Integrali1 (1), Schemi riassuntivi di Matematica. International University College of Turin
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ANALISI MATEMATICA I - A.A. 2011/2012

INTEGRALI INDEFINITI / ESERCIZI PROPOSTI

L’asterisco contrassegna gli esercizi più difficili.

1. Calcolare i seguenti integrali usando la linearità dell’integrale:

a) x2 − 3 x2 + 3

x5 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . log |x|+ 94x4 + c

b) x2 − 4 x− 2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2x

2 + 2x+ c

c) 3x3 − 3 x− 1 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x

3 + 32x 2 + 3x+ c

d) x

1 + x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [x− log |x+ 1|+ c]

e) x3 + x2 + 1

x− 1 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 3x

3 + x2 + 2x+ 3 log |x− 1|+ c

f) cos2 x

1 + sinx dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [x+ cosx+ c]

g) tan2 xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [tanx− x+ c]

2. Calcolare i seguenti integrali immediati usando la regola di integrazione per sostituzione:

a) esinx cosxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . esinx + c

b) cos5 x sinx dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − cos6 x6 + c

c) cos (log x)

x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [sin (log x) + c]

d) 1

x √ log x

dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 √ log x+ c

e) 1√ 3x+ 1

dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 √ 3x+ 1 + c

f) 1

cos2 (5x+ 9) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 tan (5x+ 9) + c

g) x3 sin x4 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . − cosx44 + c

h) xe2x 2−1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14e

2x2−1 + c

i) x 1 + x2dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1 + x 2 √ 1 + x2 + c

l) x2√ 1− x3 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −

2 3

√ 1− x3 + c

m) x

1 + x4 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 arctanx

2 + c

1

2 M.GUIDA, S.ROLANDO

3. Calcolare i seguenti integrali usando la regola di integrazione per parti:

a) x2 log x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13x 3 log x− 13 + c

b) x2 cosxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − 2 sinx+ 2x cosx+ c

c) x2e2xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 − x+ 12 e 2x

2 + c

d) x cosh (3x) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13x sinh 3x− 19 cosh 3x+ c

e) (x+ 5) log xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x 2

2 + 5x log x− x 2

4 − 5x+ c

f) log x

x2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −1+log xx + c

g) arctanx dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x arctanx− 12 log 1 + x2 + c

h) arcsinx dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x arcsinx+ √ 1− x2 + c

i) x cos2 xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 x sin 2x

2 + cos 2x 4 +

x2

2 + c

l) e2x cosxdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sinx+2 cos x5 e 2x + c

4. Calcolare i seguenti integrali di funzioni razionali:

a) x+ 2

x2 − 4x+ 4dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . log |x− 2|− 4

x−2 + c

b) 2x+ 5

x2 + 2x− 3dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 4 log |x− 1|+ 14 log |x+ 3|+ c

c) x+ 1

x2 − 2x+ 4dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 log(x

2 − 2x+ 4) + 2√ 3 arctan x−1√

3 + c

d) x+ 1

x2 − x+ 5dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 log(x

2 − x+ 5) + 3√ 19 arctan 2x−1√

19 + c

e) 2x2 + x

(x+ 2) (x2 + 2x+ 6) dx. . . . . . . . . . . . . log |x+ 2|+ 12 log x2 + 2x+ 6 − 4√5 arctan x+1√5 + c

f) 3x− 1

(x− 1) (x− 2)2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 log x−1 x−2 − 5x−2 + c

g) x4 − 5x3 + 8x2 − 9x+ 11

x2 − 5x+ 6 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x3

3 + 2x− log |x− 2|+ 2 log |x− 3|+ c

h) 1

(x2 + 1)2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

x 1+x2 +

1 2 arctanx+ c

i) 1

(x2 + 1)3 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3x3+5x (x2+1)2

+ 38 arctanx+ c

l) x2

(x+ 1) 4 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . −13 3x

2+3x+1 (x+1)3

+ c

5. Calcolare i seguenti integrali mediante opportune sostituzioni:

a) ex + 1

e2x + 1 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x− 12 log e2x + 1 + arctan ex + c

b) (5ex + 4) ex

(ex − 2) (e2x + ex + 1)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 log (e x − 2)− log e2x + ex + 1 + c

INTEGRALI INDEFINITI 3

c) x √ 1− xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 (1− x)2

√ 1− x− 23 (1− x)

√ 1− x+ c

d) 1 + √ x

x (1 + 3 √ x) dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [6 6

√ x+ log x− log (1 + 3√x)− arctan 6√x+ c]

e) 1

cosx dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . log 1+sin xcos x + c

f) 1

2 sinx+ cosx− 1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 log

tan(x/2) tan(x/2)−2 + c

g) cos2 x

1− 2 sin2 xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 4 log

sinx+cosx sinx−cosx +

1 2x+ c

h) tan3 xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 tan 2 x− 12 log 1 + tan2 x + c

6. Calcolare i seguenti integrali mediante la sostituzione suggerita a fianco:

a) x2 − 1 dx, x = cosh t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 √ x2 − 1− 12 cosh−1 x+ c

b) x2 + 1 dx, x = sinh t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 (1 + x 2) + 12 sinh

−1 x+ c

c*) 1− x 1 + x

dx, x = sin t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . arcsinx+ √ 1− x2 + c

d) 1

(x2 + 1) √ x2 + 1

dx, x = sinh t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1√ x2+1

+ c

e)

√ x2 + 1

x2 dx, x = sinh t. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . sinh−1 x−

√ x2+1 x + c

f)

√ x2 − 1 x

dx, t = x2 − 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . √x2 − 1− arctan √x2 − 1 + c

g*) x x2 + x+ 1 dx, x = 1

2

√ 3 sinh t− 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 x 2 + x+ 1

3/2 − 18 (2x+ 1) √ x2 + x+ 1− 316 sinh−1 2x+1√3 + c

7. Per ciascuno degli integrali a) degli esercizi 1-6 precedenti, determinare la primitiva F (x) della funzione integranda che si annulla nel punto x0 = 1.

8. Calcolare i seguenti integrali:

a) x√ 1− x4 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

1 2 arcsin x

2 + c

b) x√ x− 1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

√ x− 1 + 23 (x− 1)

√ x− 1 + c

c) 1√

x ( 4 √ x− 1)dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [4

4 √ x+ 4 log | 4√x− 1|+ c]

d) 1√

1− 4x2 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 arcsin 2x+ c

e*) 9x2 − 1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x2 √ 9x2 − 1− 16 cosh−1 (3x) + c

f) 1

ex + 1 dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [x− log (ex + 1) + c]

g) ex+e x

dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ee x

+ c

h*) √ ex − 1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2√ex − 1− 2 arctan √ex − 1 + c

4 M.GUIDA, S.ROLANDO

i*) 1√

e−2x − 1dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [arcsin (e x) + c]

l) 1

x+ x log x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [log |1 + log x|+ c]

m) log x

x 4 + 3 log2 x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4 + 3 log

2 x+ c

n) log x√ x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [2

√ x (log x− 2) + c]

o) sin2 xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x−sinx cosx2 + c

p) sin3 xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . cos 3 x 3 − cosx+ c

q) 1

sinx cosx dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [log |tanx|+ c]

r) 1

sin2 x cos2 x dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [tanx− cotx+ c]

s) cosx

3− cos2 xdx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1√ 2 arctan sinx√

2 + c

t) 4 sinx

4 cos2 x− 8 cosx+ 5dx. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . [−2 arctan (2 cosx− 2) + c]

u*) x arctan (1 + 16x) dx. . . . . . . . . . . . . . x 2

2 arctan (1 + 16x) + 1 512 log 1 + (1 + 16x)

2 − x32 + c

9. Per ciascuna delle seguenti funzioni definite a tratti (continue sul proprio dominio), calcolare tutte le primitive F (x) e determinare quella che vale 1 in x0 = 0:

a) f (x) =

 x+ 2

x− 1 se x < 0 xe3x − 2 se x ≥ 0

. . . . . F (x) = x+ 3 log |x− 1|+ c se x < 0 x− 13 e

3x

3 − 2x+ c+ 19 se x ≥ 0 , c = 1

b) f (x) = −x3 sin π + πx2 se x ≤ 1 x2 − 8x+ 7 se x > 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F (x) = sin(πx2) 2π2 − x2

cos(πx2) 2π + c se x ≤ 1

x3

3 − 4x2 + 7x+ c+ 12π − 103 se x > 1 , c = 1

c) f (x) = log 1 + 25x2 se x ≤ 1 x log 26 se x > 1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F (x) = x log 1 + 25x2 − 2x+ 25 arctan 5x+ c se x ≤ 1 log 26 2 x

2 + c se x > 1 , c = 1

d) f (x) =

 4x+ 1 se x ≤ 0

1√ 4− x− 3 se 0 < x ≤ 4

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . F (x) = 2x2 + x+ c− 4 se x < 0 −2√4− x− 6 log 3−√4− x + c se 0 < x ≤ 4 , c = 5

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