matematica per applicazioni economiche, Domande di esame di Matematica. Università degli Studi di Firenze
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lorenzo-palli19 novembre 2017

matematica per applicazioni economiche, Domande di esame di Matematica. Università degli Studi di Firenze

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matematica, unifi eserciziario esame
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ESERCIZIARIO corso MATEMATICA - Applicazioni Economiche

October 7, 2013

NOTAZIONI Nella teoria delle funzioni con f ≡ K si indica la funzione costante a livello K, ossia f(x) = K

per ogni x ∈ IR.

[x] denota la funzione parte intera di x.

Massimo (o minino) assoluto = massimo (minimo) globale; massimo (o minimo) relativo = massimo (o minimo) locale.

ISTRUZIONI Giustificare SEMPRE le risposte.

EQUAZIONI, DISEQUAZIONI ALGEBRICHE, SEMPLICI DISUGUAGLIANZE

Esercizio 1 Sia a > 0. Dimostrare che |x| < a, (1)

se e solo se −a < x < a. (2)

Esercizio 2 Risolvere la disequazione

x6 4x3 + 3 0.

Esercizio 3 Risolvere la disequazione

7x− 2 8x− 3 > 0.

Esercizio 4 Risolvere le disequazioni

6x− 1 3x− 1

1 3x + 1

> 0,

x2 3x + 2 (x− 1)2 + 1 0.

1

Esercizio 5 Risolvere la disequazione

|x− 1| < |x− 2| .

Esercizio 6 Risolvere la disequazione

x + 1 x |x|+ 2 > 0.

Esercizio 7 Risolvere la disequazione

2x2 4x ≤ x− 1.

Esercizio 8 Risolvere la disequazione

x2 2x− 3 > x− 2.

Esercizio 9 Risolvere la disequazione

|x− 1| − 3 >

(x− 1) (x− 3).

Esercizio 10 Trovare le soluzioni dell’equazione

max { x, x2 1} = 5x− 7.

Esercizio 11 Si determini l’insieme delle soluzioni dell’equazione x2 = 2|x|+ 3.

Esercizio 12 Risolvere l’equazione x2 + |x| = 6.

Esercizio 13 Si dica per quali valori di x è soddisfatta la disuguaglianza

|x(x + 2)| − 2|x + 2| ≥ 0.

Esercizio 14 Si determini l’insieme delle soluzioni della disequazione

|x(x− 2)| − |x− 2| ≤ 0.

Esercizio 15 Si determini l’insieme delle soluzioni della disequazione

(x− 2)2 2|x− 2|+ 3.

Esercizio 16 Si determini l’insieme delle soluzioni della disequazione

(x + 2)2 6− |x + 2|.

2

PROPRIETÀ DEI NUMERI REALI

Esercizio 17 Usando le proprietà algebriche di cui godono le operazioni tra numeri reali (vedere libro di testo), dimostrare che per ogni numero reale a a · 0 = 0. Esercizio 18 Usando le proprietà algebriche di cui godono le operazioni tra numeri reali ed il risultato dell’esercizio precedente, dimostrare che se a e b sono due numeri reali tali che a · b = 0, allora a = 0 oppure b = 0.

Esercizio 19 Se a è un numero reale diverso da 0 allora 0 < a2.

Esercizio 20 Se a è un numero reale allora a3 > 0 se e solo se a > 0.

Esercizio 21 Dire quale dei seguenti insiemi è limitato superiormente o inferiormente. a) [0, 1[, b) ]−∞, 4[ ]7, 10] , c) ]4, +[ , d) ]−∞, 1[ [4,+[ , e) ]1, 2] ]3, 4] ]7, 10[ , f) {x ∈ R | |x| < 2x− 1} , g)

{ x = n− 1

n | n ∈ N

} .

Esercizio 22 Sia A =]0, 1[. Trovare l’estremo superiore L e l’estremo inferiore ` e verificare sia la caratterizzazione {

1) x ≤ L ∀x ∈ A; 2) ∀ ε > 0 esiste x ∈ A tale che x > L− ε

che la caratterizzazione {

1) x ≥ ` ∀x ∈ A; 2) ∀ ε > 0 esiste x ∈ A tale che x < L + ε.

Esercizio 23 Siano A e B due sottoinsiemi di R. Dimostrare che se A ⊂ B allora inf B ≤ inf A ≤ supA ≤ sup B.

Esercizio 24 Trovare l’estremo superiore e l’estremo inferiore dell’insieme

A = {

1 n3

| n ∈ N }

.

Esercizio 25 Riferendosi all’esercizio precedente, verificare che 0 soddisfa la caratterizzazione di estremo inferiore riportata nel testo dell’ esercizio 22.

Esercizio 26 Trovare l’estremo superiore e l’estremo inferiore di

A = {

1 n | n ∈ N

} .

3

Esercizio 27 Dimostrare che se A è limitato superiormente e supA /∈ A allora supA è un punto di accumulazione di A.

Esercizio 28 Si dica quale delle seguenti affermazioni è vera

a) √

18 · √2 è un numero negativo, b) √18 · √2 è un numero naturale c) √

18 · √2 è un numero irrazionale, d) nessuna delle altre affermazioni è vera Esercizio 29 Sia

A = {

n + 1 n2

, n ∈ N }

.

Si determini l’insieme dei punti interni dell’insieme A.

Esercizio 30 Si dica quali delle seguenti affermazioni è vera

a) 7

3 è un numero negativo, b) 7

3 è un numero naturale c) 7

3 è un numero irrazionale, d) nessuna delle altre affermazioni è vera

Esercizio 31 Per quale dei seguenti insiemi x0 = 3 è punto interno?

a) N; b) [0, 3]; c) [2, 4); d) (3, 6) Esercizio 32 Per quale dei seguenti insiemi x0 = 1 è punto interno?

a) Z; b) [1, 5]; c) [0, 1); d) (1, 9] Esercizio 33 Si determinino l’estremo inferiore e l’estremo superiore dell’insieme

A = (2, 0) {

sin (π

2 n )

: n ∈ N }

.

Esercizio 34 Si determinino l’estremo inferiore e l’estremo superiore dell’insieme

A = (0, 3) ∪ {cos (πn) : n ∈ N} . Esercizio 35 Quale dei seguenti insiemi coincide con l’insieme dei suoi punti interni?

a) (0, 1) ∪ {3}; b) N; c) (−∞, 4) (π,+); d) [2, 1]− {0} Esercizio 36 Si individuino l’estremo superiore e il massimo dell’insieme A = (1, 3] [2, 2). Esercizio 37 Per quale dei seguenti insiemi π è un punto interno?

a) [1, 3]; b) (5, 9]; c) [0, 10); d) {

0, π

2 , π,

3π 2

, 2π }

.

Esercizio 38 Si individuino l’estremo inferiore e il minimo dell’insieme A = (2, 5] [1, 4). Esercizio 39 Per quale dei seguenti insiemi e è un punto interno?

a) [2, 1]; b) (3, 10]; c) [1, 5); d) {0, 1, e, e2}.

4

Esercizio 40 Si dica quale dei seguenti numeri è razionale

a) 4

5 + 2

20; b) 4

52

20; c) 3

36

12; d) 3

3 + 6

12.

Esercizio 41 Si dica quale dei seguenti numeri è irrazionale

a) 2

22 3

18; b)

2 3

22

18; c)

4 3

218

; d) 2

182

.

SUCCESSIONI: monotonia, iniettvità, immagine, limitatezza e limiti

Questa parte di esercizi presuppone la conoscenza dei soli Capitoli 1, 2 e 3 del libro di testo del corso. Si ricordi che 0 6∈ N.

Esercizio 42 Mostrare che la successione an = n 2+1 2n é strettamente crescente.

Esercizio 43 Mostrare che lim n→∞

3n−1 2n+5 =

3 2 .

Esercizio 44 Mostrare che lim n→∞

n+3 2n2+n = 0.

Esercizio 45 Mostrare che la successione

an = {

1 se n = 1 5m+2 3m+5 se n ≥ 2

è iniettiva.

Esercizio 46 Mostrare che la successione an = n3 + 3n + 2 è strettamente crescente.

Esercizio 47 Si consideri la successione

an = {

1 n se n è dispari 3n

n2+1 se n è pari

Mostrare che lim n→∞

an = 0.

Esercizio 48 Calcolare l’immagine della successione an = (1)n ( cos

( 2

)sin (4 ))

.

Esercizio 49 Basandosi sulla definizione di limite, mostrare che lim n→∞

1 n! = 0.

Esercizio 50 Mostrare che la successione an = (1)nn2 è illimitata.

Esercizio 51 Mostrare che la successione an = 5n2 17n + 7 è iniettiva e non è monotona.

5

PROPRIETÀ (monotonia, invertibilità, limitatezza, sup/inf, max/min, simmetrie) E USO DELLE FUNZIONI

Esercizio 52 Siano date 3 funzioni reali f, g, h definite su IR e di cui si sa che: f è positiva e superiormente limitata, infx∈IR g(x) = 3, h è limitata. Stabilire se ciascuna delle seguenti funzioni è superiormente limitata, GIUSTIFICANDO SEMPRE, ossia dando una dimostrazione in caso positivo ed esibendo un controesempio in caso negativo:

f(x) h(x)

; f(x) g(x)

; f(x) + h(x); f(g(x)); g(x) · h(x).

Esercizio 53 1) Si scriva la definizione di funzione monontona sul suo dominio. 2) Siano date 3 funzioni reali f, g, h definite su IR e strettamente crescenti, con g(x) > 0 ∀x ∈ IR, e sia c > 0. Basandosi sulla definizione di funzione monotona su un insieme, stabilire quali delle seguenti sono monotone sul loro dominio, GIUSTIFICANDO SEMPRE:

h(g(x)), f(x) + cg(x), h(f(x) + cg(x)), f(x− 2), f(x) · ln(h(x)), g(x) · ln(h(x)),

f2(x), f(x) h(x)

, sin(f(x) + cg(x)), tan(f(x) · g(x)).

3) Disegnaro il grafico di tan(x− 2) e dire, GIUSTIFICANDO, se è crescente su (−π2 , π2 ).

Esercizio 54 Scrivere, SEMPRE GIUSTIFICANDO, un intervallo in cui le seguenti funzioni sono monotone:

f1(x) = tan(x2 2x + 1), f2(x) = tan(ln(x)), f3(x) = [ x3

] , f4(x) = 2 ln x, f5(x) = ln(x2),

f6(x) = ln(x3), f7(x) = x ln(x),

dove [z] è la funzione parte intera di z.

Esercizio 55 a) Si dia la definizione di funzione iniettiva. b) Si determini la funzione inversa di f(x) = 12+ln x . c) Si determini la controimmagine di [5, 10] tramite la funzione f(x) = 3x2 + 1. d) Si dica quale tra le seguenti funzioni è superiormente limitata:

f1(x) = 1

x− 2 ; f2(x) = 3x 2 sin x, f3(x) = ln(x) · I(0,2)(x), f−13 (ex), f4(x) = x + cos x,

dove I(0,2) è la funzione indicatrice dell’insieme (0, 2):

I(0,2)(x) = {

1 se x ∈ (0, 2) 0 se x ∈ (0, 2)c.

6

Esercizio 56 Sia

f(x) = {

ex 2

se x ≥ 0 kx + q se x < 0 :

stabilire per quali valori dei parametri k, q la funzione risulta monotona su tutto IR.

Esercizio 57 Sia Π il profitto ricavato vendendo una quantità q di merce che si è prodotta. Sia p il prezzo unitario a cui si riesce a vendere la merce. Come noto, per realizzare la produzione si devono sostenere sia costi fissi CF che costi variabili Cv(q). 1) Scrivere per esteso l’ammontare Π del profitto quando la funzione Cv sia lineare Cv(q) = aq, con a costante data. 2) Come noto, la quantità di merce che si riesce a vendere dipende dal prezzo che si impone. As- sumendo che sia q(p) = −bp + d, dove b > 0, d sono costanti reali, scrivere come risulta il profitto al variare di p. 3) Specificare la funzione profitto, trovata sopra, al caso in cui CF = 200 Euro, Cv(q) = 20q, e la funzione domanda sia q(p) = 300− p2 . Disegnarne un grafico (immediato, ossia ottenuto a partire dai grafici delle funzioni elementari e trasformandoli). 4) Quale prezzo p si deve imporre alla merce per realizzare un profitto di 1000 Euro? Spiegare il significato economico del risultato. 5) Qual è il massimo profitto che si può ottenere con questa linea di produzione?

Esercizio 58 1) Si disegni il grafico (immediato) di

f(x) = ∣∣∣∣1

1 x

∣∣∣∣ .

2) Guardando il grafico si dica se la funzione è iniettiva sul suo dominio, ed in caso negativo si determini un intervallo massimale A su cui lo è. 3) Si calcoli la controimmagine f−1(y) del generico y e si stabilisca cos̀ı l’immagine di f . 4) Si disegni il grafico dell’inversa di f ristretta ad A.

Esercizio 59 Si disegni il grafico (immediato) di

f(x) =

  

1 se x ≤ −π2 | sin(x)| se − π2 < x ≤ π2

1 se x > π2

1) Si determini f−1(1). 2) Si intuisca il valore di inf [−π2 ,0) f e si dimostri la correttezza dell’intuizione, a partire dalla caratterizzazione di estremo inferiore data sul libro di testo.

Esercizio 60 1) Si dia la definizione di estremo superiore supA f di una funzione f su un insieme A. 2) Sia C = supA f. Qual è una condizione necessaria e sufficiente affinché C sia il maxA f?

7

3) Usando le definizioni di maxA f e di supA f, dimostrare che la condizione data al punto 2) sia effettivamente necessaria e sufficiente affinché C = maxA f .

Esercizio 61 Siano

f(n) = 2n + 1

3n , g(n) =

2n + n2

3n , h(n) = 3 + (1)n, `(n) = (2)n 1

n2 .

Di ciascuna successione stabilire: 1) se sia limitata superiormente e inferiormente, esibendo una limitazione in caso positivo, di- mostrando la illimitatezza in caso negativo; 2) se monotona; 3) estremi superiore e inferiore; 4) eventuali valori massimo e minimo.

Esercizio 62 Sia f(x) = 2x2 + bx− 3. Determinare max[1,2] f al variare del parametro reale b.

Esercizio 63 Siano f(x) = 3 + sin(x), g(x) = ln(2x + 1). 1) Fare un grafico (immediato) di g e dedurre che la funzione è iniettiva. 2) Calcolare l’inversa g−1 di g e la funzione composta F (x) = f(g−1(x)). 3) Dire, GIUSTIFICANDO, se F iniettiva.

Esercizio 64 1) A partire dalla definizione di funzione crescente strettamente, dimostrare che: se f è strettamente crescente allora anche f−1 lo è. 2) A partire dalla definizione di grafico di una funzione, dalla relazione tra punti del piano carte- siano che sono simmetrici rispetto alla bisettrice del I e III quadrante e dalle proprietà della funzione inversa, dimostrare che se f è invertibile allora il grafico di f−1 è il simmetrico del graf f rispetto alla bisettrice del I e III quadrante.

Esercizio 65 Disegnare un grafico (quasi immediato) della funzione

f(x) = x + |x2 + 4x− 3|

e determinarne massimi e minimi locali e globali nell’intervallo [4, 1].

Esercizio 66 Si consideri f(x) = 3x+6x−2 : 1) determinare il dominio, 2) verificare che f sia invertibile, scrivere l’espressione esplicita dell’inversa e determinare l’immagine di f , 3) trovare dominio e immagine dell’inversa.

8

Esercizio 67 Si tracci un grafico (immediato) della seguente funzione definita a tratti

f(x) =

  

x−1 se x < −1 −x + 1 se 1 ≤ x < 1

ln x se x ≥ 1. Si determinino poi: 1) f−1(1) 2) f−1(12 ) 3) max[0,2] f, min[1,1] f.

Esercizio 68 La compagnia telefonica SIM ci offre due tariffe alternative. La tariffa FAST non prevede scatti alla risposta ed impone il pagamento di 20 cent di Euro al minuto di conversazione, conteggiando 1/3 cent ogni secondo di conversazione, all’inizio del secondo. La tariffa GO prevede uno scatto alla risposta di 12 cent ed il pagamento di 10 cent per ogni minuto di conversazione, conteggiato ad ogni inizio minuto. 1) Scrivere l’espressione esplicita del costo di una chiamata in funzione della sua durata, in secondi, in base a ciascuna tariffa, chiamando F(t), G(t) le due funzioni trovate. Disegnare sullo stesso pi- ano cartesiano il grafico delle due funzioni F(t) e G(t). 2) Calcolare F−1(20), F−1(20, 5), F−1(30), F−1(32), G−1(30), G−1(32), dando l’intepretazione economica dei risultati trovati. 3) Sono le funzioni F e G limitate superiormente? Interpretare economicamente la risposta. 4) Se il credito disponibile sul nostro telefono è di 0.41 Euro, qual è la massima durata della prossima telefonata con ciascuna delle due tariffe? 5) Stabilire quale sia la tariffa è più conveniente a seconda della durata di una telefonata.

Esercizio 69 1) Può una funzione con insieme di definizione IR essere sia pari che iniettiva? 2) Può una funzione dispari NON essere iniettiva sul suo dominio? In ciascun caso si risponda SEMPRE GIUSTIFICANDO.

Esercizio 70 Si consideri la funzione

f(x) =

x2 2x− 3 2x

.

Dopo aver determinato D(f) : 1) si calcoli f−1(1120 ) e si deduca se f può essere iniettiva sul suo dominio; 2) si calcoli f−1(y) per un generico y fissato. Controllando bene il segno delle controimmagini, si deduca qual è l’immagine di f e su quali intervalli f è iniettiva.

Esercizio 71 Dire se ciascuna delle seguenti affermazioni è vera o falsa GIUSTIFICANDO SEM- PRE. a) f monotona crescente strettamente su D(f) ⇒ |f | è monotona. b) |f | è monotona su A ⊆ D(f) ⇒ f è monotona. c) Esiste una funzione non nulla continua f che non è monotona ma per cui |f | è monotona.

9

Esercizio 72 Si disegni il grafico immediato di ciascuna delle seguenti funzioni, e lo si usi per determinare tutti i punti di massimo e minimo delle funzioni sul loro dominio, precisando se i corrispondenti valori estremi siano locali o globali:

f(x) = ∣∣∣1 2

+ sin(x− 1) ∣∣∣, g(x) = | ln(x + 1)2|.

Esercizio 73 La relazione

S = R 1(1 + i)−n

i lega l’ammontare R ed il numero n delle rate, il capitale S ed il tasso di interesse i se si stipula un mutuo alla francese per farsi prestare dalla banca un capitale S, si stabilisce di pagare rate annualmente e che gli interessi da corrispondere sono calcolati al tasso annuale i. Siano S = 100000 Euro ed i = 4%. Determinare la minima durata n che consente di dover pagare una rata non superiore a 10’000 Euro. In quali passaggi si sfrutta la monotonia di funzioni ele- mentari?

Esercizio 74 Tra tutti i rettangoli con perimetro pari a 8 m, determinare quello di area massima.

Esercizio 75 Si consideri sul piano caresiano il triangolo isoscele avente vertici nei punti di coor- dinate (1, 0), A = (1, 0), B = (0, 1). Si considerino i rettangoli inscritti in tale triangolo ed aventi vertici (−x, 0), (x, 0), P1, P2 con P1 sul lato AB del triangolo e P2 sull’altro lato, dove x ≥ 0. 1) Determinare l’equazione della retta contenente A e B e quindi l’espressione dell’ordinata y di P1 in termini di x. 2) Scrivere l’area del rettangolo in termini di x. 3) Determinare il rettangolo cos̀ı inscritto di area massima.

Esercizio 76 Per la funzione f(x) =

x−1, si determini la controimmagine dell’insieme [4, 3]. Esercizio 77 Quale delle seguenti funzioni è pari?

a) f(x) = sin(x); b) f(x) = 2x; c) f(x) = x

1 + x2 ; d) f(x) =

tan(x) x

Esercizio 78 Quale delle seguenti funzioni è dispari?

a) f(x) = cos(x); b) f(x) = 3x; c) f(x) = x + |x|; d) f(x) = 2 tan(x) Esercizio 79 Si determinino l’estremo superiore e l’estremo inferiore della funzione

f(x) = 1 + exp ( 1

x2

) .

Esercizio 80 Si dica quali delle seguenti funzioni sono dispari.

f1(x) = ex − e−x

ex2 ; f2(x) =

ex + e−x

ex2 ;

f3(x) = sin2(x) + cos(x); f4(x) = log (

1 + x 1− x

) .

10

Esercizio 81 Si dica quali delle seguenti funzioni sono pari.

f1(x) = tan(x2); f2(x) = ex + e−x

ex2 ;

f3(x) = ex − e−x

ex2 ; f4(x) = cos2(x) + sin(x).

Esercizio 82 Data f(x) = x2 4x + 7, si determini l’immagine di [1, 5) attraverso f . Esercizio 83 Data f(x) = −x2 + 4x + 2, si determini l’immagine di [1, 5) attraverso f . Esercizio 84 Sia α ∈ R e sia

f(x) = x2 + 4x + α.

Si determini α ∈ R in modo che f(R) = [1, +). Esercizio 85 Si determini per quali α ∈ R la funzione

f(x) = {

(x− 1)2, se x ≤ 1 (x− 2)2 + α se x > 1

è iniettiva.

Esercizio 86 Sia α ∈ R e sia f(x) = −x2 + 6x + α.

Si determini α ∈ R in modo che f(R) = (−∞, 1]. Esercizio 87 Determinare per quali α ∈ R la funzione

f(x) = { −x2 + 1, se x ≤ 0

(x− 2)2 + α se x > 0 è iniettiva.

LIMITI

Esercizio 88 Verificare se esistono o meno i limiti:

i) lim x→0

sgn(x);

ii) lim x→0

sgn(x);

iii) lim x→+

sin x;

iv) lim x→0

sin 1 x

;

v) lim x→0+

sin 1 x

;

vi) lim x→0

e1/ sin x.

11

Esercizio 89 Calcolare i limiti:

lim x→0

sin x− x2 x

;

lim x→0

ex − 12x3 x

;

Esercizio 90 Dimostrare che le funzioni

f(x) = sin x− x 2 , g(x) = ex − 12x

3

sono positive in intervalli (0, δ), quando δ > 0 sono sufficientemente piccoli.

Esercizio 91 Ricordando le proprietà aritmetiche dei limiti ed i limiti notevoli, calcolare:

i) lim x→0

ex − 1 sin x

;

ii) lim x→0

sin x ex − 1 ;

iii) lim x→π

sin x x

;

iv) lim x→0

ex − 1− x2 − x3 x

v) lim x→0+

(cos x)e− 1

sin x .

Esercizio 92 Ricordando il Teorema del confronto calcolare i limiti:

i) lim x→0

x sin 1 x

;

ii) lim x→+

sinx− x2 x

Esercizio 93 Calcolare i limiti delle radici dell’equazione ax2 + bx+ c = 0, quando a → 0, mentre b e c sono fissati.

Calcolare i seguenti limiti.

Esercizio 94 lim

x→0+ 1

1 + (x− 1)3

Esercizio 95 lim

x→01

1 + (x− 1)3

12

Esercizio 96 lim

x→01

1 + |x− 1|3

Esercizio 97

lim x→0+

[1cos(3x2 2x)][1−√13x] x3

.

Esercizio 98 lim

x→+

x2 + x− |x|

Esercizio 99

lim x→−∞

√ x + 11

x

Esercizio 100

lim x→+

ex − x2 |√x− 1|

Esercizio 101

lim x→+

| − x2 + 1| − |x2 4x| 3x +

√ x

Esercizio 102

lim x→−∞

ln

( 1

1 + √ |x|

)

Esercizio 103 lim x→1

ln x x2 1

Esercizio 104

lim x→+

(x− 1)(2x− 3) |x3 1| − |3x− x3|

Esercizio 105 lim

x→+∞ ex − 3 ex+1

Esercizio 106 lim

x→−∞ ex − 3 ex+1

Esercizio 107

lim x→+

| − x3 − x + 2| − |3x + x3| x− 2√x

Esercizio 108

lim x→+

√ x + 1−√x− 1

x

13

Esercizio 109 lim

x→+

|1 + x− x2| −

|3− x|

Esercizio 110 lim

x→−∞

√ 1 + x− x3 −√3− x

Esercizio 111

lim x→0+

ln [(12x)(1−√1− x2)] x2

Esercizio 112 lim x→1

ex

x− 1 Esercizio 113

lim x→+

ex

x3 − x + 1 Esercizio 114

lim x→0

5x2 sin 3x x(1cos 2x)

Esercizio 115

lim x→0+

x +

√ x√

x− x Esercizio 116 Si calcoli

lim x→∞

( log(3x) log(x)

)log(x) .

Esercizio 117 Si calcoli

lim n→+

log ( 1 + 3n

)2 sin( 1n ) 1− e 2n .

Esercizio 118 Per quale delle seguenti funzioni si ha lim x→0

f(x) x = 0?

a) f(x) = sin(x); b) f(x) = cos(x); c) f(x) = xex; d) f(x) = (tan(x))(sin(x))

Esercizio 119 Si calcoli

lim x→+

( log(x) log(3x)

)log(x) .

Esercizio 120 Si calcoli

lim n→+

1− e 2n 2 sin( 1n )log

( 1 + 3n

) .

Esercizio 121 Per quale delle seguenti funzioni si ha lim x→0

f(x) x = 0?

a) f(x) = tan(x); b) f(x) = ex; c) f(x) = x cos(x); d) f(x) = 3

x sin(x)

14

Esercizio 122 Si calcoli

lim x→+

e 1 x + 7x3 + log(x)

2x− 5x4 Esercizio 123 Si calcoli

lim x→+

cos(x) + 9x5 +

x

e 1 x + 6x3

Esercizio 124 Si calcoli

lim x→0

1 + 3x−√1− x

2x

Esercizio 125 Si calcoli lim

n→+3

4n− 13√n.

Esercizio 126 Si calcoli lim x→0

9x√ 1 + 5x−√1 + x

Esercizio 127 Si calcoli lim

n→∞ 3

n + 43

2n.

Esercizio 128 Si calcoli

lim x→0

x2 sin2(x) x2 + sin2(x)

Esercizio 129 Si determinino tutti i punti in cui la funzione f(x) = x(x+1)x3−x2 presenta un asintoto verticale.

Esercizio 130 Si calcoli

lim x→0

x2 2 tan2(x) x2 + 1cos(x)

Esercizio 131 Si determinino tutti i punti in cui la funzione f(x) = x−1x3−x presenta un asintoto verticale.

Esercizio 132 Si calcoli

lim x→0

x + e2x − 1 log(1− x)

Esercizio 133 Si consideri la successione

an =

{ 1 + log(n

3) n , se n è dispari

n2e−n, se n è pari.

Si stabilisca se esiste limn→∞ an e in caso affermativo si calcoli tale limite.

Esercizio 134 Si calcoli

lim x→0

log(12x) + x e4x − 1

15

Esercizio 135 Si calcoli lim x→0

(1 + sin(x)) 2 x

Esercizio 136 Si calcoli

lim x→+

( 1 + sin

( 1 x

)) x 2

Esercizio 137 Si calcoli

lim x→0

log(cos(x)) sin2(x)

Esercizio 138 Si calcoli lim

n→+∞ √

n(

n + 3−√n)

Esercizio 139 Si calcoli

lim x→+

log (

1 + 1 x

) log(x)

Esercizio 140 Si calcoli lim

n→+∞ √

n(n−

n2 + 6n)

Esercizio 141 Si calcoli

lim x→0

sin(x) log(x) exp (

cos (

1 x

))

Esercizio 142 Si calcoli

lim x→+

sin (

1 x

) log(x)esin(x)

Esercizio 143 Si calcoli

lim x→0

tan(x2) 1cos(x) .

Esercizio 144 Si calcoli

lim n→∞

[ 1 + log

( 1 +

1 n

)]√n .

Esercizio 145 Si calcoli

lim x→0+

tan (√

1cos(x) )

sin(x) .

Esercizio 146 Si calcoli

lim n→∞

[ 1 + log

( 1 +

1√ n

)]n .

16

FUNZIONI CONTINUE

Esercizio 147 Per ciascuna delle seguenti funzioni (ognuna definita su R) si individuino, se e- sistono, i punti di discontinuità:

f1(x) =

  

3 cos(x)7sin(x) se x ≤ 0

2+x−√2 x se x > 0

f2(x) =

  

2x2+14x−16 2x27x+5 se x < 1

2 se x = 1

4 + 5 cos(π2 x)2 sin(π2 x) se x > 1

f3(x) =

  

log(1− x) + 8x + 3 se x ≤ 0

1+8x−1 x+x2 se x ∈ (0, 3)

2

x−2 12+x−x2 se x ∈ [3, 4) (4, +)

7 se x = 4

Esercizio 148 Per ciascuna delle seguenti funzioni (ognuna definita su R) si individuino, se es- istono, i valori del parametro a, o dei parametri a e b, che rendono la funzione continua in R:

• (a) f(x) = {

2− ax + 3x se x ≤ 1 1

x−1 2x21 se x > 1

• (b) f(x) = {

eax se x ≤ 0 log(1 + x)− a2 se x > 0

• (c) f(x) = {

ax2 se x ≤ 0 eax − 1 se x > 0

• (d) f(x) =   

2x + b se x ≤ 1 x2 + ax + 1 se x ∈ (1, 2)

x3 − b se x ≥ 2

• (e) f(x) = {

2ex − a se x ≤ 0 a2 + log(1 + x) se x > 0

• (f) f(x) =   

1 1−x + 2a se x < 0 a2x− 1 se x ∈ [0, 1] x2 1 se x > 1

17

• (g) f(x) = {

ex + ax se x ≤ 0 x2 6x se x > 0

• (h) f(x) = {

2x3 + 5 se x < 0 a + cos x + 4 log(1 + x) se x ≥ 0

Esercizio 149 Per ciascuna delle seguenti funzioni si determini Im(f).

• (a) f : (0, 4] R tale che f(x) = log2 x + 5x + 3x; • (b) f : [0, 1] R tale che f(x) = 4x3 + ( 12 )x; • (c) f : RR tale che f(x) = log3(x2 2x + 8); • (d) f : RR tale che f(x) = 3√−x2 + 4x + 48.

Esercizio 150 (a) Sapendo che f è continua nel punto x0 = 5 e f(5) = 2, è possibile dedurre il segno di f(4.9) o il segno di f(5.01)?

(b) Per la seguente funzione

f(x) = {

log x se x ≤ 3 x + 1 se x > 3

si determini il dominio e si dica se sono soddisfatte le ipotesi del teorema della permanenza del segno nei seguenti punti:

x0 = 1, x1 = 1, x2 = 3, x3 = 4 Esercizio 151 Quale delle seguenti funzioni non è continua in 0? Giustificare.

a) f(x) = sin(x)

x per x 6= 0 e f(0) = 1; b) f(x) = 2x

ex − 1 per x 6= 0 e f(0) = 1 2 ;

c) f(x) = 0 per x ≤ 0 e f(x) = x2 per x > 0. Esercizio 152 Quale delle seguenti funzioni non è continua in 0?

a) f(x) = ex − 1

x per x 6= 0 e f(0) = 1; b) f(x) = 2x

sin(x) per x 6= 0 e f(0) = 2;

c) f(x) = 0 per x ≤ 0 e f(x) = 1 + sin x per x > 0. Esercizio 153 Quale delle seguenti funzioni è continua in 1?

a) f(x) = sin(x) |x− 1| per x 6= 1 ed f(1) = 1; b) f(x) =

ex − e x− 1 per x 6= 1 ed f(1) = e;

c) f(x) = log(|x− 1|) |x− 1| per x 6= 1 ed f(1) = 1; d) f(x) = 1 per x ≤ 1 ed f(x) = x

2 + 1 per x > 1

Esercizio 154 Quale delle seguenti funzioni è continua in 1?

a) f(x) = |x− 1| cos(πx)

per x 6= 1 ed f(1) = 0; b) f(x) = |e x − e| x− 1 per x 6= 1 ed f(1) = e;

c) f(x) = |x− 1|

log(|x− 1|) per x 6= 1 ed f(1) = 1; d) f(x) = 0 per x ≥ 1 ed f(x) = x per x < 1

18

BISEZIONE e TEOREMI degli ZERI e di ROLLE

Esercizio 155 Per l’equazione 18x 3 + 2x = 3 si utilizzi il teorema di esistenza degli zeri al fine di

stabilire l’esistenza di una soluzione nell’intervallo (0, 2); si provi inoltre che tale intervallo contiene un’unica soluzione dell’equazione. Si impieghi l’algoritmo di bisezione per trovare un valore di x che differisce meno di 116 dalla soluzione in (0, 2).

Per ciascuna della seguenti equazioni si dica se è possibile utilizzare il teorema di esistenza degli zeri al fine di stabilire l’esistenza di una soluzione nell’intervallo indicato a fianco dell’equazione. Nei casi in cui questo non è possibile, è possibile stabilire in un altro modo l’esistenza di una soluzione nell’intervallo? In quali casi è possibile stabilire l’esistenza di un’unica soluzione nell’inter- vallo?

• (a) 2x3 13x2 + 26x = 15; (0, 4). • (b) −x3 + 3 = log2 x; (1, 2). • (c) 6√x = 2x − 3; (1, 3).

• (d) f(x) = 0, con f(x) = {

5− x4 − x5 se x < 1 6 + 2x4 5x3 se x ≥ 1 ; (0, 2).

• (e) x3 = 1− x4; (2, 1).

• (f) f(x) = 0, con f(x) = { 4 + sin(πx) + x se x < 2

1 2x

3 3 + 1x se x ≥ 2 ; (0, 3).

Esercizio 156 Dopo aver enunciato il teorema degli zeri (o teorema di Bolzano) lo si applichi per dimostrare che l’equazione

x5 + 2 x− 1 = 0 ammette una soluzione nell’intervallo (0, 1). Si dimostri che tale soluzione è unica e se ne determini una sua approssimazione a meno di 110 .

Esercizio 157 Dopo aver enunciato il teorema di Rolle lo si applichi per dimostrare che la funzione

f : IR IR, f := x 7→ x4 + 6 x2 7 x

ammette almeno un massimo o minimo globale nell’intervallo (0, 1). Utilizzando il Teorema di Fermat si dimostri che tale minimo è unico e se ne determini una sua approssimazione a meno di 110 .

Esercizio 158 Dopo aver enunciato il teorema di Rolle lo si applichi per dimostrare che la funzione

f := x 7→ x4 6 x2 + 5 x, x ∈ [0, 1]

ammette almeno un punto c ∈ (0, 1) in cui si annulla la derivata. • Tale punto è unico ?

19

• Nel caso in cui sia unico dire se si tratta di un punto di massimo o di minimo? • Determinarne una sua approssimazione con un errore inferiore a 110 .

Esercizio 159 Dopo aver enunciato il teorema degli zeri (o di Bolzano) lo si applichi per di- mostrare che l’equazione

4x3 + 6x− 4 = 0 ammette un’unica soluzione nell’intervallo [0, 1] e se ne calcoli il valore approssimato con un errore inferiore a 17 .

Esercizio 160 (Utilizzare una calcolatrice scientifica) Determinare quante soluzioni ha l’equazione

ex = 3 x

ed approssimarne una, facendo uso del metodo di bisezione, con un errore inferiore ad 1/7.

Esercizio 161 Studiare l’equazione √

x + log (x) = 2

per determinare quante soluzioni può avere. Dopo avere individuato un possibile intervallo che contenga una soluzione, calcolarla in modo

approssimato facendo uso del metodo di bisezione, con un errore inferiore ad 1/7.

DERIVATE

Esercizio 162 Si calcoli la derivata della funzione

f : RR, f : x 7→ {

x2 se x ≤ 0 x se x > 0

Esercizio 163 Se possibile, si calcoli la derivata della funzione

f : R+ R, f : x 7→ max {

x− 1, 1− x}

Esercizio 164 Si dimostri che la seguente funzione è derivabile e che la sua derivata non è con- tinua.

f (x) = {

x2 sin 1x se x 6= 0 0 se x = 0

} .

Esercizio 165 Se possibile, si calcoli la derivata della funzione

f : RR, f : x 7→    1 se x < 0 0 se x = 0 +1 se x > 0

20

Esercizio 166 Assumendo che f, g e h siano derivabili, si calcolino le derivate di a. lnn x; b. f (g (x) · h (x)) + g (f (x) · h (x)).

Esercizio 167 Si dica se la funzione

f : [0, e] R, f : x 7−→   

2x2 3x + 1 se x < 1

log x se x ≥ 1

soddisfa le ipotesi del Teorema di Rolle.

Esercizio 168 Si calcoli

L ≡ lim x→0+

e− 1 x

x =

0 0

Esercizio 169 Si calcoli L ≡ lim

x→0+ xx

Esercizio 170 Si calcolino i seguenti limiti: i. limx→0

sin(x2)+1cos x x2 ;

ii. limx→0 2 cos x+e x23

x2+x ;

iii. limx→2 log(x24x+5)

sin

( π 2 x

) ;

iv. limx→0 x2 sin 1x

sin x .

Esercizio 171 Si calcolino eventuali punti di massimo e minimo locale della funzione

f : RR, f : x 7→ x 3

3 +

3 2 x2 + 2x + 2

Esercizio 172 Si studi la seguente funzione e se ne tracci un grafico, tralasciando lo studio della derivata seconda

f (x) = ex

|x2 1| .

Esercizio 173 Si determino eventuali punti di massimo locale e globale e punti di minimo locale e globale di f .

f : RR, f (x) =    |sinx| se x ∈ R\Q

x se x ∈ Q

Esercizio 174 Dati a, b ∈ R, a 6= 0, usando la definizione di derivata, si verifichi che la seguente funzione non è derivabile:

f : RR, f (x) = |ax− b|

21

Esercizio 175 Si determini il valore di k ∈ R in modo che il grafico di

fk (x) = k2x− k 2k + x

a. passi per il punto di coordinate (1,−2), e b. abbia derivata in x = 1 uguale al coefficiente angolare della retta di equazione y = 3x + 1.

Esercizio 176 Siano date le funzioni

f : (2, +) R, f (x) = x + 1 x− 2 ,

g : RR derivabile e tale che

1. ∀y ∈ R, g′ (y) > 0, 2. ∀y ∈ R, g′′ (y) > 0, e 3. lim y→+

g (y) = +∞, e

h : (2, +) R, h (x) = (g ◦ f) (x) . a. si dica per quale sottoinsieme del proprio dominio la funzione h è crescente o decrescente; b. si dica per quale sottoinsieme del proprio dominio la funzione h è concava o convessa; c. si dica se la funzione h ammetta massimo globale.

Esercizio 177 Si studi la seguente funzione e se ne tracci un grafico

f (x) = ex

|x2 1| Si tralasci lo studio della derivata seconda.

Esercizio 178 Si studi la seguente funzione e se ne tracci un grafico

f (x) = −ex

x2 1 Esercizio 179 Sia data una funzione f : RR derivabile almeno due volte e tale che f (e) = 1, f ′ (e) = 1 e f ′′ (e) = 0. Si scrivano il polinomio di Taylor in x0 = 1 e la proprietà del resto, per la funzione g (x) = f

( x2ex

) .

Esercizio 180 Studiare la funzione

f(x) = x2 4 x + 7

x− 1 determinando anche concavità e convessità.

22

Esercizio 181 Siano date le funzioni f, g, h : RR derivabili e crescenti, con g (x) > 0 ∀x ∈ R. Siano a, b ∈ (0, +). Si dica se le funzioni φ1, φ2, φ3 : RR descritte di seguito sono crescenti:

a. φ1 (x) = h (af (x) + bg (x)) ,

b. φ2 (x) = h (af (x) + bg (x)) + ln g (x) ,

c. φ3 (x) = f (x) · g (x) .

Esercizio 182 Si disegni il grafico di

f (x) = e−x sin x.

Si tralasci lo studio della derivata seconda.

Esercizio 183 Si determini un numero razionale che approssimi 5

e−1 a meno di un errore pari a 103.

Esercizio 184 Si determini il numero di soluzioni reali dell’equazione

log(|x2 + 2x|) + α = 0,

al variare del parametro α.

Esercizio 185 Si determini il numero di soluzioni reali dell’equazione

log(|x2 2x|)− α = 0,

al variare del parametro α.

Esercizio 186 Si calcoli l’estremo inferiore della funzione

f(x) = max { x2 − ex, x|x| − 2} .

Esercizio 187 Si calcoli l’estremo superiore della funzione

f(x) = min { ex − x2, 3− x|x|} .

Esercizio 188 Si determinino, se esistono, i punti di minimo della funzione

f(x) = x3

3 + x cos(x)sin(x).

Esercizio 189 Si determinino, se esistono, i punti di massimo della funzione

f(x) = x3

3 + x cos(x)sin(x).

23

Esercizio 190 In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = 1x + log(x) è monotona decres- cente?

a) (0, 1); b) (

1 2 , 2

) ; c) (1, e); d) (3, +)

Esercizio 191 Si scriva il Polinomio di Taylor di primo grado relativo alla funzione f(x) = log (ex + x) in 0.

Esercizio 192 Sia f(x) = sin (ex) definita in tutti i punti di R in cui tale espressione ha senso. Si determinino, se esistono, i punti in cui la f presenta un minimo relativo.

Esercizio 193 Si scriva il Polinomio di Taylor di primo grado relativo alla funzione f(x) = ex + log (1 + x)1 in 0. Esercizio 194 Sia f(x) = cos (log(x)) definita in tutti i punti di R in cui tale espressione ha senso. Si determinino, se esistono, i punti in cui la f presenta un massimo relativo.

Esercizio 195 Sia f : A → R con A ⊆ R. Si dica quali delle seguenti affermazioni sono vere. a) Se f(x) > 0 per ogni x ∈ A e f è crescente, allora la funzione g definita come g(x) = 1/f(x)

è decrescente.

b) Se f(x) > 0 per ogni x ∈ A e f è crescente, allora la funzione g definita come g(x) = 1/f(x) è crescente.

c) Se f(x) < 0 per ogni x ∈ A e f è crescente, allora la funzione g definita come g(x) = 1/f(x) è crescente.

d) Se f(x) < 0 per ogni x ∈ A e f è crescente, allora la funzione g definita come g(x) = 1/f(x) è decrescente.

Esercizio 196 In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = x− cos(x) è concava?

a) (−π 2

, π

2 ); b) (0,

π

2 ); c) (

π

2 , π); d) (

3π 2

, 2π)

Esercizio 197 In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = e2x− 3x è monotona crescente?

a) (0, log 3 2 ); b) (1

2 , 1 2 ); c) (0, 1); d) (

1 2 , 2)

Esercizio 198 Si scriva il Polinomio di Taylor di secondo grado relativo alla funzione f(x) = exp (log(x)− x + 1) in 1. Esercizio 199 Sia f : A → R con A ⊆ R. Si dica quale delle seguenti affermazioni è vera.

a) Se f(x) > 0 per ogni x ∈ A e f è crescente, allora la funzione g definita come g(x) = log f(x) è decrescente.

b) Se f(x) > 0 per ogni x ∈ A e f è crescente, allora la funzione g definita come g(x) = log f(x) è crescente.

24

c) Se f(x) > 0 per ogni x ∈ A e f è crescente, allora la funzione g definita come g(x) = log(1/f(x)) è crescente.

d) Se f(x) > 0 per ogni x ∈ A e f è crescente, allora la funzione g definita come g(x) = log(1/f(x)) è decrescente.

Esercizio 200 In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = sin(x) + x è convessa?

a) (−π, π); b) (0, π 2

); c) (0, π); d) (π, 2π)

Esercizio 201 In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = 2x−ex+1 è monotona crescente?

a) (1, 1); b) (1 2 , 0); c) (1, 0); d) (2,−1

2 )

Esercizio 202 Si scriva il Polinomio di Taylor di secondo grado relativo alla funzione f(x) = exp

( 1− x2 + log(x)) in 1.

Esercizio 203 Si determini l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = ex − log (1 + x) nel punto in cui esso interseca l’asse delle y.

Esercizio 204 Data la funzione f(x) = 3x5 15x4 + 20x3 + 11x− 2 si determinino, se esistono, le ascisse di tutti i suoi punti di flesso.

Esercizio 205 Si determini l’equazione della retta tangente al grafico della funzione f(x) = cos(x) + log (1− x) nel punto in cui esso interseca l’asse delle y.

Esercizio 206 Data la funzione f(x) = 3x5 20x4 + 30x3 + 9x− 17 si determinino, se esistono, le ascisse di tutti i suoi punti di flesso.

Esercizio 207 Si scriva il Polinomio di Taylor di primo grado relativo alla funzione f(x) = e−x + log

( 1 + 2x2

) in 0.

Esercizio 208 Sia f(x) = log ( x2 3) definita in tutti i punti di R in cui tale espressione ha

senso. Si determinino, se esistono, i punti in cui la f presenta un flesso.

Esercizio 209 Si scriva il Polinomio di Taylor di primo grado relativo alla funzione f(x) = e2x + log

( 1 + x2

) + 1 in 0.

Esercizio 210 Sia f(x) = log ( x2 + 3

) definita in tutti i punti di R in cui tale espressione ha

senso. Si determinino, se esistono, i punti in cui la f presenta un flesso.

Esercizio 211 Si determini l’equazione della retta tangente, nel punto di ascissa π, al grafico della funzione f(x) = 2 sin(x) + log (x + sin(x)).

Esercizio 212 In quale dei seguenti intervalli la funzione f(x) = e3x + e−3x è monotona decres- cente?

a) (−∞,+); b) (−∞, 0); c) (0,+); d) R

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