delle altre. In tutti gli altri modelli invece ci saranno più tempi.

Assunzione 8: le strategie, la variabile strategica è il prezzo ma questo è ovvio a causa della struttura temporale.

Il modello di Bertrand

Il modello di Bertrand esclude l’assunzione 5, ci potrebbe anche essere ma sarebbe inefficace a causa della 6.

L’assunzione 1 definisce il numero di giocatori.

Le assunzioni 7 e 8 definiscono lo spazio strategico, la 7 ci dice che c’è un solo tempo in cui si sceglie il prezzo, il prezzo varia tra un minimo pari al costo marginale e p segnato che è il prezzo oltre il quale la domanda è zero.

Figura 2.1 ogni impresa ha uno spazio strategico pari a questo intervallo. Ciascuna combinazione P è lo spazio strategico e equivale a tutte le combinazioni che si possono avere. Ogni impresa farà un prezzo compreso tra c e p segnato, l’insieme di tutti i punti forma lo spazio. Per ogni punto di questa “tabella” possiamo individuare una funzione che ci da il profitto delle due imprese. Questo è l’insieme delle funzioni che sono gli esiti.

Noi abbiamo visto che la domanda delle impresa i per pi<pj è Dpi per pi=pj è Dpi/2, per pi>pj è 0. Queste quantità moltiplicate per pi- c ci danno il profitto variabile, il profitto che dipende dalla quantità prodotta. In questo modello la

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quantità prodotta coincide con la quantità domandata. Se al profitto variabile sottraiamo il costo fisso abbiamo il profitto complessivo. Come la domanda, questa funzione dipende da entrambi i prezzi e dalla capacità dell’altra impresa.

Figura 2.2

Rappresenta il profitto VARIABILE. Sull’ordinata troviamo πi che è il profitto variabile e sull’ascissa il proprio prezzo pi. Per l’ipotesi di concavità della domanda questa funzione è concava e non ha più gobbe. L’estremo (circoletto) non fa parte della funzione, a quel punto si scende nel pallino nero che invece fa parte della funzione, e a quel punto si scende ancora, il prezzo diventa maggiore di pj e quindi la quantità è zero. Quest’altro punto non fa parte della funzione (circoletto). Il massimo della funzione del profitto corrisponde al prezzo del monopolista: abbiamo il dupolio ma il max è il prezzo del monopolista? Non torna. In realtà è così perché noi abbiamo supposto che l’altra impresa faccia un prezzo molto più alto (che probabilmente non farà mai). Questa situazione quindi si verifica quando il prezzo dell’altra impresa è superiore al prezzo di monopolio.

Figura 2.3

Se invece il prezzo dell’altra impresa è inferiore al prezzo di monopolio la funzione di profitto sale fino al circoletto, ci sono poi due crolli e poi è orizzontale. In questo caso non c’è un massimo. Il massimo assoluto di una funzione è un valore della funzione tale che la funzione non assume mai tale valore in nessun altro punto, o al più lo assume in altri punti se ci sono più massimi ma non potrà mai assumere valori superiori. In questo caso non c’è in massimo ma c’è l’estremo superiore, il punto non appartiene alla funzione. (es prendiamo l’insieme di tutti i numeri minori o uguali a 5 il max è 5, se invece prendiamo tutti i numeri minori di 5 non c’è un max, 5 non appartiene e qualsiasi altro numero sarà inferiore a un altro minore di 5). In un’economia in cui bisogna massimizzare il profitto e non c’è massimo sorgono problemi. In questo caso anche se il prezzo dell’altra fosse esattamente pm non ci sarebbe il max ma l’estremo superiore in corrispondenza del vertice.

Figura 2.4

In questo caso il prezzo dell’altra impresa è uguale a c quindi la funzione del profitto è un segmento orizzontale.

Il profitto è sempre ben definito e dipende dal prezzo dell’altra impresa. Maggiore, minore di pm o uguale e c.

Cerchiamo ora se c’è l’equilibrio nel modello di Bertrand.

Dividiamo l’insieme in più parti:

Pa= l’insieme di tutte le coppie di prezzo tali che almeno uno dei due è maggiore del prezzo di monopolio. In questa superficie non può esserci un equilibrio di Nash: almeno un’impresa fa un prezzo superiore al prezzo di monopolio quindi l’altra impresa farà il prezzo di monopolio. Un’impresa è soddisfatta ma l’altra no, avrebbe preferito fare un prezzo più basso, inferiore a quello di monopolio.

Pb = è il quadrato verde tranne la diagonale. Entrambe le imprese fanno prezzi uguali o minori a quello di monopolio però una fa il prezzo più basso dell’altra, in un triangolo rettangolo (senza l’ipotenusa) è l’impresa 1 a fare il prezzo più alto, nell’altro triangolo è il contrario. Il problema è che qui non ci può essere l’equilibrio perché entrambe le imprese sono insoddisfatte:

L’impresa che fa il prezzo più basso è insoddisfatta perché vende tutto quello che può vendere ma, conoscendo il prezzo dell’altra avrebbe potuto fare un prezzo sempre inferiore alla rivale ma un po’ più alto.

L’impresa che fa il prezzo più alto è insoddisfatta perché se avesse fatto un prezzo più basso avrebbe ottenuto un profitto variabile positivo.

Tutti i punti che stanno in Pb non sono punti di equilibrio di Nash.

Pc è la diagonale tranne il punto. Lungo la diagonale non c’è un equilibrio di Nash, le de imprese hanno metà domanda (fanno lo stesso prezzo) ma potrebbero guadagnare tutta la domanda facendo un prezzo leggermente più basso. Potrebbero guadagnare quasi il doppio.

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Pd è il punto (c,c). questo punto è l’unico equilibrio di Nash. Nessuna impresa ha convenienza a cambiare il prezzo.

Le funzioni di reazione

Sono un modo per studiare i giochi continui, i giochi in cui le strategie sono continue.

Figura 2.6

Dobbiamo costruire la migliore risposta, la risposta ottima dell’impresa 1 a una strategia possibile dell’impresa 2. Se l’impresa 2 fa un prezzo maggiore di pm ma minore o uguale di p segnato all’impresa 1 conviene fare il prezzo di monopolio. Il tratto verticale tranne il circoletto quindi fa parte della funzione di reazione.

Se l’altra impresa fa il prezzo c, all’impresa 1 conviene fare qualunque prezzo compreso tra c e p segnato, se fa c si divide il mercato a metà ma il profitto è sempre 0 (p=c, p-c=0 0*Q=0), se fa un prezzo superiore invece sarà q=0 ad azzerare il prodotto.

Figura 2.7

Se mettiamo anche l’impresa 2 avremo la funzione di reazione vediamo che le funzioni di reazione si intersecano in unico punto (c,c) che è quindi l’unico equilibrio.

{ripasso 14.3.12

Il modello di Bertrand

Le strategie a disposizione delle imprese sono i prezzi compresi trac e p segnato. Fare un prezzo oltre p segnato non ha senso perché la domanda sarebbe zero. Non ha senso neanche andare sotto c, c è il costo marginale, se l’impresa facesse un prezzo inferiore a c andrebbe anche sotto i costi marginali: più vende più perde.

Noi possiamo partizionare l’insieme. Abbiamo un insieme di sottoinsiemi che si escludono l’un l’altro, l’intersezione tra i due è l’insieme vuoto e l’unione è l’insieme dato. Se io prendo un insieme di sottoinsieme di un insieme dato, io parlo di partizione se ogni sottoinsieme dell’insieme, ogni coppia di sottoinsiemi ha l’intersezione vuota e l’unione di tutti i sottoinsiemi è uguale all’insieme dato.

Sia in Pa sia in Pb sia in Pc non ci sono equilibri di Nash perché almeno una delle due è insoddisfatta. Solo in PD (c,c) le imprese sono soddisfatte delle scelte fatte, in queste condizioni fanno un profitto variabile nullo però non potrebbero fare di meglio. Se una fa c e l’altra un prezzo più alto, entrambe fanno un profitto nullo però quella che fa c non è soddisfatta perché avrebbe potuto fare un prezzo inferiore all’altra ma comunque maggiore di c. L’equilibrio di Nash quindi richiede che entrambe le imprese facciano un prezzo c. }

5.3.12

Il modello di Edgeworth

è come il modello di Bertrand ma con un’assunzione diversa. Qui c’è assunzione 5, in Bertrand invece c’era la 6, ossia ciascuna impresa era abbastanza grande da soddisfare tutta la domanda, quindi non c’era domanda residua e l’assunzione 5 era superflua. Il modello di Edgeworth è formato dalle stesse assunzioni di Bertrand tranne la 6.

L’assunzione 1 definisce il numero di giocatori.

Le assunzioni 7 e 8 definiscono lo spazio strategico, le combonazioni di prezzi che sono le strategie disponibili.

Le assunzioni 2, 3 4 e 5 invece consentono di determinare il profitto della singola impresa.

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Noi abbiamo visto che quando pi<pj la domanda era uguale a tutta la domanda dell’impresa iesima e quando pi>pj la domanda residua era dpi-kj; quando le due imprese facevano lo stesso prezzo la domanda dell’impresa i esima era il max, la domanda di divideva in due ma se un’impresa non era in grado di soddisfare la domanda cedeva una parte all’altra. Qui invece c’è una cosa in più: c’è il minimo tra due.

Questo accade perché noi non stiamo vedendo la domanda ma la quantità prodotta, la quantità prodotta nel modello di Bertrand era uguale alla domanda. Nel modello di Bertrand l’unico vincolo che avevano le imprese era la domanda che avevano, producevano sulla base della domanda. Invece nel modello di Edgewroth, li imprese sono o possono essere vincolate dalla capacità. Non c’è solo il vincolo della domanda, c’è anche k. Se k è bassa anche se la domanda è alta non possono produrre più della loro capacità.

La quantità prodotta è il minimo tra la quantità domandata e la capacità.

Figura 3.1

Il profitto è dato da ricavi meno costi, i costi hanno una parte fissa e una variabile che dipende dalla quantità prodotta. Anche i ricavi dipendono dalla quantità prodotta. Se consideriamo solo il profitto variabile questo è uguale a p-c per la quantità prodotta. La quantità prodotta dipende dalla domanda e dal vincolo di capacità, quindi è uguale al minimo tra questi due valori.

Le curve sono le funzioni di profitto in condizioni particolari, per trovare la funzione del profitto dobbiamo comporre i vari pezzi. Questo è lo schema delle funzioni, è lo schema di tutte le possibili alternative. Il profitto è quello variabile (non considera i costi fissi).

Le due rette: hanno come equazione (p-c)ks e (p-c)kl. Quando noi vogliamo indicare un’impresa qualsiasi mettiamo ki senza specificare se i=1 o 2. Ci sono dei casi invece in cui noi non sappiamo se l’impresa è la 1 o la 2 ma vogliamo sottolineare la più grande Kl e la più piccola Ks.

La retta (p-c)Kl è il profitto dell’impresa grande quando è vincolata dalla sua capacità. Non è vincolata dalla domanda ma solo dalla capacità.

La retta (p-c)ks è il profitto dell’impresa piccola quando è vincolata solo dalla capacità.

La curva (p-c)dp È il profitto dell’impresa quando non ci sono vincoli di capacità e l’impresa fa il prezzo più basso. In questo caso il profitto è lo stesso del monopolista.

→La funzione del profitto dell’impresa grande quando teniamo conto del suo vincolo di capacità e quest’impresa fa il prezzo più basso quindi è: inizialmente l’impresa è vincolata dalla capacità e quindi la funzione è (p-c)kl, giunti al punto d’intersezione invece il vincolo è la funzione di domanda e quindi la funzione scende lungo la curva (p-c)Dp

La funzione del profitto dell’impresa piccola quando fa il prezzo più basso e tiene conto del vincolo di capacità è la retta (p-c)Ks e dopo l’intersezione scende seguendo la curva.

La curva (p-c)(D(p)-ks) dove Dp è la domanda complessiva alla quale sottraiamo Ks: questa funzione quindi è la domanda residua dell’impresa grande quando l’impresa piccola fa un prezzo più basso. Questa domanda residua però non tiene conto del proprio vincolo di capacità. Se teniamo conto del vincolo di capacità il profitto sale lungo la retta e poi scende.

La funzione (p-c)(d(p)-kl) è la domanda residua dell’impresa piccola quando l’impresa gradne fa il prezzo più basso senza tener conto del suo vincolo di capacità. Se teniamo conto del vincolo di capacità si sale lungo la retta e poi si scende-

(p-c)Dp/2 è la funzione del profitto quando i prezzi sono uguali e non teniamo conto del vincolo di capacità.

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I due punti fucsia stanno sulla stessa verticale. Nel punto più in alto si verifica che Kl(p-c) è uguale a (dp-ks)(p-c), se semplifichiamo p-c e p-c l’equazione è Dp=kl+ks, quindi questo prezzo è il prezzo in cui la domanda è esattamente in gradi di comprare Ks + kl.

Nel punto più basso la retta è ks(p-c), la curva è (dp-kl)(p-c), se semplifichiamo p-c e p-c vanno via, viene dp=ks+kl, questo prezzo è il prezzo in cui la domanda è esattamente in gradi di comprare Ks + kl. I due punti stanno sulla stessa verticale, il prezzo in questione PK, è uguale a P(k1+k2).

È fondamentale che i due punti stiano sulla stessa verticale. Se entrambe le imprese fanno pk c’è un equilibrio di Nash.

Se l’impresa piccola fa questo prezzo il profitto dell’impresa grande, il profitto dell’impresa grande ha il max in corrispondenza di pk e viceversa. Se i due punti non stessero sullo stesso livello pk non sarebbe un equilibrio di Nash.

Dove la curva incontra l’asse orizzontale (Dp-Kl) (p-c) = 0 poiché p è diverso da c significa che Dp=Kl, questo significa che quello è il prezzo in cui c’è una domanda che è esattamente in grado di comprare Kl.

Dove la retta Kl(p-c) interseca la curva Dp(p-c), semplificando viene Dp=Kl, ancora una volta si tratta del prezzo in cui la domanda è esattamente in grado di acquistare Kl. In modo analogo abbiamo (dp-ks)(p-c)=0 dove poiché diverso da c si deve avere Dp=Ks; nell’intersezione tra Ks(p-c) e Dp(p-c) si ha invece Dp=ks.

Figura 3.2

In questo caso Kl è grande e questo comporta l’abbassamento della curva (Dp-Kl)(p-c). in questo caso l’equilibrio di Nash non c’è.

L’equilibrio di Nash richiede che l’intersezione avvenga nel punto in cui le curve di entrambe le imprese della domanda residua sia decrescente.

Figura 3.3

Qui si dice ps minore o uguale di pk, questa è la funzione del profitto dell’impresa grande quando il prezzo dell’impresa s è minore o uguale di pk. La condizione di cui abbiamo bisogno è che pk sia prezzo in cui P(pk)=k1+k2.

Noi vogliamo che per tutte e due la derivata sia minore o uguale a zero, non in qualunque punto ma quando pk1=pk, lo stesso lo applichiamo anche all’impresa 2. Queste due condizioni insieme vogliono dire che dove c’è l’intersezione le curva è decrescente.

Vedi calcoli derivate sul quaderno.

Poi ottengo le disuguaglianze col prezzo in funzione di K. Il segno della disuguaglianza si inverte.

Ricordare che pk=P(k1+k2).

Quando dividiamo per P’ dividiamo per una quantità negativa e quindi si inverte il segno della derivata.

Impongo la derivata maggiore o uguale a zero, se l’avessi posta uguale a zero avrei avuto le funzioni di reazione di Cournot. In Cournot abbiamo il prezzo in funzione delle quantità vendute. La funzione di reazione è solo nel caso in cui K=Q. non sono funzioni di reazione di Cournot ma qualcosa di simile, facciamo riferimento alal capacità non alla quantità.

Supponiamo ci sia l’uguaglianza:

se K2 aumenta P è una funzione decrescente quindi andiamo sotto. Dobbiamo considerare che la disuguaglianza si soddisfa per valori che stanno al di sotto delle funzioni di reazione. Noi siamo sotto entrambe le funzioni di reazione all’interno del quadrilatero, fig 3.5.

7

{lez 14.3.12 recupero

Il modello di Edgeworth

Noi abbiamo visto che la funzione del profitto è molto più complessa, ci sono vincoli di capacità che riguardano due aspetti:

La domanda residua: se un’impresa fa un prezzo basso però ha un vincolo di capacità basso cede domanda all’altra impresa. Per l’impresa che fa un prezzo alto è bene che l’altra sia vincolata.

Dall’altro lato, un’impresa che ha una domanda notevole non la può soddisfare perché è vincolata dalla capacità.

Consideriamo ora l’impresa che fa il prezzo basso e quella che fa il prezzo alto.

Supponiamo che l’impresa L faccia il prezzo basso: l’impresa inizialmente è vincolata dalla sua capacità, sale lungo la retta, finchè è vincolata solo dalla capacità più vende più aumentano i profitti, una volta arrivati al punto di intersezione il vincolo di capacità non c’è più perché il prezzo è talmente alto che la domanda “morde”. Poichè la domanda morde si scende.

In modo analogo possiamo determinare il profitto dell’impresa piccola quando fa il prezzo basso (si sale lungo la retta più bassa.

Vediamo ora quando le imprese fanno il prezzo alto: ciò implica che inizialmente sono sempre vincolate dalla capacità perché la domanda è molto alta, però poiché l’altra impresa fa un prezzo più basso l’impresa sale lungo la retta fino all’intersezione con al curva più bassa ed è poi costretta a scendere lasciando una domanda residua.

I due punti devono stare sulla stessa verticale: la domanda a quel prezzo è uguale alla somma delle capacità. Se entrambe le impresa fanno pk allora la funzione del profitto per entrambe ha un punto di massimo e quindi esiste un equilibrio di Nash. L’equilibrio di nash però richiede che il massimo sia un punto di decrescenza per entrambe le curve.

C’è un caso però in cui l’impresa grande, avendo una capacità maggiore modifica le curve che dipensono da KL e non c’è il punto di massimo. Basta che aumenti la capacità dell’impresa grande e non necessariamente tutte e due, la capacità della piccola andrebbe aumentata di più per indietreggiare fino al tratto crescente.

Inizialmente aumentando la capacità la curva si abbassa e l’intersezione si sposta verso sinistra aumentando i profitti finchè, aumentando ancora la capacità si indietreggia a sinistra fino a trovarsi prima del vertice e si va nelle strategie miste.

Pk è il max che si ottiene uguagliando rette e parabole nel punti di intersezione: p-c si semplifica e viene D(p)= kl+ks, in quel punto la domanda è tale da domandare esattamente la somma delle capacità.

→Per avere l’equilibrio di Nash dobbiamo imporre che l’intersezione tra la retta e il profitto, quando il profitto dipende dalla domanda residua, debba essere nel tratto decrescente.

Funzioni di reazione

Servono per trovare l’equilibrio di Nash. Consistono nel trovare la migliore risposta ottima data la strategia giocata dall’avversario. In Bertrand con le funzioni di reazione si riscontra che l’equilibrio di Nash è in (c,c). il modello di Bertrand colpisce perché P=Cmg e quindi i costi fissi non si coprono: paradosso di Bertrand. Ci sono tre alternative disponibili a questo paradosso:

Edgeworth, vincolo di capacità e anche gioco capacità prezzo

8

Hotelling: differenziazione

Collusione

14.3.12

Pag 32 libro:le funzioni di reazione non sono quelle di Edgeworth ma sono quelle di Cournot a cui non possiamo fare riferimento per delimitare l’insieme K, noi abbiamo visto che esiste un equilibrio di Nash quando la funzione di profitto delle imprese ha un andamento di questo tipo: si sale lungo la retta, si giunge poi alla curva che è la funzione di profitto quando c’è la domanda residua (l’altra impresa fa un prezzo più basso) e le due intersezioni sono sulla stessa verticale e entrambe le funzioni di profitto hanno il massimo.

Bisogna vedere quando l derivata è minore o uguale a zero.

Definiamo Pk come il prezzo in cui si definisce la domanda che viene generata a questo prezzo uguale alla somma delle capacità.

Quali sono i valori di K1 e K2 per i quali si verificano le condizioni?

Facciamo le derivate:

è la derivata di un prodotto: la derivata della 1 per la 2 non derivata + la 1 non derivata per la derivata della 2 che è 1.

Iniziano poi le manipolazioni: p1 dev’essere uguale a pk, quindi D(pk) dev’essere uguale a k1+k2. Da questa al posto di p1 e p2 poiché sono uguali a pk mettiamo pk.

C’è poi una trasformazione importante: noi dividiamo tutto per D’ tenendo conto del fatto che 1/D’=P’. questo perché le funzioni D(p) e P(K) sono una l’inversa dell’altra. Una condizione delle funzioni inverse è proprio questa.

Dividendo tutto per D’ viene: P(k)-c + P’k2. P(k) per definizione = p(k1+k2) → P(k1+k2) – c + P’ (k1+k2) * k2.

A noi bastano queste due espressione, possiamo poi riscriverle per notare che, se fossero uguali a zero sarebbero le equazioni che definiscono le funzioni di reazione nel modello di Cournot. Questa non è però la funzione di reazione ne del modello di Edgewprth ne di quello di Bertrand ma di Cournot.

Prendiamo la disuguaglianza e uguagliamola a zero.

Consideriamo la prima parte P(k1+k2)= c – P’(k1+k2)k2

Deriviamo quest’espressione rispetto a k2: prendiamo quest’espressione e vediamo cosa succede quando aumentiamo k2.

Viene: P’(k1+k2) +P’’(k1+k2)k2<0 derivata di c=0

Poiché quello è minore di zero (perché sia P’ sia P’’ sono minori di zero), quando K2 aumenta la funzione diminuisce, quindi devo abbassare k2.

Posso poi derivare rispetto a k1: la derivata di una funzione composta è D(g(f(x))= g’(f(x))*f’(x)→la derivata di P(k1+k2) rispetto a K1 è P’(k1+k2)*1.

La derivata di c rispetto a K1 è zero.

Poi P’(k1+k2)*k1 è un prodotto:

■ Non derivata della prima per derivata della seconda= P’(k1+k2)

■ Derivata della prima per non derivata della seconda

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Sommo i P’(k1+k2) e alla fine: 2P’(k1+k2)+P’’(k1+k2)<0

Poiché è < 0 se aumento k1 non vado nella direzione del > o uguale ma nella direzione del minore, quindi devo diminuire k1 (all’inizio avevamo imposto maggiore o uguale).

Guardiamo il grafico: figura 3.5

La retta che dipende da K1, aumentando k1 si sposta verso destra, verso la direzione dle minore o uguale a zero, se invece aumentiamo k2 andiamo sempre verso destra , se invece abbassiamo K2 andiamo verso il basso nell’area del >0, se diminuisco k1 vado verso sinistra. Per avere la condizione di >0 bisogna stare al di sotto della retta.

Sotto la retta >0

Lungo la retta = 0

Sopra la retta < 0

Per avere entrambe le condizioni devo stare sotto entrambe le rette e quindi dentro il quadrilatero KB.

Domanda pag 42

Risposta: per come è costruita la funzione (p-c)(D(p)-ks) in cui Ks<Kl, ne consegue che l’altra curva: (p-c)(D(p)-kL) è più bassa(Dp-ks>dp-kl). Essendo più bassa il punto di massimo si trova più a sinistra, essendo più a sinistra il punto di massimo può capitare che quando sull’altra curva siamo nel tratto crescente su questa siamo ancora nel tratto decrescente. Non può invece verificarsi il contrario. Si guarda la grande perché se la grande è crescente la piccola può essere crescente o decrescente mentre se la piccola è crescente sono crescenti tutte e due. Così come se la grande è decrescente sono decrescenti tutte e due.}

proposizione 3.1: entrambe le funzioni (p-c)(Dp – ki) sono decrescenti per p=Pk se e solo se le capacità delle imprese appartengono a questo insieme.

Connessa alla preposizione sopra c’è la prop 3.2 se k1 e k2 appartengono a Kb allora la coppia di prezzi Pk, pk è un equilibrio di Nash in cui p1=p2=P(k1+k2).

Quando K1 e K2 sono entrambi maggiori di D ( c ) c’è un equilibrio di Nash perché siamo nel caso dell’equilibrio di Bertrand: quadrato Ka, il che implica p=c.

C’è poi un’altra soluzione in cui il prezzo non è uguale a c ma a P(k1+k2) che, se K1 e K2 sono grandi è addirittura minore di c. se i K sono sufficientemente piccoli siamo nell’area Kb e c’è un equilibrio di Nash, se i K sono sufficientemente grandi siamo in Ka e c’è un equilibrio di Nash. I due equilibri di Nash sono diversi.

In mezzo non sappiamo cosa accade.

In KB le funzioni di reazione si intersecano in un unico punto. Nell’area che non è Ka e Kb non esistono equilibri di Nash in strategie pure, le funzioni di reazione non di intersecano mai.

Le funzioni di reazione di Edgeworth: noi dobbiamo individuare per ogni prezzo dato da un’impresa il miglior prezzo che sarebbe stato opportuno fissare. Per fare ciò assumiamo dato il prezzo dell’impresa grande e costruiamo la migliore risposta ottima del prezzo dell’impresa piccola. Poi faremo l’inverso, considereremo dato il prezzo dell’impresa piccola e costruiremo la migliore risposta ottima dell’impresa grande.

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Come si trova il prezzo dell’impresa grande?

Faremo 4 ipotesi:

L’impresa grande fa un prezzo maggiore o uguale a c e minore o uguale di P(k1+k2)

L’impresa grande fa un prezzo maggiore di P(K1+k2) ma minore o uguale di P(2ks)

L’impresa grande fa un prezzo maggiore di P(2ks) ma minore o uguale di P(Ks)

L’impresa grande fa un prezzo che è maggiore di P(ks) ma minore o uguale di p segnato.

P2ks è il prezzo tale che la domanda intera è in grado di comprare due volte la capacità dell’impresa piccola mentre Pks è il prezzo al quale si genera una domanda in grado di comprare la capacità ks.

Figura 3.4 caso 1:pL<pk

La funzione del profitto è quella evidenziata. Ovunque stia PL l’impresa piccola è vincolata solo dalla sua capacità fino ad arrivare a pk, superato pk invece è vincolata dalla domanda perché in queste condizioni l’impresa grande fa un prezzo più basso o uguale e la curva dell’impresa piccola quindi continua i profitto sulla curva più bassa.

C’è un punto di massimo che è proprio pk. All’impresa conviene fare il prezzo pk.

Figura 3.6 caso 2: P(k1+k2)<pl<P(2ks)

P(2ks) è il punto in cui la retta (ps-c)ks interseca la curva in corrispondenza della quale le imprese fanno lo stesso prezzo.

Se Pl si trova in un punto compreso tra quel 2, nel primo tratto (retta) l’impresa s fa un prezzo che è inferiore al prezzo dell’impresa L e quindi è vincolata solo dalla capacità e il suo profitto sale lungo la retta fino a Pl, giunti a pl il profitto scende in un punto che sta al di sotto della curva (ps-c)[dps/2], se le due imprese avessero fatto lo stesso prezzo e non avessero vincoli di capacità, l’impresa avrebbe venduto la quantità sopra (parabola arancione), tuttavia è vincolata e quindi scende sotto (cerchietto pieno): questo punto fa parte della funzione del profitto perché l’impresa piccola ha ancora la domanda superiore ed è ancora vincolata dalla capacità. Poi scende giù e in quel tratto ha una funzione di domanda minore dell’impresa grande. Il massimo c’è ed è il cerchietto pieno: all’impresa piccola in queste condizioni conviene fare esattamente lo stesso prezzo fatto dall’impresa grande.

Figura 3.7 caso 3: P(2ks)<pL<P(ks)

Saliamo lungo la retta col vincolo di capacità, giunti a PL però crolliamo perché il punto (cerchietto vuoto) sta al di sopra della curva e quindi non fa parte della funzione del profitto, è un estremo superiore che non è un massimo. La funzione poi scende, scende ancora e poi è piatta.

In questo caso come era accaduto in Bertrand c’è l’estremo superiore ma non il massimo.

Figura 3.8: caso 4 P(Ks)<pL<p

In questo caso invece c’è il max. la funzione sale lungo la retta e poi scende lingo la curva, poi si salta per due volte però il max c’è.

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Figura 3.9

La funzione di reazione è fatta in questo modo:

Se c<PL<Pk allora l’impresa piccola fa il prezzo Pk e quindi è orizzontale

Giunti a Pk fa lo stesso prezzo di L, PL, siamo lungo la curva a 45°

Nel terzo caso non c’è il max ma c’è l’estremo superiore quindi la funzione di reazione non è definita

Nell’ultimo caso la funzione di reazione è orizzontale, s fa Pks.

L’impresa grande

Dobbiamo valutare l’ipotesi che l’impresa piccola si muova in vari intervalli:

c<ps<P(K1+K2)

P(k1+k2)<ps<P(kl)

P(KL)<ps<p

Figura 3.10:

Caso 1: c<ps<P(K1+K2): La funzione del profitto sale e poi scende, il massimo c’è ed è PK.

Caso 2: P(k1+k2)<ps<P(kl): la funzione del profitto sale lungo la retta, arriva all’estremo superiore in corrispondenza di P(KL) e crolla sulla curva nella quale le imprese fanno lo stesso prezzo, la piccola ha una domanda residua. C’è un estremo superiore dove siamo sopra la funzione. Quando siamo sotto va bene, se siamo sopra no, c’è l’estremo superiore.

Caso 3: P(KL)<ps<p : il max c’è, sale fino a P(kl) poi scende lungo la curva più alta. Il punto di max c’è:P(kL)

Figura 3.11: la curva di reazione è fatta in questo modo:

Quando l’impresa piccola fa un prezzo inferiore a P(k1+k2) l’impresa grande fa Pk (manca il pallino alla fine del segmento verticale).

Se l’impresa piccola fa un prezzo P(k1+k2)<ps<P(kl) non c’è max ma c’è l’estremo superiore e quindi la funzione di reazione non è definita.

Quando P(KL)<ps<p l’impresa grande fa P(KL) escluso il punti P(KL)

Figura 3.12

Unendo le funzioni di reazione otteniamo che l’unico punto di intersezione è pk.

Figura 3.13 e 3.14

Nel caso in cui le due imprese siano uguali entrambe le curve intersecano la retta in pk. Nel primo tratto fino a pk=P2K incluso il massimo c’è, se invece siamp tra P2k e pk il massimo non c’è saliamo lungo la retta o poi si crolla, se invece il prezzo supera il livello di p(K) il profitto sale e poi crolla e crolla.

C’è solo un punto di equilibrio: pk, il cerchietto vuoto infatti non fa parte delle funzioni di reazione.

Qui siamo nell’area KB, in KA avevamo studiato Bertrand.

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Trattiamo ora l’area intermedia.in quest’area si verificano varie possibilità, noi sappiamo che almeno una delle intersezioni tra la retta e la curva avviene nel tratto crescente.

Definiamo PMi l’arg max, il valore in cui raggiunge un massimo il profitto dell’impresa i esima quando l’altra impresa fa un prezzo più basso. È il profitto dell’impresa i esima basato sull’altra.

PM è il punto in cui la funzione ha un punto di max. nel caso KB quest’arh max è sempre uguale a P(k1+k2)

Pmi è un’uguaglianza, la parte sinistra è la funzione del profitto dell’impresa i esima quando l’altra impresa fa un prezzo più alto, il lato destro invece è l’argmax visto sopra. Questo è il prezzo che da luogo allo stesso profitto quando però l’altra impresa fa un prezzo più alto: pm<pM.

Un’impresa deve scegliere se fare un prezzo alto o basso. Se fa un prezzo basso ha il vantaggio di fregare i concorrenti però se però facendo un prezzo basso ottengo un profitto troppo basso non mi conviene. Nessuna impresa quindi fa un prezzo inferiore a pm, piuttosto conviene fare pMi. Se fa PMi l’altra fa un prezzo più basso ma tanto a me non sarebbe convenuto oppure sono io a fare il prezzo più basso guadagnando di più.

Figura 3.15

Le quantità sono alte e non c’è un equilibrio di nash in strategie pure.

L’impresa se fa PML otterrà certamente il corrispondente profitto sulle ordinate: se l’altra impresa fa un prezzo più basso sta qui, se fa un prezzo più alto va addirittura sopra.

Pmi, se fa un prezzo inferiore l’impresa L ottiene comunque un profitto più basso di quello che otterrebbe se facesse PM.

Lo stesso vale per Pms e PMs.

Da notare che pk è più piccolo di entrambi.

Noi abbiamo individuato due valori. Ora dovremo considerare le curve di reazione dell’impresa piccola e grande tenendo conto 5 intervalli in cui muoverci. Vedi figura 3.21 che mostra la curva di reazione dell’impresa piccola.

07.03.12

Funzioni di reazione: pag 42, siamo nell’area delle strategie pure KB, le funzioni di reazioni sono simili a quelle di cournot però anziché considerare la quantità consideriamo la capacità.

Fugura 3.5: abbiamo individuato due aree: KA e KB,

in KA esiste un equilibrio di Nash in strategie pure in cui il prezzo è uguale al costo marginale,

in KB esiste un equlibrio di Nash in strategie pure in cui il prezzo è uguale al prezzo che genera una domanda tale da acquistare esattamente la somma delle capacità. Abbiamo visto come sono le funzioni di reazione all’interno di quest’area

altra area: non abbiamo le funzioni di reazione. Le funzioni di reazione sono le funzioni in cui si associa a una strategia di uno dei giocatori la migliore risposta dell’altro giocatore. Quando poi mettiamo insieme tutte le funzioni di reazione troviamo l’equilibrio di Nash (intersezione). L’equilibrio di Nash si ha in corrispondenza dell’intersezione perché l’equilibrio di Nash è una posizione in cui ciascuno dei giocatori è soddisfatto della scelta fatta data la scelta dell’altro, poiché la funzione di reazione ci da la risposta migliore a una certa scelta dell’altro giocatore, dove le curve di reazione si intersecano abbiamo la situazione in cui ciascuno dei dure reagirebbe alla scelta dell’altro come ha già scelto di fare. Per costruire le curve di reazione dobbiamo prendere le scelte di un giocatore e cercare la scelta ottima dell’altro:

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consideriamo data la scelta dell’impresa grande e cerchiamo al migliore risposta a quella scelta dell’impresa piccola; abbiamo ripartito le possibili strategie dell’impresa grande in 4 intervalli, troviamo così la funzione di reazione, per ogni strategia dell’impresa grande abbiamo una strategia ottima dell’impresa piccola, in un intervallo non c’è la soluzione ottima perché c’è l’estremo superiore ma non il massimo.

Abbiamo ripetuto il procedimento considerando dati i prezzi dell’impresa piccola e abbiamo scelto l’ottima risposta dell’impresa grande.

C’è un unico equilibrio di Nash in pk.

Fig 3.14: è lo stesso diagramma quando le imprese sono uguali. C’è un unico punto, infatti p(K) non è un equilibrio perché è escluso da entrambe le funzioni di reazione che quindi si intersecano solo in pk.

Passiamo ora alla terza area intermedia tra KB e KA. Almeno un’impresa è più piccola di D( c), se tutte e due avessero una capacità superiore o uguale a D( c) saremmo nell’area KA. Inoltre quando andiamo a costruire il profitto di un’impresa, notiamo che il profitto che si crea quando l’altra impresa fa un prezzo più basso ha un massimo che non si verifica nel punto p(K1+k2) perché giunti a quel punto la retta P(KL) interseca la curva che rappresenta la funzione del profitto quando non ci sono vincoli di capacità e l’altra impresa fa un prezzo più basso in un tratto crescente e quindi si passa da una retta a un tratto crescente, quindi il massimo si trova lungo la campana. Questa condizione si verifica almeno è per l’impresa grande e potrebbe verificarsi per tutte e due le imprese.

Abbiamo quindi introdotto i concetti:

PMi: è l’argomento massimo (non è il valore del massimo ma è dove viene raggiunto il massimo), è il prezzo che massimizza il profitto dell’impresa i esima quando l’altra impresa fa un prezzo più basso e tenendo conto del vincolo di capacità che l’impresa i esima ha (questo è il motivo per cui c’è il minimo tra d(p)-k e k).

Qual è il vantaggio che ha un’impresa nel fare un prezzo alto? Se fa un prezzo alto ottiene per ogni vendita di più, ma se un’impresa ottiene per ogni vendita di più ma la domanda scende cos’ rapidamente che il suo profitto è minore a lei non conviene fare un prezzo alto, conviene fare un prezzo più basso. Questo massimo ci dice che all’impresa non conviene mai fare un prezzo superiore a PMi, se lo facesse, a meno che l’altra non faccia un prezzo ancora più alto, otterrebbe un profitto più basso di quello che potrebbe ottenere scegliendo PM.

Pmi: è il prezzo al di sotto del quale non conviene andare: pmi è quel prezzo per cui l’impresa ha esattamente lo stesso profitto che otterrebbe nel caso in cui gioca PMi e l’altra impresa fa un prezzo più basso. Se l’altra impresa fa un prezzo più alto, lei, giocando pmi ottiene esattamente lo stesso profitto che otterrebbe se l’altra impresa facesse un prezzo più basso e lei giocasse PMi. Giocare un prezzo inferiore a pmi non è vantaggioso perché l’imoresa sa che potrebbe ottenere un profitto almeno uguale a quello giocando un prezzo più alto (PMi) anche se l’altra impresa fa un prezzo più basso.

Figura 3.15

Prendiamo l’impresa grande: prima si sale lungo la retta, giunti a pk si passa all’altra curva, se l’impresa grande fa un prezzo superiore le può andar bene solo se l’impresa piccola fa un prezzo più alto. Se l’impresa gioca PM ha un profitto sicuro. Pm è costruito prendendo la retta (p-c)ks e la curva, fare un prezzo basso offre il vantaggio di prendere tutta la domanda, ma se l’impresa anche prendendosi tutta la domanda ottiene un profitto più basso di quello che otterrebbe facendo un prezzo più alto le conviene fare un prezzo più alto. I prezzi inferiori a pm non saranno mai giocati dalle imprese. Fare un prezzo più basso di pmL è pura follia.

Funzioni di reazione

Per costruire la funzione di reazione dell’impresa piccola prendiamo in considerazione le varie alternative che ha l’impresa grande.

C<pL<pms

PL=pms 14

Pms<PL<p2ks

P(2ks)<PL<p(ks)

P(Ks)<PL<P

Figura 3.16: C<pL<pms

La funzione del profitto sale lungo la retta, si interseca in pk, prosegue nella parte bassa, arriva al massimo (vertice) e poi scende, il max è quindi pMs. All’impresa conviene fare PMs.l’impresa grande in questo caso fa un prezzo molto basso quindi alla piccola conviene massimizzare il profitto lasciando fare all’altra un prezzo più basso.

Figura 3.17: PL=pms

Si sale lungo la retta fino a PL dove c’è il max. PMs è sempre un massimo però se le due imprese facessero lo stesso prezzo quel punto si troverebbe al di sotto della curva. L’impresa piccola ha due scelte ottime:

-PMs

-Pms=pL

Quando ci sono due risposte ottime la funzione di reazione non è una funzione ma è una corrispondenza.

Figura 3.18: Pms<PL<p2ks

Il profitto sale fino a pL, poi scende giù. Siamo sotto l’altra curva quindi il apllino in corrispondenza di PL è un massimo. In queste condizioni la scelta ottima è PL.

Figura 3.19: P(2ks)<PL<p(ks)

Siamo sopra P(2ks) oltre la curva intermedia, saliamo lungo la retta fino a PL che è un estremo superiore e non è un massimo, scendiamo giù con due crolli. In questo caso c’è l’estremo superiore ma non c’è un massimo.

Figura 3.20: P(Ks)<PL<P

Si sale fino a PL poi si scende lungo la curva e ci sono i crolli. Non c’è il max ma c’è l’estremo superiore.

Figura 3.21: funzione di reazione dell’impresa S

Funzione di reazione dell’impresa grande

Ci sono tre intervalli

c<ps<pmL

pmL<ps<p(kL)

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p(KL)<ps<p

figura 3.22

c<ps<pmL: nel primo intervalli: all’impresa grande conviene fare pmL dove c’è infatti il massimo, se facesse un prezzo più basso di prenderebbe tutto il mercato ma otterrebbe un profitto basso.

pmL<ps<p(kL): il profitto dell’impresa grande sale lungo la retta fino al prezzo dell’impresa piccola, in questa situazione siamo la retta è sopra la curva quindi c’è un estremo superiore ma non c’è il massimo, si crolla lungo la curva intermedia e poi lungo la curva bassa.

p(KL)<ps<p: sale lungo la retta poi scende lungo la curva e poi ha due crolli.

Figura 3.23

È come in KB però non c’è PK ma pmL.

Figura 3.24

Se mettiamo insieme le funzioni di reazione vediamo che non si intersecano. Se le imprese fossero uguali avremmo una situazione nella quale non si intersecherebbero lo stesso. Le funzioni di reazione ci rivelano che non esiste un equilibrio di Nash in quell’area. L’equilibrio esiste invece in strategie miste. L’area KC non ha equilibrio di Nash in strategie pure.

Cournot

1838. ciascuna impresa considera la quantità prodotta dalla rivale come date. Al tempo di Cournot non esisteva il concetto di equilibrio di Nash. Per ogni possibile quantità prodotta dalla rivale sceglie la quantità che massimizza il suo profitto. Ha una visione in cui c’è un mercato nel quale le impresa si recano con delle quantità, il prezzo si forma sul mercato, come si forma tale prezzo Cournot non lo dice. Mentre Varrà parla dell’arbitratore, Cournot non spiega come si formano i prezzo, per questo viene criticano da Bertrand il quale dice che le imprese vanno si al mercato con una quantità ma vanno anche con un prezzo: le imprese si fanno concorrenza tramite la fissazione dei prezzi. Bertrand però poi si ritrova a dire che p=CMg. Bertrand però fa, senza menzionarla, l’assunzione che le imprese hanno una grande capacità (1883).

Edgeworth produce un modello in cui considera solo un esempio numerico nel quale mostra che non c’è un equilibrio perché l’esempio numerico corrisponde all’area KC. Il risultato che in oligopolio possa non esserci un equilibrio è importante. Edgeworth era allievo di Marshall, Marshall aveva sotenuto che mentre monopolio e concorrenza perfetta sono mercati precisi che possono essere trattati in modo matematico, l’oligopolio può essere trattato solo in modo dinamico. Edgeworth infatti lo tratta in modo dinamico, Edgeworth nel 1897 non sapeva cosa fossero le strategie miste. E. fa un modello alla Bertrand con un vincoli di capacità. Per diversi anni c’è stata divergenza tra queste teorie.

Kreps e Scheinkman nel 1983 dicono che i modelli tra loro non sono contradditori. I modelli possono essere messi insieme. Si può avere un comportamento di concorrenza alla Bertrand e un risultato alla Cournot. Le due imprese prima di andare al mercato devono scegliere quanta capacità installare, non devono pensare alla quantità da produrre ma alla capacità da installare (Edgeworth la considerava data). la capacità a differenza del prezzo non può essere cambiata ogni volta che ci si reca al mercato. Le imprese decidono quale capacità installare e così si ha un primo periodo, il gioco non è one shot, non ha un solo stadio, ci sono due tempi. Esiste un momento in cui le imprese fissano la capacità. Dopo aver fossato la capacità ciascuna delle due impresa guarda cos’ha fatto l’altra. Le imprese all’inizio non sanno cosa fa la rivale, fissano al capacità al buio. Una volta a conoscenza della capacità scelta dall’altra impresa ciascuna impresa sceglie il prezzo contemporaneamente all’altra. Quando le due imprese vanno al mercato sanno già le loro rispettive capacità.

I due economisti mostrano che il risultato che si ottiene è esattamente il risultato di Cournot. Il modello di Cournot quindi non necessita per forza di un banditore come diceva Bertrand.

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Questo non significa che il modello di Bertrand non serva a niente: se invertiamo i tempi, decidendo prima il prezzo e poi la capacità, otteniamo il modello di Bertrand: le due imprese fissano i prezzi e poi, conosciuto il prezzo della rivale fissano la capacità (nella realtà si riscontrano imprese che adottano quest’ordine ad es. Ikea o imprese che vendono su internet, all’inizio dell’anno queste imprese fissano i prezzi e poi producono tutto l’anno).

Esiste anche un altro gioco, che noi non faremo, nel quale le imprese decidono contemporaneamente prezzo e capacità.

Ricordiamo il modello di Cournot

Abbiamo due imprese, il profitto è p*q –c, il prezzo è in funzione delle quantità. Ciascuna impresa massimizza il profitto mettendo la derivata uguale a zero, da quest’equazione si ottiene un’equazione in q1 e q2 che è la funzione di reazione dell’impresa 1. Si prendono le due funzioni di reazione e, mettendole insieme si ottiene l’equilibrio con q1=q2.

Bertrand giunge invece a un paradosso: P=Cmg, non si riesce manco a coprire i costi fissi. Ci sono vari modi di risolvere il paradosso di Bertrand:

Edgeworth: vincoli di capacità, se le imprese hanno capacità piccole il prezzo che si forma non è Cmg ma P(k1+k2)

Gioco capacità - prezzo

Differenziazione del prodotto

Collusione tra imprese: le imprese possono colludere, però affinchè la collusione si realistica significa che colludere è conveniente. È raro che convenga colludere.

Il gioco capacità-prezzo

Le assunzioni fino alla 5 sono le stesse, la 7 e la 8 le sostituiamo con le assunzioni 9 e 10.

Assunzione 9: riguarda la struttura temporale. Ci sono due stadi:

nel primo stadio le imprese in I(insieme delle imprese) scelgono simultaneamente e indipendentemente le capacità produttive.

Nel secondo stadio le imprese, dopo essere venute a conoscenza delle capacità installate dalla rivale, fissano simultaneamente e indipendentemente i prezzi d’offerta.

Assunzione 10: riguarda le strategie, non viene chiesta. Quando noi abbiamo parlato di cos’è una strategia abbiamo detto che la strategia rappresenta l’insieme delle mosse a disposizione del giocatore. Una strategia è fatta di due cose in questo contesto: prima bisogna scegliere la capacità e poi il prezzo, però poiché il prezzo viene scelto dopo aver conosciuto la capacità dell’altro, quello che c’è da scegliere sin dall’inizio, è come io sceglierò la capacità. Devo dire: per ogni capacità fissata da me e dalla mia rivale, che prezzo farò? Una strategia quindi è un elemento del prodotto cartesiano (è un insieme di coppie in cui si prende un elemento da ogni insieme, l’insieme di tutte le coppie è il prodotto cartesiano che corrisponde a un punto (una coppia appunto).

Ki è l’insieme delle capacità produttive adottabili dall’impresa nel primo stadio, quindi è un segmento.

Pi invece è l’insieme delle funzioni in cui il codominio è k e pi. Una funzione di questo tipo è una funzione che associa a ogni punto dell’insieme K, ad ogni coppia di capacità, un prezzo. Questo significa che ogni impresa sceglie con quale regola fisserà il prezzo. L’insieme di tutte le regole possibili rappresenta un insieme di funzioni.

Nei giochi simultanei una strategia è un valore di una determinata variabile strategica di un giocatore. Tutti i modelli visti finora sono dei giochi in cui ogni giocatore deve scegliere una variabile.

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Nei giochi sequenziali invece la strategia del giocatore che gioca per prima è ancora il valore di una determinata variabile strategica a sua disposizione, mentre per il giocatore che gioca per secondo una strategie è un insieme di risposte univoche a tutte le potenziali strategie del primo giocatore.

Nel nostro gioco i due giocatori giocano insieme ma giocano solo una parte della giocata. In questo caso si trova un equilibrio di Nash particolare: un equilibrio di Nash perfetto nei sottogiochi: non solo c’è un equilibrio di Nash ma ciascun sottogioco ha un equilibrio di Nash. Questo vincolo è importante perché in queste condizioni io posso tener conto di quello che accade all’ultimo stadio del gioco e quello dev’essere un equilibrio di Nash, inoltre io devo tener conto di quello che accadrà nell’ultimo stadio di gioco e posso parlare di un altro sottogioco che è quello in cui tengo conto di quello che accade nell’ultimo stadio e invece gioco solo il primo stadio. Noi in questi casi possiamo separare il gioco in due parti:

Nella prima consideriamo tutti i sottogiochi possibili del secondo stadio e troviamo i playoff corrispondenti

Una volta conosciuti playoff analizziamo il sottogioco del primo stadio

Dobbiamo essere in grado di riconoscere come sono fatti i sottogiochi del primo stadio e come sono fatti i sottogiochi del secondo stadio.

Sottogioco è tutto ciò che accade da un nodo fino alla fine.

Utilizziamo in metodo dell’induzione all’indietro.

Possiamo individuare un numero infinito di sottogiochi, uno per ogni coppia di capacità produttive potenzialmente adottabili dalle imprese. I sottogiochi di prezzo altro non sono che il modello di Edgeworth , noi già conosciamo K1 e K2 e dobbiamo scegliere il prezzo. Questo sottogioco è definito dal gioco di Edgeworth.

Figura 4.1

Ora le capacità non sono date però nessun imprenditore sceglierà una capacità superiore a D( c), quella capacità non troverebbe una domanda, quindi tutta la parte oltre Dc non c’è, noi abbiamo quindi il punto Ka che è l’unico in cui si realizza l’equilibrio di Bertrand, la superficie Kb in cui p=P(k1+k2) e il profitto variabile è uguale a πi. In KC c’è una soluzione per il profitto che è πL.

12.3.12

La concorrenza perfetta

È un modello in cui gli economisti (Marshall) hanno cercato di individuare una forma di mercato. Ci sono delle assunzioni che rendono trattabile il problema dei prezzi. La concorrenza perfetta si basa sulle assunzioni:

Atomicità: ciascun agente è talmente piccolo che non può incidere sui prezzi, deve considerare i prezzi come dati. Nei modelli da noi trattati invece gli agenti fissano i prezzi.

Omogeneità del prodotto: fin ora anche noi abbiamo supposto che tutte le imprese vendano lo stesso bene e quindi i consumatori sono indifferenti tra le varie merci vendute dalle varie imprese. Noi però tratteremo anche casi di non omogeneità (Hotelling).

Informazione perfetta: ognuno conosce la tecnologia, la domanda di tutti gli altri.

Simmetria tecnologica: tutti i produttori hanno la stessa tecnologia. In alcuni modelli di Bertrand non c’è tale simmetria.

Libertà di entrata e di uscita: questo però riguarda il lungo periodo.

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In queste condizioni il singolo agente è un price taker: considera i prezzi come dati, non è un price maker (concorrenza alla Bertrand).

La concorrenza alla Bertrand

È un tipo di concorrenza in cui due o più imprese fissano insieme i prezzi vincolandosi con i consumatori con tutta la capacità a loro disposizione. Esiste un momento simultaneo in cui le imprese fissano i prezzi e si impegnano a vendere a quel prezzo.

Assunzioni:

assunzione 1: il numero delle imprese, è un’assunzione generale, in tutti i giochi bisogna stabilire il numero di giocatori. Nel nostro caso i giocatori sono due e sono uguali tra loro (in alcuni casi però le abbiamo differenziate (large e small).

Assunzione 2: prodotti omogenei

Assunzione 3: domanda di mercato, è decrescente e concava: a un certo punto tocca l’asse orizzontale, se fosse convessa potrebbe non toccarla, da un certo punto in poi quindi la domanda è zero (quando tocca l’asse x).

Assunzione 4: costi (può essere l’assunzione sulla tecnologia) noi abbiamo CMg costanti, un costo fisso e un Cmg della capacità produttiva: rilevante nel modello capacità prezzo (lo sarà anche nell’entrata). Noi poi sappiamo che oltre Ki non si può andare, senò i costi sarebbero infiniti.

Assunzione 5: razionamento efficiente, se le due imprese vendono a prezzi diversi la domanda va tutta all’impresa che vende a prezzo più basso però se l’impresa non è in grado di soddisfare tutta la domanda, la parte insoddisfatta va all’altra impresa che fa il prezzo più alto. Se le due imprese fanno lo stesso prezzo la domanda si divide in due però se una delle due non è in grado di soddisfare una parte la cede all’altra. Nei grafici abbiamo uno spostamento verso sinistra pari a Kj. Quando Kj aumenta ci sono due salti (1.3). questa non è l’unica teoria del razionamento, come quella proporzionale (da sapere).

Assunzione 6: si semplifica l’analisi (modello di Bertrand).

Assunzione 7: insieme alla 8 determina le strategie, la 7 ci da la struttura temporale, nei modelli di Bertrand ed Edgeworth noi abbiamo un solo tempo in cui le imprese fissano il prezzo.

Assunzione 10: quando parliamo di strategia definiamo ciò che è a disposizione del singolo agente all’inizio del gioco. Poiché l’informazione è perfetta per strategia si intende non solo la prima mossa ma anche come viene scelta la seconda mossa in funzione delle mosse fatte in precedenza.

Poi abbiamo visto il confronto tra il modello di Bertrand e quello di Edgeworth: l’elemento fondamentale che distingue questi due modelli è l’assunzione 6. Nel modello di Bertrand c’è l’assunzione 6, nel modello di Edgewoth no.

Il gioco capacità prezzo

Le assunzioni 7 e 8 vengono sostituite dalla 9 e la 10.

Assunzione 9: la concorrenza tra imprese si realizza in due stadi:

1. Le imprese scelgono le capacità

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2. Dopo essere venute a conoscenza delle capacità scelte scelgono il prezzo

Assunzione 10: la strategia dell’impresa che opera nello stadio numero due è scegliere una funzione che dice cosa faranno nello stadio numero 2 una volta a conoscenza dello stadio precedente. La strategia è una funzione, un insieme di strategie quindi è un insieme di funzioni.

Vediamo il gioco:

■ Assunzione 1= numero giocatori

■ Assunzioni 9 e 10= strategie

■ Assunzioni 2 e 5 = profitti

Ora il gioco è definito.

Il gioco è in due stadi, il modo migliore per risolverlo è il metodo dell’induzione a ritroso: separiamo il gioco in due sottogiochi che riguardano i due momenti decisionali. Guardiamo la decisione a valle, definiamo il sottogioco dei prezzi.

Il sottogioco dei prezzi

Consideriamo date le capacità che sono scelte nel primo stadio. Ritroviamo il gioco di Edgeworth, se la capacità sono date dobbiamo scegliere solo il prezzo.

Noi sappiamo che se la coppia K1 k2 si trova nel quadrilatero KB il profitto variabile è πL, in Ka è zero. C’è poi l’area intermedia.

A questo punto abbiamo analizzato il secondo stadio, il sottogioco dei prezzi.

Il sottogioco delle capacità

Dobbiamo supporre che gli agenti debbano fare la prima scelta sapendo quale sarà la scelta che faranno successivamente.

Le assunzioni sono la 1, la 4.1, la 4.2 (oltre Dc sarebbe stupido andare) e la 4.3 (gli esiti dipendono dal secondo stadio).

■ Se K1 e k2 appartengono a KB c’è un certo esito

■ Se K1=k2=dc l’esito è il risultato di Bertrand

■ Se K1 e k2 di trovano in KC non lo sappiamo

Tutto il problema in realtà si trova nell’area che conosciamo. Cerchiamo un candidato all’equilibrio di Nash nell’area che conosciamo. Un candidato all’equilibrio di Nash è l’intersezione delle funzioni di reazione. Prendiamo le funzioni di reazione solo nella parte di spazio in cui ci sono soluzioni in strategie pure.

Deriviamo le funzioni del profitto dell’impresa 1 rispetto a K1 e quella dell’impresa 2 rispetto a k2 e le mettiamo uguali a zero. Noi vogliamo inoltre che tali disuguaglianze siano soddisfatte nell’area delle strategie pure, affinchè ciò si verifichi l’espressione dev’essere maggiore o uguale a zero. Ma se poniamo che tutto ciò è uguale a zero significa che tutto ciò è uguale a r (lo spostiamo a destra) e, poiché r è positivo tutto il lato sinistro sarà positivo e quindi siamo al di sotto delle funzioni che definiscono l’area KB. Il punto all’interno dell’area che è l’intersezione delle funzioni di reazione, è un candidato ad essere un equilibrio di Nash. Per valutare se lo è dobbiamo vedere se ciascun impresa, data la scelta dell’altra, massimizza il profitto in quel punto. Questo significa dire che data una capacità l’altra impresa massimizza il suo profitto in corrispondenza di quel punto.

▲ Supponiamo dato k2* e facciamo variare k1, avvicinandoci alla funzione di reazione il profitto sale, quando stiamo sulla funzione di reazione il profitto è max, quando ci allontaniamo dalla funzione di reazione il profitto diminuisce, il punto k1^ è il punto di scambio in cui si passa dalle strategie pure alle strategie miste. Se k1 > o = a k2 ossia (dal punto

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in cui k1 raggiunge k2* in poi verso tutti i punti più a destra), allora il profitto è formato da una parte costante meno rK1 meno F, c’è una parte costante e poi una parte che decresce con pendenza meno r. Dal punto kj^ si scende con pendenza r. in Ki* c’è il max. arriviamo cosi alla preposizione 4.1: otteniamo un equlibrio di Nash che coincide con l’equilibrio di Cournot, con K1* e k2*.

(queste che abbiamo sono studiato ora sono le vere funzioni di reazione perché c’è r, le altre funzioni che delimitano l’area KB non sono vere e proprie funzioni di reazione).

Nel modello capacità prezzo (Kreps e S) mostra che il modello di Cournot può essere studiato come una concorrenza alla Bertrand purchè ci siano questi due stadi.

Il gioco prezzo capacità

La differenza tra il modello di Bertrand e quello di Cournot può essere ricondotta ai due momenti in cui si prendono le decisioni. Nel modello capacità prezzo nel primo momento le imprese scelgono la capacità e nel secondo i prezzi. L’esempio classico del gioco prezzo capacità è quello delle imprese che vendono su catalogo.

Le assunzioni fino alla 5 sono le stesse poi non ci sono 7 e 8 ma 11 e 12 che sono le simmetriche di 9 e 10.

■ L’assunzione 1 definisce il numero dei giocatori

■ La 11 e la 12 definiscono le strategie, dalle combinazioni ne derivano una coppia di prezzi e una coppia di capacità

■ Le assunzioni 2 e 5 definiscono il profitto

Anche in questo modello usiamo il metodo dell’induzione a ritroso: partiamo dal sottogioco delle capacità (secondo stadio) e proseguiamo poi con il sottogioco dei prezzi.

Il sottogioco delle capacità

È definito dalle assunzioni 1-5. E poi abbiamo:

■ 5.1 i prezzi sono decisi nel primo stadio e quindi dati e sono sempre compresi tra c e p segnato.

■ 5.2

■ 5.3

Caso 1

Supponiamo che entrambi i prezzi siano maggiori di c+r. pi e pj sono diversi tra loro, pi è più piccolo.

Impresa i

Andiamo a vedere il profitto dell’impresa i esima ossia quella che fa il prezzo più basso.

■ Quando 0<ki<pi dove pi è noto noi sappiamo che il profitto è (pi-c-r)Ki –F. l’impresa vende esattamente Ki perché la domanda è maggiore o uguale a Ki.

■ Se invece Ki>Dp quello che viene venduto è la quantità domandata. La capacità eccede la quantità domandata.

Non appare il prezzo dell’impresa j-esima. La nostra impresa i esima massimizza il suo profitto indipendentemente dall’impresa j. Questo significa che è una strategia dominante, è una strategia che viene scelta in modo indipendente dall’altra impresa. La scelta consiste nel massimizzare, naturalmente il massimo si ottiene in D(pi); pi – c- r, poiché p>c +r è positivo e cresce sempre, sotto invece all’aumentare di ki il profitto scende. L’impresa massimizza quando Ki= dpi.

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Impresa J

Il suo profitto è: -F – rkj. L’altra impresa vende e ha una strategia dominante che è produrre Dpi, quindi l’impresa j non ha domanda residua. In questo caso non ha ricavi ma solo costi, in questo caso il profitto viene massimizzato quando kj=0 (non le conviene produrre, se produce perde). Questa è una strategia dominante ma è una dominanza iterata.

Se pi fosse stato < c+r avremmo avuto pi-c-r<0 e all’impresa i sarebbe convenuto ki=0. L’impresa j allora, avendo pj>c +r avrebbe prodotto tutta la domanda residua.

Caso 2: pi=pj>c+r

In questo caso la funzione del profitto è:

-0<ki< max… (ricordando che pi è noto e quindi l’unica cosa ignota è kj (ora non siamo più indipendenti e quindi non ci sono più strategie dominanti) il profitto è (p-c-r)ki-F

Se max<ki< Dc c’è un altro profitto

A cosa è uguale l’arg max?

• se kj<D(pi)/2 allora avremo che il max è D(pi)-kj. L’altra impresa infatti produce una quantità bassa, inferiore alla metà della domanda e quindi a lei conviene occupare tutto lo spazio disponibile (perché p – c- r>0).

• Se kj>D(pi)/2 riuscirà a vendere solo D(pi)/2 e quindi questo è il ki in cui si raggiunge il max.

La funzione di reazione dell’impresa i esima fa come mostra la figura 3.4: le due funzioni di reazione si intersecano in D (pi)/2. Le due imprese quindi sceglieranno come capacità D(pi)/2.

Se le due imprese fanno lo stesso prezzo scelgono entrambe la capacità uguale alla metà della domanda.

Se una delle due imprese fa un prezzo più basso sceglie la capacità uguale alla domanda e l’altra sceglie zero.

19.3.12

Il gioco prezzo capacità

■ Ass 1 numero giocatori

■ Ass 11 e 12 spazio strategico

■ Ass 2,3,4,5 definiscono i profitto che sono i pay off

Cerchiamo la soluzione col metodo dell’induzione a ritroso: partiamo dal secondo stadio.

Il sottogioco delle capacità

È definito dalle assunzioni 1-5, 5.1, 5.2,5.3.

La capacità non è superiore a Dc perché a Dc corrisponde un ricavo nullo al quale nessuna impresa è interessata.

Abbiamo visto vari casi:

prezzi diversi con pi<pj

caso 1

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Pj>pi e entrambi >c+r

Pi è dato, ci sono poi i costi che dipendono dalla quantità prodotta sulla base della capacità, c, e r, il costo della capacità. Il profitto varia a seconda dell’intervallo in cui si trova Ki.

Se ki<Dpi l’impresa è vincolata dalla capacità

Se ki>Dpi l’impresa è vincolata dalla domanda, non potrà produrre più della domanda e quindi produrrà Dpi.

In una situazione di questo genere l’argmax del profitto è Dpi. Fino a Dpi la funzione è crescente, superato questo punto c’è una parte fissa e poi una decrescente con pendenza r. quindi il max è Dpi. Questa come già visto, è una strategia dominante, non abbiamo fatto intervenire i comportamenti dell’altra impresa, qualunque cosa faccia l’altra impresa questo è il max.

L’impresa jesima in questo caso, poiché l’altra giocherà la sua strategia dominante, non avrà domanda e quindi non le conviene investire in capacità. Il suo profitto è una retta decrescente che parte da –F, da una quantità decrescente e diminuisce all’aumentare di KJ. Il max quandi si ha quando Kj=0. Anche questa è una strategia dominante. Questa però è una dominanza iterara, anche qui non abbiamo fatto intervenire il comportamento dell’altra ma sappiamo che c’è una strategia dominante.

Caso 2

Pi<pj però pi>c ma <c+r

Questo significa che pi-c-r è negativo. la funzione del profitto parte da –F e decresce con pendenza pi-c-r. quando ki sale abbiamo una quantità che decresce dolcemente fino Dpi e dopo riscende con pendenza r. il max si ha in zero.

Nel caso dell’altra impresa pj>c+r quindi p-c-r è positivo, il primo tratto è crescente, cresce fino a Dpj e poi decresce. Il max è quindi Dpj. Questa è una dominanza iterata.

Caso 3

Pi<pj però entrambi sono > di c e < di c+r

Per l’impresa i si parte da una quantità negativa e poi si scende quindi il max si ottiene in zero. Questa è una strategia dominante.

Anche nel caso dell’impresa j si decresce dolcemente fino a Dpj e poi la pendenza aumenta, anche in questo caso l’argmax è zero.

Prezzi uguali

Caso 4

Vediamo ora il caso in cui i due prezzi sono uguali.

Sono entrambi > di c+r.

Abbiamo il primo tratto (pi-c-r)K crescente, finchè ki< dell’espressione, in questo caso ciascuna impresa ha una capacità inferiore alla domanda. Se una delle due imprese ha una capacità inferiore c’è la domanda residua. Quando K > espressione la prima parte è data e non conviene aumentare k oltre il max.

Ora anche il risultato di i dipende con kj a seconda che sia < o no di Dpi/2. Poiché dipende da kj queste sono funzioni di reazione e non strategie dominanti.

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La funzione di reazione dell’impresa 1 ha un tratto verticale in corrispondenza di Dpi/2 e un tratto decrescente che si ha quando la rivale ha una quantità inferiore a Dpi/2. Per l’altra impresa avremo la funzione di reazione simmetrica. L’intersezione quindi è in Dpi/2.

Caso 5

I due prezzi sono uguali, maggiori di c e minori di c+r.

Quindi pi-c-r è negativo, poi si scende sempre, è chiaro che entrambe le imprese massimizzano il profitto quando l’argmax è 0.

Il sottogioco dei prezzi

Si basa sulle assunzioni 1, 5.4-5.6.

Sostituiamo i valori di K trovati nel 2 stadio nelle funzioni di profitto.

• Se c<p1<c+r il profitto è –F perché la scelta di K è 0

• Se c+r<p1<p2 allora il profitto è (p-c-r)Dpi-F perché la scelta del II stadio sarà Dpi

• Se invece c+r<p1=p2 il max nel secondo stadio si ha in corrispondenza dell’intersezione delle funzioni di reazione:dpi/2.

• Se invece p1>p2 abbiamo –F perché nel secondo stadio la quantità prodotta è zero e la capacità è zero.

Si tratta di fare la scelta di P

Grafico

Pm è l’arg max di (p-c-r)Dp. Quest’espressione è una relazione a campana. Pm sostanzialmente è il prezzo che farebbe il monopolista.

Abbiamo che quello che accade prima di c+r non lo consideriamo: in questo caso le imprese non producono, pagano solo i costi fissi, la capacità è zero.

Se siamo sopora c+r abbiamo uno spazio suddiviso in più parti:

1. Parte verde: non c’è un equilibrio di Nash perché almeno una delle de fa un prezzo superiore al prezzo di monopolio e vorrebbe fare un prezzo più basso, l’altra invece poteva fare il prezzo di monopolio.

2. Parte arancione: dobbiamo distinguere i due triangoli senza le due ipotenuse, non ci sono equilibri di Nash:

■ Nel triangolo sotto entrambe le imprese pongono un prezzo inferiore a quello di monopolio, quella che fa il prezzo superiore non ha domanda e quella che fa il prezzo inferiore potrebbe fare un prezzo sempre inferiore all’altra ma un po’ più alto.

3. Lungo la diagonale tranne il punto c+r,c+r: non ci sono equilibri di Nash. I prezzi delle die imprese sono uguali, ciascuna impresa potrebbe fare un prezzo un po’ più basso e accaparrarsi la domanda.

4. Punto c+r: è l’unico equilibrio di Nash.

Giunti a questo punto questo modello è identico a quello di Bertrand, l’unica differenza è che in Bertrand avevamo c e ora abbiamo c+r.

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Torniamo al paradosso di Bertrand

Le imprese non sono in grado di pagare i costi fissi perché fanno il prezzo uguale al costo marginale.

Differenziazione del prodotto: modello di Hotelling

Noi lo chiameremo il gioco varietà prezzo. Hotelling aveva fatto un altro modello che non ha un equilibrio di Nash in strategie pure e comunque il risultato finale non è quello che Hotelling pensava di avere ottenuto. H. ha fatto un errore. Hotelling comunque ha avuto un’idea importante: esprimere un modello in cui la varietà possa essere calcolata e studiata.

L’articolo di Hotelling nasce come risposta a Edgeworth.

Hotelling studia un modello in cui i due duo polisti possono scegliere la varietà.

Sraffa era un italiano antifascista che quindi scappò dall’Italia. Sraffa non giurò al fascismo perdendo cos’ la cattedra a cagliari.

Sraffa criticava Marshall sui rendimenti di scala e sosteneva che sia quando sono crescenti sia quando sono decrescenti non si verificano le condizioni che Marshall aveva previsto. Nella seconda parte del suo lavoro dice che il comportamento delle imprese è come un comportamento di monopolio questo perché ogni impresa ha i suoi consumatori: si introduce questo concetto di varietà, ogni impresa ha il suo mercato legato al bene che produce.

Robinson e Chamberlin nelle loro opere sviluppano i problemi studiati da Sraffa e analizzano un modello di varietà diverso da Hotelling.

Il modello di Hotelling parla di differenziazione del prodotto. Il concetto di differenziazione non è quello di diversità (diversi=tavolo e sedia, differenziati=tavoli differenti). Il bene è lo stesso ma le imprese lo differenziano.

La differenziazione può essere:

■ Verticale: un bene è di qualità superiore all’altro. Se i due beni hanno lo stesso prezzo tutti i consumatori ne preferiscono 1: questo è quello di maggiore qualità.

■ Orizzontale: nel momento in cui i due beni sono venduti allo stesso prezzo alcuni ne preferiscono uno altri un altro. C’è un problema di gusto.

Il segmento di Hotelling corrisponde a una differenziazione orizzontale.

L’idea fondamentale è che esistono infiniti beni ideali, ogni punto di un segmento è un bene ideale possibile. I consumatori sono interessati ai beni reali non ideali. Ogni consumatore ha un bene ideale che considera ottimale: i consumatori sono a loro volta distribuiti lungo il segmento. Ogni consumatore vorrebbe consumare il bene che si trova dove si trova lui.

Le imprese sono due e ciascuna produce un solo bene reale. L’impresa quindi, a differenza dei consumatori che sono già posizionati sul segmento, deve scegliere dove posizionarsi e quindi quale bene produrre.

I consumatori considerano la distanza tra il loro bene ideale e il bene reale. Considerano il fatto che non possono ottenere il loro bene ideale come un costo, tale costo è proporzionale al quadrato della distanza. In Hotelling non era proporzionale al quadrato della distanza ma alla distanza.

Es. le due imprese producono maglioni uguali ma di colori diversi.

Le assunzioni:

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