Fisica Tecnica Domande esame , Domande di esame di Fisica Tecnica. Politecnico di Milano Graduate School of Business
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Fisica Tecnica Domande esame , Domande di esame di Fisica Tecnica. Politecnico di Milano Graduate School of Business

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Domande Teoria Fisica tecnica

Gianpiero Gaeta, Andrea Fuso

30 gennaio 2016

Indice

I Domande 2

1 Concetti introduttivi 2

2 Proprietà della materia 3

3 Principi di conservazione e trasformazioni dei sistemi termodinamici 4

4 Secondo Principio della Termodinamica 5

5 Aria umida 6

6 Cicli termodinamici 7

7 Trasmissione del calore 8

II Risposte 9

8 Concetti introduttivi 9

9 Proprietà della materia 11

10 Principi di conservazione e trasformazioni dei sistemi termodinamici 15

11 Secondo principio della termodinamica 17

12 Aria umida 18

13 Cicli termodinamici 19

14 Trasmissione del calore 21

1

Parte I

Domande

1 Concetti introduttivi

1. Scrivere la denizione di trasformazione internamente reversibile

2. Scrivere la denizione di trasformazione esternamente reversibile

3. Scrivere tre dierenti enunciati del Secondo Principio della Termodinamica

4. Scrivere due enunciati del Secondo Principio della Termodinamica e mostrarne l'equivalenza

5. Scrivere la denizione di entropia, spiegando il signicato dei termini che vi compaiono

6. Scrivere che grandezze compaiono nella relazione fondamentale in forma energetica ed in forma entropica

2

2 Proprietà della materia

7. Scrivere le denizioni di calore specico uscente da un sistema durante una trasformazione reversibile

8. Sapendo che per un gas perfetto vale du = cvdT , dimostrare che vale anche dh = cpdT

9. Scrivere le espressioni delle variazioni di entalpia ed entropia specica per un gas ideale in funzione di P e T

10. Scrivere le espressioni delle variazioni di entalpia ed entropia specica per un liquido ideale in funzione di P e T

11. Mostrare come l'espressione dell'energia interna specica per una sostanza reale in funzione di T e v: du =

cvdT + ( T kp kt − P

) dv, si riduca per un gas ideale a du = cvdT

12. Mostrare come l'espressione dell'entalpia specica per una sostanza reale in funzione di T e P: dh = cpdT + v (1− Tkp) dP , si riduca per un gas ideale a dh = cpdT

13. Ricavare una relazione di Maxwell a piacere a partire dalle espressioni dierenziali dei potenziali termodinamici

14. Scrivere le espressioni dierenziali dei potenziali termodinamici

15. Dimostrare che nel piano T-s le curve isocore sono sempre più pendenti delle curve isobare

16. Disegnare l'isobara critica nel piano T-s, indicando che pendenza ha nel punto critico e perché

17. Disegnare l'isoterma critica nel piano P-v, indicando che pendenza ha nel punto critico e perché

18. Ricavare, a partire dai bilanci di massa ed energia, l'espressione che permette di ricavare il valore specico dell'entalpia per una miscela monocomponente bifase

19. Descrivere le condizioni in cui un gas può essere trattato come ideale; riportare un'equazione di stato di un modello di gas reale e descrivere il signicato sico dei termini che vi appaiono

20. Mostrare (utilizzando le opportune espressioni dierenziali) che a cavallo di una transizione di fase isotermo- barica la variazione del potenziale di Gibbs è nulla

21. Disegnare la curva limite liquido-vapore, alcune isobare (tra cui quella critica) e alcune isoentalpiche nel diagramma T-s

22. Disegnare la curva limite liquido-vapore, alcune isobare e alcune isoterme (tra cui quella critica) nel diagramma h-s e indicare dove vale l'approssimazione a gas ideale

23. Disegnare la curva limite liquido-vapore e alcune isoterme (tra cui quella critica) nel diagramma P-v

24. Disegnare una trasformazione isobara ed una trasformazione isocora di un gas ideale sul diagramma T-s ed indicarne le funzioni T=f(s)

25. Scrivere la legge di Mayer generalizzata e spiegare come si semplica per i gas ideali

26. Scrivere l'equazione di Clausius-Clapeyron

3

3 Principi di conservazione e trasformazioni dei sistemi termodinamici

27. Scrivere l'equazione di conservazione della massa: a) in forma nita per un sistema avente molti ingressi e molte uscite in condizioni di transitorio, b) in forma dierenziale, in funzione di velocità, densità e area, per un sistema a singolo ingresso e singola uscita in condizioni stazionarie

28. Scrivere l'espressione del bilancio energetico per un sistema uente generico, spiegando il signicato dei termini che compaiono

29. Scrivere le denizioni di lavoro utile specico uscente rispettivamente da un sistema chiuso ed un sistema aperto durante una trasformazione reversibile

30. Scrivere le denizioni di calore specico a pressione e volume costante per una trasformazione reversibile

31. Scrivere le equazioni di partenza (primo principio, equazione dei gas ideali) e le ipotesi necessarie per ricavare l'equazione generale delle trasformazioni politropiche

32. Scrivere il bilancio energetico per una turbina ad asse orizzontale in cui siano presenti anche scambio termico e variazioni di velocità tra ingresso e uscita

33. Scrivere le equazioni che esprimono lo scambio energetico tra i due uidi in uno scambiatore di calore

34. Riassumere in una tabella come variano qualitativamente velocità e pressione al variare della sezione del dispositivo in un ugello e in un diusore per uidi in moto subsonico e supersonico

35. Ricavare l'espressione del rendimento isoentropico di un compressore nel caso di gas ideale in funzione delle temperature ad inizio e ne compressione

36. Ricavare l'espressione del rendimento isoentropico di un turbina nel caso di gas ideale in funzione delle temperature ad inizio e ne espansione

4

4 Secondo Principio della Termodinamica

37. Scrivere l'espressione del bilancio entropico per un sistema per un sistema uente generico, spiegando il signicato dei termini che compaiono

38. Scrivere il bilancio entropico per il sistema complessivo che opera un ciclo termodinamico nelle due forme: a) valutando i calori scambiati dal punto di vista del ciclo, b) valutando i calori scambiati dal punto di vista delle sorgenti

39. Scrivere il bilancio entropico per un generico sistema uente, indicando il signicato dei termini che vi compaiono, e riportare un esempio di trasformazione irreversibile con variazione di entropia negativa

40. Scrivere il bilancio entropico per un generico sistema uente, indicando il signicato dei termini che vi compaiono, e riportare un esempio di trasformazione irreversibile con variazione di entropia nulla

41. Scrivere i bilanci energetico ed entropico per una macchina termica motrice reversibile

42. Scrivere i bilanci energetico ed entropico per una macchina termica motrice irreversibile

43. Scrivere le denizioni di rendimento di II Principio per una macchina termica utilizzatrice che funzioni come frigorifero e come pompa di calore

5

5 Aria umida

44. Scrivere la denizione di umidità relativa per l'aria umida, indicando il signicato dei termini che vi compaiono

45. Scrivere la relazione tra umidità assoluta ed umidità relativa per un'aria umida, indicando il signicato dei termini che vi compaiono

46. Scrivere l'espressione dell'entalpia per un'aria umida, indicando il signicato dei termini che vi compaiono

47. Disegnare la curva di saturazione e alcune altre curve iso-umidità relativa, alcune isoterme e alcune isoental- piche nel diagramma di Mollier per l'aria umida.

6

6 Cicli termodinamici

48. Esprimere il rendimento di un ciclo Joule diretto in funzione di 1) scambi entalpici, 2) temperature

49. Disegnare sul diagramma T-s un ciclo Rankine diretto con turbomacchine ideali e scrivere le espressioni (in funzione di opportuni potenziali termodinamici) del suo rendimento di I Principio

50. Disegnare sul diagramma T-s un ciclo Rankine inverso con turbomacchine reali e scrivere le espressioni (in funzione di opportuni potenziali termodinamici) dei parametri prestazionali di I Principio associati all'utilizzo del ciclo come macchina frigorifera e pompa di calore

51. Dimostrare che per un generico ciclo inverso a parità di temperature delle sorgenti COP = ε+ 1

52. Dimostrare che per un ciclo termodinamico diretto il rendimento è massimo quando la produzione entropica è nulla

7

7 Trasmissione del calore

53. Scrivere l'espressione della conduzione del calore attraverso un cilindro cavo a sezione circolare, in funzione delle temperature dei uidi che ne lambiscono le due superci

54. Scrivere l'espressione della conduzione del calore attraverso una parete costituita da due strati in serie, in funzione delle temperature dei uidi che ne lambiscono le due facce

55. Scrivere la denizione ed il signicato dei gruppi adimensionali Nusselt e Biot.

56. Scrivere la denizione ed il signicato di tre gruppi adimensionali a piacere

57. Scrivere l'equazione generale della conduzione per un mezzo avente conduttività variabile con la temperatura

58. Scrivere l'equazione generale della conduzione per un mezzo avente conduttività costante con la temperatura ed in condizioni stazionarie

59. Scrivere le formalizzazioni del Primo e Secondo Principio della Termodinamica e le ipotesi necessarie per ricavare l'equazione generale della conduzione

60. Scrivere la denizione ed il signicato del gruppo adimensionale Pr.

61. Scrivere la denizione ed il signicato del gruppo adimensionale Re ed il suo utilizzo per classicare il moto dei uidi sia per usso interno sia per usso esterno.

62. Scrivere l'espressione del prolo di temperatura in una lastra in stato stazionario soggetta a generazione interna di potenza con temperature sulle superci note e costanti.

63. Determinare i proli generali del usso termico e della temperatura in funzione del raggio per un cilindro di lunghezza indenita omogeneo ed isotropo, tramite l'integrazione dell'equazione della conduzione in condizioni stazionarie e con generazione di potenza. Commentare poi la condizione al contorno in corrispondenza dell'asse del cilindro per cilindri pieni

64. Scrivere la legge di Wien e commentare il suo signicato

65. Scrivere la legge di Kirchho per corpi opachi

66. Rappresentare alcune curve del potere emissivo di corpo nero in funzione di temperatura e lunghezza d'onda

67. Scrivere la legge di reciprocità tra i fattori di vista per due corpi neri

68. Scrivere l'espressione della potenza termica scambiata per irraggiamento tra due superci opache di forma generica che racchiudono una cavità

69. Scrivere la legge di Newton e le grandezze da cui dipende il coeciente convettivo

70. Enunciare il criterio per discriminare tra convezione naturale, forzata e mista

71. Rappresentare i proli di velocità e temperatura in uido che lambisce una parete in convezione naturale

72. Scrivere l'espressione di una correlazione per la stima del coeciente convettivo per convezione forzata su lastra piana in moto laminare

73. Scrivere l'espressione della temperatura in funzione del tempo per un solido esposto ad un singolo scambio convettivo durante un transitorio descrivibile a parametri concentrati (approssimando le proprietà termosiche ed il coeciente di scambio a costanti)

74. Rappresentare il prolo di temperatura in una parete piana composta da tre strati A,B,C di identico spessore, sapendo che λA > λB > λC

8

Parte II

Risposte

8 Concetti introduttivi

1. Una trasformazione è internamente reversibile quando si possono trascurare ogni tipo di attrito ed è appros- simabile a quasi-statica, cioè passa attraverso inniti stati di equilibrio, impedendo fenomeni come la libera espansione di un gas o scambi di calore per dierenze nite di temperature, che generano delle irreversibilità.

2. Una trasformazione si dice esternamente reversibile quando, qualora esistano scambi di calore tra sistema e ambiente esterno, essi avvengano con salti innitesimi di temperatura. Inoltre durante il suo svolgimento nessuna irreversibilità si verica all'esterno dei contorni del sistema.

3. Secondo principio

(a) In natura le trasformazioni spontanee tendono sempre alla riduzione dei disequilibri.

(b) L'entropia totale di un sistema isolato non può diminuire.

(c) Non è possibile realizzare un processo il cui unico risultato sia una completa conversione in lavoro del calore assorbito da una sola sorgente (formulazione di Kelvin-Planck).

(d) Il calore uisce spontaneamente solo dai corpi a potenziale termico maggiore ai corpi a potenziale termico minore (formulazione di Clausius).

4. Per mostrare l'equivalenza tra questi due enunciati immaginiamo di costruire un sistema costituito da un serbatoio termico a temperatura Ts alta e uno temperatura Ti bassa, da un motore termico e da una mac- china frigorifera. Dimostriamo ora che negando Kelvin-Planck neghiamo anche Clausius mostrandone così l'equivalenza. Immaginiamo quindi di avere un motore termico capace di assorbire una quantità di calore Qs dal serbatoio a temperatura Ts e di trasformarla completamente in lavoro. A questo punto immaginiamo di fornire tale lavoro alla macchina frigorifera la quale assorbirà Qi da Ti e cederà Q=Qi+L=Qi+Qs a Ts. Se condiriamo il sistema complessivo dal punto di vista energetico Qs viene assorbita e restituita a Ts quindi abbiamo ottenuto una macchina il cui unico eetto si assorbire Qi da Ti e restituirlo a Ts senza spendere energia. Ma ciò va contro Clausius e quindi possiamo aermare che negando il primo neghiamo anche il secondo e che quindi i due enunciati sono equivalenti.

5. L'entropia è denibile come il numero di possibili stati in cui un sistema può trovarsi dal punto di vista microscopico senza cambiare dal punto di vista macroscopico. Essa è anche una misura del disordine del sistema, cioè assenza di stati macroscopicamente ordinati

S = ks ln(W ) (1)

ks =costante di Boltzman;

W =numero di microstati compatibili con il macrostato che si sta considerando

6. (2) Forma entropica; (3) Forma energetica

9

S = S (Ni, V, U) (2)

U = U (Ni, V, S) (3)

Ni = numero di costituenti microscopici V = volume U = energia interna S = entropia

dU =

C∑ i=1

∂U

∂Ni

∣∣∣∣ V,S,Nj 6=i

dNi+ ∂U

∂V

∣∣∣∣ S,Ni

dV + ∂U

∂S

∣∣∣∣ V,Ni

dS (4)

il primo termine è il potenziale di interazione chimica, il secondo è lagato alla variazione di volume e il terzo è legato allo scambio termico

10

9 Proprietà della materia

7. Il calore specico di una sostanza, esprime il rapporto tra il calore scambiato e la corrispondente variazione di temperatura di un sistema durante una determinata trasformazione

C = δQ

dt =

1

M

δQ

dT (5)

Se c'è interna reversibilità:

C (T ) = δq

dT = T

dS

dT (6)

8. Dimostrazione:

dU = cvdT dU = TdS − PdV = cvdT dH = TdS + V dP Tds = cvdT + PdV dH = cvdT + PdV + V dP = (cv +R

∗) dT = cpdT

9. dh = cpdT ds = δqT =

dh−vdP T = cp

dT T −

vdP T = cp

dT T −R

∗ dP P

10. dh = cpdT du = Tds− Pdv poichè siamo in presenza di un liquido:dv = 0 ; cv ≈ cp ds = duT =

cvdT T

11. du = Tds− Pdv = cvdT + ( kp kt T − P

) dv

siccome gas ideale kt = 1P ; kp = 1 T

du = cvdT + ( P T T − P

) dv = cvdT

12. dh = Tds+ vdP = cpdT + v (1− Tkp) dP poichè gas ideale kp = 1T =⇒ dh = cpdT

13. du = Tds− Pdv =⇒ ∂T∂v ∣∣ s

= − ∂P∂s ∣∣ v

df = −sdT − Pdv =⇒ ∂s∂v ∣∣ T

= ∂P∂T ∣∣ v

dh = Tds+ vdP =⇒ ∂T∂P ∣∣ s

= ∂v∂s ∣∣ P

dg = −sdT + vdP =⇒ − ∂s∂P ∣∣ T

= ∂v∂T ∣∣ P

14. du = Tds− Pdv + ∑I i=1 µidMi

df = −sdT − Pdv + ∑I i=1 µidMi

dh = Tds+ vdP + ∑I i=1 µidMi

dg = −sdT + vdP + ∑I i=1 µidMi

15. ds = cv dTT + kp kt dv ; se siamo in presenza di un isocora dv = 0 =⇒ ds = cv dTT

ds = cp dT T − vkpdP ; se siamo in presenza di un isobaradP = 0 =⇒ ds = cp

dT T

la pendenza dell'isocora è ∂T∂s ∣∣ v

= Tcv la pendenza dell'isobara è ∂T∂s

∣∣ p

= Tcp poichè cp > cv =⇒sono più pendenti le isocore

11

16. Il coeciente della pendenza dell'isobara nel punto critico è indicato nella (7). Come possiamo vedere, nel punto critico si ha il degenerare a tangenza di una isotermobarica, che rappresenta una secante orizzontale. Si può inoltre notare che cp =∞

Tcr cp

= 0 (7)

17.

18. Bilancio di massa (8), (9) dove xaer = Maer Mtot

è detta frazione massica Bilancio di Energia (10)

Mliq +Maer = Mtot (8)

Mliq Mtot

+ Maer Mtot

= Mtot Mtot

=⇒ xliq + xaer = 1 (9)

hm = haerxaer + (1− xaer)hliq (10)

19. Un gas può essere considerato ideale se è rarefatto e a pressione bassa e alte temperatura. Sotto queste ipotesi molecole del gas sono assunte puntiformi e non interagenti ed il gas rispetta l'equazione dei gas ideali PV = nRT . Un esempio di equazione dei gas reali è quella di Van Der Waals (11) che tiene conto sia delle interazioni intermolecolari attraverso la costante a (12) e il volume delle molecole attraverso la costante b (13).

P = R∗T

v − b − a v2

(11)

a = 27

64

R∗2T 2cr Pcr

(12)

b = 1

8

R∗Tcr Pcr

(13)

12

20. Se la trasformazione è isotermobarica ho che dT = 0; dP = 0, dunque partendo dalla denizione del potenziale di Gibbs vedo che la sua derivata è nulla (14).

dg = −sdT + vdP = 0 (14)

21.

22.

23.

13

24.

∂T

∂s

∣∣∣∣ P

= T

cp

∂T

∂s

∣∣∣∣ v

= T

cv

25. Relazione generale (15)

cp − cv = Tvk2p kT

(15)

Per un gas ideale abbiamo che kp = 1T ; kT = 1 P ; Pv = R

∗T

cp − cv = Tv 1T 2

1 P

= R∗

P P = R∗ =⇒ cp − cv = R∗

26. Equazione di Clausius-Clapeyron (16)

dP

dT = s2 − s1 v2 − v1

= ∆s1,2 ∆v1,2

= ∆h1,2 T∆v1,2

(16)

14

10 Principi di conservazione e trasformazioni dei sistemi termodinamici

27. Equazione di conservazione della massa per un sistema uente multi ingresso-uscita in condizioni di transitorio (17)

∂M

∂τ =

I∑ i=1

˙|Mi| − U∑ u=1

˙|Mu| (17)

Equazione di conservazione della massa per un sistema singolo ingresso e singola uscita in condizioni stazionarie (18)

ρ + dw

w + dA

A = 0 (18)

28. Bilancio energetico per un sistema uente generico (19)

∂ [ M ( u+ 12w

2 + gz )]

∂t =

I∑ i=1

Ṁi

( ui +

1

2 w2i + gzi

) −

U∑ u=1

Ṁu

( uu +

1

2 w2u + gzu

) + L̇tot + Q̇ (19)

u: energia interna 1 2w

2: energia cinetica gz: energia potenziale gravitazionale

˙Ltot: Potenza generata da lavoro non dilatativo e lavoro dilatativo Q̇: potenza termica Ṁi; Ṁu: portata di massa entrante/uscente

29. Il lavoro utile è il lavoro (20) legato allo spostamento dei contorni mobili impermeabili del sistema. Esso si può denire anche come il lavoro eettivamente estraibile dalla corrente uida senza arrestarne il moto o che è necessario fornire per mantenerla in movimento. Nella (21) vediamo l'espressione del lavoro dilatativo come la somma del lavoro utile e dei lavori di pulsione entranti ed uscenti.

ˆ u i

vdP (20)

− ˆ u i

Pdv =

ˆ u i

vdP + Pivi − Puvu (21)

ldilatativo = lutile + lpulsione

Nel caso di sistema chiuso, non abbiamo il termine legato ai lavori di pulsione poichè non abbiamo massa entrante o uscente, dunque il lavoro utile corrisponde al lavoro dilatativo CONTROLLARE

30. Calore specico a volume costante (22) e a pressione costante (23)

cv = T ∂s

∂T

∣∣∣∣ v

(22)

cp = T ∂s

∂T

∣∣∣∣ p

(23)

31. Premesse per le politropiche

(a) internamente reversibile

(b) Gas perfetto

(c) cx costante lungo tutto la trasformazione

Primo principio: du = δq + δltot, equazione dei gas ideali: Pv = R∗T

32. lut = ∆h+ ∆ek − q

15

33.

 Q̇H→C = ṀH (hH,u − hH,i) Q̇C←H = ṀC (hC,u − hC,i)∣∣∣Q̇H→C∣∣∣ = ∣∣∣Q̇C←H ∣∣∣→ Q̇H→C = −Q̇C←H

34.

moto subonico moto supersonico

A ↑ P ↑ h ↑ w ↓ P ↓ h ↓ w ↑ A ↓ P ↓ h ↓ w ↑ P ↑ h ↑ w ↓

35. La formula generale del rendimento isoentropico per un compressore è: ηciso = lid lreale

Se siamo in presenza di un gas ideale e trascuriamo i contributi di ∆ek, ∆ep e q abbiamo la (24)

ηciso = cp (Tu,ideale − Ti) cp (Tu,reale − Ti)

(24)

Se consideriamo il gas come perfetto possiamo semplifare cp e abbiamo la (25)

ηciso = Tu,ideale − Ti Tu,reale − Ti

(25)

36. La formula generale del rendimento isoentropico per una turbina è: ηtiso = lreale lideale

Se siamo in presenza di un gas ideale abbiamno che (26)

ηtiso = cp (Tu,reale − Ti) cp (Tu,ideale − Ti)

= Tu,reale − Ti Tu,ideale − Ti

(26)

16

11 Secondo principio della termodinamica

37. ( ∂S

∂τ

) =

I∑ i=1

Ṁisi − U∑ u=1

Ṁusu +

J∑ j=1

ˆ f i

δQ̇sist,j Tsist,j

+

( ∂S

∂τ

) interna irreversibilità

(27)

( ∂S ∂τ

) int ir

= ( ∂S ∂τ

) attriti

+ ( ∂S ∂τ

) lnd

: eetto degli attriti ≥ 0 (uguale a zero solo per int. reversibilità)∑I i=1 Ṁisi −

∑U u=1 Ṁusu : contributo entropico associato alla portata di massa entrante e uscente dal sistema∑J

j=1

´ f i δQ̇sist,j Tsist,j

: termine associato agli scambi termici con J sorgenti a temperatura Tj

38. Per un generico ciclo termodinamico, il bilancio entropico risulta essere: SP = ∆Sfluido di lavoro + ∆Ssorgente calda + ∆Ssorgente fredda + ∆Sserbatoio lavoro

ˆ ∆Sfluido di lavoro = 0 Poichè il uido compie un ciclo e l'entropia è una funzione di stato.

ˆ ∆Sserbatoio lavoro = 0 Poichè gli scambi con il serbatoio di lavoro sono considerati reversibili.

ˆ Considerando le sorgenti isoterme.

ˆ Dal punto di vista del del ciclo:

SP = − ∑ QH

TH − ∑ QC

TC

ˆ Dal punto di vista delle sorgenti:

SP = ∑ QSH

TH + ∑ QSC

TC

39. Una trasformazione internamente irreversibili, ci sono degli attriti, ma che cede calore abbastanza da avere una riduzione di entropia da cessione di calore più alta dell'incremento da attrito.

40. Una trasformazione internamente irreversibile in cui lo scambio termico bilancia esattamente gli attriti.

41. Per una macchina termica motrice reversibile:

ˆ Bilancio energetico: ∆U = ∑ Q+

∑ L = 0 =⇒

∑ L = −

∑ Q = −

∑ QH −

∑ QC

ˆ Bilancio entropico: SP = ∆Ssorgente calda + ∆Ssorgente fredda = 0 =⇒ − ∑ QH

TH − ∑ QC

TC = 0

ˆ Mettendo a sistema si ottiene: ∑ L = −(1− TCTH )

∑ QH

42. Per una macchina termica motrice irreversibile:

ˆ Bilancio energetico: ∆U = ∑ Q+

∑ L = 0 =⇒

∑ L = −

∑ Q = −

∑ QH −

∑ QC

ˆ Bilancio entropico: SP = ∆Ssorgente calda + ∆Ssorgente fredda =⇒ − ∑ QH

TH − ∑ QC

TC = SP

ˆ Mettendo a sistema si ottiene: ∑ L = −(1 − TCTH )

∑ QH + TCSP , dove il termine TCSP rappresenta l'ener-

gia utilizzabile non utilizzata, che essendo positiva decrementa il lavoro (essendo questo negativo in quanto uscente).

43. Il rendimento di Secondo Principio è denito come il rapporto tra il rendimento di Primo Principio con il corrispondente del ciclo di Carnot reversibile, che opera tra le stesse temperature di sorgente:

ηII frigorifero = ε

εCR =

ε TC

TH−TC

(28)

ηII pompa di calore = COP

COPCR =

COP TH

TH−TC

(29)

17

12 Aria umida

44. ϕ = PVPV S(TBS)

ˆ PV è la pressione parziale del vapore d'acqua nell'aria umida.

ˆ PV S(TBS) è la pressione di vapore saturo alla temperatura di bulbo secco TBS dell'aria umida.

45. X = 0, 622 ϕPV SP−ϕPV S

ˆ il numero 0,622 corrisponde al rapporto: MMVMMAS = 18kg/kmol 29kg/kmol

ˆ ϕ è l'umidità relativa dell'aria umida.

ˆ PV S è la pressione di vapore saturo alla temperatura di bulbo secco TBS dell'aria umida.

ˆ P è la pressione totale della miscela, che nella maggioranza delle volte coincide con la pressione ambiente.

46.

ĥAU = hAS +XhV = cPAS (T − 273, 15K) +X[λLV (273, 15K) + cPV (T − 273, 15K)] (30)

ˆ È calcolata facendo riferimento all'unità di massa dell'aria secca: ĥAU = HAU MAS

= HAS+HVMAS = hASMAS+hVMV

MAS

ˆ cPASè il calore specico a pressione costante della miscela aria secca: 1,005 kJ/kgK .

ˆ (T − 273, 15K) è la temperatura in Celsius dell'aria umida.

ˆ X è l'umidità assoluta dell'aria umida.

ˆ λLV (273, 15K) è il calore latente di evaporazione dell'acqua a 0°C: 2501 kJ/kg .

ˆ cPV è il calore specico a pressione costante del vapore d'acqua: 2,052 kJ/kgK .

Con una buona approssimazione: ĥAU = t+ (2500 + 2t)X (t temperatura in Celsius).

47.

18

13 Cicli termodinamici

48. Il rendimento di primo principio per il ciclio Joule è:

ηI Joule = − lc + lt qH

= −h2 − h1 + h4 − h3 h3 − h2

= 1 + h1 − h4 h3 − h2

(31)

Se mi trovo in presenza di un gas perfetto ho che

ηI Joule = 1− T1 T2

= 1− T4 T3

(32)

49.

Il rendimento di primo principio per il ciclio Rankine diretto è:

ηI Rankine = − l1 + lp qH

= −h6 − h5 + h2 − h1 h5 − h2

= 1 + h1 − h6 h5 − h2

(33)

50.

Per il ciclo Rankine inverso abbiamo per una macchina frigorifera (34), per una pompa di calore (35):

ε = qc lc

= h1 − h5 h′2 − h1

(34)

COP = −qH lC

= −h4 − h ′ 2

h′2 − h1 (35)

51. Ipotesi: COP = −QHL ; ε = QC L

Parlando di un ciclo chiuso e citando il primo principio abbiamo che QH +QC + L = 0 =⇒ QH = − (Qc + L)

COP = −−(QC + L) L

= QC L

+ L

L = ε+ 1 =⇒ COP = ε+ 1 (36)

19

52.

{ Sp = −QHTsh −

Qc Tsc

bilancio entropico

QH +QC + L = 0 bilancio energetico

Per un ciclo termodinamico diretto abbiamo che

Qc TSC

= − QH TSH

− Sp =⇒ Qc = −QH TSC TSH

− TSCSp

Per il primo principio

QH − TSC TSH

QH − TSCSp + L = 0 =⇒ L = −QH (

1− TSC TSH

) + TSCSP

dove TSCSP è detta energia utilizzabile non utilizzata

ηI = − L

QH =

( 1− TSC

TSH

) − TSCSP

QH (37)

Se nella (37) la produzione di entropia SP è nulla abbiamo il rendimento massimo poichè in un cilo diretto essa essendo maggiore di zero, andrebbe a decrementare il lavoro.

20

14 Trasmissione del calore

53. ˆ Prendendo in considerazione un caso monodirezionale, stazionario e con la conduttività costante, l'equazione generale della conduzione diventa:

∇2T = − U̇ ′′′

λ

ˆ Passando alle coordinate cilindriche e limitandosi a considerare una sola direzione, quella radiale (distanza dall'asse):

∇2T = 1 r

∂r (r ∂T

∂r ) +

1

r2 ∂2T

∂θ2 + ∂2T

∂z2

1

r

∂r (r ∂T

∂r ) = − U̇

′′′

λ

ˆ Escludendo il caso r = 0 e dividendo per r, e integrando:

∂r (r ∂T

∂r ) = − U̇

′′′

λ r

r ∂T

∂r = − U̇

′′′

2λ r2 + c1

∂T

∂r = − U̇

′′′

2λ r +

c1 r

T (r) = − U̇ ′′′

4λ r2 + c1 ln(r) + c2

ˆ Tenendo conto dell'ipotesi di Fourier:

Q̇(r) = −λ∂T ∂r

= U̇ ′′′

2 r − c1

r λ

ˆ Scegliendo le opportune condizioni al contorno e considerando U̇ ′′′ = 0 :{ T (r = RI) = T1 RI = raggio interno

T (r = RE) = T2 RE = raggio esterno

T (r) = ln( rRI )

ln(RERI ) (T2 − T1) + T1

Q̇ = −T2 − T1 ln(

RE RI

)

2πλL

(38)

21

54.

Q̇ = − T2 − T1s1 λ1A1

+ s2λ2A2

55.

Nu = hDCAR λf

= h λf

DCAR

ˆ h è il coeciente convettivo.

ˆ DCAR è la dimensione caratteristica presa in considerazione.

ˆ λf è la conduttività del uido.

Il numero di Nusselt (Nu) ha il signicato di rapporto tra lo scambio convettivo e quello coduttivo (contenendo il coeciente conduttivo). Dà un'idea di quanto il uido sia abile nello scambio termico (h-volte), quando questo sia in movimento (⇒ convezione) rispetto al caso statico (⇒ conduzione).

Bi = hDCAR λs

= h λs

DCAR

ˆ h è il coeciente convettivo.

ˆ DCAR è la dimensione caratteristica, rapporto tra volume del dominio solido e area della supercie attraverso cui avviene lo scambio convettivo.

ˆ λs è la conduttività del dominio solido.

il numero di Biot (Bi) esprime il rapporto tra la capacità convettiva di uido e solido e trasporto conduttivo all'interno del solido.

22

56.

Re = ρfωfDCAR

µf = ωfDCAR

νf

ˆ ρf è la densità del uido.

ˆ ωfDCAR costituisce l'inerzia del uido.

ˆ µf è la viscosità dinamica del uido (misura della resistenza di un uido allo scorrimento).

ˆ νf è la viscosità cinematica del uido.

Il numero di Reynolds (Re) permette di determinare se il usso di scorrimento di un uido è in regime laminare o turbolento, essendo il rapporto tra l'inerzia del uido e la sua viscosità cinematica.

Pr = cpfµf λf

= νf af

ˆ cpf è il calore specico a pressione costante del uido.

ˆ µf è la viscosità dinamica del uido.

ˆ λf è la conduttività del uido.

ˆ νf = µf ρf

è la viscosità cinematica del uido.

ˆ af è la diusività termica del uido.

Il numero di Prandtl (Pr) ha il signicato di rapporto tra le proprietà di trasporto della quantità di moto e del calore. Dà un'idea di quanto il uido sia abile a trasmettere quantità di moto rispetto al calore.

Gr = gρ2fkPf |T∞ − TP |D3CAR

µ2f = gkPf |T∞ − TP |D3CAR

ν2f

ˆ g è l'accelerazione di gravità.

ˆ kPf è il coeciente di dilatazione isobara del uido.

ˆ T∞è la temperatura della sorgente isoterma.

ˆ TP è la temperatura della parete.

Il numero di Grashof (Gr) ha il signicato di rapporto tra le forze di galleggiamento e quelle viscose, dando un'idea della tendenza al galleggiamento.

Ra = GrPr

Il numero di Rayleigh (Ra) è il prodotto del numero di Grashof con il numero di Prandtl, è utilizzato per convezione naturale.

Fu = α∆τ

(Dcar) 2

Il numero di Fourier (Fu) esprime il rapporto tra la capacità di conduzione e di accumulo di enegia del corpo

57.

23

∇(λ(T )∇T ) + U̇ ′′′ = ρc∂T∂τ

ˆ λ(T ) è la conduttività termica.

ˆ U̇ ′′′ è il termine di sorgente che tiene conto della generazione interna di potenza termica.

ˆ ρ è la densità.

ˆ c è il calore specico.

58. λ∇2T + U̇ ′′′ = 0

59.

ˆ Formalizzazione del Primpo Principio della Termodinamica: ∂U∂τ = δ .

Q+ U̇ ′′′dV

(a) U̇ ′′′ = somma di tutto ciò che può essere convertito in energia interna, comprende anche L̇nd

(b) L̇d= 0 poichè tale lavoro non è voluto poichè dovuto alla dilatazione dei corpi, ma noi consideriamo kP ≈ 0

ˆ La formalizzazione del Secondo Principio della Termodinamica corrisponde all'ipotesi di Fourier: →.

Q

′′

=

−Λ(→p , → d , T )∇T

Le ipotesi necessarie per ricavare l'equazione generale della conduzione sono:

(a) il mezzo deve essere omogeneo ed isotropo (la conduttività non dipende dalla direzione e dal punto; densità costante, volume costante).

(b) il mezzo deve essere in fase solida, o nel caso sia uido deve essere perfettamente in quiete.

(c) le variazioni di volume conseguenti alle variazioni di temperatura devono essere trascurabili: kP ≈ 0

(d) la pressione deve essere costante.

(e) assenza di scambi di lavoro dovuti

(f) calore specico costante

60.

Pr = cpfµf λf

= νf af

ˆ cpf è il calore specico a pressione costante del uido.

ˆ µf è la viscosità dinamica del uido.

ˆ λf è la conduttività del uido.

ˆ νf = µf ρf

è la viscosità cinematica del uido.

ˆ af è la diusività termica del uido.

Il numero di Prandtl (Pr) ha il signicato di rapporto tra le proprietà di trasporto della quantità di moto e del calore. Dà un'idea di quanto il uido sia abile a trasmettere quantità di moto rispetto al calore.

24

61.

Re = ρfωfDCAR

µf = ωfDCAR

νf

ˆ ρf è la densità del uido.

ˆ ωfDCAR costituisce l'inerzia del uido.

ˆ µf è la viscosità dinamica del uido (misura della resistenza di un uido allo scorrimento).

ˆ νf è la viscosità cinematica del uido.

Il numero di Reynolds (Re) permette di determinare se il usso di scorrimento di un uido è in regime laminare o turbolento, essendo il rapporto tra l'inerzia del uido e la sua viscosità cinematica. Per convezione interna abbiamo valori di Reynolds: Re ≈ 2500 Per convezione esterna abbiamo valori di Reynolds: Re ≈ 5 · 105

62. La (39) descrive l'espressione del prolo di temperatura in una lastra in stato stazionario soggetta a generazione interna di potenza.

T (x) = − U̇ ′′′

2λ x2 + c1x+ c2 (39)

Note le temperature sulle superci e sapendo che sono costanti possiamo scrivere le condizioni al contorno utili alla risoluzione dell'equazione (39) {

T (x = 0) = T1

T (x = s) = T2

Risolvendo il sistema si ha che:{ c2 = T1

T2 = − U̇ ′′′

2λ s 2 + c1s+ T1 =⇒ c1 = T2−T1s +

U̇ ′′′

2λ s

Dunque sostituendo le costanti nella (39) abbiamo:

T (x) = − U̇ ′′′

2λ x2 +

( T2 − T1

s + U̇

′′′

2λ s

) x+ T1 (40)

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