Formulario completo Analisi Matematica I, Sintesi di Analisi Matematica I. Università degli Studi di Roma La Sapienza
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Formulario completo Analisi Matematica I, Sintesi di Analisi Matematica I. Università degli Studi di Roma La Sapienza

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TRIGONOMETRIA & Co.

-

2 1

2 1

1 1cos

2

2

2 α

α

α α

tg

tg

tg +

− =

+ ±= ;

2 1

2 2

1 22 α

α

α

αα tg

tg

tg tgsen

+ =

+ ±=

- cos (-α) = αcos ; sen (-α) = αsen− ; sen (180°- α) = αsen - cos (180°- α) = αcos− ; ( ) αα sensen −=−°360 ; ( ) αα cos360cos =−° - sen (180°+α) = αsen− ; cos (180°+α) = αcos− ; cos (90°- α) = αsen ; - sen (90°- α)= αcos ( ) αα gtg cot90 −=+ ( ) αα cos270 −=−°sen ; - ( ) αα sen−=−°270cos ; ( ) αα gtg cot270 =−° ( ) αα cos270 −=+°sen ; - ( ) αα sen=+°270cos ; ( ) αα gtg cot270 −=+° ; - cos (α−β) = βαβα sensen+coscos ; cos (α+β) = βαβα sensen−coscos ; - sen (α−β) = βαβα sensen coscos − ; sen (α+β) = βαβα sensen coscos + ; - tg (α−β) =

βα βα

tantan1 tantan

+ − ; tg (α+β) =

βα βα

tgtg tgtg

− +

1 ; sec α =

αcos 1 ; cosec α =

αsin 1 ;

- cos 2α = 1cos221cos 2222 −=−=− αααα sensen ; sen 2α = ααsencos2 ;

- tan 2α = α

α 21

2 tg tg

− ; cos

2 α =

2 cos1 α+

± ; sen 2 α =

2 cos1 α−

± ;

- tan 2 α =

α α

cos1 cos1

− +

± = α

α sen

cos1− = α

α cos1+

sen ; ( ) ( )[ ]βαβαβα +−−= coscos 2 1sensen ;

- ( ) ( )[ ]βαβαβα −++= coscos 2 1coscos ; ( ) ( )[ ]βαβαβα −++= sensensensen

2 1 ;

- sen p + sen q = 2

cos 2

2 qpqpsen −+ ; sen p – sen q = 2

sin 2

cos2 qpqp −+ ;

- cos p + sen q = 2

cos 2

cos2 qpqp −+ ; cos p – sen q = 22

2 qpsenqpsen −+− ;

- ( ) 2

sinh xx eex

−− = ; ( )

2 cosh

xx eex −+

= ; ( ) xx xx

ee eex

+ −

=tanh .

LOGARITMI E FUNZIONI ESPONENZIALI

- babx xa =⇔= log ; ba ba =log ; caca =log ; 1log =aa ; nn aa

log1log −= ;

- bmb ama loglog = ; bnb a n

a log 1log = ;

a b

b c

c a log

log log = ;

a b

b a log

1log = ;

- bb acca loglog = ; bb a a

loglog 1 −= ; ( ) nmnm aaa loglog*log += ; nm aan m

a logloglog −=

- ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxf aa =⇒= loglog ; n mn m

aa = ; n n

n

b a

b a

= ; n

n

n

b a

b a

  

  = ; ( ) n

m mn aa = ;

- ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfa aa loglog1 <⇔<> ; ( )nnn abba =⋅ ; nnn abba =⋅ ; mnn m aa ⋅= ; - ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfa aa loglog10 >⇔<<< ;

- ( ) ( ) ( ) ( )xgxfaaa xgxf <⇔<> 1 ; ( ) ( ) ( ) ( )xgxfaaa xgxf >⇔<<< 10 . - ( ) 22333 33 abbababa ±+±=± ; ( )( )2233 babababa ±±±=± .

CONICHE Circonferenza: 022 =++++ cbyaxyx , dove 02xa −= , 02yb −= ,

22 0

2 0 ryxc −+= ;

Parabola: cbxax ++2 ,   

   ∆−−=

aa bVertice

4 ;

2 , 

 

   −∆−=

a b

a Fuoco

2 ;

4 1

, a

YDirettrice 4

1 ∆+ −= ;

Ellisse: 12 2

2

2

=+ b y

a x

; Iperbole (3 tipi): 12 2

2

2

=− b y

a x

, 222 ayx =− , 2

2axy = .

NUMERI COMPLESSI(del tipo ℜ∈+= baibaz ,, )

Opposto di ibaz −−= ; θρ cosRe == za ; θρ sinIm == zb ; Reciproco di 2|| z zz = ; 12 −=i ;

Coniugato di ibazz −== ; wzwz +=+ ; zz 11

=  

  

; Modulo di 22|| bazz +== ;

( )dbicazz +++=+ 21 ; ( ) ,arg||||cos|| zieziezisenzibaz ==+=+= σσσ πσ kz 2arg += ;

( ) ( ) ( ) ( )( )  

  +

=+++=++−= 21||*||cos||*||* 2121212121 σσ

σσσσ i

ezzisenzzbcadibdaczz ;

( ) ( )[ ]  

   −⋅

=−+−= 21 || ||cos

|| ||

2

1 2121

2

1

2

1 σσσσσσ i

e z zisen

z z

z z

; ( ) ( )[ ]σσ nisennzz nn += cos||

=+≤+ 2121 zzzz disuguaglianza triangolare; baza +≤≤ ; 1=z z

;

isenxxixe += cos ; isenxxixe −=− cos ; z aeex

ixix

= −

= −

2 cos ;

z b

i eesenx

ixix

= −

= −

2 ;

( ) ( ) ( )πθρρ ϑ kiei 2lnlog ++= ; zez logαα = ; RADICI N-ESSIME DI NUMERI COMPLESSI

Ζ∈ +

=⇒ +

=   

  

  

 

kn k

n i

enzzkiezz n ,

21

|| 2

||

πσ πσ

Trovo le soluzioni ponendo nkk == 0 ;

Più in generale so che  

 

+ =

=

n k

k

n k

πϑϑ

ρρ 2

1

con k = 0,1,…,n-1.

N.B. Se si ha a che fare con polinomi e non con equazioni o sostituisci ibaz += e speri che ti vada bene o poni

doveirez σ= || zr = tenendo conto che hai più speranze! ALGEBRA DEGLI O-PICCOLI

- (xβ) ο(xα) = o(xα+β) per x 0+ - o(xα) o(xβ) = o(xα+β) per x 0+- o(o(xα)) = o(xα) per x 0+- (x-xo)β o(x-xo)α = o(x-xo)α+β per x xo+- o(xα) + o(xβ) = o(xχ) per x 0+ dove χ=min{α,β}- o(x-xo)α + o(x-xo)β = o(x-xo)χ per x 0+ dove χ=min {α,β}- o(xα) + o(xβ) = o(xδ) per x ∞→ dove δ=max {α,β}- o(x-xo)α + o(x-xo)β = o(xδ) per x ∞→ dove δ=max {α,β}- o(cxα) = o(xα)

LIMITI NOTEVOLI E Co.

- 1sinlim = → x

x ox

; 2 1cos1

lim 20 =

− → x

x x

; 1tanlim 0

= +→ x

x x

; 1arcsinlim 0

= → x

x x

;

- 1arctanlim 0

= → x

x x

; a x

x e

x a

=  

   +

+∞→ 1lim ; a

x

x ex a 11lim =

 

   −

+∞→ ; a

x

x e

x a

=  

   +

−∞→ 1lim ;

- ( ) ex x x

=+ +→

1

0 1lim ;

( ) 11lnlim 0

= +

+→ x x

x ; 11lim

0 =

− → x

e x

x ; A

x Ax

x log1lim

0 =

− →

;

- ( ) α α

= −+

x x

x

11ln lim

0 ; 1lim =

∞→

x

x a

con

ℜ∈a ; 0coslimlim ==

∞→∞→ x x

x senx

xx ;

- ( ) 111lnlim 0

= −+

x x

x α

α

; ( )

ax xa

x ln 11loglim

0 =

+ →

; +∞= +∞→

x

x alim , a>1;

- + +∞→

= 0lim x x

a , 0<a<1; +∞= −∞→

x

x alim , 0<a<1; +

−∞→ = 0lim x

x a , a>1;

- +∞= +→

x a

x loglim

0 ,0<a<1; −∞=

+→

x a

x loglim

0 ,a>1; +∞=

+∞→

x a

x loglim ,a>1;

- −∞= +∞→

x a

x loglim ,0<a<1; 0

sin lim =

+∞→ x x

x ; 0

2 lim =

+∞→ xx

x ;

- 0 !

2 lim ==

+∞→ nA x n

x

a

x ℜ∈∀a ; 0logloglim ==

+∞→ x

x a

x a

x exα 0>α , ( ) }1{\,0 +∞∈a ;

- +∞==== +∞→

X

xx

x

x xx

x x e

2 !

ln 10

loglim 2

α 0>α ; 0loglim 2 0

= +→

x

x x ; a

n

x e

n a

=  

   +

∞→ 1lim ;

- 0cos1lim 0

= −

x x

x ; 1sinhlim =

x x

ox ; 1tanhlim

0 =

+→ x x

x ;

6 1sinlim 30 =

− → x

xx x

;

- 3 1arctanlim 30 =

− → x

xx x

; !2ln 2 nnn n <<<<<< ; abeab loglimlim ⋅= ;

- ( )( )xg xf

ox ±

lim , f(x) e g(x) polinomi, raccolgo la x con grado minore (infinitesimo);

- ( )( )xg xf

x ±∞→ lim , f(x) e g(x) polinomi, raccolgo la x con grado maggiore (infinito);

- Una qualsiasi funzione già infinitesimo di per se, per 0→x , si dice che è un infinitesimo di ordine n se esiste finito e diverso da zero il limite:

( ) nx x xf

0 lim

→ ;

- FORME INDETERMINATE: ∞−∞+ , ∞⋅0 , 0 0

, ∞ ∞

, ±∞1 , 00 , ( )0∞+ ; Attenzione:

00 = ∞

!

SERIE NUMERICHE

Sn := ∑ ∞

=0K ka

La serie si dice convergente con somma = l se il ℜ∈=

+∞→ lSn

n lim ,

divergente a ∞± se il ±∞= +∞→

n n

Slim ,

irregolare o indeterminata se n n

Slim +∞→

∃/ .

PROPRIETA’ DELLE SERIE

cscasa n

n n

n =⇒= ∑∑ +∞

=

+∞

= 11

; ( ) bababbaa n

nn n

n n

n +=+⇒=+= ∑∑∑ +∞

=

+∞

=

+∞

= 111

; ∑∑∑ =

+∞

=

+∞

+=

−= k

n n

n n

kn n aaa

111

.

SERIE GEOMETRICA DI RAGIONE X

Sn = x

kx k

kx

+− =∑

= 1

11 0

1 1|| 1

lim 1

1 lim

−≤ < ≥

∃/ −

∞+

⇒ +∞→

x x x

se se se

x

a

irregolare econvergent

divergente Sn

n

CONDIZIONE NECESSARIA MA NON SUFFICIENTE

Se ∑ ∞

=0k ka è convergente allora 0lim =+∞→ kk a ,ovvero se 0lim ≠+∞→ kk a allora ∑

=ok ka non converge.

Se 0lim = +∞→

k k

a allora non posso dire nulla!!!

SERIE A TERMINI POSITIVI

∑ ∞

=ok ka , ak ≥ 0 definitivamente per k +∞→ ovvero da un certo k0 in poi.

Il carattere di una serie non dipende dai primi No addendi (No fissato),la somma sì.

Sn+1 = ∑ +

=

1

0

n

k ka = Sn + an+1 ( )0≥ ≥ Sn k

Dunque le serie a termini positivi o convergono o divergono a ∞+ . SERIE DI ABEL

( )∑ ∞

= > ≤

⇒ 2 1

1 ln

1 n perconverge

perdiverge nn α

α α .

SERIE ARMONICA GENERALIZZATA

La serie∑ ∞

=1

1 k k

è divergente a ∞+ . Ricorda: ∑ = ek! 1

!

Quindi la serie 1 11

1 ≤ >

⇒∑ ∞

= α α

α per per

diverge converge

kk

SERIE ASSOLUTAMENTE CONVERGENTI

La serie ∑ ∞

=1k k a si dice assolutamente convergente se la serie ∑

=1k ka è convergente.

Una serie a termini positivi è convergente se e solo se è assolutamente convergente. Se una serie è assolutamente convergente, allora è convergente. Il viceversa non vale, anzi il criterio è molto brutale ma è l’unico che incontriamo per serie a segno casuale. SERIE A SEGNO ALTERNO

La serie ∑ ∞

=1k kb si dice a segno alterno se ( ) nn bb n1−= n

CRITERI PER IL DETERMINAMENTO DEL CARATTERE DI UNA SERIECRITERIO DEL CONFRONTO

Se ∑ ∞

=0k ka , ∑

=0k kb serie a termini positivi e se kk ba ≤≤0 definitivamente per +∞→k

allora:

- Se ∑ ∞

=0k kb (maggiorante), converge allora anche ∑

=0k ka (minorante), converge;

- Se ∑ ∞

=0k ka diverge a ∞+ allora anche ∑

=0k kb diverge a ∞+ .

Se ho la serie di un integrale, trovati il minorante e il maggiorante faccio l’integrale a entrambi rispetto all’intervallo dell’integrale centrale, e studio la serie rispetto a uno dei due (tanto differiscono per dei coefficienti!).

CRITERIO DELLA RADICE

∑ ∞

=0k ka , con ak ≥ 0 se La

n n

n =∃

+∞→ lim allora divergente

econvergent serie serie

L L

1 1

> <

(si usa molto con serie di potenze)

CRITERIO DEL RAPPORTO

∑ ∞

=0k ka , con ak>0 se La

a

n

n

n =∃ +

+∞→

1lim allora divergente econvergent

serie serie

L L

1 1

> <

N.B. Negli ultimi due criteri il caso L=1 non dice nulla! CRITERIO DI LEIBNITZ (solo per serie a segno alterno!)

Data la serie S = ( ) ann n ∑ −

=1 1 , con 0≥an . Se:

- 0lim = +∞→

n n

a (condizione necessaria)

- an decrescente definitivamente per +∞→n allora S è convergente. Stima dell’errore: 1+≤− nn alS . DISCONTINUITA’:

- Discontinuità eliminabile se ( ) ( ) ( )0limlim 00

xfxfxf xxxx

≠= +− →→

;

- Discontinuità di I specie (o di salto) se ( ) ( )xfxf xxxx

limlim 00

−+ →→ ≠∃ entrambi finiti;

- Discontinuità di II specie: tutti gli altri casi. DOMINI DI DEFINIZIONE

- ( ) ℜ⇒∈ Nkxk ; ( ) 0≥⇒ℜ∈ xx αα ; 0ln >⇒ xx ; ℜ⇒xe ; ( ) ℜ⇒∈+ Nnmx n m

,12 ; ℜ⇒xxx tan,cos,sin ; [ ]1,1arccos,arcsin −⇒xx ; ℜ⇒arctgx .

DERIVATE E Co. - 1−=′⇒= nn nxyxy ; aayay xx log=′⇒= ; xx eyey =′⇒= ; - ( )[ ] =′⇒= yxfy n ( )[ ] ( )xfxfn n ′−1 ;

ax yxy a log

1log =′⇒= xysenxy cos′⇒= ;

- senxyxy −=′⇒= cos ; ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xgxfxgxfyxgxfy ′+′=′⇒= * ; - ( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]2xg

xgxfxgxfy xg xfy

′−′ =′⇒= ; xtg

x ytgxy 22 1cos

1 +==′⇒= ;

- ( )xg xsen

ygxy 22 cot1 1cot +−=−=′⇒= ; ( )( ) ( )( ) ( )xxfyxfy ϕϕϕ ′′=′⇒= * ;

- ( ) ( )( )xf xfyxfy

′ =′⇒= ||log ;

n n n

xn yxy

1

1 −

=′⇒= ;

- ( )[ ] ( ) =′⇒= yxfy xg ( )[ ] ( ) ( ){ ( ) ( ) ( )( )  

   ′

+′ xf xfxgxfxgxf xg log ;

21 1

x yarcsenxy

− =′⇒= ;

- 21

1arccos x

yxy

−=′⇒= ; 21 1 x

yarctgxy +

=′⇒= ; 21 1'cot x

ygxarcy +

−=⇒= ;

- xyxy coshsinh =′⇒= ; senhxyxy =′⇒= cosh ; xyxy sgn|| =′⇒= ; -

( )2cosh 1

x ytghxy −=′⇒= ;

( )2 1cot

senhx yghxy −=′⇒= ; tghxyxy =′⇒= coshlog ;

- gxyxy cot|sin|log −=′⇒= ; tgxyxy =′⇒= |cos|log ; ghxysenhxy cot||log =′⇒= ;

- ( ) ( )xfyF ′= ′ 1 dove ( )yFx = = inversa di ( )( )xfy = e ( ) 0≠′ xf .

CASI DI NON DERIVABILITA’ - f discontinua in x0; f ha retta a tangente verticale in x0; - f ha un punto angoloso in x0 ovvero se ( ) ( )

0

0lim 0 xx

xfxf xx

− ∃

+→ ,

( ) ( ) 0

0lim 0 xx

xfxf xx

− −→

(*) e almeno uno dei

due è finito; - f ha una cuspide in x0 se i limiti (*) esistono e valgono ∞+ uno e ∞− l’altro;

ASINTOTI- Orizzontale: ( ) 0lim yxfx =+∞→ , 0yy = asintoto orizzontale; - Verticale: Se ( ) ±∞==∃

−+ →→ limlim

0 oxxxx xf dove x0 punto ”limite” del dominio di definizione, 0xx = asintoto

verticale;

- Obliquo ( ∃/ se ∃ quello orizzontale): se ( ) m x xf

x =

±∞→ lim e ( ) qmxxf

x =−

±∞→ lim , qmxy += asintoto

obliquo. FUNZIONI PARI, DISPARI E SIMMETRICHE

- Pari: ( ) ( )xfxf −= ; Dispari: ( ) ( )xfxf −=− ; Simmetrica: ( ) 00 ==xf . DETERMINAZIONE DI MASSIMI & MINIMI

- Punti critici interni: ( )( )00 =∇ xf cioè 0,0 == yx ff e ne studi la natura con la Matrice Hessiana ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )

  

 ==

00

00 00

2

xfxf xfxf

xHfxfD yyyx

xyxx , con ( ) ( )00 xfxf yxxy = : cioè trovate tutte le derivate vi

sostituisco le coordinate del punto, trovando: ( )0det xHf ( )0xf xx & ( )0xf yy Hessiano Punto critico

> 0 ( ) 00 >xf xx Definito positivo Minimo >0 ( ) 00 <xf xx Definito negativo Massimo < 0 Non importa Indefinito Sella = 0 ( ) ( ) 000 =+ xfxf yyxx Semidefinito (positivo o negativo) ? = 0 ( ) ( ) 000 >+ xfxf yyxx Semidefinito positivo Non è punto di massimo = 0 ( ) ( ) 000 <+ xfxf yyxx Semidefinito negativo Non è punto di minimo

Per gli ultimi tre casi cosa posso fare? 1) Posso tentare di dimostrare che è un punto di sella, basti trovare due rette o due curve per cui la funzione, abbia

un punto di massimo con la prima e un punto di minimo con la seconda o viceversa; 2) Potrei vedere che valore assume la funzione nel punto e studiare il segno della funzione meno il valore

ottenuto; Attenzione se il valore assunto dalla funzione è zero studio il punto nei tre casi possibili =0, >0, <0; Se la funzione ha funzioni per cui si può fare uno sviluppo di Taylor, lo si fa e si studia il segno dello sviluppo.

3) Si potrebbe raccogliere a fattor comune qualcosa di positivo per studiare il segno della funzione rimanente ponendola uguale a zero; Potrebbe risultare una conica: studiarla sugli estremi, dentro e fuori di essa.

- Punti sulla frontiera: li studio ponendo ( ) ( ) ( )σσσ sin,cos, fgyxf == come meglio credo, a seconda della funzione data;

Infine confronto i valori di tutti i candidati ottenuti; Si possono ottenere vari casi: - Se ho ( )0021 , yxPP == entrambi candidati a essere punti di minimo o di massimo, diventeranno a loro

volta punti di minimo o di massimo; - Se ho ( )0021 , yxPP == , uno candidato a diventare punto di minimo e l'altro candidato a diventare punto di

massimo (o viceversa) li scarto;

- Se ho ( )001 , yxP = , e ( )112 , yxP = entrambi candidati a diventare punto di minimo o massimo, li sostituisco nella funzione: se avrò due valori identici, entrambi diventeranno punti di minimo o massimo (assoluti e non); se avrò due valori distinti per il minimo prendo il valore minore, per il massimo il maggiore.

ESTREMI VINCOLATI

Se ho un vincolo limitativo del tipo ( ) bxg ><= applico il metodo dei Moltiplicatori di Lagrange:  

 

= ⋅= ⋅=

bg gf gf

yy

xx

λ λ

POLINOMI DI TAYLOR

- Ordine: ( ) αα =⇒ ordinexo ; - Grado: l’elevazione finale della variabile “libera”. - TEOREMA DI PEANO (o resto): ( ) ( ) ( )non xxoxTxf −+= .

INTEGRALI INDEFINITI

- ∫ ++= +

Cxdxx 1

1

α

α α }1{\ℜ∈∀α ; ∫ += Cxdxx ||log

1 ; ( )[ ] ( ) ( )[ ] Cxfdxxfxf +

+ =′

+

∫ 1 1

α

α α ;

- ( )( ) ( ) Cxfdxxf xf

+= ′

∫ ||log ; Csenxxdx +=∫ cos ; ∫ +−= Cxsenxdx cos ;

- ∫ += Ctgxdxx2cos 1

; ∫ +−= Cgxdxxsen cot 1

2 ; ( ) ( ) ( ) Cxsenfdxxfxf +=′∫ *cos ;

- ( ) ( ) ( ) Cxfdxxfxsenf +−=′∫ cos* ; ( )

( ) ( ) Cxtgfdxxf xf

+= ′

∫ 2cos ;

- ( ) ( ) Cxgfdx xsen

xf +−=

′ ∫ cot2 ; ( ) ( ) Cxsendxx ++=+∫ ϕωωϕω

1cos ;

- ( ) ( ) Cxdxxsen ++−=+∫ ϕωωϕω cos 1

; ( ) CxCarcsenxdx x

++−=+= −

∫ 2arccos1 1

2

π ;

- ( ) ( )[ ]

( ) Cxarcsenfdx xf

xf +=

′ ∫ 2

1 ; ∫ +=+ Carctgxdxx 21

1 ;

- ( ) ( )[ ]

( ) Cxarctgfdx xf

xf +=

+

′ ∫ 21 ; ∫ +=+ Cm

xarctg m

dx mx

11 22 ;

- ( ) ( )[ ]

( ) ∫ +=+

C

m xfarctg

m dx

mxf xf 1

22 ;

( )∫ + +

= ++

C m

kxarctg m

dx mkx

11 22

;

- ∫ += Cedxe xx ; ∫ += Ca adxa

x x

log ; ( ) ( ) ( ) Cedxxfe xfxf +=′∫ ; ( ) ( )

( ) C

a adxxfa

xf xf +=′∫ log ;

- Cxtgxdx +=∫ |cos|log ; Cxgxdx +−=∫ |sin|logcot ; Cxxdx +=∫ coshsinh ; - Cxxdx +=∫ sinhcosh ; Cxtghxdx +=∫ coshlog ; Cxghxdx +=∫ |sinh|logcot ; -

( ) Ctghxdx

x +=∫ 2cosh

1 ;

( ) Cghxdx

x +−=∫ cotsinh

1 2 ; Ca

xarcsen xa

dx +=

− ∫ 22 ;

- Cxax a xarcsenaxa +−+=−∫ 22

2 22

22 ; ∫ +−= Cxxxdx )1(loglog ;

- ( ) Cxh x dx

+= +

∫ arcsin12 ; ( )∫ +=− Cxarctghx

dx 21

; ( ) Cxh x dx

+= −

∫ arccos12 ;

- ∫ ++ cbxax 2 : Caso a>0, lo risolvo ponendo xatcbxax ⋅−=++2 (*); Caso a<0, lo risolvo ponendo ( )α−=++ xtcbxax 2 (*), dove α una delle due soluzioni dell’equazione di secondo grado. In entrambi i casi mi ricavo la x e la sostituisco nell’equazione (∗); Ν.Β. Tutto ciò sta con altra roba nell’integrale!!!

- Per funzioni trigonometriche a esponente pari si possono usare le seguenti relazioni: ( ) ( )xx 2cos1

2 1cos 2 += , ( ) ( )xx 2cos1

2 1sin 2 −= , xxx 2sincossin2 = , altrimenti posto

( ) ( )( ) 21 1cossin1cos −

− −+=⇒=∫ mmmm m

I m

mxx m

IIdxx e posto

( ) ( )( ) 21 1cos1sin −

− −+−=⇒=∫ mmmm m

I m

msenxx m

IIdxx ;

- Per funzioni razionali di seno e coseno utilizzo le seguenti sostituzioni:

2 xtgt = , 2

2

1 1cos

t tx

+ −

= , 21 2sin

t tx

+ = , 21

2tan t tx

− = , dt

t dx 21

2 +

= ;

N.B. Con i rispettivi quadrati uso la sostituzione:

xt tan= , ( ) 2 2

1 1cos t

x +

= , ( ) 2 2

2

1 sin

t tx +

= , 21 cossin

t txx

+ = , dx

t dx 21

1 +

= .

INTEGRALI RAZIONALI FRATTI (del tipo ( ) ( )dxxD xNdyy ∫∫ = di grado n

m )

Se ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )∫∫∫∫ +=

+ =⇒≥

xD xRxQ

xD xRxDxQynm dove Q(x) è il quoziente e R(x) è il resto. Si può

calcolare ( ) ( )∫ xD xR

fattorizzando ovvero: ( ) ( ) cxxx

ZWxBxAx xD xR

nn

nn

++++ ++++

= − −−

∫ 

1

21

;

Solo se ho di secondo grado il denominatore ovvero nelle forme I) ∫ ++ dxcbxax q

2 o II) ∫ ++ + dx

cbxax qpx

2 :

- Caso 0>∆ I) e II) scomponibili in

( ) ( )( )2121 xxxx

qpx xx

B xx

A −−

+ =

− +

− : fare il m.c.m. a sinistra ed

eguagliare poi i termini con la x e i termini noti, sostituendoli infine nell’integrale;

- Caso 0=∆ I) la soluzione dell’integrale è ( ) Cxxa q

+ −

− 1

; II) vedi caso 0>∆ scomponendo però in

( ) ( ) ( )21211 xxa qpx

xxa CBx

xxa A

− +

= − +

+ − ;

- Caso 0<∆ I) diventa ( ) dx

mkx∫ ++ 22 1

e lo risolvi come sopra ;

II) diventa ∫    

   

++

− +

++ +

cbxax

b p aq

cbxax bax

a p

22

2 2

2 = ( )

( )  

 

++ +++ ∫ dxmkxcbxaxa

p 22

2 1log 2

.

Se ho ( )

( )nx xN α−

si deve scomporre in ( ) ( ) ( )n n

x A

x A

x A

ααα − ++

− +

− 2

21 e lo risolvi come Caso 0>∆ !

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE ( ) ( )[ ] ( )dttgtgfdxxf ′=∫ ∫ posto ( ) ( )dttgdxtgx ′=⇒=

Negli integrali definiti una volta applicata la sostituzione e calcolato l’integrale, o riporti tutto nella vecchia variabile e calcoli l’integrale negli estremi, o cerchi di definire gli estremi d’integrazione in funzione della nuova variabile.

INTEGRAZIONE PER PARTI( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )dxxfxgxgxfdxxgxf ′−=′ ∫∫ cioè ∫ ∫−= aBABAb , con A,B primitive e a,b derivate;

INTEGRALI DEFINITI - ( ) ( )∫ ∫−=

a

b

b

a dxxfdxxf ; ( ) ( ) ( )dxxfdxxfdxxf b

c

c

a

b

a ∫∫∫ += ; Queste ci servono per calcolare la derivata di un’integrale ricordando che ci va moltiplicata la rispettiva derivata degli estremi superiori;

- ( ) ( ) dxxfdxxf b a

b

a |||| ∫∫ ≤ ; Se f dispari ( ) 0⇒=∫−

a

a dxxf ; Se f pari ( ) ( )∫∫ ⇒=−

aa

a dxxfdxxf

0 2 ;

- ( ) ( )∫∫∫ − −

−+−=− a

a

a

b

a

b dxxdxxdxx

β

β ααα ; Volume dei solidi di rotazione ( )[ ]∫=

b

a dxxf 2π ;

INTEGRALI DOPPI Dominio Semplice rispetto a x, ovvero D = ( ) [ ] ( ) ( )};,:,{ 2 xyxbaxyx βα ≤≤∈ℜ∈ ;

Area di ( ) ( )[ ] ( )

( )

dxdyDdxxxD b

a

x

x

b

a ∫ ∫∫   

  

 =⇒−=

β

α

αβ 1||

( ) ( ) ( )

( )

dxdyyxfdxdyyxfovvero b

a

x

xD ∫ ∫∫∫

  

  

 =

β

α

,, dove

tutto dipende solo dalla x!

Dominio Semplice rispetto a y, ovvero D = ( ) [ ] ( ) ( )};,:,{ 2 yxydcyyx δχ ≤≤∈ℜ∈ ;

( ) ( ) ( )

( )

dydxyxfdxdyyxfovvero d

c

y

yD ∫ ∫∫∫

  

  

 =

δ

χ

,, dove tutto dipende solo dall’y!

INTEGRAZIONE PER SOSTITUZIONE IN R

Ci serve un’applicazione Ψ che ci faccia trasformare il dominio D(x,y) in Ω(u,v):

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) 0,det,, ,

,,

,,

, 21 22

11

≠ ∂

ΨΨ∂ =

∂ Ψ∂

∂ Ψ∂

∂ Ψ∂

∂ Ψ∂

= ΨΨ vuJvu v

vu u

vu v

vu u

vu

vuJ ( ) ( ) |,| 1|,|

yxJ vuJ

Ψ Ψ =

;

( ) ( ) ( )( ) ( )

( )dudvvuJvuvufdxdyyxf DD

,det,,,, 1

21 Ψ Ψ=Ω ∫∫∫∫

⋅ΨΨ= .

La sostituzione più usata è quella delle coordinate polari che si ottiene ponendo x =ρcosσ, y =ρsenσ (facendo

attenzione se preferire D o la f (x,y)!), sostituendo di conseguenza le informazioni sul dominio D nelle nuove coordinate

(dominio Ω) e integrando la funzione nelle nuove incognite θ [0,2π] e ρ [0,r]. EQUAZIONI DIFFERENZIALI I ORDINE, LINEARE, OMOGENEA, A COEFFICIENTI COSTANTI ovvero

( ) ( ) 0=+′ xByxyA o in forma generale ( ) ( )xayxy =′⇒ INTEGRALE GENERALE: ( ) ℜ∈= kkexy ax , dove dxaax ∫=

PROBLEMA DI CAUCHY: ( ) ( ) ( ) ( ) doveee

y xy

yxy xayxy ax

ax0 0

00

=⇒   

= =′

∫= adxax

Cauchy: ( ) ( ) ( )doveee y

xy xAxA 0 0= ( ) ( )dxxaxA ∫= ; P.S. ( ) ⇒= 0xy soluzione banale,ma va scritta!

I ORDINE, LINEARE, OMOGENEA

Forma Generale:   

  =′

x yfy ; Divido tutto per la x (per portarmela nella forma generale) e le risolvo ponendo:

xtyt x y

=⇒= e quindi ttxy +′=′ . L’equazione diventa quindi ( )tftxt =′+ ossia ( ) x

ttft −=′ risolvibile

tranquillamente a variabili separabili. I ORDINE, LINEARE

( ) ( ) ( ) ( )xbxyxaxy +=′ INTEGRALE GENERALE: ( ) ( ) ( )xyxyxy p 0+= ( ) ( ) ⇒= Axp exkxy ( ) ( )dxexbk xA−∫= ,dove ( ) ( )∫= xaxA

EQUAZIONI A VARIABILI SEPARABILI Forma Generale: ( ) ( ) ( )yhxgxy =′ ; Gli zeri di ( )yh sono soluzioni costanti; Le risolvo nella forma:

( ) ( ) ( )dxxgdxyh

xy ∫∫ =

′ , applicando la sostituzione ( )( )dxxydy ′= ( )dxxg

hy dy

∫∫ =⇒ . N.B. ( ) 0=xy è soluzione! EQUAZIONI DI BERNOULLI Forma Generale: ( ) ( ) ( ) ( ) αyxbxyxaxy =+′ con 1,0 ≠≠ αα Le risolvo nella forma:

( ) ( )xb y

xa y y

=+ ′

−1αα , ponendo poi α−= 1yt , quindi ( ) yyt ′⋅−=′ −αα1 e riportando tutto

nelle nuove variabili: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )xbtxatxbtxa t αα

α −=−+′⇒=+

− ′

11 1

. Adesso è lineare!

II ORDINE, OMOGENEA, LINEARE, A COEFFICIENTI COSTANTI Forma Generale cyyby +′=′′ ℜ∈cb, .

Polinomio caratteristico 02 =−−⇒ cbλλ ha due soluzioni reali 21 ,λλ distinte tali che

yyy dx d

dx d

221 0 λλλ =′⇔=  

   −

 

   − yy 1λ=′ . Distinguiamo i tre casi:

1. 0>∆ ( ) ( ) xekxyxekxy 222111 , λλ == , ( ) ( ) ( )xyxyxy 21 += ;

2. 0=∆ ( ) ( ) xxekxyxekxy λλ 2211 , == ; 3. 0<∆ ( ) ( ) ( ) ( )xxekxyxxekxy βαβα sin,cos 2211 == ,dove βαλ i±= .

CASO NON OMOGENEO Forma Generale: ( )xfcyyby =−′−′′ ; Integrale Generale: ( ) ( ) ( ) pyxykxykxy ++= 2211 ,

( ) ( ) ( ) ( )xyxkxyxky p 2211 += ( )  

=′′+′′ =′+′

xfykyk

ykyk

2211

2211 0 .

Chauchy ( )

( ) ( )  

=′′=

′=′′

1000 , ,,

yxyyxy yyxfy

, DCxBxAxy p +++= 23 .

METODO DI “SOMIGLIANZA” Se hai ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) BAxxyxyxyxyxfcyyby pp +=⇒+=⇒=−′−′′ 0 sapendo che

( ) ⇒=−′−′′ xfcyyby ppp eguaglio i termini in x e i termini noti. ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( ) δγλγγδγγγ ipoichèxsenCxCxexyxsenDxDeayy px ±=+=⇒≠+=−′ 2121 cos0,cos ;

Se però δγλ i±≠ e ( ) xCxexy p γδ =⇒= 0 o ( ) xeCxxy p γ2= (molteplicità 1 e 2).

EQUAZIONI CLAIRAUT Forma Generale: ( )yfyxy ′+′=′ cerco soluzioni del tipo ( )cfcxy += le trovo mettendo a sistema:

( ) ( )

 

′′+=

′+′=′

yfx yfyxy

0 dove la seconda equazione è la derivata della funzione (1 equazione) rispetto a y′ .

EQUAZIONI AUTONOME Ce ne sono di diversi tipi, ma in generale le risolvo ponendo ( ) zxy =′ o ponendo ( ) yzxy ⋅=′ .

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