i limiti dell'infinito riassunto e appunti, Appunti di Filosofia. Università degli Studi di Bergamo
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i limiti dell'infinito riassunto e appunti, Appunti di Filosofia. Università degli Studi di Bergamo

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I LIMITI DELL’INFINITO

Con analisi del rapporto che c’è tra continuo e discreto (non continuo), emerge il problema del continuo in storia del pensiero occidentale.

Il rapporto tra continuo e discreto è alla base di ogni esperienza umana della realtà:

• A causa di particolare conformazione chimica di ambiente in cui ci siamo evoluti, viviamo in un mondo fatto di oggetti discreti, separati gli uni dagli altri;

• Attraverso coscienza di fluire tempo, percepiamo movimento continuo non scomponibile in istanti.

Origine pensiero scientifico:

• Teoria dei numeri analisi sempre + profonda di coppia discreto-continuo.

• Geometria

Per molto tempo aritmetica e geometria sono state ritenute profondamente legate, complementari. Questa visione rimane come sfondo epistemologico fino a nascita della

F 0 E 0filosofia greca. Se ne ritrova traccia nella dottrina di Pitagora principi della matematica

sono i principi di tutte le cose”.

Con nascita di filosofia greca e con la ricerca di filosofi presocratici intorno ai principi di tutte le cose, la visione del numero (discreto) e della geometria (continuo), divenne oggetto di analisi razionale.

Il culmine di questo processo culturale si ha con la concezione pitagorica del numero F 0 E 0come misura di tutte le cose “tutte le cose che si possono conoscere hanno un numero,

non è possibile conoscere alcuna cosa senza il numero”. Tutto è numero. La realtà è F 0 E 0descritta tramite il numero. Atteggiamento riduzionista ridurre ogni fenomeno naturale al

concetto di numero.

Il continuo dello spazio poteva essere compreso attraverso il discreto del numero.

F 0 E 0Pitagora( VI secolo a.C) principio esplicativo universale: l’ordine e l’armonia del cosmo

possono venire intese tramite numeri naturali o tramite il rapporto tra numeri naturali. I moltissimi fenomeni dell’universo potevano essere riportati ad un’intuizione finita del numero.

F 0 E 0Pitagora e seguaci creano sistema di simboli che permette di riunire con semplici disegni

di gruppi FINITI di punti, i concetti di numero e figura geometrica.

Inventò così i numeri triangolari che sono dati dalla somma1+2+3+4+5+n dei primi numeri naturali.

Nello stex modo venivano rappresentati i numeri quadrati , impiegati per illustrare nozione di gnomone: figura che si aggiunge ad un numero quadrato o rettangolare per ottenere numero quadrato o rettangolare successivo.

Pitagorici cercarono di estendere il metodo dello gnomone ad ogni aspetto dell’indagine razionale di realtà. Volevano ricondurre ogni aspetto della realtà al concetto di numero finito o all’intuizione del discreto.

F 0 E 0Prima metà V secolo a.C programma di ricerca di Pitagorici fu vero e proprio progetto

riduzionista: voleva ricondurre allo gnomone e ai rapporti tra numeri naturali, l’intuizione geometrica dello spazio continuo.

Questo programma fallì dopo pochi decenni x due rivoluzionarie scoperte:

1) Esistenza di GRANDEZZE INCOMMENSURABILI;

2) PARADOSSI DI ZENONE SUL CONTINUO.

Se prima l’infinito era visto come addizione indefinita, cioè l’infinito era trattabile attraverso successione di simboli finito (punti o simboli alfabetici), attraverso aggiunzione di quantità finite a quantità finite, ora vi era intuizione di infinito come divisione che non ha termine e quindi come divisibilità all’infinito.

Quindi se prima si pensava che l’infinito fosse un processo terminabile, con scoperte di Zenone e delle grandezze incommensurabili, viene dimostrata la non terminabilità di questo processo.

Vengono quindi demolite le fondamenta del programma riduzionista di Pitagora.

1)ESISTENZA GRANDEZZE INCOMMENSURABILI F 0E 0 dimostrazione di esistenza di grandezze irrazionali è uno dei > risultati ottenuti da scienza greca. Questa scoperta gettò scompiglio nella scuola di Pitagora.

Calcolando il rapporto tra diagonale e lato del quadrato ottennero come risultato √2 . la radice di due corrisponde però ad un numero irrazionale e quindi non più finito. La conseguenza di ciò è che non tutti i numeri discreti rappresentano il continuo.

2)PARADOSSI DI ZENONE F 0E 0 Zenone è nato nel 490 a.C e fu discepolo di Parmenide. Secondo quest’ultimo, l’essere è e non può non essere, il non essere non è e non può essere. Quindi all’essere appartengono le caratteristiche di unità, unicità e eternità. Le

F 0 E 0ricerche si Zenone vertono a sostenere la tesi di Parmenide mostrano come la

negazione dell’immutabilità e dell’unità dell’essere e quindi l’assunzione dell’esistenza del movimento e della molteplicità, portano a contraddizione.

I paradossi di Zenone sono 4 argomenti che vogliono dimostrare la non esistenza del movimento (l’immutabilità dell’essere), attraverso riduzione all’assurdo.

• Argomento del corridore F 0E 0 un corridore che vuole attraversare uno stadio per esempio di lunghezza 1, dovrà prima giungere alla metà di esso (1/2), prima ancora alla metà della metà (1/4) e così via. Per giungere alla metà dello stadio dovrà quindi percorrere uno spazio pari alla somma 1/2+ 1/4+ 1/8+ 1/16…

Zenone supponeva essere una quantità infinita però è un opinione erronea perché converge.

Se invece di dividere gli spazi della metà, si considera che per giungere al traguardo il corridore deve percorrere anche i punti 1/2, 1/3, 1/4, 1/5 ecc…, l’argomento di Zenone è valido e il corridore non può giungere al traguardo perché per farlo dovrà attraversare uno spazio infinito in un tempo finito.

• Achille e la tartaruga F 0E 0 questo argomento vuole dimostrare la contraddittorietà dell’esistenza del movimento basandosi su conclusione che Achille non potrà mai raggiungere tartaruga se le lascia un anticipo.

La tartaruga parte dalla metà del tragitto, nel punto 1/2 mentre Achille parte dall’inizio, nel punto 1. Nel momento in cui Achille avrà raggiunto il punto 1/2, la tartaruga avrà percorso un altro intervallo, e così via. Achille non raggiungerà mai la tartaruga.

• Argomento della freccia F 0E 0 la freccia scoccata dall’arciere dovrà percorrere, prima di giungere al bersaglio, un numero infinito di intervalli non nulli e quindi una distanza infinita. La freccia se spostata sta ferma. Questo vale solo se si considera il tempo composto da istanti.

• Stadio F 0E 0 è uguale al terzo solo che riguarda masse uguali che si muovono nello stadio in senso contrario a quello di altre masse uguali, le une alla fine dello stadio, le altre nel mezzo, con velocità uguale. Zenone è convinto che la metà del tempo si uguale al doppio.

Tesi Zenone F 0E 0 se si accetta la divisibilità del continuo, allora ogni grandezza finita diventa infinita.

Democrito F 0E 0 (460-370 a.C). padre di dottrina atomistica.

Realtà composta da atomi che vagano in spazio vuoto infinito.

• Costituiscono il limite ultimo del processo di divisibilità dello spazio continuo (non sono divisibili);

• Caratteri: eternità ed immutabilità (= all’essere di Parmenide) però permettono anche di rendere conto di esistenza molteplicità).

• Sono indivisibili fisici ma non sono dei minima concettuali perché pur essendo piccolissimi hanno forma e grandezza.

Democrito rifiuta esistenza di continuo come spazio divisibile all’infinito a favore di uno spazio discreto-granulare. Nonostante le differenze di forma e grandezza, i suoi atomi sono equivalenti ai punti della geometria.

Platone F 0E 0 (428-347 a.C). fondatore di atomismo geometrico.

Sostituisce a numeri degli enti geometrici particolari che assume come elementi di base attraverso cui la realtà è composta.

F 0 E 0Differenza Democrito Platone concezione di spazio geometrico di Democrito era ancora

troppo vincolata alla fisica ed era carente di definizione matematica; concezione platonica di realtà come costituita da elementi geometrici di base è più approssimabile alla teoria degli infinitesimi.

F 0 E 0Punto che accomuna Democrito e Platone rifiuto della divisibilità all’infinito dello spazio

continuo. Visione granulare (discreta) della realtà.

Aristotele F 0E 0 (348-321 a.C). fa una prima analisi esaustiva del concetto di infinito. Ritiene che il concetto di infinito non entra in gioco solo nella costruzione di teorie fisiche ma è in generale intrinseco ad ogni teorizzazione razionale che riguarda il continuo.

Per Aristotele è assurdo porre dei limiti alla divisibilità del continuo.

Critica all’atomismo: è impossibile che qualcosa di continuo risulti composto da indivisibili. Dal momento che un punto è un qualcosa che non ha parti, 2 punti a contatto sono identici ad un unico punto. Quindi non appena messi a contatto 2 punti coincidono e divengono

indistinguibili. Linea retta non può essere considerata come composta da punti per questo motivo.

“Il tempo non è composto da istanti così come lo spazio fisico (geometrico) non è composto da atomi (punti).

Questo argomento confuta definitivamente le basi di argomentazioni di Zenone.

Analisi di infinito di Aristotele asserisce:

• Esistenza continuo;

• Infinita divisibilità del continuo;

• Distinzione tra atto (ciò che è) e potenza (ciò che può essere) + asserzione che infinito esiste solo in potenza.

F 0 E 0L’infinito non è in potenza nel senso che può diventare realtà (come uovo gallina), ma è

in potenza solo in ordine alla conoscenza giacchè il fatto che il processo di divisione non abbia mai un termine, fa si che questa attività esista come potenza ma non come realtà separata.

Si può quindi parlare di divisibilità all’infinito delle spazio continuo (e tempo) solo come possibilità di ripetizione di un processo che potenzialmente (ma mai in atto), si può portare avanti all’infinito.

In Aristotele la definizione di punto geometrico significa il limite ultimo, mai attuabile, del processo di divisione all’infinito, un ente che non ha grandezza

Aristotele parla di infinito potenziale non solo nel caso di divisione continuo ma anche in quello di successione di numeri naturali. Neppure in questo caso si potrà mai parlare di infinito in atto.

F 0 E 0QUINDI posizione che Aristotele assume in risposta a Zenone e a scoperta grandezze

incommensurabili, consiste nel negare esistenza di infinitamente piccolo/grande (in campo fisico e geometrico).

Non si può parlare di esistenza totalità infinita di numeri interi ma solo di esistenza di un processo di addizione che permette, dato un qualsiasi numero finito, di ottenere un numero finito + grande.

Non avrò mai l’infinita serie di numeri davanti agli occhi. In potenza sì perché posso aggiungere in un qualsiasi momento un numero in + (ex: 1.000000000 + 1 = 1.000000001).

La crisi generata dalla dimostrazione dell’irrazionalità delle grandezze di uso comune nelle costruzioni geometriche, come le diagonali del quadrato, viene superata negli Elementi di Euclide (fine VI secolo a.C) attraverso la creazione di due nuove teorie matematiche:

• Astrazione delle costruzioni con riga e compasso F 0E 0 ottenuta attraverso assiomatizzazione geometrica;

• Teoria generale delle proporzioni F 0E 0 (Eudosso di Cnido) assiomi che regolano le proprietà di addizione, moltiplicazione e divisione tra grandezze.

Teoria delle grandezze di Eudosso F 0E 0 è primo tentativo di dare trattazione unitaria del concetto di numero che permetta di eseguire in maniera uniforme, attraverso dimostrazioni di lunghezza finita, non solo operazioni sui numeri naturali e razionali ma anche operazioni su grandezze irrazionali.

Primi passi verso assiomatizzazione di concetto di infinito che permettesse di effettuare operazioni sul continuo attraverso un numero finito di regole.

F 0 E 0Sua considerazione dato che non potrò mai avere descrizione completa di numeri come

√2 che hanno sviluppo decimale infinito, devo trovare metodo che permetta di confrontare √2 con altre grandezze.

Data una qualsiasi grandezza A, si può stabilire con certezza quale relazione intercorre tra A e √2: uguaglianza, minoranza o maggioranza.

Se A è una grandezza irrazionale, non si può stabilire quale delle 3 relazioni sussiste attraverso confronto diretto delle cifre decimali perché, essendo queste cifre di un numero infinito, il confronto non potrebbe mai essere portato a termine.

L’indagine matematica greca sul continuo giunge al suo culmine con l’opera di Archimede di Siracusa F 0E 0 (287-212 a.C) elabora metodo per calcolare l’area di figure delimitate da curve.

Inventa metodo di esaustione F 0E 0 consente di stimare l’area del cerchio attraverso il confronto delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti al cerchio stesso, basandosi su principio che, aumentando il numero di lati dei poligoni, la differenza tra l’area del cerchio e la media delle aree dei poligoni inscritti e circoscritti, diviene sempre + piccola.

Un’applicazione del metodo di esaustione si trova nel trattato “la quadratura della parabola.

Problema: determinare area del segmento parabolico AHBCG.

• Se traccio un triangolo all’interno della parabola, so che la somma dei lati di questo triangolo è più piccolo della curva.

• Se costruisco altri 2 triangoli, ottengo un numero che è più vicino all’area della curva.

F 0 E 0QUINDI riduco il calcolo della figura più complessa (curva), con il calcolo di figure più semplici (triangoli).

Applicando questo procedimento e calcolando un numero considerevole di lati, riesco ad approssimare la grandezza della circonferenza. Più sono i lati che riesco a costruire, maggiore è

F 0 E 0l’esattezza della mia misurazione tesi di Archimede.

In questo modo calcolo l’area descritta da una curva. Il valore esatto di quella grandezza ce l’ho nella misura in cui riesco a fare un numero infinito di somme.

METODO DI ESAUSTIONE

INFINITO E NUOVA SCIENZA: MEDIOEVO E RINASCIMENTO

Concezione aristotelica di infinito come esistente in potenza e non in atto, costituisce paradigma cosmologico predominante di Medio Evo.

Dalla metà di XV secolo, la tesi che il cosmo sia finito viene messa in discussione da F 0 E 0

F 0 E 0filosofi e astronomi nascita scienza moderna abbandono definitivo di idea che universo

è finito, a favore che estensione di cosmo è ATTUALMENTE INFINITA.

Nicola Cusano F 0E 0 (1440). Uno dei primi pensatori che teorizzò infinità cosmo.

Nega validità di ipotesi geocentrica e di finitezza cosmo.

Universo non ha centro né confini spaziali. Ha centro dappertutto e circonferenza in nessun luogo. Circonferenza e centro sono Dio che è dappertutto e in nessun luogo. Il mondo non può dirsi infinito perché infinito è solo Dio ma non può nemmeno dirsi finito perché non ha confini spaziali dai quali è chiuso.

Giordano Bruno F 0E 0 infinità di universo è il suo attributo essenziale.

Copernico F 0E 0 F 0E 0(1543) modello di universo al cui centro non più Terra ma Sole apre porte a considerazione di infinito in geometria e matematica. Infinitamente grande nel cosmo e infinitamente piccolo nel continuo.

Galileo Galilei F 0E 0 (1564-1642) padre di fisica matematica. Primo pensatore moderno a inaugurare ricerche su infinito attuale in matematica.

Osserva che i numeri quadrati (4, 9, 16 ecc..), sono tanti quanti i numeri naturali (1, 2, 3 ecc..).

F 0 E 0

F 0 E 0Però contributo più importante studio matematico del movimento e del continuo

ottenuto tramite studio caduta gravi.

Principio: la proporzione degli spazi percorsi è in proporzione rispetto ai quadrati dei tempi.

F 0 E 0Problema per calcolare rapporto tra tempo e spazio percorsi lo spazio percorso dipende

da tutte le velocità istantanee che sono infinite e che per di più durano solo un istante, cioè un tempo infinitamente piccolo. Per calcolare velocità istantanea con cui il grave passa da punto C, egli cerca di calcolare la somma di tutte le velocità istantanee che il grave assume percorrendo segmento AC.

Dopo avere osservato che ogni segmento CG è proporzionale allo spazio percorso AC, assume l’area di ACG come equivalente alla somma di tutti gli infiniti segmenti minori di CG.

Con le ricerche di Galileo inizia la riflessione moderna su rapporto tra numero, continuo e infinito.

Questo sfocerà nel primo tentativo di dare sistemazione matematica al concetto di insieme infinito all’opera di Cavalieri.

Mentre Galileo usava area x calcolare somma infinita di segmenti corrispondenti alle velocità istantanee, cavalieri userà la somma di tutte le linee che compongono una figura per calcolarne l’area. Segmenti che compongono la figura sono chiamati indivisibili della figura.

Cartesio F 0E 0 (1596-1650) creatore di moderna geometria analitica. F 0 E 0Si cimenta su un problema come la mente umana possa essere in grado di compiere

ragionamenti rigorosi sull’infinito e sul continuo.

F 0 E 0Soluzione distinzione tra mente e corpo.

Due esempi:

• F 0E 0Pezzo di cera sciogliendosi cambia forma come posso identificare come unico un pezzo di cera dal momento che sciogliendosi assume, attraverso movimento continuo, diverse forme? La cera è suscettibile di infiniti mutamenti. Noi non siamo

F 0 E 0in grado di percorrerli con l’immaginazione (corpo finito). Posso percepire ciò solo

F 0 E 0con la mente (intelletto infinito).

• Come posso compiere ragionamenti esatti e dimostrazioni intorno a figure di molti lati, come il chilagono (1000 lati), se non riesco a visualizzarne la forma?

Posso rappresentare un chilagono con l’intelletto, pensando ad una figura di lati, però non potrò mai immaginare, ossia vedere davanti ai miei occhi, una figura avente 1000 lati. Questi 1000 lati non li vedrò mai con l’immaginazione come invece posso vedere i 3 lati di un triangolo.

Newton F 0E 0 (1665) scopre metodo di sviluppo in serie e calcolo di tangenti attraverso F 0 E 0infinitesimi calcolo di funzioni attraverso il calcolo di una somma infinita di termini.

Leibniz F 0E 0 studio dell’infinito in matematica. F 0 E 0Contributo principale creazione metodo generale per trattare l’infinito, tramite il quale

affrontare problema della determinazione delle tangenti e delle aree, o quello di trattazione di grandezze irrazionali.

F 0 E 0Attraverso opera di Leibniz e Newton infinitesimo divenne uno dei principali

concetti di matematica del XVII secolo

Infinitesimo susciterò però controversie da parte di:

Barkeley;

Kant F 0E 0 ricorso a infinitesimi non evita paradossi.

F 0 E 0Riformula variante di paradosso di Zenone antinomia della ragion pura.

Ogni antinomia è composta da una coppia di asserzioni contraddittorie: tesi e antitesi e di ognuna di esse viene fornita dimostrazione.

Nel caso di problema continuo, Kant sostiene che le due tesi che da tempo si sono contrapposte nel pensiero occidentale, quella di Aristotele che nega che il continuo sia composto da parti semplici e quella atomistica che ritiene che il continuo sia composto da parti indivisibili, costituiscono un conflitto inscindibile della ragion pura.

Problema di statuto ontologico di continuo è un idea limite, un confine invalicabile di pensiero umano.

F 0 E 0A partire da II metà di 700 matematici cercheranno definizioni di derivata e di integrale

che evitino ricorso agli infinitesimi, giungendo al concetto di limite di una funzione.

Cauchy F 0E 0 (1789-1856) definisce il concetto di infinitesimo non più come grandezza infinitamente piccola ma come variabile dipendente, in termini del concetto di limite.

Una quantità variabile diventa infinitamente piccola quando il suo valore numerico decresce indefinitamente in modo da tendere al limite zero.

Weierstrass F 0E 0 (1815-1897) si rese conto che per rendere rigorosa l’analisi del continuo di Cauchy, mancava una definizione operativa di numero.

Egli da una nomenclatura agli insiemi di cui fanno parte di numeri:

• F 0E 0N = numeri naturali (0,1,2,3,4 ecc..)

• F 0E 0Z = numeri interi (-1,-2,-3 ecc--)

• F 0E 0Q = numeri razionali (1/2, 3/4 ecc..).

Ritiene che i numeri interi sono un sottoinsieme dei numeri razionali. Gli interi sono infatti F 0 E 0

F 0 E 0quei particolari numeri razionali con denominatore 1 ex: 2 2/1

Ogni numero razionale Q, può essere visto come un numero decimale che soddisfa 2 proprietà:

1. Q ha successione infinita di cifre dopo virgola;

2. Le cifre decimali di Q si ripetono con regolarità (periodico).

La sua intuizione è quindi quella di identificare ogni numero razionale con una serie infinita.

F 0 E 0Però questo metodo funziona nella misura in cui, nell’espansione decimale infinita, i

numeri decimali si ripetono con regolarità dopo un numero finito di cifre.

Non è il caso dei numeri irrazionali come √2 perché l’espansione decimale consiste in una successione di cifre in cui non c’è regolarità e per il quale il metodo di Weierstrass non può venire applicato.

F 0 E 0

F 0 E 0Suo fine aritmetizzazione continuo associare un numero ad ogni punto di retta. Per fare

ciò però i numeri razionali non bastano.

Osserva che alcuni numeri reali possono venire rappresentati come soluzione di equazioni algebriche.

F 0 E 0Ex: √2 x2-2 = 0

I numeri (irrazionali e non), rappresentabili come soluzioni di equazioni algebriche, sono detti numeri algebrici.

Ci sono però numeri irrazionali che non possono essere espressi come soluzione di equazioni algebriche F 0E 0 numeri trascendenti.

Scoperta + importante è la scoperta di trascendenza di uno dei numeri più importanti di F 0 E 0

F 0 E 0storia matematica quello che indica rapporto tra diametro di cerchio e circonferenza

trascendenza di P greco.

In quegli anni appariva chiaro ai matematici che prima di poter effettuare una rigorosa analisi del continuo, era necessario dare una definizione al concetto di numero reale, da ottenere con metodi diversi da quelli tentati fino ad ora.

In questo quadro si inserisce l’opera di 2 grandi matematici:

• Dedekind (1831-1916);

• Cantor (1845-1918)

Fornendo 2 diverse sistemazioni assiomatiche al concetto di numero reale, aprirono una fondamentale prospettiva sullo studio del continuo e dell’infinito in matematica.

Dedekind F 0E 0 suo fine: fornire modello matematico della retta continua. Assume come punto di partenza l’insieme Q dei numeri razionali, intendendo quest’ultimo insieme come una creazione di spirito umano basata su numeri naturali.

A1 + A2 = Q

A1 A2 tutti gli elementi di A1 sono < di elementi di A2.

R R

Un numero reale è quindi una sezione dell’insieme dei numeri razionali.

F 0 E 0Secondo Dedekind, l’essenza della continuità risiede in un principio se tutti i punti della

retta vengono decomposti in 2 classi tali che ogni punto della prima classe sia alla sinistra di ogni punto della seconda classe, allora esiste uno e un solo punto che produce questa partizione di tutti i punti della retta in 2 classi, questa sezione della retta in 2 parti.

F 0 E 0Numeri reali definiti da Dedekind come particolari punti di retta, quelli generati dalle

sezioni.

F 0 E 0Quindi un numero reale non è un numero nel senso proprio del

termine ma una coppia di insiemi infiniti di punti della retta.

Cantor F 0E 0(1831-1916) suoi primi studi riguardano lo sviluppo in serie delle funzioni.

Anche per lui, come per Dedekin, è necessario avere una definizione di numero reale ed anche per lui il punto di partenza è l’insieme Q dei numeri razionali.

F 0 E 0PERO’ se Dedekind si era basato su intuizione del continuo geometrico (la retta), Cantor

parte dal concetto numerico di serie.

Per Cantor una grandezza numerica (numero reale), è una successione fondamentale, cioè una sequenza infinita di numeri razionali a1, a2, a3 ecc.., che si approssima indefinitamente ad un limite b.

Numero reale F 0E 0 insieme infinito di numeri razionali.

Postulato F 0E 0 ad ogni numero corrisponde un punto della retta, la cui coordinata è uguale al numero stesso.

Confronto Cantor e Dedekind F 0E 0 I 2 modelli di numeri reali creati da Cantor e Dedekind sono uguali pur essendo formulati il primo in termini di successioni di numeri razionali (termini aritmetici), il secondo in termini di insiemi di punti (termini geometrici). + entrambi sono basati su concetto di insieme infinito che è ancora carente di una definizione matematica.

F 0 E 0I800-1900 problema: confrontare la cardinalità di insiemi N e R.

“ Si prenda la collezione dei numeri interi positivi N. poi si pensi alla collezione di tutti i numeri reali R. questione: stabilire se N e R possono essere messi in corrispondenza in modo che ad ogni individuo di una collezione corrisponda uno e un solo individuo dell’altra”.

Cantor enuncia concetto di equipotenza F 0E 0 2 insiemi sono equipotenti se ogni individuo della prima collezione può essere messo in corrispondenza con un unico individuo della seconda collezione, ovvero tra i 2 insieme esiste corrispondenza biunivoca.

F 0 E 01873 Cantor dimostra che l’insieme dei numeri razionali Q e quello dei numeri reali

algebrici A, sono numerabili cioè che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l’insieme dei numeri naturali N.

F 0 E 0L’anno dopo fa una delle scoperte che diventerà pietra militare di matematica

F 0 E 0dimostrazione di non-denumerabilità di R dimostrazione diagonale.

L’insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1 è equipotente all’intero insieme dei numeri reali R. Ogni numero reale nell’intervallo 0-1, ammette un’unica espansione decimale.

Supponiamo di avere un’enumerazione (corrispondenza biunivoca con l’insieme N), dei numeri reali tra 0 e 1, cioè di poter disporre i numeri reali compresi tra 0 e 1 in una successione del tipo [r1, r2, r3, r4 ecc..]: la dimostrazione di Cantor consiste nel mostrare che esiste un numero reale r appartenente all’intervallo [0,1] che non è nell’enumerazione [r1, r2, r3, r4…] e che quindi quest’enumerazione non può esistere.

Dal momento che un numero reale ammette un'unica espansione decimale, gli elementi di [r1, r2, r3, r4] possono essere elencati come segue:

• r1 = 0, a1 a2 a3 a4…

• r2 = 0, b1 b2 b3 b4…

• r2 = 0, c1 c2 c3 c4…

• r4 = 0, d1 d2 d3 d4..

compiuta elencazione numeri, si forma il numero r = 0, r1 r2 r3 r4… prendendo i coefficienti di r in modo che r1 ≠ a1, r2 ≠ b2, r3 ≠c3 ecc.. (e così per ognuno dei

F 0 E 0coefficienti che si trova sulla diagonale dell’elenco riportato sopra si è così ottenuto un

numero reale che appartiene all’intervallo [0,1] ma che non era nell’enumerazione da cui siamo partiti.

F 0 E 0QUINDI non esiste un’enumerazione di [0,1] e l’insieme R non è

numerabile

F 0 E 0Cantor scopre altra proprietà di continuo spazi continui di dimensione arbitraria sono

equivalenti al continuo unidimensionale della retta reale.

Egli mostra che ci sono tanti punti nel piano quanti ce ne sono nella retta.

Questa dimostrazione si basa su identificazione dei punti della retta con i numeri reali definiti da Cantor.

Collezione infinita (di oggetti) F 0E 0 nucleo centrale intorno al quale ruotano le dimostrazioni di Cantor e Dedekind sui numeri reali.

F 0 E 0Dedekind un numero reale è una coppia di insiemi infiniti di punti;

F 0 E 0Cantor numero reale è una successione infinita di numeri razionali.

F 0 E 0Cosa importante il tipo di infinito in questione non è in potenza ma in atto. Si deve quindi

ammettere de avere presente, attualmente, l’intera successione infinita di cifre decimali che compongono numero irrazionale.

Bisogna quindi introdurre la nozione di insieme infinito.

“Chiamiamo cosa ogni oggetto del nostro pensiero. Succede spesso che cose distinte a, b, c… considerate per qualche motivo sotto lo stesso punto di vista, sono riunite mentalmente e si dice allora che formano un sistema S (insieme), le cose a, b, c ecc.. sono chiamate elementi del sistema S e sono contenute in S. questo sistema S, in quanto oggetto del nostro pensiero, è esso stesso una cosa. un sistema S si dice infinito se è equivalente ad una parte propria di se stesso. In caso contrario si dice finito.”

La definizione di insieme data da Cantor è simile a quella data da Dedekind ma è la definizione di numero cardinale la vera innovazione introdotta da Cantor nello studio dell’infinito matematico.

F 0 E 0Definizione di Cantor di insieme per insieme si intende qualsiasi collezione m di

oggetti del nostro pensiero, definiti e separati, raccolti in un tutto M. questi oggetti sono chiamati elementi di M.

Ogni insieme M ha una potenza definita, cioè un numero cardinale.

Due insiemi M e N sono equivalenti se è possibile porli in relazione, attraverso qualche legge, l’uno con l’altro in modo che ad ogni elemento di ognuno di essi corrisponda uno e un solo elemento dell’altro.

Due insiemi hanno = cardinalità se e solo se sono equivalenti.

Se consideriamo la cardinalità di 2 insiemi infiniti, il confronto diretto non è possibile e si deve ricorrere alla definizione secondo la quale due insiemi hanno la stessa cardinalità se esiste una corrispondenza biunivoca tra di essi.

F 0 E 0Cardinalità degli insiemi infiniti insiemi con un numero finito di elementi sono chiamati

insiemi finiti, tutti gli altri sono chiamati insiemi transfiniti e i corrispondenti numeri cardinali sono detti numeri cardinali transfiniti.

F 0 E 0Principio del buon ordinamento ogni insieme può essere ben ordinato se ogni suo

sottoinsieme non vuoto ha un primo elemento.

Due problemi:

1. F 0E 0problema del continuo di Cantor la questione è se tra l’infinito dei numeri naturali (discreto) e quello dei numeri reali (continuo), esistono infiniti intermedi;

2. sorge questione se sia possibile trovare un buon ordinamento dell’insieme R dei numeri reali.

I PARADOSSI DI BURALI-FORTI E DI RUSSEL

La teoria degli insiemi di Cantor e Dedekind fu messa in crisi negli anni successivi a causa della scoperta che nella formulazione originale la teoria permetteva la deduzione di antinomie (paradossi).

1. Paradosso di Burali-Forti

Il paradosso di Burali-Forti dimostra che costruire "l'insieme di tutti i numeri ordinali" porta ad una contraddizione e quindi individua un'antinomia in un sistema che permette la sua costruzione.

Il motivo è che l'insieme di tutti i numeri ordinali Ω possiede tutte le proprietà di un numero ordinale e sarebbe quindi considerato a sua volta un numero ordinale. Quindi si può costruire il suo successore Ω + 1, che è strettamente maggiore di Ω. Ma questo numero ordinale deve essere elemento di Ω, in quanto Ω contiene tutti i numeri ordinali, quindi si giunge a

.

2. Paradosso di Russell

La definizione di insieme data da Cantor e Dedekind ammetteva che, data una qualsiasi collezione di oggetti, essa potesse essere raccolta in un insieme formando un oggetto unico. Era accettata la regola di formazione di insieme divenuta nota come principio di astrazione, ossia il principio secondo cui, data una qualsiasi proprietà, essa seguisse l’esistenza dell’insieme degli oggetti che godono di tale proprietà.

Data la relazione di essere elemento sull’universo degli insiemi, sembra plausibile chiedersi se un insieme possa o meno appartenere a se stesso. Sia ora la proprietà di non appartenere a se stessi: si deduce la contraddizione asserente che l’insieme di tutti gli insiemi che non appartengono a se stessi appartiene e non appartiene

F 0 E 0contemporaneamente a se stesso contraddizione.

Questi 2 paradossi misero in luce che ogni tentativo di fondare la matematica dell’infinito e del continuo su basi insiemistiche, non avrebbe potuto basarsi sull’idea di insieme come “collezione di oggetti del nostro pensiero riunite mentalmente in un tutto”, ma avrebbe dovuto passare attraverso elaborazione di teoria assiomatizzata.

La teoria assiomatica degli insiemi più diffusa è quella di Zermelo il quale ha formulato il principio assioma della scelta.

Stabilisce che data una famiglia non vuota di insiemi non vuoti esiste una funzione che ad ogni insieme della famiglia fa corrispondere un suo elemento.

In parole povere, quando ci viene dato un certo numero di insiemi possiamo costruire un nuovo insieme "scegliendo" un singolo elemento da ciascuno di quelli di partenza. Se il numero di insiemi di partenza è finito gli altri assiomi della teoria degli insiemi sono sufficienti a garantire la possibilità di questa scelta; nel caso di un numero infinito di insiemi invece occorre introdurre nella teoria un assioma specifico, l'assioma della scelta appunto.

Un tipico esempio con cui si spiega il senso dell'assioma è il seguente: supponiamo di avere un numero infinito di paia di scarpe e di voler definire un insieme che contiene una (e una sola) scarpa di ogni paio, possiamo farlo senza problemi considerando ad esempio l'insieme delle scarpe destre. I problemi nascono se abbiamo un numero infinito di paia di calzini, e vogliamo considerare come prima un insieme che contenga un calzino per ognuno di essi: non possiamo più parlare dell'insieme dei "calzini destri" e non abbiamo in effetti nessun modo di distinguere i due elementi di un paio, cioè di avere una funzione di scelta che ci assicuri di poterne scegliere contemporaneamente uno da ogni insieme. Per poter dire che un tale insieme comunque esiste dobbiamo invocare l'assioma della scelta.

Assiomi usati da Zermelo per formalizzare nozione di Cantor di insieme:

Assioma di estensionalità F 0E 0 dati 2 insiemi a e b, se ogni elemento di a è anche elemento di b e viceversa, allora a = b. ogni insieme è determinato dai suoi elementi.

F 0E 0Assioma degli insiemi elementari esiste un insieme, l’insieme vuoto, che non contiene elementi. Inoltre, data l’esistenza di 2 insieme a e b, esistono anche gli insiemi [a], contenenti a come unico elemento, e gli insiemi [b] contenenti b come unico elemento.

F 0E 0Assioma di isolamento se a è un insieme esistente e p è una proprietà logicamente definibile, allora esiste il sottoinsieme a’ di a che contiene gli elementi X ℮ a per i quali vale p(x)

F 0E 0Assioma dell’insieme di potenza se a è un insieme, allora esiste anche l’insieme P(a) di tutti i sottoinsiemi di a.

F 0E 0Assioma dell’ unione se a è un insieme, allora esiste anche l’insieme riunione Ua, che contiene tutti gli elementi degli elementi di a.

F 0E 0Assioma della scelta se a è un insieme i cui elementi sono tutti insiemi ≠ dall’insieme vuoto e disgiunti tra loro, allora la riunione Ua contiene almeno un sottoinsieme a’ che ha uno e un solo elemento in comune con ogni elemento di a.

F 0E 0Assioma dell’infinito esiste nel dominio almeno un insieme N che contiene l’insieme vuoto come elemento, e inoltre è costituito in maniera tale che ad ogni elemento di a corrisponda un altro elemento [a].

I 2 assiomi + importanti sono l’assioma dell’infinito e quello dell’isolamento.

L’assioma dell’infinito, che afferma l’esistenza di un insieme infinito rappresentante la successione dei numeri naturali N, è una riformulazione del teorema di Dedekind sull’esistenza di un insieme infinito.

C’è per una differenza:

F 0 E 0Dedekind prende le mosse dalla totalità di tutte le cose che possono essere oggetto nel

mio pensiero;

F 0 E 0Zermelo il dominio D (costituito dalla totalità degli insiemi), non è esso stesso un insieme.

Il fatto che la totalità di tutti gli insiemi non sia un insieme, è assicurato dall’assioma dell’isolamento.

Limitando la grandezza degli insiemi ammissibili nel dominio, Zermelo evitava la formazione di insiemi paradossali, assicurando però allo stesso tempo l’esistenza degli insiemi matematicamente più importanti, come insieme N dei numeri naturali o quello R dei numeri reali.

La posizione di Zermelo resterà però minoritaria e predominerà una visione chiamata modello dellagerarchia cumulativa, durante gran parte del XX secolo.

LA GERARCHIA CUMULATIVA

F 0 E 0Teoria dei tipi logici F 0E 0Russell ritiene che la principale causa dei paradossi sia l’utilizzo

di definizioni circolari. Dal momento che nella teoria degli insiemi l’ammissione dell’auto- appartenenza implica la possibilità di definire un insieme tramite l’insieme stesso, l’ammissione dell’auto-appartenenza all’interno del dominio della teoria viene ritenuta causa principale dei paradossi.

Russell: “ l’antinomia sulle classi che non sono elementi di se stesse mostra che, se vi sono classi, devono essere qualcosa di radicalmente diverso dagli individui; ovvero che gli insiemi e gli oggetti che ne sono membri, sono da considerarsi come cose disposte su

F 0 E 0livelli diversi di una gerarchia di enti.” gerarchia dei tipi logici.

F 0 E 0Principio del circolo vizioso tutto quello che coinvolge la totalità di una collezione, non

deve essere elemento della collezione.

Punto di partenza che porta Russell a proporre una concezione gerarchica della teoria F 0 E 0degli insiemi il dominio della teoria viene considerato come disposto su livelli o tipi, in

modo che il primo tipo contenga gli individui (oggetti che non contengono elementi), il secondo tipo gli insiemi di individui, il terzo gli insiemi di insiemi di individui ecc…

Le antinomie di Russell e Burali-Forti, basate entrambe sul fatto che un insieme possa appartenere a se stesso, vengono chiaramente eliminate.

IL CROLLO DEL PARADISO DI CANTOR

L’INFINITO NEL FINITO

Una delle principali differenze tra la teoria degli insiemi da Cantor e le precedenti trattazioni dell’infinito, è l’assunzione dell’infinito attuale come oggetto di indagine matematica.

I concetti di insieme e numero cardinale, hanno avuto un importanza fondamentale nelle ricerche successive.

All’accettazione dell’infinito attuale in matematica, soggiace un presupposto epistemologico: l’assunzione di una qualche forma di platonismo riguardo all’esistenza degli oggetti matematici, secondo la quale gli oggetti della matematica esistono in modo

indipendente dal nostro pensiero o sono assoluti, nel senso che non sono vincolati dal linguaggio attraverso cui vengono descritti e dagli schemi concettuali con cui vengono pensati.

In filosofia della matematica questo atteggiamento epistemologico si traduce spesso nell’idea che gli oggetti della matematica siano intrinsecamente oggetti infiniti.

F 0 E 0Un rappresentate di questa teoria è Zermelo ritiene che ogni enunciato sui numeri

naturali deve essere ritenuto in realtà una congiunzione infinita di enunciati.

“Ogni enunciato matematico deve essere inteso come la combinazione di un numero infinito di enunciati elementari, e qualsiasi dimostrazione di un enunciato a partire da altri enunciati, non è altro che la riunione di questienunciati elementari”.

Questa posizione porta Zermelo a contestare le conclusioni del teorema di incompletezza di Godel, la cui premessa principale era l’idea di Hilbert che una dimostrazione formale è una successione finita di formule.

IL FINITISMO DI HILBERT

Hilbert F 0E 0 l’assunto da cui parte è la negazione dell’infinito attuale, sia in matematica che nel mondo fisico.

Per quanto riguarda la realtà fisica, egli critica il concetto di spazio continuo, giungendo a negare la possibilità della divisione all’infinito dello spazio. Inoltre, nega anche esistenza di uno spazio infinitamente grande.

Hilbert nega quindi l’esistenza dell’infinitamente piccolo e dell’infinitamente grande nel mondo fisico.

FINITISMO F 0E 0 si basa sulla considerazione filosofica che la realtà matematica non può essere descritta senza l’utilizzo del linguaggio. Il nostro linguaggio però è basato su un sistema finito di simboli e quindi ogni descrizione della realtà, matematica o fisica, astratta o concreta, dovrà essere costituita attraverso il finito.

Il risultato conclusivo delle nostre riflessioni sull’infinito, è quindi che l’infinito non è realizzato in nessun luogo. Non è presente in natura e non lo si può neppure ammettere come fondazione del nostro pensiero razionale. Il diritto di operare con l’infinito può essere assicurato solo con il finito. Il solo metodo per chiarire definitivamente la natura dell’infinito, è il ricorso a sistemi formali finiti.

In questo stà racchiusa una delle più influenti scoperte scientifiche del XX secolo, e proprio dallo sviluppo dei concetti di Hilbert, trarrà aspirazione Turing per formulare la sua definizione del computer.

IL CONTINUO E LA MACCHINA DI TURING

F 0 E 0Turing (1912-1954) fu una delle pietre militari della matematica del XX secolo.

Oggetto di studio: definizione di numero computabile: numeri reali le cui espressioni come decimali sono computabili (calcolabili) con mezzi finiti.

Il lavoro di Turing contiene un approccio ai concetti di continuo e di numero reale che sono completamente diverso da quelli di Cantor e Dedekind:

• F 0E 0Cantor e Dedekind ritengono che un numero reale è un oggetto definito facendo ricorso essenziale all’infinito.

• F 0E 0Turing non si preoccupa di dare una definizione dell’insieme di tutti i numeri reali, ma solo di definire quei numeri reali computabili (calcolabili), con mezzi finiti.

Turing rende rigorosa la definizione di numero computabile attraverso la creazione delle F 0 E 0macchine di Turing. “Un numero è computabile se i suoi decimali possono essere

descritti con una macchina”.

È evidente il richiamo al finitismo di Hilbert che Turing accetta perché la memoria umana è necessariamente limitata.

F 0 E 0Contributo epistemologico + significativo analisi del processo umano del contare-

La metafora del contare come calcolare con una macchina di Turing, è divenuta una della più influenti della scienza del XX secolo.

Analisi della procedura umana del contare e del computare (eseguire le usuali operazioni con i numeri), fatta da Turing che ha portato alla sua definizione di macchina:

il computare è di solito fatto scrivendo certi simboli sulla carta. Questa carta è divisa in quadretti. Il computo è eseguito su una carta unidimensionale, su un nastro diviso in quadretti. Il numero di simboli che può essere scritto è finito.

Una volta definita la struttura della macchina, Turing passa a descrivere il modo di operare della macchina:

il comportamento del computer è in ogni momento determinato dal simbolo che sta osservando e dal suo stato mentale in quel momento.

Esiste un limite L al numero di simboli o quadretti che il computer può osservare in un dato istante. Se ne vuole osservare di +, dovrà usare osservazioni consecutive.

Inoltre, il numero degli stati mentali che devono essere presi in considerazione è finito perché se si ammettesse un infinità di stati mentali, ci saranno allora stati mentali arbitrariamente simili e quindi confondibili.

Le operazioni del computer possono essere divise in operazioni semplici, che sono talmente elementari che è difficile immaginarne un’ulteriore scomposizione. Ognuna di queste operazioni consiste in qualche cambiamento del sistema fisico costituito dal computer e dal suo nastro.

Conosciamo lo stato del sistema se conosciamo la sequenza di simboli sul nastro, quali di essi sono osservati dal computer, e lo stato mentale del computer.

Turing elenca 4 tipi di operazioni semplici che possono essere eseguite dal computer:

1. Cambiare il simbolo su uno dei quadretti (celle) osservati;

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