Esempio di progettazione di un riduttore di velocità - corso di laurea in Ingegneria Meccanica, Progetti di Bioingegneria Meccanica. Politecnico di Bari
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Esempio di progettazione di un riduttore di velocità - corso di laurea in Ingegneria Meccanica, Progetti di Bioingegneria Meccanica. Politecnico di Bari

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esempio di progettazione di un riduttore di velocita, lavoro comprensivo di calcolo delle ruote dentate, alberi di trasmissione, cuscinetti, organi di collegamento bullonati e non, carter. Progettazione meccanica.
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1

POLITECNICO DI BARI

I FACOLTÀ DI INGEGNERIA

CORSO DI LAUREA IN INGEGNERIA

MECCANICA

Corso di: PROGETTAZIONE MECCANICA

Anno Accademico 2012 – 2013

Progetto d’anno

Esempio di dimensionamento di un riduttore del dispositivo di

comando dei cingoli di un complesso semovente di

frantumazione e cernita del pietrame

Studente:

Emanuele Attimonelli

2

3

INTRODUZIONE

Nel progetto d'anno 2012/2013 è richiesto un dimensionamento globale di un riduttore di velocità che

permetta di aumentare considerevolmente la coppia in uscita, in modo che quest'ultima possa esser sfruttata

dal nostro utilizzatore.

Nel nostro caso l'utilizzatore è il dispositivo di comando dei cingoli per una macchina atta alla

frantumazionte del pietrame.

Queste macchine, molto utilizzate nell'ambito agricolo, sono soggette a condizioni di lavoro specifiche:

elevate vibrazioni, e non omogeneità dei terreni attraversati.

Ho concentrato quindi, la mia progettazione tenendo in considerazione questi 2 importanti aspetti sopra

elencati; facendo attenzione ad ottimizzare le prestazioni del riduttore cercando di limitare cosi' gli sprechi

di materiale, gli ingombri di spazio e facendo sempre attenzione anche ai costi, anche se questo progetto ha

finalità puramente didattiche.

Avendo già uno schizzo del complessivo di partenza, sò che il riduttore è composto da 3 stadi, cioè da 3

coppie di ruote dentate a denti diritti, poste su 4 alberi. Dato che tra l'asse di ingresso del moto e l'asse di

uscita ci sono 90° di disassamento, una coppia di ruote dentate sarà conica. Un altra particolarità di questo

riduttore è la coassialità dell'albero (2) e dell'albero (4), condizione che sono tenuto a rispettare passando in

fase progettuale.

Ho a disposizione i dati di partenza: sò che il moto entra nell'albero (1) ad una velocità di 1350 giri al

minuto, trasmettendo una potenza di 17 KW.

Il riduttore da me dimensionato è in grado di aumentare la coppia in ingresso di circa 100 volte cosi' come

rilevato dal progetto di partenza, e conseguentemente riduce il numero di giri dell'albero di ingresso (1) di

circa 100 volte.

Esso, considerando unitari i rendimenti dei cinematismi, trasmette circa 11000 N*m di coppia

all'utilizzatore, facendo ruotare l'albero di uscita (4) a circa 14 giri al minuto.

Il complessivo puo essere cinematicamente rappresentato cosi:

ω in ingresso

ω in uscita

4

RUOTE DENTATE

Il dimensionamento del riduttore deve partire dalla progettazione degli ingranaggi. È fondamentale iniziare

da questo punto, perchè questi ultimi mi permettono di conoscere le forze in gioco sugli alberi, e le reazioni

vincolari che i cuscinetti dovranno esplicare per bloccare il cinematismo.

Decido di affrontare il problema dimensionando le dentature a rottura, utilizzando il metodo di lewis, che

considera il dente come una trave inflessa, per poi verificare questi risultati ad usura, garantendo così una

vita sufficentemente lunga agli ingranaggi.

Ovviamente ho dimensionato solo l'ingranaggio più piccolo della coppia, perchè quello più sollecitato; il piu

grande di conseguenza sarà automaticamente verificato.

Per tutti gli ingranaggi assumo come dati di partenza:

 α= 0,7, che rappresenta un coefficente che considera la velocità periferica dell'ingranaggio,

calcolabile ⁄ dove v rappresenta la velocità periferica  σamm= 25 kgf/mm

2 un valore medio per l'acciaio

minimo numero di denti, ed essendo l'angolo di pressione ϑ = 20° ottengo un numero

minino di denti pari a 17

Calcolo quindi il modulo iniziale per la 1° coppia di ruote dentate coniche (5) (6):

Per prima cosa calcolo graficamente il rapporto di trasmissione relativo alla prima coppia di ruote, rilevo

quindi τ1/2 = 0,22 dato dalla misurazione degli angoli di inclinazione delle ruote: ξ1 ≈ 13° e ξ2 ≈ 77° sapendo

che

per le ruote coniche

Poi assumo il rapporto geometrico b/VC = 0,3 dove b = larghezza del dente e vc = distanza della ruota

dalla congiungente degli assi.

Calcolo cosi

(

)

≈ 14

Calcolo perciò la coppia agente sull’albero (1) ⁄ =120250 Nmm

dove P= potenza entrante ω= 2πn/60= 141,37 rad/s velocita angolare dell’albero (1)

Rilevo dal giovannozzi vol.2 tab pg.136 il valore del coefficente k, funzione del minimo numero di denti

k=0,73

Applico la formula di lewis per trovare il modulo medio minimo resistente √

= 2,69mm

Per le ruote coniche si unifica il modulo esterno:

= 3,17 mm ≈ 3 mm prima dimensione unificata

Ricalcolo il modulo medio mmr = 2,549 mm

Devo reiterare il procedimento per verificare la corretta assunzione dei dati iniziali, quindi calcolo il raggio

medio rm = mmrz1 / 2 = 21,67mm e la velocità periferica v = ω rm= 3,06 m/s che mi permette di verificare il

valore di α e ricalcolare il tutto, cercando di ottimizzare e affinare il procedimento, cambiando se necessario

valori di σamm e di z1.

5

Allego la tabella delle iterazioni fatte, giustificando i cambiamenti.

tentativiαm med (lewis)m estm est unim med ricalcolatoR1 medvel periferica Assunzioni :

1 0,7000 2,690 3,166 3,0 2,549 21,67 3,063

2 0,6620 2,740 3,225 3,5 2,974 25,28 3,574

3 0,6267 2,870 3,377 3,5 2,974 25,28 3,574 σ amm= 23

4 0,5427 2,574 3,021 4,0 3,499 35,78 5,058 K= 0,663 z =21

Nella 2° iterazione ho ricalcolato α, però ho notato che il diametro era troppo piccolo per garantire un

corretto proporzionamento del progetto quindi ho ritenuto opportuno sovradimensionare un pò la coppia di

ingranaggi, aumentando il n° di denti della prima ruota z1=21 e assumendo 4mm come modulo esterno

unificato, anche se dal calcolo usciva 3,02mm.

Ovviamente per la 4° iterazione assumendo un diverso numero di denti z1=21 ho ricalcolato il e ho rilevato il valore di k per 21 denti dalla tabella k=0,663.

Avendo terminato le iterazioni posso passare a calcolare i valori necessari per la progettazione: geometria

delle ruote e forze in gioco.

Calcolo la larghezza di ingranamento b= = 68mm

R1 (mm)R2 (mm) z1z2n1n2ξ1 ξ2

medio 35,78 162,62 21 95 1350,0 297,0 12,41° 77,59°

esterno 42 190

Forza tangenziale Q1= C/R1m= 3361,1N

Forza radiale R1 = forza assiale A2 = Q1 = 262,85 N Forza assiale A1= forza radiale R2 = Q1= 1194,77N

Infine faccio la verifica ad usura, per aver un valore minimo di durezza del materiale da assumere per la

costruzione degli ingranaggi (5) (6) e dell’albero (1), visto che la ruota (5) è di pezzo con l’albero (1).

Calcolo la durezza brinell con le formule prese dal vol.2 del Giovannozzi

= 433,64 N/mm

2 dove E = 206010 N/mm

2 modulo di young

=326 che corrispondono a una durezza vickers HV ≈ 400

Anche se potrei scegliere subito il materiale per questi componenti preferisco sceglierli successivamente per

confrontare con gli altri ingranaggi e con le verifiche cinematiche.

Calcolo il modulo per la 1° coppia di ruote dentate cilindriche (7) (8): Anche in questo caso calcolo graficamente il rapporto di trasmissione relativo alle ruote (7) (8), rilevo quindi

τ3/4=0,179 dato dalla misurazione dei raggi primitivi delle ruote: r3≈ 8 mm r4≈ 44,7 mm e sapendo che

per le ruote cilindriche.

Assumo λ = 10 ; k = 0,730 (da tab. giovannozzi vol. 1)

calcolo ω2 = 2 π n2 / 60 = 31,1 rad/s e quindi la coppia trasmessa C2 = P / ω2 = 546590 Nmm

posso subito calcolare il modulo iniziale con la nota formula di lewis

= 4,985 mm ≈ 5 mm come primo valore unificato

6

Allego la tabella con le iterazioni:

tentativiαm (lewis)m unir3Vel periferica Assunzioni:

1 0,7000 4,985 5,0 42,5 1,3218

2 0,8195 4,730 5,0 42,5 1,3218 Ricalcolando α 3 0,8195 4,936 5,0 42,5 1,3218 σ = 22

In questo caso le iterazioni da me fatte sono solo 2, visto che il valore andava subito a convergenza con il

modulo unificato 5, è stato sufficente ripetere il calcolo col nuovo valore di α, e successivamente permettere

di scegliere anche un materiale meno resistente σamm= 22 kgf/mm 2 , che si traduce in un potenziale costo

inferiore del complessivo.

Avendo terminato le iterazioni posso passare a calcolare i valori necessari per la progettazione: geometria

delle ruote e forze in gioco.

Larghezza di ingranamento b = λ m = 50 mm R3 mmR4Z3Z4n2n3

42,5 237.5 17 95 297,0 53,1

Forza tangenziale Q3= C/R3= 12861,01 N

Forza radiale R3 = Q3 = 4681,02 N

Verifica ad usura, per calcolare la minima durezza del materiale da assumere per la costruzione degli

ingranaggi (7) (8) e dell’albero (2), visto che la ruota (8) è di pezzo con l’albero (2).

Calcolo la durezza brinell con le formule prese dal vol.2 del Giovannozzi

= 1088,8 N/mm

2 dove E = 206010 N/mm

2 modulo di young

= 444 che corrispondono a una durezza vickers HV ≈ 470

Importante è rilevare l’interasse tra l’albero (2) e (3) I = r3+r4 = 280 mm

Calcolo del modulo per la 2° coppia di ruote dentate cilindriche (9) (10):

La misurazione grafica anche questa volta mi fa calcolare orientativemente il rapporto di trasmissione relativo

alle ruote (9) (10), rilevo quindi τ5/6 = 0,27 ; dato dai raggi primitivi delle ruote: r5 ≈ 12 mm r6≈ 40,8 mm e

sapendo che

per le ruote cilindriche.

Assumo λ = 10 ; k = 0,730 (da tab. giovannozzi vol. 1)

calcolo ω3 = 2 π n2 / 60 = 5,56 rad/s e quindi la coppia trasmessa C3 = P / ω3 = 3053590 Nmm

calcolo il modulo con la formula di lewis

= 8,82 ≈ 9 mm come primo valore unificato

Ripetendo i calcoli per affinare la fase progettuale ho riscontrato i seguenti risultati:

tentativiαm (lewis)m uniR5Vel periferica

1 0,7000 8,828 9,0 76,50 0,428

2 0,9334 8,021 8,0 68,00 0,381 α ricalcolato

3 0,9403 8,001 8,0 68,00 0,381 α ricalcolato

4 0,9477 6,900 7,0 59,50 0,331 σ=28 λ=14

7

In questo calcolo è evidente l’imprecisione iniziale nella stima del coefficente α, che va molto aumentato

per via delle basse velocità periferiche. Anche se i valori mi spingevano ad una convergenza perfetta verso

il modulo 8 ho dovuto spingere il calcolo verso il modulo 7mm perchè ho notato che con quest’ultimo

l’interasse tra l’albero (2) , (3) e (3), (4) risulta perfettamente uguale, rispettando la condizione iniziale che

mi sono posto. I3/4= r5+r6= 59,5 + 220,5 = 280 mm = I2/3

E’ stato sufficiente aumentare la larghezza dell’ingranamento imponendo un λ=14, assunzione giustificata

anche dal fatto che nella traccia l’ingranamento delle ruote (9) e (10) è più esteso di quello delle ruote (8) e (7). Ho

inoltre aumentato la a 28 Kgf/mm 2 scegliendo consapevolmente quindi, un materiale con

caratteristiche migliori.

Geometria ingranamento:

larghezza ingranamento b = λ m = 98 mm

R5 (mm)R6Z5Z6n3 (giri/1°)n4

59,5 220,5 17 63 53,1 14,3

Forza tangenziale Q5= C/R5= 51320,85 N

Forza radiale R5 = Q5 = 18679,26 N

Verifica ad usura, per calcolare la minima durezza del materiale da assumere per la costruzione degli

ingranaggi (9) (10) e dell’albero (3), visto che la ruota (9) è di pezzo con l’albero (3).

Calcolo la durezza brinell con le formule prese dal vol.2 del Giovannozzi

= 1178,3 N/mm

2 dove E = 206010 N/mm

2 modulo di young

= 480 che corrispondono a una durezza vickers HV ≈ 515

8

ALBERI

Sono a conoscenza di tutte le forze scambiate tra gli ingranaggi, e so che queste vengono scaricate sugli t

Però per poter dimensionare gli alberi ho bisogno di conoscere esattamente le caratteristiche della

sollecitazione su di essi, tratto quindi i suddetti come generiche travi appoggiate, i cui vincoli sono appunto i

cuscinetti.

Per una stima sulle lunghezze degli alberi decido di sfruttare il lavoro fatto sulle ruote dentate, infatti tra il

progetto di partenza e il mio vi è orientativamente un fattore di scala pari a 5. Quindi tutte le mie lunghezze

degli alberi saranno, in prima approssimazione, 5 volte quelle sulla traccia.

ALBERO ( 1)

albero da me trattato come isostatico, vincolato con un carrello e una cerniera in corrispondenza dei 2

cuscinetti a rulli conici (35)

La lunghezza rilevata dal disegno è ≈ 65 mm quindi assumerò una lunghezza del albero (1) di ≈ 285 mm

Che sarà cosi composta:

piano xy:

A1= 262,85 N

Forza assiale

R1= 1194,77 N

Forza radiale Ha Va Vb

Ct=9404,7Nmm

Coppia di trasporto

La coppia di trasporto la metto perchè la forza assiale è applicata nel punto medio della ruota, sul raggio medio.

Quindi se la applichiamo sull’asse dobbiamo tener conto anche del contributo della coppia Ct= A1 rm1

Essendo l’albero isostatico le equazioni cardinali della statica sono sufficienti a calcolare le reazioni vincolari, nonchè

a determinare le caratteristiche della sollecitazione.

E. C. S:

x) A1 = Ha

y) R1 – Va – Vb = 0

M(m) = 0 = Ct – 63 Va – Vb (63+70)

Ha =262,85 N

Vb = - 992,2 N

Va= 2186,97 N

9

Allego i diagrammi di sforzo normale[N], taglio[N] e momento flettente[Nmm] sul piano xy:

convenzioni positive

Sul piano xz invece:

Q1= 3361,1 N

Forza tangenziale

E.C.S

z) Q1 – Va – Vb = 0

M(m) = 0 = Va 63 + Vb (70 + 63)

Va = 6386,09 N

Vb = - 3024,99 N

10

Allego i diagrammi di taglio [N], momento flettente [Nmm] e momento torcente [Nmm] sul piano xz:

la sezione più sollecitata è A, che dimensiono secondo il criterio di Von Mises, quindi tengo conto sia del momento

flettente nei due piani e sia del momento torcente; trascuro quindi il taglio e lo sforzo normale, perche

verosimilmente considero il mio albero come snello.

= 254851 Nmm

E sapendo che σamm =23 kgf/mm 2 cioè 225,63 N/mm2 perchè uguale alla sua ruota di pezzo (5)

Calcolo il diametro minimo a flessotorsione:

= 22,57 ≈ 25 mm aumento moderatamente il diametro trovato a flesso torsione.

Potrebbe essere utile al fine del calcolo dei cuscinetti e delle linguette calcolare il diametro a torsione

semplice √

= 16,67 mm

con τamm ≈ σamm/ √ = 130,28 N/mm 2

11

ALBERO ( 2)

albero da me trattato come isostatico, vincolato con un carrello e una cerniera in corrispondenza dei 2

cuscinetti a rulli conici ()

La lunghezza rilevata dal disegno è ≈ 68 mm quindi assumerò una lunghezza del albero (1) di ≈ 290 mm

Che sarà cosi composta:

piano xy:

A2= R1= 1194,77 N

Forza assiale (6)

R2= A1= 262,85 N

Forza radiale (6)

Ct = 193791,7 Nmm

Coppia di trasporto

R3= 4681,02 N

Forza radiale (7)

Essendo l’albero isostatico le equazioni cardinali della statica sono sufficienti a calcolare le reazioni vincolari, nonchè

a determinare le caratteristiche della sollecitazione.

E. C. S:

x) A2 = Ha

y) R2 – Va – Vb – R3 = 0

M(a) = 0 = Ct – 60 R2 + Vb (60+95+95)+ R3 (60+95)

Ha = 1194,77 N

Vb = - 2189,5 N

Va = - 2228,7 N

Allego i diagrammi di sforzo normale[N], taglio[N] e momento flettente[Nmm] sul piano xy:

12

Sul piano xz:

Q2 = 3361,10 N

Forza tangenziale (6)

Q3 = 12861,01 N

Forza tangenziale (7)

E.C.S

z) Q2 – Q3 – Va – Vb = 0

M(a) = 0 = Q2 60 – Q3 (60 + 95) –Vb (60+95+95)

Va = - 2332,75 N

Vb = - 7167,76 N

Diagrammi di taglio [N], momento flettente [Nmm] e momento torcente [Nmm] sul piano xz:

Sezione piu sollecitata: D

= 854945,7 Nmm

= 34,3 ≈ 36 mm

Considerando la σamm = 22 kgf/mm 2 cioè 215,8 N/mm2 perchè uguale alla sua ruota di pezzo (7)

Potrebbe essere utile al fine del calcolo dei cuscinetti e delle linguette calcolare il diametro a torsione

semplice √

= 28,2mm con τamm ≈ σamm/ √ = 124,6 N/mm

2

13

ALBERO ( 3)

Albero una volta iperstatico perchè vincolato da 3 cuscinetti (18) (22) (26)

La lunghezza misurata per quest’albero è di ≈ 113 mm che corrispondono a ≈ 565 mm sul mio progetto.

Proprio per la sua elevata lunghezza è stato vincolato con un cuscinetto (22) tra le 2 ruote dentate (8) (9)

Questo permette una grossa riduzione dell’inflessione massima.

Per risolvere quest’albero devo sfruttare la teoria dell’elasticità dei materiali, e grazie alla scienza delle

costruzioni, posso trovare un incognita iperstatica, la quale accoppiata alla sua equazione di congruenza mi

permette di ricondurmi ad un caso isostatico risolvibile con le E.C.S.

Lunghezza = 565mm

a = 180mm b = 95mm c = 150mm d= 75mm

Piano xy:

Scelgo considerare il carrello in B come una sconnessione, esplicitando quindi il valore del momento in B

come incognita iperstatica. L’equazione di congruenza quindi sarà ⟦ ⟧ = 0 nella sezione B, perchè il carrello come vincolo garantisce la continuità delle rotazioni angolari nel punto in cui è applicato.

Lo schema principale diventa quindi:

Per risolvere la trave uso il metodo dei 4 momenti, calcolando il momento nella sezione B

Sapendo che l’equazione generica è applicabile per travi appoggiate secondo la formula:

[( ) ( )]

[( ) ( )]

14

Mi ed Mj rappresentano i momenti applicati alle estremità, ni ed nj invece rappresentano i momenti di

incastro perfetto, cioè i momenti che le eventuali forze applicate genereno su una trave doppiamente

incastrata.

Dovendo essere il salto di b nullo divido la trave in 2 parti proprio in B e applico la formula imponendo b1 = b2

b1

* (

)+

* (

)+= b2

Sostituendo i valori numerici ottengo:

Mb = - 312231 Nmm

Ottenuto il valore dell’incognita iperstatica, posso calcolare le reazioni delle 2 parti di trave, che composte

mi danno le reazioni totali.

E. C. S.

R4 = Va + Tb1

Mb – R4 95 + Va (180+95) = 0 = M(b)

Da cui ricavo:

Va = 481,7 N

Tb1 = 4200 N

E. C. S.

R5 = Vc + Tb2

Mb – R5 150 + Vc (150 +75) = 0 = M(b)

Da cui ricavo:

Vc = 11034 N

Tb2 = 7614,2 N

La trave quindi, globalmente reagirà cosi:

Va = 481,7 N Vb = Tb1+Tb2 = 11814 N Vc = 11034 N

15

I cui diagrammi di taglio [N] e momento flettente [Nmm] sono:

Conclusa l’analisi del piano xy passo al piano xz dove sussiste la seguente situazione:

Lunghezza = 565mm

a = 180mm b = 95mm c = 150mm d= 75mm

Anche in questo caso risolvo l’albero scegliendo il momento in B come incognita iperstatica e sconnettendo

la trave stessa in B, come fatto in precedenza.

16

Dovendo rispettare l’equazione di congruenza: b1 = b2 Applico nuovamente l’equazione dei 4 momenti per calcolare il momento in B.

b1

* (

)+

* (

)+= b2

Sostituendo i valori numerici ottengo:

Mb = 176872,5 Nmm

Calcolo cosi le reazioni parziali

delle 2 parti di trave:

E. C. S.

Q4 = Va + Tb1

Mb + Q4 95 – Va (180 + 95) = 0

da cui:

Va = 3780 N

Tb1 = 9081 N

E. C. S.

Q5 = Tb2 + Vc

Mb + Q5 150 – Vc (150 + 75) = 0

Da cui:

Vc = 35000 N

Tb2 = 16320,8 N

17

La trave quindi, globalmente reagirà cosi:

Va = 3780 N Vb = Tb1+Tb2 = 7239,8 N Vc = 35000 N

Allego i diagrammi di taglio [N] momento flettente [Nmm] e momento torcente [Nmm]:

Taglio

Mom. flettente

Mom. Torcente Sezione piu sollecitata: E

= 3813350 Nmm

= 52,1 ≈ 56 mm

Considerando la σamm = 28 kgf/mm 2 cioè 274,68 N/mm2 perchè uguale alla sua ruota di pezzo (9)

Potrebbe essere utile al fine del calcolo dei cuscinetti e delle linguette calcolare il diametro a torsione

semplice √

= 46,2 mm con τamm ≈ σamm/ √ = 158,6 N/mm

2

18

ALBERO (4) Albero isostatico, vincolato con un carrello e una cerniera in corrispondenza dei 2 cuscinetti a sfere (31) (27)

La lunghezza rilevata dal disegno è ≈ 87 mm quindi assumerò una lunghezza del albero (4) di ≈ 450 mm

Che sarà cosi composta:

piano xy:

R6 = 18679,26 N

Forza radiale (10)

Essendo l’albero isostatico le equazioni cardinali della statica sono sufficienti a calcolare le reazioni vincolari, nonchè

a determinare le caratteristiche della sollecitazione.

Esplicito le E.C.S:

Y) R6 = Va + Vb

M(a) = 0 = R6 95 – Vb (95 + 75)

Va = 8420,9 N

Vb = 10458,4 N

Allego i diagrammi di taglio[N] e momento flettente[Nmm] sul piano xy:

Taglio

Mom. Flettente

Tratto il piano xz:

Q6 =51320,85 N

Forza radiale (10)

19

Essendo l’albero isostatico le equazioni cardinali della statica sono sufficienti a calcolare le reazioni vincolari, nonchè

a determinare le caratteristiche della sollecitazione.

Esplicito le E.C.S: traslazione lungo y e rotazione in B

Y) Q6 + Va + Vb = 0

M(a) = 0 = Q6 95 + Vb (95 + 75)

Va = - 22641,6 N

Vb = - 28679,3 N

Allego i diagrammi di taglio [N] momento flettente [Nmm] e momento torcente [Nmm]:

Taglio

Mom. flettente

Mom. Torcente

Sezione piu sollecitata: C

= 10064037 Nmm

= 74,8 ≈ 78 mm

Considerando la σamm = 25 kgf/mm 2 cioè 245,25 N/mm2

Potrebbe essere utile al fine del calcolo dei cuscinetti e delle linguette calcolare il diametro a torsione

semplice √

= 74,1 mm con τamm ≈ σamm/ √ = 141,6 N/mm

2

20

VERIFICHE CINEMATICHE

Per un corretto funzionamento del cinematismo devo verificare che alcune importanti condizioni siano

rispettate, infatti come ben sappiamo gli alberi in rotazione sono soggetti a deformazioni, che in alcuni casi

possono diventare rilevanti.

Seppur le verifiche di resistenza sono state soddisfate, dimensionando le varie sezioni critiche con il criterio

di Von Mises, è necessario verificare che gli alberi non si deformino oltre un valore limite.

Le deformazioni considerate sono di tipo torsionale e di tipo flessionale.

Verifica torsionale

Decido di iniziare considerando le deformazioni torsionali, da me ritenute piu importanti, visto che lo scopo

del complessivo è appunto tramettere un elevata coppia e quindi elevato momento torcente.

Devo verificare che:

Cioe che lo scorrimento mutuo angolare per unità di lunghezza sia inferiore al 1/4° di grado, oppure se

questa condizione si rivela troppo onerosa da rispettare, posso richiedere uno scorrimento angolare più

elevato pari a:

Lo scorrimento angolare può essere esplicitato come:

Dove: Mt = momento torcente

E modulo di young (206010 N/mm 2 )

v coefficente di poisson (0,3 per acciaio)

Jo momento d’inerzia polare =

Converto il valore campione da gradi a radianti:

= 4,3633 10

-6 rad/mm

= 8,7266 10

-6 rad/mm

21

Verifica flessionale

La verifica flessionale parte dal calcolo della linea elastica della trave, che ci permette di

conoscere i valori di abbassamento di tutti i punti della trave.

Calcolata la linea elastica siamo in grado di conoscere i punti più critici per questa verifica,

cioè i punti con il massimo valore di abbassamento e i punti con il massimo valore

dell’angolo di flessione.

Sapendo che vale il principio di sovrapposizione degli stati elastici posso scomporre il

problema nei 2 piani: xy e xz, calcolando separatamente la massima deflessione e il massimo

angolo per poi far la composizione risultante.

La verifica per il massimo abbassamento:

L rappresenta la distanza

dai supporti o, in caso di

sbalzo la distanza al

supporto piu vicino

Per il massimo angolo di inflessione invece:

Doveαmax rappresenta il

massimo valore

dell’angolo di inflessione

lungo la trave

ALBERO (1)

Calcolo lo scorrimento angolare con il minimo diametro calcolato a flesso-torsione: d = 25mm

Mt = 120250 Nmm E = 206010 N/mm 2 v = 0,3

= 79260,77 N/mm

2 Jo =

⁄ = 38350 mm 4

= 3,958 10

-5 4,3633 10

-6 rad/mm NON VERIFICATO

Aumento dunque il diametro minimo, cercando quello che mi soddisfi la condizione di

mezzo grado di scorrimento (8,7266 10 -6

rad/mm)

= 36,5 assumo 38mm

22

Avendo calcolato l’andamento della deformata con quest’ultimo diametro trovato allego i grafici che

rappresentano l’andamento sui 2 piani considerati, e in ultima analisi la deformata risultante. [valori in mm]

xy

xz

risultante

Verifico l’albero in 2 diversi tratti, quello a sbalzo e quello tra gli appoggi:

OK

OK

3,1 10

-6 -3 OK

VERIFICHE SODDISFATTE

23

ALBERO (2)

Calcolo lo scorrimento angolare con il minimo diametro calcolato a flesso-torsione: d = 36mm

Mt = 546590 Nmm E = 206010 N/mm 2 v = 0,3

= 79260,77 N/mm

2 Jo =

⁄ = 164895,8 mm 4

= 4,1837 10

-5 4,3633 10

-6 rad/mm NON VERIFICATO

Aumento dunque il diametro minimo, cercando quello che mi soddisfi la condizione di

mezzo grado di scorrimento (8,7266 10 -6

rad/mm)

= 53,1 assumo 54 mm

Avendo calcolato l’andamento della deformata con quest’ultimo diametro trovato allego i grafici che

rappresentano l’andamento sui 2 piani considerati, e in ultima analisi la deformata risultante. [valori in mm]

XY

XZ

risultante

24

Verifico l’albero:

OK

8,52 10

-6 -3 OK

VERIFICHE SODDISFATTE

ALBERO (3)

Calcolo lo scorrimento angolare con il minimo diametro calcolato a flesso-torsione: d = 56mm

Mt = 3053590 Nmm E = 206010 N/mm 2 v = 0,3

= 79260,77 N/mm

2 Jo =

⁄ = 965498,6 mm 4

= 3,992 10

-5 4,3633 10

-6 rad/mm NON VERIFICATO

Aumento dunque il diametro minimo, cercando quello che mi soddisfi la condizione di

mezzo grado di scorrimento (8,7266 10 -6

rad/mm)

= 80,9 assumo 82 mm

Avendo calcolato l’andamento della deformata con quest’ultimo diametro trovato allego i grafici che

rappresentano l’andamento sui 2 piani considerati, e in ultima analisi la deformata risultante. [valori in mm]

xy

25

xz

risultante

Verifico l’albero:

OK

OK

3,30 10

-6 -3 OK

4,76 10

-6 -3 OK

VERIFICHE SODDISFATTE

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