I limiti dell'infinito Riassunto, Sintesi di Filosofia. Università degli Studi di Bergamo
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I limiti dell'infinito Riassunto, Sintesi di Filosofia. Università degli Studi di Bergamo

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I paradossi di Zenone, pitagorici, i numeri incommensurabili.
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I LIMITI DELL’INFINITO

1.1 DISCRETO E CONTINUO Le istituzione del discreto e del continuo stanno alla base di ogni esperienza umana della realtà: viviamo in un mondo fatto di oggetti discreti, separato gli uni dagli altri; ed attraverso la coscienza del fluire del tempo percepiamo un movimento continuo, non scomponibile in istanti. Secondo Aristotele il numero è il principio dell’essere; esso poteva venire scomposto in dieci coppie di contrari come dispari e pari, maschile e femminile, limitato e illimitato, uno e molteplice, quadrato e rettangolo, retto e curvo; inoltre le coppie erano tra loro collegate (es. il pari femminile e il dispari maschile). Giorgio de Santillana parla di “aritmosofia astrale”, dottrina la cui credenza principale è che “gli dèi antichi erano in origine pianeti”. Essa aveva portato a delle conoscenze astronomiche molto importanti come la processione degli Equinozi. Secondo loro il numero insieme alla geometria del cerchio e delle figure geometriche di base, potrebbe costituire l’ossatura di una scienza astronomico- teologica complessa basata su un sistema non alfabetico. Secondo altri studiosi l’origine della geometria non sarebbe derivata dalle osservazioni astronomiche di Homo Sapiens, ma da rituali religiosi di tipo sacrificali risalenti a specie di ominidi anteriori alla specie Sapiens Sapiens: le testimonianze più antiche riguardano la figura del cerchio. Si pensa che il cerchio sia la simbolizzazione spaziale più antica dell’umanità, poiché riflette la disposizione del gruppo intorno alla vittima; si pensa questo poiché sono state trovate, in Tanzania, delle basi di strutture in pietra, a forma circolare.

• La questione dell’origine della scienza del numero e delle figure geometriche è destinata a rimanerci, almeno in gran parte, oscura. Una congettura plausibile sembra quella secondo la quale la progressiva ma tematizzazione delle intuizioni del “discreto” e del “continuo”, con relativo avvio dello studio sistematico del numero e della geometria, si sia generata attraverso l’isolarsi e l’emanciparsi di alcune componenti linguistiche e concettuali appartenenti a più complessi sistemi di credenze rituali e religiose.

Le intuizioni del numero e dello spazio (anche del tempo) venivano intese come espressioni di un’unica realtà. Anche nelle dottrine di Pitagora ritroviamo tale visione: secondo quanto riporta Aristotele, le scuole di Pitagorici, ritenevano che i “principii della matematica fossero anche i pricipii di tutte le cose”.

• Alle sue origine la scienza matematica considera il numero e la geometria come due aspetti complementari di una stessa realtà: per i primi matematici, il “continuo” dello spazio poteva essere compreso attraverso di “discreto” del numero.

• Gli scienziati babilonesi furono i primi a confrontarsi con la trasmissione delle conoscenze attraverso la scrittura.

La visione del numero (discreto) e della geometria (continuo) come due aspetti complementari di una stessa realtà restarono per più di un millennio un paradigma epistemologico inconsapevole dell’indagine scientifica. Fu solo con la nascita della filosofia greca, intorno ai “principii di tutte le cose” che tale presupposto epistemologico divenne oggetto di analisi razionale. • Il culmine di questo processo culturale giunge con la concezione pitagorica del numero

come misura di tutte le cose. Mentre i filosofi ionici attribuivano a una sostanza corporea l’ordine del mondo, per Pitagora e i suoi seguaci è quello stesso ordine che ha la sua rappresentazione del numero, a divenire sostanza del mondo e a permettere la comprensione razionale della realtà attraverso la misura matematica. I pitagorici erano convinti che i pianeti, per la precisione i moti dei corpi celesti, producessero un’armonia musicale in quanto i loro suoni generano un accordo, quindi il suono prodotto è armonico. Questo nasce dall’idea che il moto di corpi di tale grandezza debba necessariamente produrre un suono, dal momento che questo accade anche con i corpi che circondano, i quali viaggiano con diverse velocità, è impossibile che non producano un suono di forte intensità.

L’illimitata molteplicità dei fenomeni dell’universo poteva essere riportata ad un’intuizione del discreto, l’intuizione finita del numero. Pitagora creò così un sistema di simboli che permetteva di riunire, con semplici disegni di gruppo finiti di punti, i concetti di numero e di figura geometrica: attraverso questi simboli finiti si poteva fornire una misura matematica dei processi di generazione e corruzione del moto dei pianeti, dell’etica umana. Es: figura che corrispondono ai “numeri triangolari”. Il triangolo composto da dieci punti, era la “sacra tetractys”, il simbolo su cui gli aderenti alla setta erano soliti giurare. Così si faceva con altre figure; i numeri quadrati e rettangolari venivano impiegati per illustrare la nozione di “gnomone”: india la figura che si aggiunge a un numero quadrato per ottenere il numero quadrato successivo, e più in generale “ogni grandezza lineare e piana che potesse aggiungersi o togliersi a determinate figure geometriche mantenendone inalterata la forma”. I pitagorici cercarono di estendere il metodo dello gnomone a ogni aspetto dell’indagine razionale della realtà. Applicare questo metodo allo studio dei fenomeni voleva dire ricondurre ogni aspetto della realtà al concetto di numero finito o all’intuizione del discreto. Tale programma fallì dopo pochi decenni a causa di due rivoluzionarie scoperte che ne mirarono irreversibilmente le fondamenta epistemologiche dimostrando l’impossibilità di ridurre l’intuizione del continuo a quelle del discreto e del finito.

1- dimostrazione dell’esistenza di grandezze incommensurabili, cioè di grandezze che non sono esprimibili tramite il rapporto di due numeri naturali. Molto probabilmente questa scoperta avvenne nell’ambito della riflessione filosofica sui concetti di discreto e di continuo. Dimostrazione attribuita a Ippaso.

2- Paradossi di Zenone e di Elea. Essi volevano dimostrare, nel caso dello spazio continuo, l’assunzione della infinita divisibilità dello spazio e l’esistenza stessa del movimento portano a contraddizione.

Vi è una connessione teoretica molto profonda ad unire i risultati filosofici delle scuole dei pitagorici e degli eleati.

La diffusione dei paradossi del continuo e la dimostrazione dell’esistenza di grandezze incommensurabili costituirono insieme la seconda grande rivoluzione epistemologica nella matematica.

• evoluzione epistemologica: 1) esistenza dell’incommensurabile 2) paradossi del continuo

Nuovo modo di intendere l’infinito: accanto a un’intuizione dell’infinito come addizione definitiva, apparve l’intuizione dell’infinito come divisione che non ha termine.

1- L’infinito, nella prima accezione, era già apparso nelle speculazioni dei filosofi presocratici: Anassimandro sosteneva che il principio di materiale della realtà era l’apeiron (infinito, indetermintato). Filolao sosteneva che l’universo ha un’estensione illimitata.

Ciò che soggiace a questa impostazione è l’idea che l’infinito si trattabile attraverso una successione di simboli finiti attraverso l’aggiunzione di quanitità finite a quantità finite.

2- l’immagine dell’infinito come divisibilità all’infinito emerge dalle speculazioni di Zenone e Ippaso. Questa idea è paradossale perché implica la non terminabilità intrinseca di un processo che invece era stato inteso come terminabile.

I paradossi di Zenone e la scoperta delle grandezze incommensurabili comportano entrambe un processo di divisione che non può essere condotto a termine e che porta a conclusioni che scardinano le fondamenta del programma riduzionista pitagorico.

L’algoritmo della divisione tra numeri interi rappresenta una procedura ricorsiva e ben- fondata, mentre il processo di divisione coinvolto negli argomenti di Zenone e di Ippaso è una procedura non- ben- definita e quindi non ricorsiva. Nei paradossi di Zenone e nella dimostrazione dell’incommensurabilità di lati e diagonale del quadrato c’è invece un processo di divisione che non ha temine, la cui ricorsività quindi non è ben definita, appunto perché non- ben- fondata.

1.2 PARADOSSI E INCOMMENSURABILI

La nuova nozione di infinito che emerge da alcuni filosofi presocratici, gli eleati e i pitagorici, porta a una mutazione della prospettiva epistemologica con cui i rapporti etra matematica e realtà venivano intesi. Da Zenona e da Ippaso in poi ci sarà la consapevolezza che ogni trattazione matematica e filosofica del continuo è per sua natura problematica e contraddittoria, e che la matematica discreta del numero intero non è sufficiente a trattare la nozione di grandezza continua. Questione: come la mente umana che si esprime attraverso un linguaggio composto dalle combinazioni di numeri finito di simboli possa arrivare a comprendere con chiarezza l’idea di infinito che ci si impone al pensieri ogni volta che si fa riferimento alle intuizioni di spazio o di tempo, per esempio. Tale questione nasce dalle indagini di alcuni filosofi intorno alla definizione di “grandezza continua” e assume 2 forme diverse:

1- indagine fisica ed ontologica, di Zenone di Elea intorno ai concetti di spazio e tempo ed ai concetti derivati di molteplicità e di movimento.

2- Indagini della scuola pitagorica, che hanno un carattere più matematico. La distinzione tra i due tipi di argomenti risale ad Aristotele. La nostra ricerca tende a mettere in risalto le connessioni tra i paradossi di Zenone e la dimostrazione di Ippaso, rispetto alle differenze tra di esse. In entrambi i casi abbiamo a che vedere con la scoperta della contraddittorietà implicata da un processo di divisione all’infinito.

La dimostrazione dell’esistenza di grandezze irrazionali è uno dei maggiori risultati conseguiti dalla scienza greca. Credenza secondo la quale tutto ciò che è irrazionale. Completamente inesprimibile e informe, ama rimanere nascosto. È probabile che i pitagorici si siano imbattuti nelle grandezze incommensurabili nel tentativo di trovare una misura per alcune grandezze a cui le loro costruzioni matematiche li avevano condotti. Uno dei problemi era quello di calcolare il rapporto tra la diagonale e il lato di un poligono.

I paradossi di Zenone Zenone nacque nel 490 a.C. a Elea. Fu discepolo di Parmenide. La tesi fondamentale di Parmenide era l’opposizione tra essere e non- essere. L’essere non può nascer o morire, non può essere costituito da molteplicità, non può mutare. Parmenide attribuisce all’essere le caratteristiche di eternità, unità e unicità. Le ricerche di Zenone tendono tutte a sostenere gli argomenti di Parmenide, mostrando come la negazione dell’immutabilità e dell’unità dell’essere, e quindi dell’assunzione dell’esistenza del movimento e della molteplicità, portino a contraddizione.

• dipendenza del pensiero di Zenone da quello di Parmenide, in particolare per quanto riguarda la negazione della molteplicità.

• Zenone sviluppa gli argomenti per ridurre all’assurdo ogni negazione delle tesi sull’immutabilità, eternità ed unità dell’essere.

Paradossi di Zenone: 4 argomenti volti a dimostrare la non esistenza del movimento attraverso la riduzione dell’assurdo.

1- vuole provare l’inesistenza del movimento per il fatto che l’oggetto spostato deve giungere alla metà prima che al termine finale.

2- Il cosiddetto “Achille”: vuole provare che il più lento, correndo, non sarà mai sorpassato dal più veloce.

3- Quello della “freccia”: essa nell’atto in cui è spostata sta ferma. Questo si può capire solo se si considera il tempo composto da istanti.

4- Quello delle masse uguali che si muovono nello stadio in senso contrario a quello di altre masse uguali, le une alla fine dello stadio, le altre nel mezzo, con uguale velocità. Egli crede che la metà del tempo sia uguale al doppio.

I quattro argomenti di Zenone sono variazioni sullo stesso tema.

Il problema è quello di stabilire se il valore di una somma con un numero infinito di adenti sia un numero finito oppure infinito. Problema: stabilire la convergenza di una serie, nel caso che questa somma abbia una valore finito. Es. esempio: serie geometrica di ragione 2. secondo la definizione della moderna analisi matematica è una serie convergente. Un altro esempio è la serie armonica, che è una serie divergente. Si può stabilire che: se il continuo è divisibile in parti non nulle, supponiamo di avere un’estensione limitata di spazio o di tempo e supponiamo di volerla dividere in parti; tale divisione sarà allora infinita, e ci porterà a una quantità infinita di parti sempre più piccole e non nulle; la somma di tali parti ha però, secondo Zenone, un’estensione infinita, contraddicendo la iniziale ipotesi che lo spazio o il tempo di partenza fossero limitati.

• La tesi di Zenone è quindi quella secondo la quale, se si accetta la divisibilità del continuo, allora ogni grandezza finita diventa infinita; e tale conclusione si appoggia alla convinzione, erronea, che le somme da lui menzionate siano tutte divergenti.

1- Il primo argomento secondo cui “l’oggetto spostato deve giungere alla metà prima che al termine finale” possiamo chiamarlo argomento del corridore. (per percorrere una pista prima il corridore dovrà percorrere metà pista, prima ancora metà della metà, prima la metà della metà della metà ecc) Zenone supponeva che fosse una quantità infinita, opinione erronea. Il fatto che la somma da lui considerata dia un valore finito non inficia l’argomento di Zenone: se invece di divedere gli spazi dalla metà, si considera che per giungere al traguardo il corridore deve passare dai punti ½, 1/3, ¼, … (posti dopo la metà) quindi il corridore non più giungere al traguardo, perché per farlo dovrebbe attraversare uno spazio infinito.

2- il secondo argomento detto “ di Achille e la tartaruga” mira a dimostrare la contraddittorietà dell’esistenza del movimento basandosi sulla conclusione che Achille non può mai raggiungere la tartaruga, se le lascia un certo anticipo. Se si ammette la divisibilità dello spazio, Achille non raggiunge la tartaruga.

3- Gli ultimi due argomenti sono una variante del paradosso del corridore: la freccia scoccata dall’arciere dovrà percorrere, prima di giungere al bersaglio, un numero infinito di intervalli non nulli, e quindi una distanza infinita; lo stesso vale per due corpi che si muovono l’uno verso l’altro in uno stadio.

Il terzo argomento contiene però un’osservazione fondamentale: Aristotele osserva che la conclusione contraddittoria, secondo la quale la freccia se spostata sta ferma, “si ottiene solo se si considera il tempo composto da istanti”. Questa osservazione è rivolta alla dottrina che i filosofi atomisti, Democrito in particolare, elaborarono in risposta ai paradossi di Zenone.

1.3 DA DEMOCRITO AD ARCHIMEDE La crisi causata dai paradossi di Zenone e dalla scoperta dell’incommensurabilità della diagonale consistette nella presa di coscienza che qualsiasi analisi delle intuizioni del continuo spazio- temporale e del continuo geometrico non può prescindere da un qualche ricorso al concetto di divisibilità all’infinito. Democrito: concepiva la realtà composta da atomi che vagano in uno spazio vuoto infinito. Gli atomi si muovono nel vuoto e mediante il vuoto, e il vuoto stesso è infinito, e infiniti sono i corpi.

• gli atomi costituiscono il limite ultimo del processo di divisibilità dello spazio continuo: essi conservano le caratteristiche di eternità e di immutabilità dell’essere parmenideo, ma permettono di rendere conto dell’esistenza della molteplicità.

• Gli atomi sono indivisibili fisici, ma non sono dei minima concettuali, perché pur essendo piccolissimi hanno una forme e una grandezza. Nozione fisica e ontologica.

Democrito rifiuta l’esistenza del continuo come spazio divisibile all’infinito a favore di una spazio discreto- granulare. Platone: formula un vero e proprio atomismo geometrico. Egli sostituisce ai numeri degli enti geometrici particolari che assume come elementi di base, attraverso la cui composizione dei quali la realtà è costituita.

• i corpi fisici si lasciano scomporre nei 4 elementi, e questi a loro volta si lasciano scomporre in figure geometriche.

• Tali figure geometriche solide si lasciano scomporre in figure piano dello stessi tipo, cioè triangoli.

• Al di sotto dei triangoli non si può andare. Esse sono le figure comuni a tutti i solidi. • Concezione della realtà come costituita da elementi di base, più approssimabile alla teoria

degli infinitesimi. Cose comuni tra Democrito e Platone: rifiuto della divisibilità all’infinito dello spazio continuo.

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