Analisi di incertezze di misura in un esperimento di fisica, Dispense di Laboratorio Di Fisica Generale

Scarica Analisi di incertezze di misura in un esperimento di fisica e più Dispense in PDF di Laboratorio Di Fisica Generale solo su Docsity! PP2-Molla-D2-15 Matricole: 2153144 / 2144490 / 2133755 / 2142068 / 2089773 21 marzo 2024 1 Scopo dell’esperienza Questa esperienza laboratoriale ha come finalità la stima della costante elastica di una molla e dell’accelerazione di gravità. Per farlo sono stati utilizzati due metodi differenti. Nel primo metodo, le grandezze sono state stimate indirettamente, misurando il periodo dell’oscillazione, la massa dei pesi e le posizioni di equilibrio. Nel secondo, tali misure sono state riportate in dei grafici e si è giunti al risultato attraverso il calcolo del coefficiente angolare della retta. 2 Formule Utilizzate • Deviazione Standard Campionaria: SN−1 = √∑ i(xi − x)2 N − 1 (1) • Incertezze di tipo A: σA = SN−1√ N (2) • Incertezze di tipo B: σB = RISOLUZIONE√ 12 (3) • Somma in quadratura: σtot = σ1 ⊕ σ2 = √ σ2 1 + σ2 1 (4) • Incertezza relativa su T 2: σT 2 T 2 = 2 σT T (5) • Incertezza relativa su k: σk k = √( σtot mtot )2 + ( σTtot T 2 tot )2 (6) • Incertezza relativa su g: σg g = √( σxeqtot xeqtot )2 + ( σTtot T 2 tot )2 (7) • Calcolo Xtot: Xtot = x2 − x1 (8) • Calcolo di k: k = 4π2mtot T 2 tot (9) • Calcolo di g: g = 4π2xeqtot T 2 tot (10) 1 3 Apparato Sperimentale 3.1 Strumenti Di seguito è riportata una tabella con gli strumenti che sono stati utilizzati durante l’esperienza in laboratorio, con le rispettive risoluzioni e portate massime. Strumento Risoluzione Portata Squadra 1 mm 25 cm (lato maggiore) 21 cm (lato minore) Cronometro 0,01 s - Bilancia digitale 1 0,1 g 3000 g Bilancia digitale 2 0,01 g 600 g Carta millimetrata 1 mm - Tabella 1: Strumenti • Molla: la molla utilizzata è appesa ad un supporto e vi si possono agganciare dei pesi. Durante le misurazioni si è cercato di ridurre al minimo lo spostamento della molla in direzione laterale, in quanto fonte di errore. • Bilance digitali: essendo uno strumento digitale si assume una distribuzione uniforme, il che ci porta a usare la formula 3 per il calcolo di σB ; • Cronometro digitale: essendo uno strumento digitale si assume una distribuzione unifor- me, il che ci porta ad usare la formula 3 per il calcolo di σB . Al fine di rendere la misura quanto più accuarata possibile si è deciso di utilizzare un programma che mostrasse una riga di testo dopo un tempo casuale. Ognuno ha, quindi, avviato il cronometro e il ruolo di osservatore è stato dato alla matricola 2153144, in quanto la sua misura era quella con meno differenza dal valore dato in output dal programma; • Carta millimetrata: sono stati trascurati tutti gli errori sistematici eccetto quello derivante dalla risoluzione della stessa, poiché si è ritenuto fosse quest’ultimo ad apportare il maggiore contributo all’incertezza totale. Anche per il calcolo di questa σB è stata usata la formula 3; • Squadra: è stata usata per evitare l’errore di parallasse e per le misure delle posizioni di equilibrio. Anche in questo caso è stata calcolata σB usando la formula 3. Di seguito è riportata una tabella con l’incertezza di tipo B di ogni strumento di misura Strumento Risoluzione σB Squadra 1 mm 0.3 mm Cronometro 0,01 s 0,003 s Bilancia digitale 1 0,1 g 0,03 g Bilancia digitale 2 0,01 g 0,003 g Carta millimetrata 1 mm 0,3 mm Tabella 2: Strumenti, risoluzione e σB 3.2 Campioni I campioni utilizzati sono dischetti di materiale sconosciuto e sono agganciabili alla molla sospesa. 2 n. misure 40 ∗ T3 [s] 1 24,81 2 25,67 3 24,70 4 24,76 5 24,69 6 24,77 7 24,69 8 24,65 9 24,69 10 24,71 Tabella 5: tempo per 40 oscillazioni con 5 dischetti Sono state poi prese le misure del tempo impiegato da una molla, con appesi 10 dischetti, per compiere 40 oscillazioni, con 10 misure ripetute. Ci si riferirà a questo tempo con 40 ∗ T4, poiché si considera T4 il periodo dell’oscillazione singola. n. misure 40 ∗ T4 [s] 1 34,29 2 34,32 3 34,19 4 34,37 5 34,38 6 34,36 7 34,24 8 34,35 9 34,40 10 34,23 Tabella 6: tempo per 40 oscillazioni con 10 dischetti Figura 3: A destra l’istogramma di T3, a sinistra quello di T4 Le misure di T3 e T4 sono quindi: T3 = 0, 620± 0, 004s T4 = 0, 858± 0, 003s La loro incertezza è stata calcolata come somma in quadratura (4) di σA (2), derivata da misure ripetute, e di σB . 5 4.4 Calcolo di k A questo punto si procede con il calcolo dei due k (che in seguito saranno distinti con k10 e k40), tramite la formula 9. L’incertezza su k è calcolata con la formula 6. k10 andrà ad indicare la costante elastica calcolata mediante le 10 oscillazioni, mentre k40 quella calcolata per mezzo delle 40 oscillazioni. È bene, inoltre, ricordare che entrambe le oscillazioni sono state misurate sia con i 5 che con i 10 dischetti forniti. Come prima cosa, viene utilizzata la formula 9, dove con mtot si intende la differenza tra le masse m1 e m2 (calcolate con la formula 8). L’incertezza di questa differenza è la somma in qua- dratura (4) delle incertezze delle due masse. Si ha, quindi: mtot = m1 −m2 = 393, 264± 0, 049g Si calcola, poi, T 2 tot come differenza tra T 2 2 e T 2 1 . L’incertezza di questa differenza è la somma in quadratura (4) delle incertezze sui quadrati di T1 e T2, che vengono calcolate con la propagazione delle incertezze attraverso la formula 5. T 2 tot = T 2 2 − T 2 1 = 0, 327± 0, 006s2 Portando poi le masse in kilogrammi e usando la formula 6 per l’incertezza su k, si ha: k10 = 47, 42± 0, 93N m Si ripetono, poi, gli stessi passaggi per il calcolo di k40, avendo cura di sostituire nei calcoli T1 con T3 e T2 con T4. Quindi: T 2 tot = T 2 3 − T 2 4 = 0, 352± 0, 007s2 k40 = 44, 14± 0, 90N m 4.5 Calcolo di g Invece, per quanto riguarda il calcolo di g, si possono distinguere, anche in questo caso, g10 e g40. g10 andrà ad indicare l’accelerazione gravitazionale calcolata mediante le 10 oscillazioni, mentre g40 quella calcolata per mezzo delle 40 oscillazioni. Viene usata la formula10 per calcolare g e la formula 7 per la sua incertezza. Successivamente, ci si serve della formula 10, dove xeqtot indica la differenza tra le posizioni di equilibrio xeq1 e xeq2 (calcolata con la formula 8). L’incertezza di questa differenza è la somma in quadratura (4) delle incertezze delle due misure. Allora: xeqtot = xeq1 − xeq2 = 8, 88± 0, 05cm Si calcola, poi, T 2 tot come differenza tra T 2 2 e T 2 1 . L’incertezza di questa differenza è la somma in quadratura (4) delle incertezze sui quadrati di T1 e T2, che vengono calcolate con la propagazione delle incertezze attraverso la formula 5. T 2 tot = T 2 2 − T 2 1 = 0, 327± 0, 006s2 Usando poi la formula 7 per l’incertezza su g, si ha: g10 = 10, 61± 0, 21m s2 Si ripetono, poi, gli stessi passaggi per il calcolo di g40, avendo cura di sostituire nei calcoli T1 con T3 e T2 con T4. Quindi: T 2 tot = T 2 3 − T 2 4 = 0, 352± 0, 007s2 g40 = 9, 88± 0, 20m s2 Il commento sulle incertezze di k e g calcolate attraverso questo metodo è rimandato alle conclusioni. 6 5 Metodo 2 5.1 Misure della massa dei campioni Per la misurazione dei pesetti in modo integrato, come prima cosa, i campioni sono stati numerati, come nelle misurazioni precedenti, affinché fosse possibile distinguerli tra loro. Si è poi proseguito pesando i dischetti, su una bilancia di risoluzione di 0,1g, partendo da un dischetto e aggiungendone man mano uno, fino ad arrivare a 10: 1, 1+2, 1+2+3... Cos̀ı da ottenere le seguenti misurazioni: configurazioni massa [g] 1 81,4 1+2 159,6 1+2+3 237,7 1+2+3+4 317,0 1+2+...+5 397,0 1+2+...+6 477,4 1+2+...+7 556,4 1+2+...+8 635,1 1+2+...+9 714,6 1+2+...+10 791,2 Tabella 7: massa in modo integrato 5.2 Misura del periodo e la posizione di equilibrio Successivamente, tramite cronometro, si è passati alla misurazione del periodo, quindi, a misurare il tempo impiegato dalla molla a compiere 10 oscillazioni, di cui sono state effettuate 20 misurazioni ripetute, aggiungendo via via un dischetto, partendo da 3 fino a 10, (considerando almeno 5 configurazioni). Nella tabella che segue vengono riportate le misurazioni (il pedice di T è indicativo del numero di dischetti): n.misurazioni 10*T3 [s] 10*T4 [s] 10*T5 [s] 10*T7 [s] 10*T9 [s] 10*T10 [s] 1 5,17 5,99 6,37 7,19 8,12 8,53 2 5,58 5,53 6,29 7,27 8,13 8,57 3 5,10 5,49 6,38 7,18 8,26 8,57 4 5,05 5,55 6,37 7,40 8,15 8,57 5 5,19 5,67 6,21 7,31 8,14 8,63 6 5,09 5,61 6,26 7,29 8,18 8,53 7 4,89 5,73 6,29 7,27 8,00 8,58 8 5,09 5,69 6,27 7,34 8,16 8,63 9 4,89 5,63 6,31 7,29 8,14 8,54 10 5,01 5,58 6,24 7,36 8,16 8,48 11 4,99 5,75 6,38 7,34 8,07 8,44 12 5,04 5,56 6,35 7,29 8,15 8,59 13 5,07 5,67 6,27 7,42 8,26 8,61 14 5,05 5,67 6,38 7,18 8,23 8,59 15 5,23 5,61 6,38 7,24 8,10 8,67 16 5,09 5,75 6,40 7,41 8,18 8,61 17 5,13 5,69 6,24 7,28 8,17 8,56 18 5,00 5,80 6,37 7,27 8,17 8,53 19 4,88 5,69 6,30 7,33 8,20 8,65 20 5,09 5,29 6,22 7,55 8,23 8,58 Tabella 8: tempo per 10 oscillazioni delle configurazioni Per avere il periodo della singola oscillazione abbiamo considerato il valore medio dei tempi di cui sopra e lo abbiamo diviso per dieci. L’incertezza di questo periodo è stata calcolata sommando in quadratura (4) l’incertezza di tipo A (2) e l’incertezza di tipo B 3. 7 6 Conclusioni 6.1 Valori di g e k Nelle seguenti tabelle sono riportati i valori di g e k ottenuti nel metodo 1 con le rispettive incertezze: k10 N m k40 N m g10 m s2 g40 m s2 47, 42± 0, 93 44, 14± 0, 90 10, 61± 0, 21 9, 88± 0, 20 Tabella 11: g e k: metodo 1 kN m gm s2 45, 69± 0, 63 9, 94± 0, 04 Tabella 12: g e k: metodo 2 Si nota che le k calcolate con il metodo 1 non sono compatibili. La k misurata con il metodo due risulta inoltre avere un’incertezza alquanto ridotta ed è compatibile con k40. Per quanto riguarda invece le misurazioni di g, si nota che g10 risulta incompatibile con le altre misure. Inoltre sul fatto che l’accelerazione di gravità a Roma è g = 9.803223 m/s2 1, si può dire che la misura più accurata sia g40, nonostante quella più precisa sia indubbiamente quella ottenuta dal metodo grafico. 1Latitudine = 41°53’30”N = 41.89167°, altezza sul livello del mare = 52 m. 10 n. misure 10 ∗ T1 [s] 1 6,27 2 6,38 3 6,46 4 6,20 5 6,26 6 6,40 7 6,36 8 6,26 9 6,40 10 6,38 11 6,48 12 6,32 13 6,32 14 6,47 15 6,49 16 6,42 17 6,39 18 6,33 19 6,15 20 6,43 21 6,46 22 6,37 23 6,43 24 6,30 25 6,44 26 6,37 27 6,25 28 6,43 29 6,63 30 6,29 31 6,41 32 6,40 33 6,56 34 6,29 35 6,49 36 6,48 37 6,33 38 6,49 39 6,36 40 6,32 Tabella 13: tempo per fare 10 oscillazioni con 5 dischetti 11 n. misure 10 ∗ T2 [s] 1 8,64 2 8,40 3 8,60 4 8,49 5 8,53 6 8,48 7 8,50 8 8,50 9 8,58 10 8,53 11 8,50 12 8,68 13 8,57 14 8,58 15 8,61 16 8,57 17 8,59 18 8,52 19 8,47 20 8,54 21 8,55 22 8,52 23 8,59 24 8,63 25 8,51 26 8,59 27 8,50 28 8,59 29 8,62 30 8,66 31 8,63 32 8,57 33 8,59 34 8,38 35 8,63 36 8,74 37 8,67 38 8,70 39 8,56 40 8,68 Tabella 14: tempo per 10 oscillazioni con 10 dischetti 12