matematica per applicazioni economiche, Esercitazioni e Esercizi di Matematica. Università di Firenze
lorenzo-palli
lorenzo-palli19 novembre 2017

matematica per applicazioni economiche, Esercitazioni e Esercizi di Matematica. Università di Firenze

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Matematica per le Applicazioni Economiche I (M-P) Corsi di Laurea in Economia Aziendale, Economia e Commercio, a.a. 2015-16

versione definitiva

1 Esercizi

1.1 Operazioni tra Insiemi

1. Dati  = (0+∞),  = (−∞ 2],  = (−3 6], si ricavino i seguenti insiemi, rappresentandoli graficamente:

 ∩ ( ∪ ); (−) ∪ ; C ∪ ( −). 2. Dati  = { ∈ R :  = 2, al variare di  in N} e  = { ∈ N :  ≥ 2 e  e’ un numero primo}, si ricavino

 ∩; ( ∪) ∩ [0 10]. 3. Dati  = (−4−1)∪ [2 5] e  = [−2 0)∪ (6 7], si ricavino i seguenti insiemi, rappresentandoli graficamente:

 ∪; C( ∩); −; C( −). 4. Si ripeta l’esercizio 3 con  = { ∈ R : − 1 ≥ 0} e  = { ∈ R : 2 − 4  0}.

1.2 Estremi per Sottoinsiemi di R, Topologia

1. Per ciascuno dei seguenti insiemi si dica se l’insieme e’ sup/inf limitato, e si ricavino max, min, sup, inf, punti di accumulazione, punti interni e punti di frontiera. Si dica inoltre se l’insieme e’ aperto/chiuso

 = [0 1] ∪ (2 5);  = (−2 1) ∪ {5} ∪ (7 9) ∪ { ∈ R :  2 −  4 + 

≥ 3};

 = { ∈ R : 2 − 8+ 12  0} ∪ { ∈ R :  = 7− 3  al variare di  in N};

 = { ∈ R :  2 − 3+ 2 2 − 7+ 12 ≤ 0};  = { ∈ R :  = 2

 al variare di  in N} ∩ [1 20].

2. Per ciascuno dei seguenti insiemi si dica se l’insieme e’ sup/inf limitato, e si ricavino max, min, sup, inf, punti di accumulazione, punti interni e punti di frontiera. Si dica inoltre se l’insieme e’ aperto/chiuso

 = [ 1

3 +∞),  = { ∈ R : ¯̄2 − 9¯̄  5}

 = { ∈ R :  = 2 al variare di  in N} ∩ { ∈ R :  = 3 al variare di  in N},

3. Per l’insieme  = { ∈ R : −2 + 4− 1 ≥ |4− 2|} ∪ {4} si puo’ dire che  e’ un intervallo?  e’ chiuso? 0 = 4 e’ punto interno per ?  e’ limitato inferiormente? 0 = 1 e’ punto interno per ? D e’ vuoto?  e’ limitato superiormente? 0 = 4 e’ punto di accumulazione per ?  contiene 0 = 3?  e’ aperto? 0 = 4 e’ punto di frontiera per ?

1

4. Si scrivano i seguenti numeri senza utilizzare il valore assoluto: |3−log2 14|, ¯̄√ 27− 5¯̄, ¯̄432 − 8¯̄.

1.3 Funzioni

1. Per  : [1+∞) → R, () = 5 22+1

, si ricavino Im(), sup  inf  e   max min  . Si provi che  e’ iniettiva e si ricavino dominio, codominio ed espressione analitica di −1. Si dimostri che  e’ monotona strettamente decrescente, si disegni un grafico approssimato di  (utilizzando il fatto che per   0 e grande si ha che () e’ circa uguale a zero) e poi un grafico approssimato di −1.

2. Per () = 23− si ricavino l’insieme di definizione, Im(), sup  inf  e   max min  . Si provi che  e’ iniettiva e si ricavino dominio, codominio ed espressione analitica di −1. Questa funzione e’ monotona strettamente crescente? E’ monotona strettamente decrescente?

Data la funzione () = 2 + 2, si calcolino ((4)) e ((5)). Qual e’ l’insieme di definizione di  ◦ ?

3. Per ciascuna delle seguenti funzioni si ricavi l’insieme di definizione:

() = 3

2 − 7||+ 10 , () = (()), con () =  2 − 7+ 10 e () = 

2 + 5√ − 2

4. Dato  = N, la funzione  :  → R associa a ogni numero naturale il prodotto delle proprie cifre. Per esempio, (5) = 5, (28) = 16 e (314) = 12. Si determinino   max min  . E’ vero che  è iniettiva?

5. Si consideri  : R→ R, () = ⎧⎨⎩ 2 − 2 se  ≤ 1 log2  se  ∈ (1 8) 32  +  se  ≥ 8

con  = 1.

• Si disegni il grafico di  , e si ricavino Im()max min  sup  inf    . • Si determinino i tratti in cui  e’ monotona. Si spieghi perche’  non e’ iniettiva. • Si spieghi perche’  : (−∞ 12] → R, tale che () = () per ogni  ∈ (−∞ 12], e’ iniettiva. Si determini Im() e si calcolino −1(−1) −1(2) −1(4) −1(8).

• Si determini almeno un valore di  (se esiste) per cui  e’ iniettiva.

6. Per ciascuna delle seguenti funzioni si ricavi l’insieme di definizione: () = 4 √ 3−log5  −6 , () =

3√ log2(+5)

.

7. Per  : R→ R, () = ⎧⎨⎩ (12)  − 1 se   0

−2 + 34 se  ∈ [0 2) 3 − 9 se  ≥ 2

• Si disegni il grafico di  , e si ricavino Im()max min  sup  inf    . • Si determinino i tratti in cui  e’ monotona. Si spieghi perche’  non e’ iniettiva. • Si determini almeno un  ∈ R con la proprieta’ che  : (−∞ ]→ R, tale che () = () per ogni  ∈ (−∞ ] e’ iniettiva.

2

8. Per ciascuna delle seguenti funzioni si ricavi l’insieme di definizione: () = √ 3+2

2(2−1) , () =

log5( 4−16 +3 ), () =

4√ log2(

3+ 1 2 ) + 15−20 .

9. Data  : [−1 1] → R, () = 74 + 83 − 22 − 5 + 3, si provi che  non e’ crescente ne’ decrescente, e si determini un maggiorante per Im().

10. Si fornisca un esempio di funzione  : [1 2] → R che non e’ monotona crescente e tale che Im() = [2 5].

11. Per ciascuna delle seguenti funzioni si dica se essa e’ pari/dispari: () =  log10(cos), () = 58 − 2 cos(3) + 4||+ 74, () = 6−16+1 , () = (tan)2 + sin.

12. Dato   0, si definisca log7  e si calcoli log7 50 usando i logaritmi in base 10.

13. Si utilizzi l’uguaglianza cos2 +sin2  = 1 (vera per ogni  ∈ R) per calcolare cos sin tan per  = 4 

3 4 

5 4 

7 4 . Data  : [0

 2 ) → R, () = sin − cos + 3 tan, si dimostri che  e’

invertibile e si calcolino −1(−1) e −1(3). 14. Si determini Im() per  : R→ R, () =  − 42. 15. Date le funzioni () = 2, () = ln(2 + ), per ciascuna delle seguenti funzioni si scriva

l’espressione esplicita e si determinino l’insieme di definizione e l’immagine.

1() = (()) e 2() = (())

16. Date  : R→ R, () = 3 + 3 e  : R→ R, () = 1, si dica, in base alle definizioni, se

• (a)  e’ strettamente crescente in [0+∞);  ha un punto di max globale in 0 = 1; • (b)  e’ strettamente crescente in R;  ha un punto di max globale in 0 = 1.

1.4 Limiti e Continuita’

1. * Si utilizzi la definizione di limite per verificare che lim→3 2 = 8, e che lim→25 √  = 5.

2. * Si utilizzi la definizione (appropriata) di limite per verificare che lim→2+ 12− = −∞, e che lim→+∞ cos = 0.

3. Si calcoli lim→−3  2−9 +3 e poi si verifichi il risultato ottenuto usando la definizione di limite.

4. * Per ciascuna delle seguenti funzioni (ognuna definita su R) si individuino, se esistono, i valori del parametro , o dei parametri  e , che rendono la funzione continua in R:

() =

( 2− + 3 se  ≤ 1 (cos)(log2 )

3+ se   1 , () =

½  se  ≤ 0

log3(1 + )− 2 se   0 ,

() =

⎧⎨⎩ −2+  se  ≤ 1 2 + + 1 se  ∈ (1 2) 3 −  se  ≥ 2

3

5. * Per ciascuna delle equazioni indicate, si dica se e’ possibile applicare il Teorema degli Zeri per dimostrare l’esistenza di una soluzione nell’intervallo indicato

(a) − 5 + 1− 3 = 0 in (0 1) (b) 2 ln+  =

4

 in (1 2)

(c) 3 − 4 =  in (0 2) (d)  + + 5 = 0 in (−5 1)

In caso di risposta affermativa,

(i) dato che esiste una soluzione in ( ), si dica se l’intervallo ( 12( + )) contiene una soluzione, oppure se l’intervallo (12(+ ) ) contiene una soluzione;

(ii) e’ possibile dimostrare che esiste un’unica soluzione?

6. * Per ciascuna delle seguenti equazioni, si utilizzi il teorema dei valori intermedi per dimostrare che tale equazione ammette almento una soluzione nell’intervallo indicato

3

2 + 2 = 3 in (−5 10)

3 + sin = 2 in (− 2  

2 )

7. * Per ciascuna delle funzioni indicate sotto, si individui l’insieme immagine utilizzando il teo- rema 7.7 del libro di testo

 : [1 3]→ R, () = log2 + 5 + 

2  : R→ R () = ln(2 − 2+ 8)  : [1 5]→ R () = (2

7 )−

3 

8. Sapendo che  e’ continua nel punto 0 = 5 e (5) = 2, e’ possibile dedurre il segno di (47)? E’ possibile dedurre il segno di (51)?

9. * Si calcolino i seguenti limiti

lim →0(cos+ 2)(log07 ), lim→−∞

4 · (8− 100−3 ), lim→−∞ 2 · (log3(−)),

lim →+∞

3

(14) − 2 , lim→0 + || 2

4

10. * Si calcolino i seguenti limiti:

(a) lim →+∞(80

4 + 173 − 35 − 12− 5); lim →−∞(80

4 + 173 − 35 − 12− 5);

(c) lim →+∞(

4 p 7 − 3+ 2 + 5− ); (d) lim

→+∞( p 42 − 3+ 6− 2);

(e) lim →−∞(

p 42 − 3+ 6− 2); (f) lim

→−∞ 42 + 54 + 

6 + 73 − 34 ;

(g) lim →+∞

42 + 54 + 

6 + 73 − 34 ; (h) lim→−∞ |2 + + 1|− 22

|− 3 + |− 3 + 22 ;

(i) lim →+∞

|2 + + 1|− 22 |− 3 + |− 3 + 22 ; (l) lim→−∞

4−  − 3 2 − 7 ;

(m) lim →+∞

4−  − 3 2 − 7 ; (n) lim→+∞

log6 + 4− 3 sin 2 + 2 ln+ 3

;

(o) lim →+∞

7 √ + log3(

5)

4 + 673 

11. Si calcolino i seguenti limiti:

(a) lim →±∞(6− 21

6 + 44 − 3); (b) lim →±∞(

5 p 2 + + 1 + − 3);

(c) lim →±∞(

3 p 2 + 5 −

p 4 + 1); (d) lim

→±∞( p 2 + 22 + 4 −

p 1 + 3+ 4);

(e) lim →±∞(

p 1 + 4 − 2); (f) lim

→±∞ −25 + 32 + 6 + 2 cos

43 + 2− 9 ;

(g) lim →+∞

3 −√− 2(√+ 2)2√ 75 + 3

; (h) lim →+∞

4 √ 3 + 32 + 1− 3√22 + 3− 1

 ;

(i) lim →+∞

ln(2 + ) +  2 3 + 3−√

+ 7− ln4 − (06) ; (l) lim→±∞ 4−

3√; (m) lim →+∞

2 + sin− log3  4+ 52 + 2

;

(n) lim →+∞

2 + sin− log3  4+ 52

; (o) lim →+∞

2 + sin− log3  4

;

(p) lim →+∞(

p 42 + 5−

p 72 + 1)

12. * Si calcolino i seguenti limiti:

(a) lim →0

(32 + tan)(2 + 6)

4+ 2 − 1 ; (b) lim→0 64 + sin(7)

( − cos+ 93) ln(3 + ) ;

(c) lim →0

ln(1 + 5) tan(−2) 2

; (d) lim →0

sin − 1 2(cos(3) + 1)

;

(e) lim →0(sin) ln; (f) lim→+∞

µ + 3

− 2 ¶4

; (g) lim →0(1 + 5 tan)

− 3  ;

(h) lim →0(1 + 

2) 5

sin  ; (i) lim →0(cos)

1 (sin )2 

5

13. Si calcolino i seguenti limiti:

(a) lim →0

52 sin 3

(1− cos 4) ; (b) lim→0 ln(1 + ) + 1− (cos)2

4 − 1 ; (c) lim→0 + 2 − 1 ln(1− ) ;

(d) lim →0

1− (cos)3  sin

; (e) lim →0 (ln(sin(5))− ln)

2

1− cos ; (f) lim→1 ln

2 − 1;

(g) lim →0

tan

(sin)2 + log5(1 + ) ; (h) lim

→0 2 − cos 3 sin

; (i) lim →0+

sin(3) p ln(1 + 22)

2 ;

(l) lim →0

1− cos(2) 3

; (m) lim →0

tan− sin 3

; (n) lim →0

√ + 1−  + 2

;

(o) lim →0

√ 2+  − 1 2 − 3 ; (p) lim→

1 + cos

 −  ; (q) lim→0 23 + 1− cos(5)

 ln(1− 8)− 3(sin(4))2 (r) lim

→0(1− 2 sin) 6

(tan )3

14. * Si calcolino i seguenti limiti:

(a) lim →1 3 − 1 2 − 1; (b) lim→2

2 + 3− 10 2 − − 2 ; (c) lim→0

3−2 2+3 − 3+22−3

 ;

(d) lim →0

√ 1 + 3−√1− 

2 ; (e) lim

→0 sin(cos)

2 ; (f) lim

→0 sin(cos)

 ;

(g) lim →−∞ ln

1

1 + p|| ; (h) lim→0+  2 ; (i) lim→0

r 1 +

1

2 ; (l) lim

→1 

1− 

15. Si calcolino i seguenti limiti:

(a) lim →1(1− (1 + 4) + 3

4−6); (b) lim →−1

p|| 1−  ; (c) lim→4(

√ + ln(+ 16));

(d) lim →0 · (); (e) lim→0− 2

1 sin ; (f) lim

→1+ (ln)(1−); (g) lim

→0 3

cos− 1;

(h) lim →0±

[]; (i) lim →

2 ±

4

tan ; (l) lim

→0 log12 

(1− )(− 3); (m) lim→0 5 + 2

log3  ;

(n) lim →0

2

sin ; (o) lim

→0 2

| sin| ; (p) lim→1 1

(−1)2 log4 

; (q) lim →0+

ln

−4 ;

(r) lim →0

√ 25 + − 5 

; (s) lim →3

1  − 13 − 3 ; (t) lim→1

−√ 1−  

16. Data  : R→ R, definita come segue

() =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎪⎩ cos(2)−1 (1−2) se   0 3 se  = 0

sin tan 

4  + 5

2 se  ∈ (0 1] ln(5−4) −1 se   1

si individui l’insieme dei punti in cui  e’ continua, e l’insieme dei punti in cui  e’ discontinua.

6

1.5 Calcolo differenziale

1. * Per la seguente funzione, dato 0, si utilizzi la definizione di derivata per calcolare  0(0) e per ricavare l’equazione della retta tangente al grafico di  nel punto (0 (0)):

() = √ , 0 = 9

2. Per ciascuna delle seguenti funzioni, dato 0, si utilizzi la definizione di derivata per calcolare  0(0) e per ricavare l’equazione della retta tangente al grafico di  nel punto (0 (0)):

(a) () = 3 − 2, 0 = −1; (b) () = 2, 0 = 5; (c) () = 1  , 0 = 3

3. Data  : R→ R, () = ,

• (a) si individui un punto (0 (0)) sul grafico di  tale che la retta tangente al grafico di  nel punto (0 (0)) ha pendenza 1;

• (b) si individui un punto (1 (1)) sul grafico di  tale che la retta tangente al grafico di  nel punto (1 (1)) passa per il punto (0 0).

4. * Si calcoli la derivata di ciascuna delle seguenti funzioni:

1() = 5 ln+ ( 3 + 7) +

3

 − cos

4 + 5113 + 2

√ 

 2() = 3(sin) ln− (3 sin+ 45)67 + 2(3 sin(−4) + 5) ln(3 + 7) 3() = 2

cos

 + 5cos(3)− 2 ln(1 + 6)

43 + 7

2− 36 3 √ − −2+5

4() = 2(+ 4 tan) 73 + log 2− 5 sin(

1

 + ln(7− )) + 6sin

5. Si calcoli la derivata di ciascuna delle seguenti funzioni:

1() = 5 7 − 23 − 9+ 4 + 7√− 3 5

√ 2 − 11 3√+ 14

√ 5 +

6

 +

9√  − 17

4 √ 3 + 4

2

2() = cos− 2 sin− 3 tan+ 6(4)− 11(35) + 7 − 9 log2 − 12 ln+ 7 log10  3() = (

2+ln(3+cos))(− 3+1+sin(2− 5))− 2(45− 7)(62+cos(2− ln))+32 ln

4() = 8− 53 42 + 6

+ 2 6 + 1

ln − 3 4 tan 5−

3 2

6− sin cos + 7 354 − 8 (12)  −√

5() = 3 √ 1− 3+ ln(+

p 1 + 2) +

r sin−  cos

+ (sin)2 + 1

(sin(3))2

+5− 1 7 2 + cos

¡ 8 + (3+ 1)2

¢ + ln( + sin(32))

6. * Supponendo che  sia una funzione derivabile, si calcoli la derivata per ciascuna delle seguenti funzioni composte:

1() = (()) 3; 2() = cos(2()); 3() =

1

() 

7

7. Supponendo che    siano funzioni derivabili, con ()  0, si calcoli la derivata di () = (()()) + (()()).

8. * Si consideri la funzione  : [0 2 ) → R, () = sin − cos + 3 tan, la quale e’ invertibile in virtu’ di quanto dimostrato nell’esercizio 13 sulle funzioni. In tale esercizio si e’ anche dimostrato che −1(−1) = 0 e −1(3) = 4 . Si calcolino la derivata di −1 nel punto −1 e la derivata di −1 nel punto 3.

9. Si consideri la funzione () = 7− 3+ 1 ,  : (0+∞)→ R. Si dimostri che essa e’ invertibile, si verifichi che Im() contiene il numero 5, e si calcoli la derivata di −1 nel punto 5.

10. * Per la seguente funzione, dato 0, si ricavi l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto (0 (0)):

() = cos+ ln(+ 3 sin−  2 ), 0 =

2 .

Si determini l’equazione della retta tangente al grafico della funzione () = 10 − 2,  : (0+∞)→ R, nel punto in cui esso interseca l’asse .

11. Per ciascuna delle seguenti funzioni, dato 0, si ricavi l’equazione della retta tangente al grafico della funzione nel punto (0 (0)):

(a) () = sin(− ) + ln, 0 = ; (b) () = +4 − tan, 0 = − 4 ;

(c) () = (−  2 ) sin, 0 =

2 ; (d) () = 5−3+2

2 3 − 2, 0 = 1

(e) () = cos(1− ) + ( + tan)2, 0 = 0

Si determini l’equazione della retta tangente al grafico della funzione () = 2 − ln(1 + ),  : (−1+∞)→ R nel punto in cui esso interseca l’asse .

12. Per ciascuna delle seguenti funzioni (ognuna e’ definita in R) si individuino i punti in cui la funzione e’ non continua e i punti in cui la funzione e’ non derivabile:

(a) () = ||; (b) () = ½ −2 + 4 se  ≤ 1

− 1 se   1 ;

(c) () = |− 1|−2+2; (d) () = ½

1 2+ 2 se  ≤ 2

−2 + 92− 2 se   2 

13. * Data

() =

⎧⎨⎩ 2 se  ≤ 1

−2 + 3 se  ∈ (1 2) 4  se  ≥ 2

si calcolino  0+(1)  0−(1) e si dica se  e’ derivabile in  = 1; si calcolino  0+(2)  0−(2) e si dica se  e’ derivabile in  = 2;  e’ derivabile in (−∞ 1) ∪ (1 2) ∪ (2+∞)?

14. * Per ciascuna delle seguenti funzioni (ognuna e’ definita in R) si individuino, se esistono, i valori dei parametri  e  che rendono la funzione derivabile in R:

(a) () = ½  se   2  se  ≥ 2 ; (b) () =

½  ln(1 + 2) se   3

  se  ≥ 3

8

15. Date

() =

½ 1 2− 1 se  ≤ 1  + 4 se   1

e () = 3

si consideri la funzione composta  =  ◦  e si calcolino (0) e (2). Si puo’ affermare che esiste almeno un 0 in (0 2) tale che (0) = 0? Si calcoli 0(2).

16. * Si consideri una funzione  : [−1 1]→ R che e’ continua in [−1 1], e’ derivabile in (−1 1), e tale che (−1) = −1, (0) = 2, (1) = 1. Si dimostri che esiste almeno un punto 0 in (−1 1) tale che  0(0) = 0.

17. Data una funzione  : R→R per la quale un punto 0 e’ punto di min locale, si dimostri usando la definizione che 0 e’ punto di max locale per () = −3().

18. * Per ciascuna delle seguenti funzioni si individuino un punto di max globale e un punto di min globale:

(a) () = 

1 + 2   : [−2 3]→ R; (b) () = 

   : [

3

2  2]→ R.

19. Per ciascuna delle seguenti funzioni si individuino un punto di max globale e un punto di min globale:

(a) () = 23 − 32  : [−1 3  2]→ R; (b) () = 3 + 12 ||+ 5  : [−3 2]→ R;

(c) () = − 2

2 + 8

 + 8  : [−4−1]→ R

20. Si consideri un’impresa che produce un solo tipo di bene. Il ricavo totale ottenuto dall’impresa vendendo una quantità  ≥ 0 del bene e’ () = 7; il costo che l’impresa sostiene per produrre la quantità  del bene e’ () = 2 +  + 1. L’impresa ha come obiettivo la massimizzazione del profitto, cioè della funzione () = () − (). Si assuma che la quantità massima che l’impresa può produrre sia pari a 5.

Si scriva il problema di massimizzazione del profitto e si dica se e’ possibile stabilire che es- iste una soluzione prima di cercare la soluzione stessa. Indipendentemente dalla risposta alla domanda precedente, si individui un punto di max globale per la funzione .

21. Si risolva il problema precedente assumendo che le funzioni  e  siano tali che () = 1+2 , () = ln(1 + 8), e che la quantita’ massima che l’impresa puo’ produrre sia 4.

22. * Un’impresa deve fabbricare 17 unità del prodotto che l’impresa stessa mette in vendita. L’impresa dispone di due impianti: l’impianto 1 (una fabbrica in Toscana) e l’impianto 2 (una fabbrica in Molise). Con 1 ≥ 0 si indica la quantità di prodotto fabbricato utilizzando l’impianto 1, e il costo che l’impresa sostiene relativo all’impianto 1 è 41 + 1811+1 . Con 2 ≥ 0 si indica la quantità di prodotto fabbricato utilizzando l’impianto 2, e il costo che l’impresa sostiene relativo all’impianto 2 è 62. L’impresa vuole scegliere 1 2 tali che 1 + 2 = 17, in modo da minimizzare il costo totale, ovvero

41 + 181 1 + 1

+ 62

9

Si noti che sostituendo 2 con 17 − 1 è possibile scrivere il costo totale come funzione della sola variabile 1.

Si scriva il problema di minimizzazione del costo totale in funzione della variabile 1; e’ possibile affermare immediatamente che tale problema ammette soluzione? Indipendentemente dalla risposta alla domanda precedente, si individui il valore di 1 che minimizza il costo totale e si ricavi (di conseguenza) il valore di 2.

23. Data  : R→ R, () = (− 1)(− 2)(− 3)(− 4), si dimostri senza calcolare  0 che esistono almeno tre punti critici per  .

24. Si consideri la funzione  : [0 ]→ R,

() =

½ 22 − 3+ 1 se  ∈ [0 1)

ln se  ∈ [1 ] e si verifichi che essa soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Si trovino poi tutti i punti la cui esistenza e’ garantita dal teorema di Rolle.

25. * Si consideri  : R → R tale che  e’ derivabile in R e  0() ≥   0 per ogni . Dato un arbitrario   0, si applichi il teorema di Lagrange a  nell’intervallo [0 ]. Si dimostri di conseguenza che lim→+∞ () = +∞.

26. * Data  : (0+∞) → R, () = ln, e dati 1 2 in (0+∞) con 1  2, si applichi il teorema di Lagrange a  nell’intervallo [1 2] e si provi che

1

2 (2 − 1)  ln2 − ln1  1

1 (2 − 1)

27. Data  : R→ R, () = sin, si applichi il teorema di Lagrange a  nell’intervallo [1 2], con 1  2, e si dimostri che | sin2 − sin1| ≤ 2 − 1

28. Data  : R→ R, () = , e dati 1 2 tali che 1  1  2, si applichi il teorema di Lagrange a  nell’intervallo [1 2], e si provi che 2 − 1  (2 − 1).

29. * Per ciascuna delle seguenti funzioni, si determinino l’insieme di definizione, gli intervalli di monotonia, i punti critici (per ciascun punto critico 0 si utilizzi il segno di  00(0) per stabilire la natura di 0), e i punti di max/min locali e globali:

(a) () = 2− +1; (b) () = 2− 3 2 − 2+ 5; (c) () = 3+ cos

30. Per ciascuna delle seguenti funzioni, si determinino l’insieme di definizione, gli intervalli di monotonia, i punti critici (per ciascun punto critico 0 si utilizzi il segno di  00(0) per stabilire la natura di 0), e i punti di max/min locali e globali:

(a) () = 3 + −3; (b) () = 1

 + ln; (c) () = 4− 3 ln.

31. * Un’impresa deve scegliere il prezzo  ≥ 0 per il prodotto che essa mette in vendita, e sa che per ogni  ≥ 0 la quantita’ venduta e’ pari a 800−6 unita’. Per semplicita’ immagini- amo che l’impresa non sostenga alcun costo di produzione (ne’ di vendita). Pertanto il profitto

10

dell’impresa coincide con il ricavo, che e’ dato dal prodotto 800−6. L’impresa vuole individ- uare il prezzo che massimizza il profitto, ma deve rispettare una legge che le vieta di scegliere prezzi maggiori di 4.

Si scriva il problema di massimizzazione del profitto; e’ possibile affermare immediatamente che tale problema ammette soluzione? Indipendentemente dalla risposta alla domanda precedente, si individui il valore di  che massimizza il profitto. Si dica poi se la cancellazione della legge che impone  ≤ 4 permetterebbe all’impresa di aumentare il profitto rispetto al profitto che ottiene in presenza della legge (si spieghi).

32. Si ripeta l’esercizio precedente assumendo che la quantita’ venduta dall’impresa dato  ≥ 0 sia½ 16 + 36 −  se  ∈ (0 18]

0 se   8 e per legge non e’ possibile praticare prezzi maggiori di 11.

33. * Si consideri un’impresa che produce un solo tipo di bene; l’impresa deve decidere la quantita’  di bene da produrre e mettere in vendita. Il prezzo di vendita unitario del bene e’ 9, e dunque produrre la quantita’  genera un ricavo pari a 9. Per produrre la quantita’ , l’impresa sostiene un costo pari a 15 − 722 + 133, e quindi il profitto dell’impresa dal produrre la quantita’  e’

() = 9− (15− 7 2 2 +

1

3 3)

L’obiettivo dell’impresa e’ individuare un punto di max globale per la funzione , la quale e’ definita nell’intervallo [0+∞). E’ possibile applicare il teorema di Weierstrass per stabilire l’esistenza di un punto di max glob- ale per la funzione ? Indipendentemente dalla risposta alla domanda precedente, si determini un punto di max globale per la funzione .

34. * Siano date tre funzioni,   , ognuna definita in R e ognuna derivabile. Si assuma che per ogni  ∈ R valga  0()  0, 0() ≥ 0, 0()  0 (a) Si dica se la funzione 1 : R→ R, 1() = (()) + () è una funzione crescente. (b) Se la funzione  ha un punto critico in 0 (ovvero, 0(0) = 0), e’ vero che la funzione 2 : R→ R, 2() = ((2)) ha un punto critico in 02 ?

35. Siano date tre funzioni,   , ognuna definita in R e ognuna derivabile. Si assuma che per ogni  ∈ R valga () ∈ (0 1)  0()  0, ()  0 0()  0, ()  0 0()  0. Quali delle seguenti funzioni sono derivabili? Quali sono crescenti?

(a) 1() = (3 + ()); (b) 2() = ()()(); (c) 3() = ln(())

()

36. Si considerino le funzioni   , ognuna definita in R e ognuna monotona strettamente cres- cente; inoltre, ()  0 per ogni  ∈ R. Dati  e  numeri positivi, si dica se le seguenti funzioni sono monotone strettamenti crescenti:

(a) 1() = (()+()); (b) 2() = (()+())+ln(()); (c) 3() = ()·()

37. Per ciascuna delle seguenti funzioni si determinino i punti di max/min locali:

(a) () = sin(); (b) () = cos(ln)

11

38. * Si calcolino i seguenti limiti:

(a) lim →0 − ln(1 + )

2 ; (b) lim

→0+ ( 1

 − cos sin

);

(c) lim →0+

( 1

 + ln); (d) lim

→+∞ ln+ sin

 .

39. Si calcolino i seguenti limiti:

(a) lim →0  − 4− 1− 2

5 ; (b) lim

→2 ln ¡ 2 − 3+ 3¢ sin(2)

; (c) lim →0 − sin 3

;

(d) lim →

2

cos

2−  ; (e) lim→0 3

2 − 2 cos(5)− 1; (f) lim→0

2 sin 1 sin

;

(g) lim →0−

( 2

 − 1 ln(1 + )

); (h) lim →0+

(cos) 1 3 ; (i) lim

→ 2 − (tan)cos;

(l) lim →0 

2 − ln(+ ) +  2

; (m) lim →0

 − 1−  1− cos− 122

; (n) lim →1

1  − 2 +  (sin)2

.

40. * Si ricavi il polinomio di Taylor di secondo grado per () = √ 2 + 9 centrato in 0 = 0.

Si usi tale polinomio per calcolare lim→0 √ 2+9−3 2

e per approssimare i seguenti numeri: √ 10,√

925, √ 896.

41. * Data una funzione  : R→ R che e’ derivabile e tale che (0) = 1,  0(0) = 7, si ricavi il polinomio di Taylor di primo grado per () = ln(1 + ()) centrato in 0 = 0.

42. Per ciascuna delle seguenti funzioni si determinino i polinomi di Taylor di primo e di secondo grado centrati in 0:

(a) () = −2

1 +  + sin(5) 0 = 0; (b) () = ln−+1 0 = 1;

(c) () = ln( + 3) 0 = 0.

Per ogni data funzione si descrivano le proprieta’ dei resti. Quale dei due polinomi fornisce la migliore approssimazione di (), per quali , e perche’?

43. * Per ciascuna delle seguenti funzioni si determinino l’insieme di definizione, gli intervalli di concavita’/convessita’ e i punti di flesso (nel caso (b) il risultato dipende dal parametro , che si assume essere diverso da zero):

(a) () = 3−2 2+; (b) () =

1

12 4 +

1

6 3 − 2 + + 6

44. Per ciascuna delle seguenti funzioni si determinino l’insieme di definizione, gli intervalli di concavita’/convessita’ e i punti di flesso:

(a) () = − sin; (b) () = ln(2 − 3); (c) () = 35 − 204 + 303 + 9− 17; (d) () = ln(2 + 32)

12

45. Data  : R→ R tale che ()  0 per ogni  ∈ R e  e’ monotona strettamente crescente, si determini la monotonia di () = ln(()), di () = ln(1()), e di () = 1(). Come cambia il risultato per la funzione  se  e’ monotona strettamente crescente e tale che ()  0 per ogni  ∈ R?

46. * Per ciascuna delle seguenti funzioni si studi il grafico (si tralasci lo studio del segno di  00 per la funzione (b)):

(a) () = 

2 − 5 ; (b) () = −

|2 − 4| + 1.

Qual e’ il numero di soluzioni per l’equazione  −

|2−4| + 1 =  al variare di  in R?

47. Per ciascuna delle seguenti funzioni si studi il grafico (si tralasci lo studio del segno di  00 per le funzioni (a)-(d)):

(a) () = 3 p (3− )2; (b) () =

p|| − 2 ; (c) () =

− 2 − 1 ;

(d) () = |3 − 2| 2 − 1 ; (e) () = max{

− − 3 ||− 2}; (f) () = − 12 ;

(g) () = 2 − 4+ 7 − 1 ; (h) () =

−5 2 − 2− 3 + 1; (i) () = 

−(2+ 2);

(l) () = ln(1 + 2)− 3 5 .

13

2 Soluzioni

2.1 Operazioni tra Insiemi

1.  ∩ ( ∪ ) = (0+∞) ∩ (−∞ 6] = (0 6]; (−) ∪  = (2+∞) ∪ (−3 6] = (−3+∞); C ∪ ( −) = (−∞ 0] ∪ (2 6].

2.  = {2 4 6 8 10 },  = {2 3 5 7 11 }, quindi  ∩  = {2} e ( ∪ ) ∩ [0 10] = {2 3 4 5 6 7 8 10}.

3.  ∪ = (−4 0) ∪ [2 5] ∪ (6 7]; C( ∩) = C([−2−1]) = (−∞−2) ∪ [−1+∞); − = (−4−2) ∪ [2 5]; C( −) = C([−1 0) ∪ (6 7]) = (−∞−1) ∪ [0 6] ∪ (7+∞).

4.  = [1+∞),  = (−2 2), quindi  ∪ = (−2+∞); C( ∩) = C([1 2)) = (−∞ 1) ∪ [2+∞); − = [2+∞); C( −) = C((−2 1)) = (−∞−2] ∪ [1+∞).

2.2 Estremi per Sottoinsiemi di R, Topologia

1.  e’ superiormente e inferiormente limitato, sup = 5, max non esiste, inf  = min = 0 non esiste. Inoltre,  = (0 1) ∪ (2 5),  = {0 1 2 5}, D = [0 1] ∪ [2 5],  non e’ aperto (perche’ 1 e’ un punto di  ma non e’ interno per ) e non e’ chiuso (perche’ 2 e’ punto di frontiera per  ma non e’ contenuto in ).

La disequazione  2− 4+ ≥ 3 e’ equivalente a 

2−4−12 4+ ≥ 0, e 2 − 4 − 12 e’ positivo per

 ∈ (−∞−2), e’ zero per  = −2, e’ negativo per  ∈ (−2 6), e’ zero per  = 6, e’ positivo per  ∈ (6+∞); 4 +  e’ negativo per  ∈ (−∞−4), e’ zero per  = −4, e’ positivo per  ∈ (−4+∞). Pertanto 2−4−124+ ≥ 0 se e solo se  ∈ (−4−2] ∪ [6+∞), ovvero l’insieme { ∈ R : 2−4+ ≥ 3} coincide con (−4−2] ∪ [6+∞). Quindi

 = (−4−1) ∪ {5} ∪ [6+∞)

e  e’ superiormente illimitato, inferiormente limitato, sup = +∞, max non esiste, inf  = −4 min non esiste. Inoltre  = (−4−1) ∪ (6+∞),  = {−4−1 5 6}, D = [−4−1] ∪ [6+∞),  non e’ aperto (perche’ 5 e’ un punto di  ma non e’ interno per ) e non e’ chiuso (perche’ −4 e’ punto di frontiera per  ma non e’ contenuto in ). La disequazione 2 − 8+ 12  0 e’ equivalente a  ∈ (2 6). L’insieme { ∈ R :  = 7− 3 al variare di  in N} coincide con {4 55 6 625 64 65  67  685 }, quindi

 = (2 6] ∪ {625 64 65  67  685 }

L’insieme  e’ superiormente limitato e inferiormente limitato, sup = 7, inf  = 2, non esiste max e non esiste min. Inoltre,  = (2 6),  = {2 6 625 64 65  67  685 },

14

D = [2 6]∪ {7},  non e’ aperto (perche’ 6 e’ un punto di  ma non e’ interno per ) e non e’ chiuso (perche’ 2 e’ punto di frontiera per  ma non e’ contenuto in ).

Per risolvere la disequazione  2−3+2 2−7+12 ≤ 0 osserviamo che 2−3+2 e’ positivo per  ∈ (−∞ 1),

e’ zero per  = 1, e’ negativo per  ∈ (1 2), e’ zero per  = 2, e’ positivo per  ∈ (2+∞), e che 2 − 7 + 12 e’ positivo per  ∈ (−∞ 3), e’ zero per  = 3, e’ negativo per  ∈ (3 4), e’ zero per  = 4, e’ positivo per  ∈ (4+∞). L’insieme delle soluzioni di 2−3+2

2−7+12 ≤ 0 e’ quindi [1 2] ∪ (3 4), ovvero

 = [1 2] ∪ (3 4) L’insieme  e’ superiormente limitato e inferiormente limitato, sup = 4, inf = 1, non esiste max, mentre min = 1. Inoltre,  = (1 2) ∪ (3 4),  = {1 2 3 4}, D = [1 2] ∪ [3 4];  non e’ aperto (perche’ 1 e’ un punto di  ma non e’ interno per ) e non e’ chiuso (perche’ 3 e’ punto di frontiera per  ma non e’ contenuto in ).

{ ∈ R :  = 2 al variare di  in N} = {2 4 8 16 32 64 }, quindi

 = {2 4 8 16}

L’insieme  e’ superiormente limitato e inferiormente limitato, sup = max = 16, inf  = min = 2. Inoltre,  = ∅,  = {2 4 8 16}, D = ∅,  non e’ aperto (perche’ 8 e’ un punto di  ma non e’ interno per ) ma e’ chiuso, visto che ogni punto di frontiera di  e’ contenuto in .

2.  e’ superiormente illimitato e inferiormente limitato, sup = +∞, max non esiste, inf  = min = 13 . Inoltre 

 = (13 +∞),  = {13}, D = [13 +∞).  non e’ aperto (perche’ 13 e’ un punto di  ma non e’ punto interno per ) ed e’ chiuso (perche’ ogni punto di frontiera di  e’ contenuto in ).

Tenendo conto del fatto che 2 − 9 ≥ 0 se  ∈ (−∞−3] ∪ [3+∞) e 2 − 9  0 se  ∈ (−3 3), si conclude che la disequazione |2 − 9|  5 e’ equivalente a

2 − 9  5 per  ∈ (−∞−3] ∪ [3+∞) −2 + 9  5 per  ∈ (−3 3)

La disequazione 2− 9  5 ha (−∞−√14)∪ (√14+∞) come insieme delle soluzioni, il quale e’ un sottoinsieme di (−∞−3]∪ [3+∞). La disequazione −2+9  5 ha (−2 2) come insieme delle soluzioni, il quale e’ un sottoinsieme di (−3 3). Pertanto

 = (−∞− √ 14) ∪ (−2 2) ∪ (

√ 14+∞)

che e’ superiormente illimitato, inferiormente illimitato, sup = +∞, inf  = −∞ max non esiste, min non esiste. Inoltre  = ,  = {−√14−2 2√14}, D = (−∞−√14]∪ [−2 2] ∪ [√14+∞). Per finire,  e’ aperto (perche’ ogni punto di  e’ interno per ) e non e’ chiuso (perche’ 2 e’ punto di frontiera per  ma non e’ contenuto in ).

L’insieme  = {2 4 8 16 32 } ∪ {3 6 9 12 15 } e’ vuoto, quindi e’ sia chiuso che aperto. 3. La disequazione −2 + 4− 1 ≥ |4− 2| e’ equivalente a

−2 + 4− 1 ≥ 4− 2 per  ≤ 2 −2 + 4− 1 ≥ −4 + 2 per   2

15

La disequazione −2 + 4 − 1 ≥ 4 − 2 e’ equivalente a −2 + 6 − 5 ≥ 0, che ha [1 5] per insieme delle soluzioni, e quindi [1 2] dato  ≤ 2. La disequazione −2 + 4− 1 ≥ −4 + 2 e’ equivalente a −2 + 2+ 3 ≥ 0, che ha [−1 3] per insieme delle soluzioni, e quindi (2 3] dato   2. Quindi

 = [1 3] ∪ {4}  non e’ un intervallo, e’ limitato inferiormente, e’ limitato superiormente, non e’ aperto (perche’ 4 non e’ punto interno), e’ chiuso, 0 = 1 non e’ punto interno per , 0 = 4 non e’ punto di accumulazione per , 0 = 4 e’ punto di frontiera per , 0 = 4 non e’ punto interno per , D e’ non vuoto,  contiene 0 = 3.

4. La disuguaglianza 3− log2 14 ≥ 0 equivale a 3 ≥ log2 14, ovvero 23 ≥ 14, che e’ falsa. Dunque 3− log2 14  0, e |3− log2 14| = log2 14− 3.¯̄√ 27− 5¯̄ = √27− 5 poiche’ √27  5.¯̄

432 − 8¯̄ = 0 poiche’ 432 = 8. 2.3 Funzioni

1. Per individuare Im(), e’ necessario stabilire per quali  ∈ R l’equazione  = () possiede almeno una soluzione nel dominio di  , cioe’ in [1+∞). Fissato un numero reale , l’equazione  = 5

22+1 , equivale a 22 = 5− , e quindi possiede almeno una soluzione se e solo se  6= 0 e

5− 2 ≥ 0, cioe’ se e solo se  ∈ (0 5]. In tal caso esistono due soluzioni, che sono 1 = −

q 5− 2

e 2 = q

5− 2 . E’ immediato che

• (i) 1 ∈ [1+∞); • (ii) 2 ∈ [1+∞) se e solo se

q 5− 2 ≥ 1, ovvero se e solo se 5−2 − 1 ≥ 0. Poiche’ l’insieme

delle soluzioni di questa ultima disequazione e’ (0 53 ], si deduce che Im() = (0 5 3 ]. Quindi

sup  = 53 , inf  = 0.

Questa funzione e’ monotona strettamente decrescente perche’ per ogni 1 2 in [1+∞) tali che 1  2, si ha

21   2 2 =⇒ 221  222 =⇒ 221 + 1  222 + 1 =⇒

1

221 + 1 

1

222 + 1 =⇒ 5

221 + 1 

5

222 + 1

Questo implica che  e’ iniettiva, e implica anche che  = 1 e’ punto di max globale per  , mentre non esiste alcun punto di min globale; max  = (1) = 53 , non esiste min  . Poiche’  e’ iniettiva,  e’ invertibile, e −1 : (0 53 ] → [1+∞), tale che per ogni  ∈ (0 53 ], −1() =  in [1+∞) tale che () = . Da quanto visto sopra, sappiamo che −1() =

q 5− 2 . Il grafico

di  e’ la curva spessa;1 il grafico di −1 e’ la curva sottile 1 Il segmento spesso che appare per   1 e  = 0 e’ frutto di capricci del software, e non fa parte del grafico di  .

16

-1 1 2 3 4 5 -1

1

2

3

4

5

x

y

2. L’insieme di definizione per  e’ R − {3}, cioe’ (−∞ 3) ∪ (3+∞). Per individuare Im(), e’ necessario stabilire per quali  ∈ R l’equazione  = () possiede almeno una soluzione nel dominio di  , cioe’ in (−∞ 3) ∪ (3+∞). Fissato un numero reale , l’equazione  = 23− , equivale a ( + 2) = 3, e quindi non esistono soluzioni se  = −2. Se invece  6= −2, allora esiste una soluzione, che e’ 1 =

3 +2 . E’ immediato che 1 6= 3, dunque 1 e’ un punto del

dominio di  e pertanto Im() = R − {2}. Quindi sup  = +∞ inf  = −∞ non esistono max min    .

La dimostrazione che  e’ iniettiva e’ gia’ stata fatta implicitamente, provando che per ogni , l’equazione  = () possiede zero soluzioni (questo avviene se  = −2) o una soluzione (questo avviene se  6= −2): quindi il criterio della retta orizzontale e’ soddisfatto. La funzione inversa −1 ha dominio R− {−2}, codominio R− {3}, e per ogni  ∈ R− {−2}, −1() e’ la  tale che () = , che sappiamo gia’ essere 3+2 . Pertanto 

−1() = 3+2 .

La funzione  non e’ monotona strettamente crescente perche’, ad esempio, (0) = 0 e (4) = −8, quindi se  cresce da 1 = 0 a 2 = 4, allora  non cresce. Inoltre,  non e’ monotona strettamente decrescente perche’, ad esempio, (0) = 0 e (1) = 1, quindi se  cresce da 1 = 0 a 2 = 1, allora  non decresce.

((4)) = (18) = −125 ; ((5)) = (−5) = 27. Poiche’ (()) = 2( 2+2)

3−(2+2) = 22+4 1−2 , si

conclude che  ◦  ha (−∞−1) ∪ (−1 1) ∪ (1+∞) come insieme di definizione. 3. L’insieme di definizione di  e’ l’insieme di tutti i numeri reali tali che 2 − 7||+ 10 6= 0. Per risolvere l’equazione 2 − 7||+ 10 = 0 si considerano due casi:

• per  ≥ 0, l’equazione e’ 2 − 7 + 10 = 0 ed ha le soluzioni 1 = 2, 2 = 5, entrambe accettabili perche’ 1 ≥ 0, 2 ≥ 0;

• per   0, l’equazione e’ 2 +7+ 10 = 0 ed ha le soluzioni 3 = −2, 4 = −5, entrambe accettabili perche’ 3  0, 4  0.

Dunque 2−7||+10 = 0 possiede le quattro soluzioni indicate sopra, e l’insieme di definizione di  e’ R− {−5−2 2 5}. Poiche’ () = (()) = (

2−7+10)2+5√ 2−7+10−2 , l’insieme di definizione di  e’ l’insieme di tutti i

numeri reali tali che 2 − 7+ 10 ≥ 0 e √2 − 7+ 10− 2 6= 0. L’insieme delle soluzioni della disequazione 2 − 7 + 10 ≥ 0 e’ (−∞ 2] ∪ [5+∞). Considerando valori di  nell’insieme

17

(−∞ 2] ∪ [5+∞), la disequazione √2 − 7+ 10− 2 6= 0 equivale a 2 − 7+ 6 6= 0, ovvero  6= 1 e  6= 6. Dunque l’insieme di definizione di  e’ (−∞ 1) ∪ (1 2] ∪ [5 6) ∪ (6+∞).

4. E’ immediato che () ≥ 0 per ogni , dunque  = 10 e’ un punto di minimo globale per  , e cosi’ anche  = 40,  = 107,  = 290,...: pertanto min  = inf  = 0. Si noti che (10) = (40) implica che  non e’ iniettiva. Non esiste un punto di massimo globale per  perche’ per ogni  ∈ N vale (10 − 1) = 9, quindi  e’ superiormente illimitata: sup  = +∞.

5. Il grafico di  e’

-10 10 20 30 40

-2

2

4

6

x

y

Per questa funzione si ha Im() = (−2 5], quindi max  = sup  = 5,  = 8, min  non esiste,  non esiste, inf  = −2.  e’ monotona strettamente crescente in (−∞ 8), e’ monotona strettamente decrescente in [8+∞).  non e’ iniettiva perche la retta orizzontale di equazione  = 2 (ad esempio) interseca il grafico di  in due punti.

Il grafico di  e’

-10 -5 5 10 15

-2

2

4

6

x

y

quindi  e’ iniettiva perche’ ogni retta orizzontale interseca il grafico di  in zero punti, o in un punto. Inoltre, Im() = (−2 3) ∪ [113  5] e −1(−1) = 0 perche’ (0) = 20 − 2 = −1; −1(2) = 4 perche’ (4) = log2 4 = 2; 

−1(4) = 323 perche’ ( 32 3 ) =

32 323 + 1 = 4; 

−1(8) non esiste perche’ 8 ∈ Im().  e’ iniettiva se e solo se  ≥ 3, perche’ in tal caso il ramo decrescente del grafico si trova al di sopra della retta orizzontale di equazione  = 3, e il ramo crescente del grafico si trova al di sotto della retta. Pertanto, ogni retta orizzontale tocca il grafico in 0 punti o in un punto.

18

6. L’insieme di definizione di  e’ dato dagli  che soddisfano le seguente disuguaglianze:⎧⎨⎩   0

3− log5  ≥ 0 − 6 6= 0

La disequazione −6 6= 0 equivale a  6= 6. La disequazione 3−log5  ≥ 0 equivale a 3 ≥ log5 , ovvero a 53 ≥ 5log5 , ovvero a 125 ≥ . Quindi l’insieme di definizione di  e’ (0 6) ∪ (6 125]. L’insieme di definizione di  e’ dato dagli  che soddisfano le seguente disuguaglianze:½

+ 5  0 log2(+ 5) 6= 0

La disequazione +5  0 equivale a   −5. L’equazione log2(+5) = 0 equivale a 2log2(+5) = 20, ovvero a  + 5 = 1, ovvero a  = −4. Quindi l’insieme di definizione di  e’ (−5−4) ∪ (−4+∞).

7. Il grafico di  e’

-4 -2 2 4

-2

2

4

6

8

x

y

Per questa funzione si ha Im() = [−2+∞), quindi max  non esiste,  non esiste, sup  = +∞, min  = inf  = −2,  = 0.  e’ monotona strettamente decrescente in (−∞ 0), e’ monotona strettamente crescente in [0 2), ed e’ monotona strettamente crescente in [2+∞) (ma non monotona strettamente cres- cente in [0+∞)).  non e’ iniettiva perche la retta orizzontale di equazione  = 3 (ad esempio) interseca il grafico di  in due punti.

La funzione  : (−∞ 2] → R (cioe’ con  = 2) tale che () = () per ogni  ∈ (−∞ 2] e’ iniettiva: il suo grafico e’

19

-4 -2 2 4

-2

2

4

6

8

x

y

8. L’insieme di definizione di  e’ dato dagli  che soddisfano le seguenti disuguaglianze:½ 3 + 2 ≥ 0 2(2 − 1) 6= 0

Poiche’ 3  0 e 2 ≥ 0 per ogni  ∈ R, si deduce che 3 + 2  0 per ogni  ∈ R. Poiche’ 2  0 per ogni  ∈ R e 2 − 1 = 0 se e solo se  = ±1, si deduce che 2(2 − 1) 6= 0 se e solo se  ∈ R− {−1 1}. L’insieme di definizione di  e’ quindi (−∞−1) ∪ (−1 1) ∪ (1+∞). L’insieme di definizione di  e’ dato dagli  che soddisfano le seguenti disuguaglianze:½

+ 3 6= 0 4−16 +3  0

La disequazione +3 6= 0 ha come insieme delle soluzioni R− {−3}. Riguardo a 4−16+3  0, si ha che il numeratore e’ negativo per   2, zero per  = 2, positivo per   2; il denominatore e’ negativo per   −3, zero per  = −3, positivo per   −3. Dunque 4−16+3  0 per  ∈ (−∞−3) ∪ (2+∞), e questo e’ l’insieme di definizione di . L’insieme di definizione di  e’ dato dagli  che soddisfano le seguenti disuguaglianze:⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩

 ≥ 0 3 + 12  0

log2( 3 + 12) 6= 0

5 − 20 6= 0 La disequazione 3 + 12  0 equivale a 

3  −12 , ed ha come insieme delle soluzioni l’intervallo ( 3 q −12 +∞). L’equazione log2(3 + 12) = 0 equivale a 3 + 12 = 1, ovvero a 3 = 12 , ed ha

come soluzione  = 3 q

1 2 . L’equazione 5

 − 20 = 0 equivale a 5 = 20, ovvero a log5(5) = log5 20, ovvero a  = log5 20. Pertanto l’insieme di definizione di  e’ [0

3

q 1 2)∪ ( 3

q 1 2  log5 20)∪

(log5 20+∞). 9. Poiche’ (−1) = 5 e (0) = 3, si conclude che  non e’ monotona crescente. Poiche’ (0) = 3 e (1) = 11, si conclude che  non e’ monotona decrescente. Per ogni  ∈ [−1 1] vale 74 + 83 − 22 − 5+ 3 ≤ 7 + 8 + 0 + 5 + 3 = 23, quindi 23 e’ un maggiorante per Im() (e cosi’ anche 28, 36, 214, ...).

20

10. La funzione () = 8 − 3,  : [1 2] → R, e’ monotona strettamente decrescente e tale che Im() = [2 5]:

1.0 1.2 1.4 1.6 1.8 2.0 0

1

2

3

4

5

6

x

y

11. Poiche’ (−) = − log10(cos(−)) = − log10(cos) = −(), si conclude che  e’ dispari. Poiche’ (−) = 5(−)8− 2 cos(−3) + 4|− |+7(−)4 = 58− 2 cos(3) + 4||+74 = (), si conclude che  e’ pari. Poiche’ (−) = 6−−1

6−+1 = 1−6 1+6 = −6

−1 6+1 = −(), si conclude che

 e’ dispari. Poiche’ (−) = (tan(−))2 + sin(−) = (− tan)2 − sin = (tan)2 − sin, si conclude che  non e’ pari ne’ dispari.

12. Dato   0, log7  e’ l’esponente da dare a 7 per ottenere come risultato , ovvero quel numero  tale che 7 = . Usando i logaritmi in base 10 otteniamo log7 50 =

log10 50 log10 7

= 1 69908451 = 2010 4

13. Se  = 4 , allora il punto di arrivo sulla circonferenza e’ un punto sulla retta bisettrice del primo e terzo quadrante, dunque l’ordinata di tale punto e’ uguale all’ascissa, cioe’ sin 4 = cos 4 . Inserendo tale uguaglianza in (cos

 4 ) 2 + (sin 4 )

2 = 1 si ricava 2(cos 4 ) 2 = 1, e pertanto

cos 4 = √ 2 2 perche’ il punto di arrivo sulla circonferenza e’ nel primo quadrante, quindi con

ascissa positiva. Dunque sin 4 = √ 2 2 e tan

 4 = 1.

Se  = 34 , allora il punto di arrivo sulla circonferenza e’ un punto sulla retta bisettrice del sec- ondo e quarto quadrante, dunque l’ordinata di tale punto e’ uguale all’opposto dell’ascissa, cioe’ sin 34 = − cos 34 . Inserendo tale uguaglianza in (cos 34 )2 + (sin 34 )2 = 1 si ricava 2(cos 34 )

2 = 1, e pertanto cos 34 = − √ 2 2 perche’ il punto di arrivo sulla circonferenza e’

nel secondo quadrante, quindi con ascissa negativa. Pertanto sin 34 = √ 2 2 e tan

3 4 = −1.

Per  = 54 e  = 7 4 e’ possibile utilizzare le uguaglianze

cos(+ ) = − cos e sin(+ ) = − sin valide per ogni  ∈ R, e ottenere

cos( 5

4 ) = cos(

4 +) = − cos 

4 = − √ 2

2 sin(

5

4 ) = sin(

4 +) = − sin 

4 = − √ 2

2 tan(

5

4 ) = 1

cos( 7

4 ) = cos(

3

4 +) = − cos 3

4  =

√ 2

2 sin(

7

4 ) = sin(

3

4 +) = − sin 3

4  = −

√ 2

2 tan(

7

4 ) = −1

La funzione () = sin− cos+ 3 tan,  : [0 2 )→ R, e’ monotona strettamente crescente poiche’

21

• nell’intervallo [0 2 ) le funzioni  = sin,  = − cos,  = 3 tan sono tutte monotone strettamente crescenti;

•  e’ la somma delle tre funzioni citate sopra, e dunque e’ la somma di tre funzioni monotone strettamente crescenti.

Pertanto  e’ invertibile, e in base alla definizione di funzione inversa −1(−1) =  tale che () = −1. In generale, per questa funzione non esiste una formula che risolve l’equazione () = , ma e’ semplice verificare che (0) = −1, e quindi −1(−1) = 0. Inoltre, −1(3) =  tale che () = 3. Sebbene non esista una formula che risolve l’equazione () = 3, e’ comunque semplice verificare che (4 ) = 3, e quindi 

−1(3) = 4 .

14. E’ necessario capire per quali valori di  ∈ R l’equazione () =  ha soluzione, ovvero  − 42 = . A questo riguardo e’ utile eseguire la sostituzione  = 2 (quindi 2 = ), che fa ottenere l’equazione

2 − 4 −  = 0 Tale equazione ha soluzioni se e solo se 4 +  ≥ 0, cioe’ se e solo se  ≥ −4. In tal caso le soluzioni sono 1 = 2 −

√ 4 +  e 2 = 2 +

√ 4 + , e a partire da 2 (che e’ positiva per ogni

 ≥ −4), usando 2 = 2 si ricava  = 2 ln 2 = 2 ln(2 + √ 4 + ), che e’ una soluzione di

 − 42 = . Pertanto Im() = [−4+∞). 15. 1() = (ln(2+))2 ha per insieme di definizione l’intervallo (−2+∞) e per immagine [0+∞)

poiche (i) per ogni  ≥ 0,  = √ − 2 e’ una soluzione per l’equazione (ln(2 + ))2 = ; (ii) se   0, allora il lato sinistro di (ln(2 + ))2 =  non puo’ essere uguale al lato destro per alcun .

2() = ln(2 +  2) ha per insieme di definizione R e per immagine [ln 2+∞) poiche (i) per

ogni  ≥ ln 2,  = √ − 2 e’ una soluzione per l’equazione ln(2 + 2) = ; (ii) se   ln 2, allora ln(2 + 2)   per ogni  ∈ R.

16. (a) Dati 1 2 in [0+∞) con 1  2 si ha che 31 + 3  32 + 3, dunque  e’ strettamente crescente in [0+∞). Inoltre,  non ha un punto di max globale in 0 = 1 perche’ (1) = 4 ma (ad esempio) (3) = 30  4.

(a) Dati 1 2 in R con 1  2 si ha che (1) = (2), dunque  non e’ strettamente crescente in R. Inoltre,  ha un punto di max globale in 0 = 1 perche’ (1) = 1 e () ≤ (1) per ogni  ∈ R.

2.4 Limiti e Continuita’

1. E’ utile ricordare che lim→0 () =  se per ogni   0 esiste   0 tale che per ogni  ∈ ((0 )− {0}) ∩ vale −   ()  + .

• Per dimostrare che lim→3 2 = 8 si considerano le disequazioni 8−   2  8 + : esse hanno come insieme delle soluzioni l’intervallo (log2(8− ) log(8+ )), pertanto (log2(8− ) log(8 + ))− {3} e’ l’intorno bucato cercato.

• Per dimostrare che lim→25√ = 5 si considerano le disequazioni 5−  √  5+: esse hanno come insieme delle soluzioni l’intervallo ((5− )2 (5+ )2), pertanto ((5− )2 (5+ )2)− {25} e’ l’intorno bucato cercato.

22

2. Per lim→2+ 12− = −∞ si deve dimostrare che per ogni  0 esiste un   0 tale che per ogni  ∈ (2 2+ ) vale 12−  − . Dato che   2 (e quindi 2−   0) la disequazione 12−  − e’ equivalente a 1   − 2, ovvero 2 + 1  . Quindi  = 1 , cioe’ per ogni  ∈ (2 2 + 1 ) vale 12−  − . Per lim→+∞ cos = 0 si deve dimostrare che per ogni   0 esiste un   0 tale che per ogni    vale −  cos  . Per fare questo e’ utile notare che −1 ≤ cos ≤ 1 per ogni , e dunque (dato   0) − 1 ≤ cos ≤ 1 . Se 1  , allora −  − 1 e dunque −  − 1 ≤ cos ≤ 1  , il che implica   cos   come desiderato. Per soddisfare 1   e’ sufficiente prendere   1 , ovvero  =

1  .

3. lim→−3  2−9 +3 =

0 0 , ma

2−9 +3 =

(−3)(+3) +3 =  − 3, quindi lim→−3 

2−9 +3 = −6. Per verificare

questo risultato in base alla definizione di limite si fissa un   0 arbitrario e si considerano le disequazioni −6 −    − 3  −6 + , le quali sono entrambe soddisfatte se e solo se  ∈ (−3− −3 + ), pertanto (−3− −3 + )− {−3} e’ l’intorno bucato cercato.

4. La funzione  e’ continua in (−∞ 1) e in (1+∞) (perche’ 2−+3, cos, log2 , 3+ sono funzioni continue), ma potrebbe essere non continua nel punto 0 = 1 perche’ l’espressione di  per   1 e’ diversa dall’espressione di  per   1. Poiche’  e’ continua in 0 = 1 se e solo se lim→1 () = (1), calcoliamo (1) e lim→1 (). Risulta che (1) = 5 −  e lim→1− () = lim→1−(2 −  + 3) = 5 − , lim→1+ () = lim→1+ (cos)(log2 )3+ = 0. Dunque lim→1 () esiste se e solo se  = 5, e in tal caso si ha lim→1 () = 0, (1) = 0. Pertanto  e’ continua in 0 = 1 (e quindi continua in R) se e solo se  = 5. La funzione  e’ continua in (−∞ 0) e in (0+∞) (perche’ , log3(1 + )− 2 sono funzioni continue), ma potrebbe essere non continua nel punto 0 = 0. Poiche’  e’ continua in 0 = 0 se e solo se lim→0 () = (0), calcoliamo (0) e lim→0 (). Risulta che (0) = 1 e lim→0− () = lim→0−  = 1, lim→0+ () = lim→0+(log3(1 + ) − 2) = −2. Poiche’ nessun  reale e’ tale che 1 = −2, si conclude che lim→0 () non esiste, e dunque per nessun  reale  e’ continua nel punto 0 = 0.

La funzione  e’ continua in (−∞ 1), in (1 2) e in (2+∞) (perche’ −2 + , 2 +  + 1, 3 −  sono funzioni continue), ma potrebbe essere non continua nel punto 0 = 1 e nel punto 1 = 2. Riguardo al punto 0,  e’ continua in 0 se e solo se lim→1 () = (1). Risulta che (1) = −2 +  e lim→1− () = lim→1−(−2 + ) = −2 + , lim→1+ () = lim→1+(2++1) = 2+: dunque  e’ continua in 0 se e solo se −2+  = 2+. Riguardo al punto 1,  e’ continua in 1 se e solo se lim→2 () = (2). Risulta che (2) = 8 −  e lim→2− () = lim→2−(2 +  + 1) = 5 + 2, lim→2+ () = lim→2+(3 − ) = 8 − : dunque  e’ continua in 1 se e solo se 5 + 2 = 8− . Risolvendo il sistema di equazioni

−2 +  = 2 +  5 + 2 = 8− 

si trova  = −13   = 113 . Dunque  e’ continua in R se e solo se  = −13 e  = 113 . 5. (a) Definendo () = −5 + 1 − 3, vediamo che  e’ continua in [0 1] e (0) = 1  0, (1) = −3  0. Dunque il teorema degli zeri implica l’esistenza di almeno un 0 in (0 1) tale che (0) = 0, cioe’ di almeno una soluzione all’equazione (a). Tale soluzione e’ unica in quanto  e’ monotona strettamente decrescente in [0 1] (poiche’  = −5 e  = −3 sono funzioni

23

monotone strettamente decrescenti in [0 1]). Calcolando (12) = −(12)5 + 1− 3(12) = −1732  0 si deduce che la soluzione si trova nell’intervallo (0 12).

(b) Definendo () = 2 ln +  − 4 , vediamo che  e’ continua in [1 2] e (1) = −3  0, (2) = 4 ln 2  0. Dunque il teorema degli zeri implica l’esistenza di almeno un 0 in (1 2) tale che (0) = 0, cioe’ di almeno una soluzione all’equazione (b). Tale soluzione e’ unica in quanto  e’ monotona strettamente crescente in [1 2] (poiche’  = 2 ln,  =  e  = − 4 sono funzioni monotone strettamente crescenti in [1 2]). Calcolando (32) = 2(

3 2) ln(

3 2)+(

3 2)− 4( 3

2 ) =

3 ln 32 − 76  0 si deduce che la soluzione si trova nell’intervallo (1 32).2 (c) Definendo () = 3 − 4 − , vediamo che  e’ continua in [0 2] e (0) = −3  0, (2) = 3  0. Dunque il teorema degli zeri implica l’esistenza di almeno un 0 in (0 2) tale che (0) = 0, cioe’ di almeno una soluzione all’equazione (c). Non e’ immediato stabilire se tale soluzione e’ unica, in quanto  = 3 e’ monotona strettamente crescente ma  = − e’ monotona strettamente decrescente, e dunque la monotonia di  non e’ chiara (in realta’ e’ possibile dimostrare che  e’ monotona strettamente crescente utilizzando il calcolo differen- ziale). Calcolando (1) = 3− 4− 1 = −2  0, si deduce che la soluzione si trova nell’intervallo (1 2).

(d) Definendo () =  +  + 5, vediamo che  e’ continua in [−5 1] e (−5) = −5  0, (1) = +6  0. Dunque non e’ possibile applicare il teorema degli zeri per stabilire l’esistenza di almeno un 0 in (−5 1) tale che (0) = 0.

6. Definendo () =  3

2+2 , vediamo che  e’ continua in [−5 10] e (−5) = (−5)3

(−5)2+2 = −12527  3, (10) = (10)

3

(10)2+2 = 50051  3. Dunque il teorema dei valori intermedi implica l’esistenza di almeno

un 0 in (−5 10) tale che (0) = 3, cioe’ di almeno una soluzione all’equazione 32+2 = 3. Definendo () = 3+sin, vediamo che  e’ continua in [−2  2 ] e (−2 ) = (−2 )3+sin(−2 ) = −183 − 1  2, (2 ) = (2 )3 + sin(2 ) = 183 + 1  2. Dunque il teorema dei valori intermedi implica l’esistenza di almeno un 0 in (−2  2 ) tale che (0) = 2, cioe’ di almeno una soluzione all’equazione 3 + sin = 2.

7. La funzione  e’ continua in [1 3], un intervallo chiuso e limitato, quindi esistono min  e max  per il teorema di Weierstrass, e il teorema 7.7 implica che Im() = [min max  ]. Poiche’  e’ monotona strettamente crescente, si deduce che min  = (1) = 112 e max  = (3) = 253 2 + log2 3. Dunque Im() = [

11 2 

253 2 + log2 3].

Poiche’ la funzione  e’ continua in R, il teorema 7.7 implica che Im() contiene (inf  sup ), e forse anche uno o entrambi gli estremi di tale intervallo. E’ immediato che  = 2−2+8 (una funzione quadratica) e’ superioremente illimitata ed ha un punto di min globale in 0 = 1, con minimo pari a 7. Poiche’ la funzione () = ln e’ monotona strettamente crescente e lim→+∞ () = +∞, si deduce che sup  = +∞ e min  = (1) = ln 7. Dunque Im() = [ln 7+∞). La funzione  e’ continua in [1 5], e il teorema 7.7 implica che Im() = [minmax] . Poiche’  = − 3 e’ monotona strettamente crescente in [1 5] e  = (27) e’ monotona strettamente decrescente, si conclude che  e’ monotona strettamente decrescente, dunque min = (5) = (27) − 3 5 = (72)

35 = 2121, max = (1) = (27) − 3 1 = (72)3 = 42875 e Im() = [2121 42875].

2 Il segno di ( 3 2 ) non e’ evidente senza l’utilizzo di una calcolatrice.

24

8. Il teorema della permanenza del segno implica l’esistenza di un intorno del punto 5, (5), tale che ()  0 per ogni  ∈ (5), ma non fornisce informazioni su quanto e’ ampio tale intorno, cioe’ non e’ detto che tale intorno contenga i punti 47 o 51. Pertanto non si puo’ dedurre ne’ il segno di (47), ne’ il segno di (51) (ne’ il segno di (49999), ad esempio).

9. lim→0(cos+ 2)(log07 ) = 3 · (+∞), quindi lim→0(cos+ 2)(log07 ) = +∞ lim→−∞ 4 ·(8−100−3 ) = lim→−∞ 4 ·(−83+ 100−3) = (+∞)·(−83), quindi lim→−∞ 4 ·(8−100−3 ) = −∞. lim→−∞ 2 · (log3(−)) = (+∞) · (+∞), quindi lim→−∞ 2 · (log3(−)) = +∞. lim→+∞ 

3

(14)−2 = +∞ −2 , quindi lim→+∞

3

(14)−2 = −∞. lim→0+

+|| 2 = lim→0+

+ 2 = lim→0+

2 2 = lim→0+

2  = +∞; lim→0− +||2 = lim→0− −2 =

lim→0− 0 = 0; quindi lim→0 +|| 2

non esiste.

10. (a) lim→+∞(804 + 173 − 35 − 12− 5) = lim→+∞(−35) = −∞ (b) lim→−∞(804 + 173 − 35 − 12− 5) = lim→−∞(−35) = +∞. (c) lim→+∞( 4

√ 7 − 3+ 2 + 5− ) = lim→+∞ 74 = +∞.

(d) lim→+∞( √ 42 − 3+ 6−2) = lim→+∞ (

√ 42−3+6−2)(√42−3+6+2)√

42−3+6+2 = lim→+∞ 42−3+6−42√ 42−3+6+2 =

lim→+∞ −3+62+2 = −34 . (e) lim→−∞(

√ 42 − 3+ 6− 2) = +∞+∞, quindi lim→−∞(

√ 42 − 3+ 6− 2) = +∞.

(f) lim→−∞ 4 2+54+

6+73−34 = lim→−∞ 54

−34 = −53 . (g) lim→+∞ 4

2+54+ 6+73−34 = lim→+∞

54

−34 = −53 . (h) lim→−∞

|2++1|−22 |−3+|−3+22 = lim→−∞

2++1−22 −3+−3+22 = lim→−∞

+1−2 −23++22 = lim→−∞

−2 −23 =

0.

(i) lim→+∞ |2++1|−22 |−3+|−3+22 = lim→+∞

2++1−22 3−−3+22 = lim→+∞

+1−2 −+22 = −12 .

(l) lim→−∞ 4− −3

2−7 = lim→−∞ −3 2 = lim→−∞(−) = +∞.

(m) lim→+∞ 4− −3

2−7 = lim→+∞ − 2 = −∞.

(n) lim→+∞ log6 +4−3 sin 2+2 ln+3 = lim→+∞

log6  3 = 0.

(o) lim→+∞ 7 √ +log3(

5)

4+673 = lim→+∞

7 √ +5 log3 

4+673 = lim→+∞ 7

√  4 = 0.

11. (a) lim→±∞(6− 216 + 44 − 3) = lim→±∞(−216) = −∞. (b) lim→±∞( 5

√ 2 + + 1+− 3) = lim→±∞(), e lim→+∞() = +∞, lim→−∞() = −∞.

(c) lim→+∞( 3 √ 2 + 5 − √4 + 1) = lim→+∞(23 − 2) = lim→+∞((213) − 2) = +∞;

lim→−∞( 3 √ 2 + 5 −√4 + 1) = lim→−∞( 3

√ 5 − 2) = −∞.

(d) lim→±∞( √ 2 + 22 + 4−√1 + 3+ 4) = lim→±∞ (

√ 2+22+4−√1+3+4)(√2+22+4+√1+3+4)

( √ 2+22+4+

√ 1+3+4)

=

lim→±∞ (2+22+4−(1+3+4))

22 = lim→±∞ 2

2−3+1 22

= 1

(e) lim→±∞ ( √ 1 + 4 − 2) = lim→±∞  (

√ 1+4−2)(√1+4+2)

( √ 1+4+2)

= lim→±∞ 1+ 4−4 22 = 0.

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