Fisica Moderna - Fisica Quantistica - Fisica Generale, Esami di Fisica Dei Materiali Per L'elettronica. Alma Mater Studiorum – Università di Bologna
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Fisica Moderna - Fisica Quantistica - Fisica Generale, Esami di Fisica Dei Materiali Per L'elettronica. Alma Mater Studiorum – Università di Bologna

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Ingegneria Elettronica Bologna - Appunti del corso di Fisica Moderna, gli argomenti trattati vanno dall'introduzione alla fisica statistica fino a cenni su argomenti più avanzati come i laser (perturbazioni). Vedere l'in...
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Fisica Generale L-D

Appunti

Fisica Generale L-D/Fisica Moderna T

Elementi di Fisica Statistica e Meccanica

Quantistica

7 giugno 2011

Prof. Arnaldo Uguzzoni

Università di Bologna

Anno 2009/2010

Facoltà di Ingegneria

Indirizzo Ingegneria Elettronica

Scritto da Marco Mongitore

1

Le immagini presenti in questi appunti sono liberamente consultabili sul web, di cui una buona parte sono tratte da http://en.wikipedia.org/wiki/Main_Page; a eccezione di tutte le Tabelle e delle Figure 1.2, 1.4, 3.1, 3.2, 3.3, 3.4, 3.5, 4.2, 6.3, 6.4, 6.8, 6.9, 6.10, 6.13, 6.14, 9.5, 9.6, le quali invece sono da me generate. L'immagine di copertina è presa da http:// en.wikipedia.org/wiki/Electron#Atoms. Invito il lettore a non fare uso esclusivo di questi appunti in quanto non li ritengo esaustivi e probabilmente contenenti errori, suggerisco piuttosto di farne un uso aggiuntivo al proprio libro di testo e/o propri appunti. Per la comprensione di questi appunti è necessario avere una buona conoscenza di Fisica: Meccanica, Elettromagnetismo, Termodinamica, Onde, unita ad una buona base di Analisi Matematica. Inoltre è utile anche avere qualche concetto di relatività, sica matematica e teoria delle probabilità; perciò, fatta eccezzione per qualche piccolo richiamo fatto al momento in cui se ne fa uso, si daranno per scontate le nozioni delle suddette discipline.

Fonti: Libro di testo Introduzione alla Meccanica Quantistica di David J. Griths, appunti presi a lezione e dispense messe a disposizione dal Prof. A.Uguzzoni. Talvolta nei presenti appunti si farà riferimento, per dettagli o approfondimenti, ai seguenti libri: Fisica Generale - Termod- inamica e Fluidi di S. Focardi, I. Massa, A. Uguzzoni; Fisica Generale - Onde di S. Focardi, I. Massa, A. Uguzzoni; rispettivamente con le sigle Fis.Gen.Termodinamica e Fis.Gen.Onde. Invece per libro di testo se ne farà riferimento semplicemente con la dicitura Griths.

Documento redatto in LATEX con l'ausilio di LYX.

Questi appunti sono rilasciati sotto licenza Creative Commons CC-BY-NC-SA 3.0

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/

Marco Mongitore 2 7 giugno 2011

Indice Indice

Indice

1 Elementi di Meccanica Statistica 5

1.1 Introduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Calori Specici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Legge di Distribuzione

di Boltzmann . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4 Equipartizione dell'Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Radiazione di un Corpo Nero . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.6 Oscillatori e Radiazione

In Una Cavità Isoterma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 Quantizzazione Dell'Energia

Per Gli Oscillatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.8 Oscillatori e Calori Specici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2 I Fotoni 20

2.1 Eetto Fotoelettrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2 Eetto Compton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3 Spettroscopia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Dualità Onda Particella . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

2.4.1 Interferenza della luce e fotoni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.4.2 Interferenza e Dirazione di elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3 Funzioni d'onda e Ampiezza di Probabilità 45

3.1 Il Principio di sovrapposizione degli stati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2 Pacchetti d'onda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Principio di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

4 Formalismo della Meccanica Quantistica 56

4.1 Spazio di Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 4.2 Operatori Lineari e Commutatori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.3 Grendezze Fisiche e

Operatori Hermitiani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63 4.4 Relazioni di Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64 4.5 Autostati di una Grandezza Fisica

e Autofunzioni di un Operatore Hermitiano . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.6 Richiami Matematici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6.1 Funzione d'onda e Trasformata di Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

4.6.2 Funzione Delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 4.6.3 Trasformazioni di Fourier e Delta di Dirac . . . . . . . . . . . . . . 74

Marco Mongitore 3 7 giugno 2011

Indice Indice

5 L'Equazione di Schrödinger 76 5.1 Valori di Aspettazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77 5.2 Principio di Corrispondenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78 5.3 Indeterminazione Tempo-Energia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81

6 Equazione di Schrödinger Indipendende dal Tempo 83 6.1 Stati stazionari . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83 6.2 Buca di potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84 6.3 Oscillatore Armonico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 6.4 Eetto Tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103

6.4.1 Gradino di Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.4.2 Barriera di Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.4.3 Doppia Barriera di Potenziale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 6.4.4 Eetto Tunnel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

7 Atomi con un Elettrone 115 7.1 Momento Angolare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.2 Le Armoniche Sferiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 7.3 Momenti Magnetici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122

7.3.1 Esperimento di Stern Gerlach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125 7.3.2 Momento Angolare(Generale) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 7.3.3 Spin . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

8 Sistemi di particelle identiche 133 8.1 Principio di Pauli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 8.2 Statistiche Quantiche . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

8.2.1 Statistica di Fermi-Dirac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139 8.2.1.1 Gas di elettroni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 140

8.2.2 Statistica di Bose-Einstein . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141

9 Elettroni nei solidi 143 9.1 Teorema di Bloch . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 9.2 Modello di Kronig-Penney . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146 9.3 Numero di Livelli per Banda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150

9.3.1 Bande e Livelli di Conduzione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 9.4 Strutture Cristallne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153 9.5 Corrente Elettrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157 9.6 Semiconduttori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158

10 Teoria delle Perturbazioni 161 10.1 Dipendenti dal Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

10.1.1 Emissione e Assorbimento Stimolato della Radiazione . . . . . . . 165 10.2 Indipendenti dal Tempo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175

Marco Mongitore 4 7 giugno 2011

1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA

1 Elementi di Meccanica Statistica

1.1 Introduzione

La Meccanica Statistica ha fatto da ponte tra la Fisica Classica e la Fisica Quantistica, diamo una breve occhiata alle dierenze tra le due. In Fisica Classica:

ˆ Lo stato dinamico della particella, cioè posizione e velocità, sono determinate gen- eralmente in contemporanea e con arbitraria precisione; e conoscendo tale stato possiamo prevederne l'evoluzione.

ˆ Le variabili dinamiche sono continue (energia, ecc...)

ˆ Le leggi hanno un carattere deterministico, come ad esempio Fx = md 2x dt2

.

In Fisica Quantistica:

ˆ Lo stato dinamico della particella è denito da una funzione d'onda ψ, e abbiamo un principio di sovrapposizione degli stati, la posizione e la velocità(quantità di moto) x̂, p̂xsono soggette al principio di indeterminazione di Heisenberg, cioè non possono essere determinate contemporaneamente e avremmo una limitata precisione.

ˆ Le variabili dinamiche sono quantizzate, ad esempio l'energia {En}.

ˆ Carattere probabilistico della funzione d'onda: |ψ|2 ⇒ previsione probabilistica. In generale l'evoluzione dello stato nel tempo è data dall'equazione di Schrödinger:

i~ ∂ψ

∂t = Ĥψ,

dove ~ = h2π è la costante di Planck normalizzata, ψ è la funzione d'onda e Ĥ è l'operatore hamiltoniano.

Il passaggio dalla Fisica Classica alla Fisica Quantistica è dovuto all'insorgere di prob- lemi nell'impossibilità di spegare alcuni fenomeni dal punto di vista della F.C. primo fra tutti, spiegare perchè la materia è stabile. In eetti da un punto di vista classico, la struttura dell'atomo suggerisce che l'atomo compie un orbita attorno al nucleo con una certa accelerazione, data la presenza di quest'ultima l'elettrone deve perdere energia emettendo una radiazione elettromagnetica e se ciò avvenisse l'elettrone percorrerebbe una traiettoria spiraleggiante no a collassare sul nucleo, tutto questo è assurdo e la materia non esisterebbe.

Marco Mongitore 5 7 giugno 2011

1.1 Introduzione 1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA

Alcuni degli argomenti che tratteremo in questo corso e che hanno bisogno della sica quantistica per essere spiegati sono:

ˆ Calori Specici dei gas (biatomici)

ˆ Calori Molari dei solidi

ˆ Radiazione di un corpo nero1

ˆ Eetto fotoelettrico

ˆ Spettro dei Raggi X

ˆ Radioattività

ˆ Spettroscopia e struttura atomica(struttura e stabilità degli atomi)

ˆ Proprietà ondulatorie delle particelle

Per approfondimenti o chiarimenti sugli argomenti trattati riguardanti la termodinamica su questo capitolo fare riferimento a Fis.Gen.Termodinamica, in particolare: Descrizione statistica(teoria cinetica): Capitolo 1 Paragrafo 11, Calori specici: Capitolo 2 Paragrafo 7, Entropia e interpretazione statistica: Capitolo 3 Paragra 15-16-17. Nel libro unico Meccanica e Termodinamica il capitolo 1 diventa capitolo 12 e così via,

i paragra sono invece gli stessi. Diamo di seguito il valore di alcune costanti di rilevante importanza: costante di Boltzmann

K = R

A = 1, 38 · 10−23JK−1 = 8, 62 · 10−15eV K−1

a temperatura ambiente

KT ' 1 40 eV.

Costante di Planck

h = 6, 63 · 10−34J · s = 4, 14 · 10−15eV · s,

Costante di Planck h tagliato

~ = h

2π ,

Velocità della luce nel vuoto

c = 2.998 · 108m · s−1, 1un corpo nero è un corpo ideale in grado di assorbire tutte le radiazioni dello spettro elettromagnetico che lo colpiscono.

Marco Mongitore 6 7 giugno 2011

1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA 1.1 Introduzione

ElettronVolt 1eV = 1, 6 · 10−19J,

hc ' 1, 24eV µm = 12.4KeV µm,

~c ' 0.2eV µm = 2KeV µm,

mec 2 ' 511KeV

Lunghezza d'onda Compton

λ0 = h

mec =

hc

mec2 ' 0.024Å,

e2 = q2e

4πε0 ' 14, 4eVÅ,

e2

~c = 7, 297 · 10−3 ' 1

137 ,

1Å = 10−10m = 10−4µm.

Marco Mongitore 7 7 giugno 2011

1.2 Calori Specici 1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA

1.2 Calori Specici

Il Calore Molare(Specico) di un gas in sica classica è previsto costante, questo è vero per i gas monoatomici mentre per quelli biatomici vediamo che in realtà dipende dalla temperatura(Figura 1.1),

Figura 1.1: Valore di CV al variare della temperatura e dei gradi di libertà di un gas biatomico.

CV tende a 72R per alti valori della temperatura. Per i solidi la sica classica prevede un valore CV = 3R, che in realtà viene raggiunto dopo certe temperature. Il calore specico di un gas ideale monoatomico è dato da:

CV = 1

n

( ∂Q

∂T

) V

= 1

n

∂U

∂T ,

dove n = NA , N = numero dimolecole, A = numero diAvogadro, T = temperatura, Q = quantità di calore,

U = energia interna(cinetica), che è anche esprimibile come U = N < Ek >, con < Ek > valore medio dell'energia cinetica della molecola; da cui facciamo il calcolo cinetico della pressione dei gas in un volume V alla temperatura T

P = mN

V < v2x >=

mN

V < v2y >=

mN

V < v2z >⇒ P =

2

3

N

V < Ek >⇒ PV =

2

3 N < Ek >

Marco Mongitore 8 7 giugno 2011

1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA 1.2 Calori Specici

e sostituendo nella equazione di stato dei gas reali

PV = nRT =

( N

A

) RT = NKT =

2

3 N < En >⇒< Ek >=

3

2 KT,

da cui segue

CV = 3

2 R;

con K = RA , costante di Boltzmann.

Abbiamo detto che per un gas monoatomico la sica classica è vericata, in quanto la molecola può solo traslare, quindi < Ek >= 32KT ; invece per i gas biatomici possiamo avere delle rotazioni della molecola sugli assi x, y, z, in questo sistema l'energia cinetica è data da K = KC +K ′, con K ′ energia cinetica del centro di massa, KC =

1 2mv

2 cx +

1 2mv

2 cy +

1 2v

2 cz. K

′ dipende da quanto interagiscono e quanta libertà hanno gli atomi, supponendo un modello rigido come da Figura 1.2,

Figura 1.2: Rotazione di una molecola attorno agli assi.

diciamo che la rotazione sull'asse z ⇒ Krot z = 12Izω 2 z , x ⇒ Krot x = 0, y ⇒ Krot y =

1 2Iyω

2 y ; abbiamo quindi 2 termini quadratici, dove

I = momento d′inerzia, e ω = velocità angolare.

Marco Mongitore 9 7 giugno 2011

1.2 Calori Specici 1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA

Figura 1.3: Alternativa alla Figura 1.2 .

Quindi in totale Erot = 12Iyω 2 y +

1 2Izω

2 z .

Se invece prendiamo un modello deformabile possiamo avere delle vibrazioni della molecola(Figura 1.4),

Figura 1.4: Vibrazione della molecola.

quindi l'energia dovuta alla vibrazione è Evib = 12µξ 2 + 12κξ

2, anche quà due termini quadratici. Riassumendo abbiamo

< Etraslaz >= 3

2 ·KT,

< Erot >= 2 · 1

2 ·KT = KT,

< Evib >= 2 · 1

2 ·KT = KT ;

e quindi < E0 >= 72KT, e ricordandoci che U = N < E0 >⇒

CV = 7

2 ·R.

Marco Mongitore 10 7 giugno 2011

1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA 1.3 Legge di Distribuzione

di Boltzmann

1.3 Legge di Distribuzione di Boltzmann

La distribuzione di Boltzmann è una funzione di distribuzione che permette di descrivere lo stato di un sistema, più precisamente descrive la distribuzione degli stati, quindi la probabilità del vericarsi di un certo stato.

Prendiamo ad esempio un sistema di particelle puntiformi connate in un volumet- to(scatola), e ipotizzando che le coordinate dinamiche variano con continuità, scriviamo la sua distribuzione di probabilità degli stati come:

dP = ρ (p, q) dΓ,

dove −→p = px,py, pz e −→q = x, y, z sono le coordinate, dΓ = d3−→r d3−→p = dxdydzdpxdpydpz, mentre ρ (p, q) è il fattore di Boltzmann, di cui ci limitiamo a dare la denizione

ρ (p, q) = e−βE(p,q),

che indica la probabilità relativa, non normalizzata, di uno singolo stato.

Se conosciamo dP , in generale, siamo in grado di calcolare il valor medio statistico, ad esempio:

< A (p, q) >=

´ A (p, q) ρ (p, q) dΓ´

ρ (p, q) dΓ .

Quindi per un sistema di particelle, possiamo scrivere:

dP = f (−→r ,−→p ) d3−→r d3−→p = e −βE(−→r ,−→p )d3−→r d3−→p´ e−βE(

−→r ,−→p )d3−→r d3−→p ,

per sistemi più generali con coordinate generalizzate qj e momenti coniugati pj abbiamo

dP = e−βE(q,p)dΓ´ e−βE(q,p)dΓ

,

con dΓ = ∏ j dqjdpj .

Si può dimostrare che β caratterizza l'equilibrio termico e che β = 1KT .

Il valore medio dell'energia di una particella(gas) possiamo quindi esprimerlo così:

< E >=

´ Ee−βE(p,q)dΓ´ e−βE(p,q)dΓ

,

Marco Mongitore 11 7 giugno 2011

1.4 Equipartizione dell'Energia 1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA

1.4 Equipartizione dell'Energia

Ricaviamo il principio di ripartizione dell'energia usando la legge di distribuzione di Boltzmann, senza calcolarne gli integrali presenti, prima però scriviamo l'energia come somma di due contributi separabili:

E = j (pj) + E ′ ( q, p

′ ) ,

dove { p ′ } ≡ {p 6= pj} e dΓ = dpjdΓ

′ , e ovviamente < E >=< j > + < E

′ >, notiamo

che j dipende solo da pj e E ′ dalle restanti q e p

′ coordinate. Tenendo presente che

dpj ∏ i dqi

∏ i 6=j dpi = dpjdΓ

′ , dΓ =

∏ i dqidpi, E = j +E

′ scriviamo il valor medio di j :

< j >=

´ je −βE(q,p)dΓ´

e−βE(q,p)dΓ =

´ je −β ( j+E

′) dpjdΓ

´ e−β(j+E

′)dpjdΓ ′

=

´ je −βjdpj

´ ′ e−βE

′ dΓ ′

´ e−βjdpj

´ ′ e−βE

′ dΓ′

=

=

´ je −βjdpj´

e−βjdpj = − ∂∂β

´ e−βjdpj´

e−βjdpj = − ∂

∂β ln I (β) ,

dove abbiamo sfruttato il fatto che je−βj e la derivata rispetto a beta di e−βj a parte un segno meno, e la denizione di primitiva del logaritmo naturale, e inne abbiamo evidentemente posto I (β) =

´ e−βj(pj)dpj .

Quindi < j >= − ∂∂β ln I (β) . Arriviamo all'Equipartizione dell'Energia, possiamo scrivere i due contributi separabili

quadratici

j = αp 2 j ; posto u =

√ βpj ,

I (β) =

ˆ e−βαp

2 jdpj =

1√ β

ˆ e−αu

2 du = Cβ−

1 2 ,

notando che l'ultimo integrale ha come funzione integranda una Gaussiana e che non dipende da β quindi il suo integrale una costante, quindi:

ln I (β) = lnC − 1 2

ln (β) = 1

2β ⇒< j >=

1

2β .

Ciò vale per ogni contributo separabile, quadratico in p o in q. Ricordando che β = 1KT otteniamo

< j >= 1

2 KT,

tutto questo sempre ipotizzando che le grandezze in gioco possono avere valori che variano con continuità, cosa che in quantistica non possiamo fare.

Marco Mongitore 12 7 giugno 2011

1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA 1.4 Equipartizione dell'Energia

Vediamo adesso la verica di β = 1KT dal punto di vista della pressione nei gas ideali classici, prendiamo delle particelle con quantità di moto px compresa fra pxe px + dpx, e consideriamo la probabilità che un certo numero di particelle sul totale delle particelle presenti urtino la parete yz della scatola in cui sono chiuse, trasferendo una quantità di moto pari a 2px, scriviamo allora:

dN (px)

N =

dpx ´ ′ e−βEdΓ

´ dpx ´ ′ e−βEdΓ′

= e−βε(px)dpx

´ ′ e−βEdΓ

´ e−βε(px)dpx

´ ′ e−βEdΓ′

= e−βε(px)´ e−βε(px)dpx

,

dove ε (px) = p2x 2m , una frazione

Avx∆t V di dN (px) urta la parete yz con vxdpx > 0, e

trasferisce 2px dando un contributo alla pressione di:

1

A

2px ∆t

Avx∆t

V dN (px) =

1

V

2p2x m

Ne−βε(px)dpx´ e−βε(px)dpx

= N

V

4ε (px) e −βε(px)dpx´

e−βε(px)dpx ,

con V = volume, A = Area, integrando2 su px > 0

PV = 2N

´ ε (px) e

−βε(px)dpx´ e−βε(px)dpx

= 2N

2β = N

β

e ricordando dalla termodinamica PV = nRT = NKT , con n = NAV e K = R Av

:

β = 1

KT .

Più semplicemente dalla dimostrazione tramite calcolo cinetico della pressione:

P = mN < vx >

V =

2N

V <  (px) >=

2N

V

1

2β ⇒ PV = 2N

2β = N

β ,

e dalla legge di stato dei gas: β = 1KT .

2perchè consideriamo solo le particelle che vanno contro la parete e non quelle che tornano indietro.

Marco Mongitore 13 7 giugno 2011

1.5 Radiazione di un Corpo Nero 1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA

1.5 Radiazione di un Corpo Nero

Ogni oggetto emette delle radiazioni elettromagnetiche, ad esempio il ferro all'aumentare della temperatura cambia colore, infatti è la componente dell'infrarosso che noi percepi- amo come calore. Un corpo nero è un corpo ideale che assorbe tutte le radiazioni elettromagnetiche

che lo colpiscono, e le caratteristiche spettrali che emette sono solo in funzione della temperatura; una cavità può essere considerata un corpo nero ad esempio il buco della serratura, perchè della radiazione entrante ne esce solo una piccola quantità. Con la legge di Rayleigh-Jeans, come si vede dalla Figura 1.5, era prevista una catas-

trofe ultravioletta, in teoria ad una certa temperatura avrebbe dovuto emettere una quantita spropositata di energia. Invece con i dati sperimentali di Planck si è veircato che la situazione non era quella prevista da Raileigh-Jeans

Figura 1.5: Confronto tra la legge di Planck e la legge di Rayleigh-Jeans per la radiazione di un corpo nero.

con argomenti termodinamici si dimostra che

eν ∝ ν3f ( ν T

) ,

con ν frequenza, eλ = λ

−5g (λT )⇒ eλ T 5

= G (λT ) ,

senza fare nessuna previsione su f e g.

Marco Mongitore 14 7 giugno 2011

1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA 1.5 Radiazione di un Corpo Nero

Secondo la Legge dello spostamento del massimo di Wien, mostrata in Figura 1.6, abbbiamo che se eλ o eν presenta un massimo, esso si ha per

λmT = costante

Legge di Wien

Figura 1.6: Legge dello spostamento del massimo di Wien.

Con λm lunghezza d'onda espressa in metri per la quale è massima la radiazione emessa dal corpo e non quindi la massima lunghezza d'onda da questo irradiata, la costante è chiamata costante dello spostamento di Wien.

Se eλ(eν) è limitata, il potere emissivo totale è dato da

∞̂

0

eλdλ = σT 4,

con σ costante nita.

Marco Mongitore 15 7 giugno 2011

1.6 Oscillatori e Radiazione In Una Cavità Isoterma 1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA

Legge di Stefan- Boltzmann La legge di Stefan-Boltzmann, stabilisce che la densità specica di energia per unità

di volume compresa fra ν e ν+dν emanata da un corpo nero è proporzionale alla quarta potenza della sua temperatura:

uν ∝ F (ν, T ) = ν3f ( ν T

) ,

quindi U = σT 4

dove U è l'energia irradiata, T la temperatura e σ la costante di Stefan-Boltzmann. È semplice intuire che quest'ultima legge deriva da:

∞̂

0

eνdν = σT 4,

ricordiamo che eν è il potere emissivo specico fra ν e ν + dν.

1.6 Oscillatori e Radiazione In Una Cavità Isoterma

Per oscillatore3 intendiamo una carica oscillante, supponiamo di averne uno dentro una cavità isoterma, possiamo osservare che la potenza media emessa è

Pe ∝ a2 ∝ ( ω2A

)2 ∝ ν2E, dove a2 è il quadrato del valor medio temporale dell'accelerazione, ω = 2πν è la pul- sazione, A è l'ampiezza dell'oscillazione, E è il valor medio dell'energia; notiamo che( ω2A

)2 = (ωA)2 · ω2, (ωA)2 = ν2, e quindi

( ω2A

)2 ∝ ν2. Invece per la potenza media assorbita si ha:

Pa ∝ uν ,

Considerando l'equilibrio termico Pa = Pe risulta:

uν ∝ ν2E.

Facendo un ipotesi ergodica, cioè uguagliando il valor medio temporale con il valor medio statistico dell'energia:

E =< E >,

3In sostanza consideriamo la cavità come corpo nero, e la radiazione elettromagnetica da esso emessa come un oscillatore.

Marco Mongitore 16 7 giugno 2011

1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA 1.6 Oscillatori e Radiazione

In Una Cavità Isoterma

facendo i calcoli

Pe = 8πν2

3c ν, Pa =

πr0c 2

3 uν ;

troviamo

uν = 8πν2

c3 < E > ⇒ eν =

2πν2

c2 < E > .

Ad una temperatura ssata

< E >=

( 1

2 KT

) +

( 1

2 KT

) = KT,

abbiamo

uν = 8πν2

c3 < E >=

8πν2

c3 KT, eν =

2πν2

c2 < E >=

2πν2

c2 KT,

da notare che uν , secondo Raleigh-Jeans, vale solo per frequenze non troppo alte altrimenti diverge anche alla temperatura ambiente(300K), perciò fù prevista una catastrofe ultravioletta, ovviamente questa teoria era in to-

tale contrasto con i dati sperimentali. Per il potere emissivo, utilizzando la meccanica statistica di Boltzmann più l'ipotesi di energia constante < E >= KT , troviamo

eν ∝ ν2f ( T

ν

) ,

perchè:

eν = 2πν3KT

νc2 =

2πK

c2 · ν3 · T

ν .

Quindi possiamo dire che ogni oscillatore assorbe energia dalla porzione di radiazione elettromagnetica emessa dalla cavità isoterma avente stessa frequenza dell'oscillatore. La relazione che lega eν ad uν è la seguente

eν = c

4 uν .

Consultare Fis.Gen.Onde Pagg 177-178 e 185-186 per approfondimenti/chiarimenti.

Marco Mongitore 17 7 giugno 2011

1.7 Quantizzazione Dell'Energia Per Gli Oscillatori 1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA

1.7 Quantizzazione Dell'Energia Per Gli Oscillatori

L'ipotesi di planck consisteva nell'avere un energia quantizzata(fotoni) all'interno della cavità, Quantizzando l'energia En = nε, la vediamo come multiplo di ε, chiamando in causa ancora una volta la statistica di Boltzmann:

< E >=

∑ nEne

−βEn∑ n e −βEn = −

∂β lnZ,

dove abbiamo fatto uso del fattore di Boltzmann, e abbiamo assunto Z come funzione di ripartizione:

Z = ∑ n

e−βEn = ∑ n

e−βnε = ∑ n

xn = 1

1− x ,

dove x = e−βε, e l'ultima uguaglianza4 vale per x < 1. Quindi facendo i calcoli

< E >= − ∂ ∂β

lnZ = − ( d

dx ln

1

1− x

) ∂

∂β =

εx

1− x =

= ε

1 x − 1

= ε

eβε − 1 ,

ponendo ε = hν, arriviamo a ciò che aveva trovato Planck:Legge di Planck

En = nhν,

ricordandoci che β = 1KT , otteniamo quindi

< E >= hν

e hν KT − 1

.

Otteniamo il potere emissivo specico usando la relazione tra potere emissivo e densità di energia

eν = c

4 uν =

2πν2

c2 < E >=

c2 hν3

e hν KT − 1

.

Possiamo vedere che essendo

< E >= hν

e hν KT − 1

,

secondo planck, moltiplicando e dividendo per KT otteniamo

< E >=

( hν KT

e hν KT − 1

) ·KT,

4Ricordandoci che la somma della serie geometrica ∑ n x

n = 1 1−x , per x < 1.

Marco Mongitore 18 7 giugno 2011

1 ELEMENTI DI MECCANICA STATISTICA 1.8 Oscillatori e Calori Specici

e per hν  KT , cioè per basse frequenze o alte temperature, ponendo

z = hν

KT ⇒ ez −→z→0 1 + z,

abbiamo

< E >' hν KT

1 + hνKT − 1 KT ' KT,

in pieno accordo con la sica classica(Rayleigh-Jeans).

1.8 Oscillatori e Calori Specici

Analizziamo brevemente le vibrazioni nelle molecole biatomiche e i loro calori specici; abbiamo detto che

< E >= hν0

e hν0 KT − 1

,

con una assegnata frequenza di vibrazione ν0, in base a quanto visto

c(vib)v = N

n

d < Evib >

dT = A

d

dT < Evib >= A ·K = A ·

R

A = R;

usando invece l'espressione trovata da Planck

< E >= hν

e hν KT − 1

,

otteniamo

C (vib) V = R ·

( hν0 KT

)2 ( e hν0 KT − 1

)2 ehν0KT , quindi il contributo vibrazionale di CV ' 12R, . che per elevate temperature tende al valore R come previsto dalla sica classica. Prendiamo ad esempio l'atomo di idrogeno, quindi ν0 frequenza di vibrazione di tale

atomo, e per KT ' 13hν0 succede che hν0 = 0, 5eV , vuol dire ad una temperatura T ' 1900◦K. Da notare che KTamb = 140eV, è quindi dicile far passare l'atomo da uno stato energetico ad un altro a temperatura ambiente perchè KTamb  hν0. Il prezzo di tutto ciò era il fatto di proporre teorie inconsistenti con la sica classica,

e l'ipotesi di quantizzazione và contro la sempre sotenuta continuità.

Marco Mongitore 19 7 giugno 2011

2 I FOTONI

2 I Fotoni

2.1 Eetto Fotoelettrico

L'eetto fotoelettrico rappresenta l'emissione di elettroni da parte di una supercie, soli- tamente metallica, dopo essere stata colpita da una radiazione elettromagnetica avente una frequenza maggiore di una certa frequenza di soglia dipendente dal materiale stesso. Prendiamo in considerazione lo schema in Figura 2.1

Figura 2.1: Schema dell'apparato lenard per l'eetto fotoelettrico.

dove c è il catodo e a è l'anodo, quando la luce colpisce c viene emesso un elettrone che andando a colpire a genera una corrente misurabile, in realtà la corrente inizia a circolare se V0 = VC −VA è maggiore di un potenziale d'arresto. Secondo la sica classica con la conservazione dell'energia abbiamo che Kfin −Kiniz = LC→A = −e (VC − VA), e quindi la variazione di energia cinetica ∆K = Kfin − Kiniz = e (VA − VC); e ovviamente per VA > VC ⇒ ∆K > 0, e per VA < VC ⇒ ∆K < 0. Vediamo quindi che l'energia cinetica massima dell'elettrone, e ponendo Va = |VC − VA|,

è Kmax = e · Va.

Marco Mongitore 20 7 giugno 2011

2 I FOTONI 2.1 Eetto Fotoelettrico

Einstein disse che l'energia data all'elettrone era proporzionale alla frequenza della radiazione incidente:

E = hν

con h costante di Planck e ν la frequenza. L'eetto fotoelettrico, come anticipato prima, avviene solo per certe frequenze, in particolare:

ν > Φmin h

= ν0,

dove Φmin, chiamato lavoro di estrazione, è l'energia minima che permette agli elettroni di staccarsi dalla supercie metallica. Possiamo calcolare l'energia massima che può avere un elettrone emesso in seguito all'incidenza di un onda ad una certa frequenza ν come:

Emax = h(ν − ν0) = hν − hν0 = hν − Φmin,

e di conseguenza calcoliamo il valore di Va in questo modo:

|Va| = h

e (ν − ν0) .

È anche vero il procedimento inverso, cioè per certe tensioni indotte viene emesso un fotone ad una certa frequenza, cosa che accade ad esempio nei LED. Considerando la Tabella 1 e la Tabella5 2;

colore violetto blu verde giallo arancione rosso λ (nm) 380÷ 450 450÷ 495 495÷ 570 570÷ 590 590÷ 620 620÷ 750 hν (eV ) 3, 1 2, 5 2

Tabella 1: Luce visibile.

Metallo Cs Li Ca Al Zn Ni Pt Φmin (eV ) 1,9 2,3 3,2 4,2 4,3 4,6 6,2

Tabella 2: Lavoro di estrazione di elettroni da metalli.

possiamo provare a calcolare l'energia: sapendo che λ = cν ⇒ ν =

c λ , con c velocità della luce nel vuoto abbiamo che h · c =

1, 24eV µm e ad esmpio per la luce verde avente λ = 0, 495µm⇒ E = h·ν = hcλ = 2, 5eV . 5I valori sono indicativi, in quanto variano a seconda dell'orientazione della struttura cristallina.

Marco Mongitore 21 7 giugno 2011

2.2 Eetto Compton 2 I FOTONI

2.2 Eetto Compton

Prima di discutere l'esperimento Compton e in seguito l'eetto compton, introduciamo brevemente i cosidetti Raggi X.

I raggi x sono una radiazione elettromagnetica con lunghezza d'onda λ = 100nm÷1pm,Raggi X la produzione viene fatta mediante un apparato, come in Figura 2.2, costituito da un ampolla contenente il catodo e l'anodo, il primo formato da un lamaento che verrà riscaldato, e il secondo da una superce metallica obliqua

X

K A

C

Wout

Win

UaUh Figura 2.2: Schema della produzione dei Raggi X.

dove il lamento riscalda il catodo che inizia ad emettere elettroni per eetto termoion- ico, accelerati poi da un'alta tensione facendoli andare verso l'anodo andando a sbattere contro la supercie metallica, nell'impatto l'energia cinetica degli elettroni si trasforma in calore e radiazione elettromagnetica(raggi X), questa emissione elettromagnetica avviene per Brehmsstrahlung, ovvero un frenamento di elettroni.

Consultare Fis.Gen.Onde Pagg 165-172-178-271-272.

Marco Mongitore 22 7 giugno 2011

2 I FOTONI 2.2 Eetto Compton

Questa radiazione ha un andamento del tipo mostrato in Figura 2.3

Figura 2.3: Radiazione per Eetto Compton.

noi ci limitiamo ad analizzare la parte continua. Vediamo che sperimentalmente si è vericato:

λmin = 1, 24 · 104

∆V (V olt) Å =

12, 4

∆V (KV olt) Å,

indipendentemente dal materiale, dipende solo dalla dierenza di potenziale, si trova facendo

Eel = e ·∆V = hνmax ⇒ hc

λmin = Eel,

allora

λmin = hc

e ·∆V ,

notiamo anche a dimostrazione del fatto che c'è una lunghezza d'onda minima al disotto della quale non abbiamo emissione di raggi X, che essendo:

hν ≤ Eel = e ·∆V,

allora hc

λ ≤ e ·∆V ⇒ λ ≥ hc

e ·∆V .

Con la scoperta dei raggi X si notò qualcosa di ambiguo, il cosiddetto Eetto Compton; Eetto Compton se facessimo incidere una radiazione monocromatica, prodotta dal ltraggio dei raggi X, con un materiale ci si dovrebbe aspettare l'emissione di una radiazione avente stessa frequenza di quella incidente; invece si trovò sperimentalmente che oltre alla componente

Marco Mongitore 23 7 giugno 2011

2.2 Eetto Compton 2 I FOTONI

spettrale avente stessa frequenza di quella incidente c'era anche una componente con una frequenza diversa. In particolare, con una lunghezza d'onda che varia a seconda dell'angolo formato. Andremo a fare i conti, come illustrato in Figura 2.4, con un fotone che va a collidere con un elettrone

Figura 2.4: Eetto Compton dovuto alla collisione di un fotone con un elettrone.

Figura 2.5: Radiazione in funzione dell'angolo θ.

abbiamo quindi due componenti spettrali una corrispondente a λ, stessa lunghezza d'onda di quella incidente, e una che chiamiamo λ

′ con lunghezza d'onda diversa come

detto sopra. Si è anche trovato sperimentalmente un legame tra la lunghezza d'onda incidente e quella di λ

′ in funzione dell'angolo, come mostrato in Figura 2.5, e di una

costante: λ ′ − λ = λ0 (1− cos θ) ,

Marco Mongitore 24 7 giugno 2011

2 I FOTONI 2.2 Eetto Compton

con θ l'angolo che in Figura 2.4 è indicato con ϕ, e λ0 = 0, 024Å lunghezza d'onda Compton che vale per ogni materiale(metallico). Cerchiamo di spiegare tutto questo per via teorica e vedere se in eetti c'è coerenza. Consideriamo solo la componente anomala, utilizzando un pacchetto E = hν, diciamo

che il fotone incidente ha un energia E1 = hν, il fotone emesso ha un energia E2 = hν ′ e

l'elettrone scagliato via ha energia E, e rispettivamente le quantità di moto P1 = E1c = hν c =

h λ , P2 =

E2 c =

h λ′ , P ; applicando la conservazione dell'energia e della quantità di

moto: E1 + E0 = E2 + E ⇒ E1 = E2 + (E − E0) ,

P1 + φ = P + P2,

dove con E0 e φ indichiamo rispettivamente l'energia e la quantità di moto(nulla) del- l'elettrone quando è fermo; ci aspettiamo che E2 < E1 e quindi λ

′ > λ, si può dimostrare

che

λ ′ − λ = h

mec (1− cos θ) ,

con me massa dell'elettrone, perciò abbiamo

h

mec = 0, 024Å,

che è esattamente λ0, aldilà della previsione λ ′ > λ, dobbiamo vericare che il valore di λ0

sia eettivamente quello trovato estendendo la quantizzazione al campo elettromagnetico. Per fare questo abbiamo bisogno degli strumenti che chiameremo in causa adesso. Abbiamo bisogno della trattazione relativistica dell'energia e dell'impulso(quantità di

moto); sappiamo che il secondo principio della dinamica può esprimersi nella forma

F = dP

dt ,

questo vale ancora in relatività soltanto che l'impulso è espresso in questo modo

P = γmv,

con un fattore moltiplicativo in più

γ = 1√

1− v2 c2

,

che evidentemente per v  c abbiamo γ ' 1 che ci riconduce alla rappresentazione classica, ma nel nostro caso v non è piccolo rispetto a c, per questo motivo ricorriamo alla relatività. Se noi generalizzassimo anche un'altra relazione della sica classica, in particolare

F ⇒ δL = Fdr = dEk,6riusciamo a trovare un espressione tenendo conto della denizione 6Teorema dell'energia cinetica o teorema delle forze vive.

Marco Mongitore 25 7 giugno 2011

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