I limiti dell'infinito, Esami di Filosofia. Università degli Studi di Bergamo
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annatglietti18 gennaio 2016

I limiti dell'infinito, Esami di Filosofia. Università degli Studi di Bergamo

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I LIMITI DELL'INFINITO CAPITOLO 1 Le intuizioni di DISCRETO e CONTINUO sono alla base di ogni esperienza umana della realtà: viviamo in un mondo fatto di oggetti DISCRETI (separati) e attraverso il fluire del tempo percepiamo un movimento CONTINUO. Per alcuni studiosi l'attività del contare ha avuto un'origine religiosa, durante degli antichi rituali, come spiega il fatto che queste popolazioni sa africane che asiatiche o americane usino tutte sistemi di numerazioni di base di due (→ probabilmente questi sistemi sono una cristallizzazione degli antichi rituali della creazione) → dottrina pitagorica: il numero poteva essere scomposto in dieci coppie di contrari. Vi è anche la traccia di un “aritmosofia astrale” sapienza rituale secondo cui gli dei antichi fossero in origine i pianeti, che aveva portato alla scoperta della precessione degli equinozi. Anche la geometria sarebbe nata da rituali religiosi di tipo sacrificale in cui i partecipanti si disponevano a formare un cerchio → la comune origine di aritmetica e geometria fa pensare che esse per lungo tempo siano state considerate legate: il continuo dello spazio poteva essere compreso attraverso il discreto del numero:in particolare con la ricerca dei presocratici questo presupposto divenne oggetto di analisi razionale che giunse al culmine con la concezione pitagorica del numero come misura di tutte le cose → l'idea che l'ordine e l'armonia del cosmo potessero venire intese attraverso numeri naturali divenne presso i pitagorici un principio esplicativo universale: i pitagorici crearono un sistema di simboli che permetteva di riunire i concetti di NUMERO e FIGURA GEOMETRICA → NUMERI TRIANGOLARI (1+2+3+..), rappresentabili attraverso triangoli di punti: il triangolo composto da 10 punti è la “sacra tetractys” il simbolo su cui i pitagorici giuravano. I numeri quadrati e rettangolari erano usati per rappresentare lo GNOMONE ( ogni grandezza lineare e piana che potesse aggiungersi o togliersi a determinate figure geometriche mantenendone inalterata la forma) → ricondurre ogni aspetto della realtà al concetto di numero finito → programma destinato a fallire a causa di due scoperte rivoluzionarie: ESISTENZA DELLE GRANDEZZE INCOMMENSURABILI (radice quadrata di 2) e PARADOSSI DI ZENONE → seconda grande rivoluzione epistemologica della matematica dopo l'invenzione di sistemi di numerazione scritti → l'infinito iniziò ad essere inteso come divisione che non ha termine.

Paradossi e incommensurabili Una delle questioni filosofiche più profonde tratta come la mente umana può arrivare a comprendere con chiarezza l'idea di infinito. È probabile che i pitagorici si siano imbattuti nelle grandezze incommensurabili cercando di calcolare il rapporto tra la diagonale e il lato di un poligono, in particolare di quadrato e pentagono. La dimostrazione originale dell'esistenza di grandezze incommensurabili fa perno su una costruzione geometrica: supponendo di avere un quadrato di lato “l” e di calcolare il rapporto d/l, e supponendo che l=1, applicando il teorema di Pitagora si ha che: d= (radice quadrata di 1 alla seconda + 1 alla seconda → radice quadrata di 1+1 → radice quadrata di 2). la prima dimostrazione dei pitagorici era basata su una costruzione geometrica: supponiamo di avere un quadrato ABCD e iscritto in esso un quadrato più piccolo EFGH, la cui diagonale corrisponde al lato del quadrato maggiore: se supponiamo che r2 sia l'espressione di due grandezze commensurabili, si ha che d alla seconda=2lallaseconda perché il quadrato ABCD è il doppio del quadrato EFGH → D alla seconda è un numero pari e quindi anche d lo è e quindi anche la metà AF del lato AB è un numero naturale : a questo punto si può costruire un quadrato AFKE grande la metà del quadrato di partenza → IL PROCESSO Può CONTINUARE ALL'INFINITO.

I paradossi di Zenone Zenone fu discepolo di Parmenide la cui tesi fondamentale era il contrasto fra VERITA' e OPINIONE e il suo correlativo ontologico tra ESSERE e NON ESSERE e riferire all'essere caratteristiche di eternità, unicità e unità. Zenone mostra con i suoi paradossi come la negazione di caratteristiche di unità e immutabilità dell'essere portino a contraddizione. I paradossi sono quattro argomenti volti a dimostrare la non esistenza del movimento attraverso la riduzione all'assurdo, e sono variazioni sullo stesso tema. Il problema è quello di stabilire se il valore di una somma con un numero infinito di addendi sia un numero finito o infinito: si può isolare la seguente argomentazione → se il continuo è suddiviso in parti non nulle allora la divisione di una parte limitata di spazio o di tempo sarà infinita.

IL CORRIDORE: un corridore che corre in uno stadio dovrà prima raggiungere la metà di esso, ma prima ancora la metà della metà e così via, e quindi percorrere uno spazio pari a una somma che corrisponde ad una somma infinita → il corridore non può giungere al traguardo perché per farlo dovrebbe percorrere uno spazio infinito. ACHILLE E LA TARTARUGA: ci sono due serie da considerare; la somma degli spostamenti di Achille e quella degli spostamenti della tartaruga. Achille non può mai raggiungere la tartaruga se le lascia un certo anticipo perché entrambi procedono e quindi l'intervallo di spazio tra i due rimarrà sempre uguale. LA FRECCIA: la freccia scoccata dall'arciere prima di raggiungere un bersaglio dovrà percorrere un numero infinito di intervalli non nulli, quindi una distanza infinita. Contiene anche la conclusione contraddittoria che la freccia quando scoccata sta ferma, ottenuta se si considera il tempo secondo istanti. DUE CORPI CHE SI MUOVONO UNO VERSO L'ALTRO: essi non si raggiungeranno mai perché prima di arrivare al punto di incontro devono percorrere una distanza infinita. I paradossi di Zenone e la scoperta dell'incommensurabilità della diagonale provocarono una profonda crisi e nel secolo successivo i filosofi cercarono tutti di porre rimedio alle conseguenze di tali scoperte: Democrito: atomista → la realtà è composta da atomi che vagano in uno spazio vuoto infinito e che costituiscono il limite ultimo del processo di divisibilità dello spazio continuo: conservano le caratteristiche di eternità ed immutabilità dell'essere parmenideo ma permettono di rendere conto dell'esistenza della molteplicità. Non sono dei minima concettuali perché pur essendo piccolissimi hanno una forma ed una grandezza. Epicuro: gli atomi diventano dei minima concettuali. Platone: ATOMISMO GEOMETRICO → egli sostituisce ai numeri degli enti geometrici che assume come elementi di base e ritiene che la realtà sia costituita proprio dalla composizione di questi elementi: i corpi fisici si lasciano scomporre nei quattro elementi che a loro volta si scompongono in figure geometriche (fuoco-tetraedri, aria-ottaedri, acqua-icosaedri, terra-cubi) solide che a loro volta si lasciano scomporre in figure geometriche piane, i triangoli → i triangoli per Platone sono i minima di intellegibilità. Questi filosofi sono accomunati dal rifiuto della divisibilità all'infinito dello spazio continuo.

Aristotele e l'infinito per Aristotele il concetto di infinito è intrinseco ad ogni analisi che riguardi il continuo: per lui è assurdo porre limiti alla divisibilità del continuo postulando l'esistenza di atomi e questo vale sia per lo spazio fisico che per lo spazio geometrico, e utilizza un argomento molto sottile per confutare l'atomismo: se un punto è una cosa che non ha parti allora due punti insieme creerebbero di nuovo un punto e quindi una linea retta non può essere considerata come composta da punti ( questo vale anche per chi considera il tempo come composto da istanti) → questa conclusione confuta le basi delle argomentazioni di Zenone. L'analisi dell'infinito di Aristotele prende in considerazione anche un terzo punto, quello della distinzione fra ATTO e POTENZA, ed egli afferma che l'infinito esiste solo in potenza, e nel caso dell’infinito la sua esistenza in atto non si da mai ed è in potenza, allo stesso modo del vuoto, nel senso che sono non-attuabili. Per Aristotele non si può mai giungere ad una condizione in cui il corpo sia stato completamente diviso nei punti che lo costituiscono perché il punto è ciò che non ha parti, e quindi si può ipotizzare che secondo lui il punto geometrico rappresenti il limite ultimo mai attuabile del processo di divisione all'infinito. In conclusione egli nega l'esistenza dell'infinitamente piccolo e dell'infinitamente grande, e questo anche in astrologia in quanto postula proprio un cosmo finito.

La matematica del continuo di Archimede Mentre Aristotele diede una risposta filosofica, Archimede ne diede una matematica e logica. L'impulso venne dato dalla ricerca di nuovi metodi per studiare figure solide dopo la crisi del metodo di accrescimento gnomonico. Inizialmente la strada seguita fu quella di cercare una costruzione geometrica da effettuare usando soltanto riga e compasso, e questo metodo fu centrale tanto che Euclide fornisce una fondazione teorica a questo metodo negli elementi: in essi si supera la crisi attraverso due teorie: ASTRAZIONE DELLE COSTRUZIONI CON RIGA E COMPASSO e TEORIA GENERALE DELLE PROPORZIONI (→ attribuita ad Eudosso di Cnide): dal momento che non si può avere una descrizione di numeri come R2 si deve trovare un metodo

che permetta di confrontarli con altre grandezze (pag 59). L’indagine sul continuo raggiunse il culmine con Archimede che sviluppa le metodologie di Eudosso per ottenere procedure aritmetiche che permettano di trattare il regresso all'infinito dell'analisi delle grandezze continue → ASSIOMA DI ARCHIMEDE (metodo di esaustione): date due grandezze diverse da 0 esiste un multiplo di una che supera l'altra (→ nega grandezze infinitamente piccole). Con il metodo di esaustione si stima l'area del cerchio attraverso il confronto delle aree dei poligoni iscritti e circoscritti ad esso: un'altra applicazione quella della quadratura della parabola (→ base del calcolo integrale).

Infinito e nuova scienza La visione aristotelica dell'infinito esistente solo in potenza sarà predominante fino a tutto il medioevo, solo dalla metà del 15 secolo viene messa in discussione la tesi che il cosmo sia finito dando luogo alla nascita della SCIENZA MODERNA a favore della tesi che l’estensione del cosmo sia attualmente infinita. L'idea dell'infinito in atto ebbe un peso notevole e uno dei primi ad affermare questa tesi fu Nicola Cusano che nega sia la validità della teoria geocentrica sia la finitezza del cosmo.

Infinito e continuo in Galileo Galileo fu il primo tra i pensatori moderni ad interessarsi alle ricerche sull'infinito attuale in matematica. Osserva che un insieme infinito ha parti proprie che sono equivalenti ad esso e che i numeri quadrati 4,9,16 sono tanti quanti i numeri naturali 2,3,4,.. ma il contributo più importante è lo studio matematico del movimento e del continuo ottenuto applicando il metodo di Archimede alla caduta dei gravi → idea di quello che diventerà il principio della caduta dei gravi: la proporzione degli spazi percorsa è doppia rispetto ai quadrati dei tempi; il problema è che lo spazio percorso dipende da tutte le velocità istantanee che sono infinite e che durando solo un'istante non producono nessuno spostamento osservabile, quindi per calcolare la velocità istantanea in un unto galileo calcola la somma di tutte le velocità istantanee. Solo con le ricerche di Galileo inizia la riflessione moderna sul rapporto fra numero, continuo e infinito che sfocerà nel primo tentativo di dare una sistemazione matematica al concetto di insieme infinito.

Gli indivisibili di Cavalieri Cavalieri vuole stabilire un apparato di definizioni e assiomi in cui a fianco delle figure geometriche appaiono dei nuovi enti, tutte le linee delle figure in esame. Linea= data una figura in un piano, e una retta del piano, si prenda una qualsiasi retta parallela alla retta data che sia secante della figura. Il segmento della secante compreso nella figura viene chiamato linea e l'insieme di tutti i segmenti secanti viene detto “tutte le linee”. Due principi: tutte le linee di transito retto sono grandezze in rapporto tra loro; se due figure piane sono collocate sulla medesima altezze se tutte le linee sono grandezze proporzionali le figure staranno tra di loro come uno degli antecedenti sta al suo conseguente ad esse corrispondenti nell'altra figura. Il problema sta nel fatto che bisogna confrontare tra di loro un numero indefinito di segmenti, e una questione è riguardante il continuo: è il continuo uguale ai suoi infiniti indivisibili? La grande innovazione sta nell'ammettere la possibilità di compiere un numero infinito di somme o divisioni solo però su grandezze finite; la sola cosa importante è che per ogni linea se ne possa trovare un'altra di un'altra figura con cui confrontarla.

Cartesio Primo tentativo di fondazione filosofica del metodo scientifico galileiano. Uno dei problemi su cui si applica è di capire come la mente umana possa essere in grado di comprendere ragionamenti sull'infinito e sul continuo: la soluzione sta nella distinzione tra mente e corpo. L'intuizione del finito si basa su una facoltà che dipende dal corpo (l'immaginazione) i ragionamenti sull'infinito sono basati su una facoltà che dipende dalla mente, l'intelletto. Il problema dell'infinito è trattato in due passi: nel primo si parla dell'intuizione di un pezzo di cera che cambia forma; come è possibile che si possa identificare come unico pezzo di cera se, sciogliendosi, assume attraverso un movimento continuo un'infinità di forme geometriche diverse? Il secondo passo è come sia possibile fare un ragionamento su figure geometriche con molti lati (chiliagono) non riusciamo a visualizzarne la forma → i ragionamenti su questi argomenti sono possibili grazie all'uso dell'intelletto.

Alle origini del calcolo infinitesimale L’impulso allo studio dell'infinito matematico viene dato dalla ricerca di un sistema assiomatico con cui aritmetizzare le riflessioni sul'analisi del continuo → Wallis: dimostra al punto di vista aritmetico alcuni risultati dimostrati da cavalieri con gli indivisibili: il calcolo dell'integrale della curva, attraverso il ricorso a somme infinite (1+a/n → tende alla quantità a al crescere di n).

Leibniz e Newton Newton → scopriva il metodo dello sviluppo in serie e il calcolo delle tangenti attraverso gli infinitesimi. Il metodo dello sviluppo in serie consiste nel calcolo di funzioni attraverso quello di una somma infinita di termini → calcolo di una figura curvilinea, ottenuto attraverso la somma di un numero infinito di rettangoli con basi di larghezza infinitesimale o evanescente. È analogo il metodo per calcolare le tangenti. Leibniz → anche lui si applica allo studio dell'infinito in matematica ottenendo risultati nel campo dello sviluppo in serie di funzioni e dell'analisi infinitesimale. Una delle prime scoperte è un contributo alla stima di p greco. Ma il contributo più importante è la creazione di un metodo generale per la trattazione dell'infinito. Attraverso la loro opera l'infinitesimo diventa uno dei principali concetti della matematica del XVIII secolo; Newton considera l'infinitesimo come il concetto matematico corrispondente alla flussione (velocità di variazione del moto di una particella) mentre il differenziale di Leibniz trova una correlazione con la sua teoria delle monadi. Oltre l'infinitesimo La vaghezza che caratterizzava la nozione di infinitesimo iniziò subito a suscitare controversie, e quindi dalla seconda metà del 700 i matematici cercheranno definizioni di derivata e di integrale che evitino il ricorso agli infinitesimi, giungendo al concetto di LIMITE. Il primo fu d'Alembert: una quantità viene definita limite di una seconda quantità variabile se questa seconda si avvicina alla prima tanto che la differenza tra le due diventa minore di qualsiasi grandezza data (infinitesimo = differenza di variabile con una grandezza fissata) Cauchy: prima moderna definizione di limite → “quando i valori attribuiti ad una variabile si avvicinano ad un valore fissato così che finiscono per differire da questo per una differenza piccola quanto si vuole, quest'ultimo viene detto limite di tutti gli altri”(infinitesimo=variabile dipendente). Attraverso la definizione di limite Cauchy definisce matematicamente anche i concetti di funzione continua, derivata di una funzione e serie convergente. CRITERIO DI CONVERGENZA DI CAUCHY → perché la serie Un+Un1+Un2. Sia convergente è necessario che il termine generale Un decresca quando n aumenta e che per i valori crescenti di n le somme ottengano dei valori assoluti inferiori ad ogni grandezza assegnabile. Il punto debole di questa costruzione è l'assenza di una definizione di numero reale.

CAPITOLO 2 Weierstrass si rese conto che per rendere rigorosa l'analisi del continuo di Cauchy mancava una definizione operativa di numero. Assumendo come definito l'insieme dei numeri naturali N= (0,1,2,3,4) è possibile definire l'insieme dei numeri interi Z= (-3,-2,-1, 0, 1..) . Per quanto riguarda i numeri razionali Q, numeri interi con denominatore diverso da zero, si può fare l'osservazione che i numeri interi sono un loro sottoinsieme perché gli interi sono quei numeri razionali con denominatore uguale a 1. Sapeva che ogni numero razionale Q può essere visto come numero decimale che abbia: successione infinita di serie dopo la virgola che si ripetono con regolarità. → IDENTIFICARE OGNI NUMERO RAZIONALE CON UNA SERIE INFINITA → questo non è però il caso dei numeri irrazionali come R2 → esistono infiniti punti della retta che non corrispondono a nessun numero razionale. Una prima approssimazione al problema venne dall'osservazione che alcuni numeri reali possono essere rappresentati come soluzione di equazioni algebriche → NUMERI ALGEBRICI. Ci fu la scoperta di numeri irrazionali che non possono essere espressi come soluzione di equazioni polinomiali: NUMERI TRASCENDENTI → scoperta della trascendenza del p greco.

Cantor, Dedekind e l'ipotesi del continuo Dedekind → fornire un modello matematico della retta continua. Per farlo assume come punto di partenza l'insieme Q dei numeri razionali, e definisce l'insieme dei numeri reali R in termini di SEZIONI della retta → sezione dell'insieme ordinato dei numeri razionali. Dedekind stabilisce poi le

proprietà che costituiscono quella che chiama l'essenza della continuità: se tutti i punti della retta vengono decomposti in due classi tali che ogni punto della prima sia alla sinistra di ogni punto della seconda, allora esiste uno e un solo punto che produce questa partizione. I numeri reali vengono definiti come quelli generati dalle sezioni: NUMERO REALE = COPPIA DI INSIEMI INFINITI DI PUNTI DELLA RETTA. Cantor → i suoi primi studi riguardavano lo sviluppo in serie delle funzioni, in particolare il problema dell'unicità della rappresentazione di funzioni in termine di serie trigonometriche. Anche per Cantor risulta importante definire il numero reale (che egli chiama grandezza numerica). Anche egli parte dall'insieme Q e dal concetto numerico di serie utilizzando il criterio di convergenza di Cauchy, del quale fa la definizione stessa di numero reale → GRANDEZZA NUMERICA= SUCCESSIONE FONDAMENTALE (sequenza infinita di numeri razionali che si approssima ad un limite). Il numero reale è quindi inteso come insieme infinito di numeri razionali. Il problema che Cantor si pone poi è quello di identificare le successioni di Cauchy con i punti della retta, cosa che lo portò ad enunciare l'assioma secondo cui “a ogni numero corrisponde un punto della retta la cui coordinata è uguale al numero stesso”. I due modelli sono equivalenti perché entrambi sono modello del sistema di assiomi dei numeri reali così come viene presentato dai matematici contemporanei però sono basati sul concetto di “insieme infinito” che è ancora senza una definizione matematica → la creazione di tale definizione occuperà il loro successivo lavoro.

Infinito e teoria degli insiemi Lettera di Cantor a Dedekind → cantor gli dice che il problema è quello di capire se, prendendo l'insieme N dei numeri interi positivi e l'insieme R dei numeri reali, essi possano essere messi in corrispondenza in modo che ad ogni individuo di uno corrisponda uno e un solo individuo dell'altro → EQUIPOTENZA: due insiemi si dicono equipotenti se ogni individuo della prima può essere messo in corrispondenza con un unico individuo della seconda (corrispondenza biunivoca). Cantor dimostrò che l'insieme dei numeri razionali Q e quello dei numeri reali algebrici A sono numerabili,ovvero che possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali N.Cantor scopre anche la non-denumerabilità dell'insieme R (→ l'insieme dei numeri reali compresi tra 0 e 1 è equipotente all'intero insieme dei numeri reali R. supponendo di avere una corrispondenza biunivoca con l'insieme N, la dimostrazione sta nel mostrare che esiste un numero reale R appartenente all'intervallo tra 0 e 1 che non è nell'enumerazione → l'insieme R non è numerabile → nuova dimostrazione dell'esistenza dei numeri TRASCENDENTI (numeri reali non algebrici): T= R-A. Cantor scopre anche un'altra proprietà del continuo, che ci sono tanti punti nel piano quanti ve ne sono sulla retta ( → baserà sull'identificazione dei punti della retta con i numeri reali). Il concetto di collezione infinita di oggetti è il nucleo centrale attorno al quale ruotano le dimostrazioni di Cantor e Dedekind: l'infinito qui è un INFINITO ATTUALE. Dedekind riprende la definizione di Galileo sull'equi numerosità dell'insieme dei numeri naturali e del sottoinsieme dei numeri pari, facendone la definizione dell'insieme infinito → un sistema S si dice infinito se è equivalente ad una parte propria di se stesso. La dimostrazione che fa è extramatematica in quanto egli asserisce come insieme infinito l'universo mentale di ognuno di noi, come totalità di tutte le cose che possono essere oggetto del nostro pensiero. La definizione di insieme data da Cantor è molto simile a quella di Dedekind ma egli introduce un'innovazione: definizione di NUMERO CARDINALE. → “per insieme si intende qualsiasi collezione m di oggetti del nostro pensiero, raccolti in un tutto M. ogni M ha una potenza definita, il NUMERO CARDINALE, concetto generale che sorge dall'insieme M quando facciamo astrazione della natura dei suoi vari elementi m. due insiemi hanno la stessa cardinalità solo se sono equivalenti” → il concetto di cardinalità ottiene operando un “doppio atto di astrazione”, prescindendo dall'ordine in cui sono dati gli elementi e dal fatto che tali elementi siano più o meno uguali. Cantor definisce l'insieme delle parti P(A) come l'insieme di tutti i sottoinsiemi di A. se l'insieme A ha cardinalità n, allora l'insieme P(A) avrà cardinalità 2allan → INSIEME P(A)= INSIEME POTENZA DI A. per ogni insieme A, vale che |A|< |P(A)|. cantor passa poi a definire la cardinalità degli insiemi infiniti (o transfiniti), affermando che il primo esempio di insieme transfinito è l'insieme dei numeri naturali N e che il loro numero cardinale è Aleph-Zero, che è il più piccolo cardinale transfinito: definirà poi una successione di cardinali transfiniti, la gerarchia degli Aleph basata sul concetto di “tipo d'ordine” → quello che si ottiene compiendo una sola operazione di

astrazione rispetto a un insieme che prescinde dalla natura degli elementi dell'insieme lasciandone inalterato l'ordine. Ce ne sono 3 tipi diversi: dell’insieme N Dell'insieme Q (ha la proprietà di essere denso: presi due elementi, ne esiste sempre uno compreso tra i due) del continuo R Uno dei principi assunti come veri senza dimostrazione è quello del BUON ORDINAMENTO → ogni tipo d'ordine può essere ben-ordinato (quando ogni suo sottoinsieme non vuoto ha un primo elemento). Postulando questo principio cantor definisce la gerarchia degli Aleph e afferma che essa può procedere all'infinito. Il continuo e la macchina di Turing L’oggetto del lavoro di Turing è la definizione di NUMERO COMPUTABILE termine con cui si intendono “i numeri reali le cui espressioni come decimali sono computabili con mezzi finiti”. Turing non si preoccupa di dare una definizione dell'insieme di tutti i numeri reali, ma solo di definire quei numeri reali “computabili con mezzi finiti”. Il suo saggio è finalizzato a rendere rigorosa la definizione di numero computabile attraverso la creazione degli oggetti teorici noti come “macchine di Turing” → un numero è computabile se i suoi decimali possono essere scritti da una macchina. La metafora del contare come calcolare con una macchina di Turing è diventata una delle più influenti nella scienza del XX secolo. Il computare è di solito fatto scrivendo certi simboli sulla carta: si può suppore che questa sia divisa in quadretti e che sia uni-dimensionale, su un nastro diviso in quadretti, e che il numero di simboli che si possono scrivere sia finito. È anche sempre possibile usare sequenze di simboli al posto di singoli simboli. Il comportamento della macchina è in ogni istante influenzato dal simbolo che sta osservando e dal suo “stato mentale”; si suppone che esista un limite L al numero di simboli o quadretti che il computer può osservare in un dato istante e che anche il numero degli stati mentali sia finito. Le operazioni possono essere considerate “semplici” e consistono in qualche cambiamento del sistema fisico costituito dl computer e dal nastro e che in ognuna di esse non sia modificato più di un simbolo alla volta. Ci sono quattro tipi di op. semplici: cambiare il simbolo su uno dei quadretti cambiare la cella osservata cambiare simbolo e stato mentale cambiare cella e stato mentale basandosi sul fatto che ogni numerale può essere espresso come una successione di simboli, Turing suppone che: l'alfabeto A sia composto da un numero finito di simboli la macchina si sposti di una sola cella per volta la macchina abbia un insieme finito di stati mentali Ogni macchina è determinata da un insieme finito di istruzioni, ognuna delle quali può essere descritta da un numero finito di simboli → ogni macchina è caratterizzabile da un numero finito di simboli. Turing non nega che un numero reale sia composto da una successione infinita di cifre decimali: egli però afferma che gli unici numeri reali effettivamente computabili siano quelli per i quali è possibile definire una macchina che ne calcoli la successione delle cifre decimali → l'insieme dei numeri reali computabili M include l'insieme dei numeri reali algebrici A. L'idea che l'unica possibile trattazione del concetto di grandezza continua sia quella fatta in termini di programmi finiti porterà ad una radicale critica della nozione di infinito attuale proposta dalla teoria degli insiemi.

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