Esercizi di Matematica Generale, Esercizi di Matematica Commerciale
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Esercizi per prova di Matematica Generale
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MATEMATICA GENERALE METODI MATEMATICI PER L’ECONOMIA

30/1/2018 A

NOME e COGNOME _____________________

Matricola __________________

 Gli studenti che hanno superato il test del Progetto Corda nel 2017 NON devono rispondere ai quesiti della I parte.

 Test Progetto Corda superato (barrare SOLO in caso a¤ermativo)

I parte: quesiti preliminari (riportare le soluzioni su questo foglio, GIUSTIFICANDO LA RISPOSTA)

i) Si risolva l’equazione:

5x

11 + 15 = x+ 9

ii) Data la funzione f(x) = ln(x� 3)2 � 9; si calcoli f(h+ 3), con h 6= 0:

iii) Si determini il dominio della funzione f(x) = p x2 � 25:

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MATEMATICA GENERALE METODI MATEMATICI PER L’ECONOMIA

30/1/2018 A

II parte - Per accedere alla seconda parte dell’esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata.

I - Il tasso di crescita dei costi cumulati per gli asili nello stato di Marzionia in milioni di euro all’anno è dato dalla funzione:

1; 5e0;28t

13 + e0;28t

dove t = 0 rappresenta il 2006, 0  t  9: i) Si trovi l’espressione dei costi accumulati dal 2006 al generico

anno t; ii) che somma è stata spesa dal 2006 al 2015?

II - Si elenchino e si illustrino brevemente i metodi conosciuti per calcolare la matrice inversa di una matrice quadrata A: - Si consideri una funzione reale di variabile reale f . Se f 0(x) = 0;

che cosa si può dire del gra…co di f in x? - Data la funzione di 2 variabili f = f(x; y); si dia la de…nizione di

derivata parziale prima di f rispetto a y.

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MATEMATICA GENERALE METODI MATEMATICI PER L’ECONOMIA

30/11/2018 A Soluzione

I parte: i) x = 11 ii) f(h+ 3) = lnh2 � 9 iii) x  �5, x  5 II parte:

I - i) Detti A(t) i costi cumulati all’anno t, si ha:

A0(t) = 1; 5e0;28t

13 + e0;28t

L’insieme delle primitive (antiderivate) è:Z 1; 5e0;28t

13 + e0;28t dt

Ponendo u = 13 + e0;28t; si ha:

du = u0(t)dt = 0; 28e0;28tdt =) e0;28tdt = du 0; 28

Sostituendo, si ottiene:

AC = 1; 5

0; 28

Z 1

u du = 5; 35 ln j u j + C = 5; 35 ln(13 + e0;28t) + C

Poiché AC(t) rappresenta i costi cumulati da t = 0; deve essere A(0) = 0:

A(0) = 5; 35 ln 14 + C = 0

da cui si ricava C = �14; 118: I costi cumulati nel generico anno t sono:

A(t) = 5; 35 ln(13 + e0;28t)� 14; 118 milioni di euro

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ii) Poiché il 2015 è rappresentato da t = 9; i costi cumulati dal 2006 al 2015 sono:

A(9) = 5; 35 ln(13 + e0;289)� 14; 118 = 3; 193 milioni di euro

II - Nel punto x, il gra…co di f ha tangente orizzontale (cfr. par. 6.3). Per le altre domande di teoria si rimanda al libro di testo (cfr.

parr. 3.3 e 11.3).

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MATEMATICA GENERALE METODI MATEMATICI PER L’ECONOMIA

30/1/2018 B

NOME e COGNOME _____________________

Matricola __________________

 Gli studenti che hanno superato il test del Progetto Corda nel 2017 NON devono rispondere ai quesiti della I parte.

 Test Progetto Corda superato (barrare SOLO in caso a¤ermativo)

I parte: quesiti preliminari (riportare le soluzioni su questo foglio, GIUSTIFICANDO LA RISPOSTA)

i) Si risolva l’equazione:

5x

11 � 15 = x� 3

ii) Data la funzione f(x) = ex�5 � 5; si calcoli f(h+ 5):

iii) Si determini il dominio della funzione f(x) = p 9� x2:

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MATEMATICA GENERALE METODI MATEMATICI PER L’ECONOMIA

30/1/2018 B

II parte - Per accedere alla seconda parte dell’esame è necessario aver risposto correttamente e per intero ad almeno due dei tre quesiti della prima parte. In caso contrario la seconda parte non sarà considerata.

I - I - Il tasso di crescita dei costi cumulati per gli asili nido nello stato di Paulonia in milioni di euro all’anno è dato dalla funzione:

0; 9e0;27t

11 + e0;27t

dove t = 0 rappresenta il 2006, 0  t  9: i) Si trovi l’espressione dei costi accumulati dal 2006 al generico

anno t; ii) che somma è stata spesa dal 2006 al 2015?

II - Si elenchino e si illustrino brevemente i metodi conosciuti per risolvere un sistema lineare. - Si consideri una funzione reale di variabile reale f . Se f

00 (x) = 0;

che cosa si può dire di x? - Data la funzione di 2 variabili f = f(x; y); si dia la de…nizione di

derivata parziale prima di f rispetto a x.

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MATEMATICA GENERALE METODI MATEMATICI PER L’ECONOMIA

30/1/2018 B Soluzione

I parte: i) x = �22 ii) f(h+ 5) = eh � 5 iii) -3  x  3

II parte

I - i) Detti A(t) i costi cumulati all’anno t, si ha:

A0(t) = 0; 9e0;27t

11 + e0;27t

L’insieme delle primitive (antiderivate) è:Z 0; 9e0;27t

11 + e0;27t dt

Ponendo u = 11 + e0;27t; si ha:

du = u0(t)dt = 0; 27e0;27tdt =) e0;27tdt = du 0; 27

Sostituendo, si ottiene:

AC = 0; 9

0; 27

Z 1

u du = 3; 33 ln j u j + C = 3; 33 ln(11 + e0;27t) + C

Poiché AC(t) rappresenta i costi cumulati da t = 0; deve essere A(0) = 0:

A(0) = 3; 33 ln 12 + C = 0

da cui si ricava C = �8; 274: I costi cumulati nel generico anno t sono:

A(t) = 3; 33 ln(11 + e0;27t)� 8; 274 milioni di euro

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ii) Poiché il 2015 è rappresentato da t = 9; i costi cumulati dal 2006 al 2015 sono:

A(9) = 3; 33 ln(11 + e0;279)� 8; 274 = 2; 073 milioni di euro

II - Poiché x soddisfa la condizione necessaria per i punti di ‡esso, f potrebbe avere un ‡esso in x (cfr. par. 8.3). Per le altre domande di teoria si rimanda al libro di testo (cfr.

parr. 2.1, 2.2 e 3.3 e 11.3).

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