matematica per applicazioni economiche, Domande di esame di Matematica I. Università degli Studi di Firenze
lorenzo-palli
lorenzo-palli

matematica per applicazioni economiche, Domande di esame di Matematica I. Università degli Studi di Firenze

9 pagine
101Numero di visite
Descrizione
esercizi preparazione esame MAE
20 punti
Punti download necessari per scaricare
questo documento
Scarica il documento
Anteprima3 pagine / 9
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 9 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 9 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 9 totali
Scarica il documento
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 9 totali
Scarica il documento
swp0000.dvi

Matematica per le Applicazioni Economiche I, 17 Febbraio 2017 Testo d’esame A

La prova ha la durata di due ore. Spiegate con molta cura le vostre risposte.

Esercizio 1 (3 punti) Si scrivano le seguenti definizioni: funzione continua in un punto, funzione iniettiva, funzione concava.

Esercizio 2 (7 punti) Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false. Si motivino le risposte "vero" for- nendone una dimostrazione, la quale può basarsi su definizioni, proposizioni e teoremi contenuti nel programma del corso. Si motivino le risposte "falso" esibendo un controesempio all’affermazione.

(2a) Se  : [0 3]→ R è continua e (0)  (3), allora Im() = [(0) (3)]. (2b) Se  : [0 3]→ R è iniettiva, allora  è monotona strettamente crescente o monotona strettamente decres- cente.

(2c) Se  : [0 3]→ R è concava e (0)  (3), allora 0 è punto di minimo globale per  .

Esercizio 3 (6 punti) Si calcolino i seguenti limiti

lim →4

√ − 2

2 − 3− 4 , lim→0 ( − 1)

(sin(2))(ln(1 + ))

Esercizio 4 (5 punti) Data la funzione () = 25 ln(),

(4a) si determini l’insieme di definizione  di  ;

(4b) si calcolino la derivata prima e la derivata seconda di  ;

(4c) si determinino gli intervalli di concavità/convessità di  in .

Esercizio 5 (9 punti) Si consideri l’insieme

 = { ∈ R : 2 − 5+ 4 ≥ 0} ∩ { ∈ R : 2 − 8  0}

(5a) si esprima  come unione di intervalli disgiunti;

(5b) si determinino l’insieme dei maggioranti e l’estremo superiore dell’insieme ;

(5c) si determinino l’insieme dei punti interni per  e l’insieme dei punti di accumulazione per .

Esercizio 6 (10 punti) Si studi la funzione

() = 

4+ 3

e si disegni il suo grafico tralasciando lo studio della derivata seconda.

1

Soluzioni per il testo d’esame A

Esercizio 1 Si veda il libro di testo.

Esercizio 2 (2a) L’affermazione è falsa. Si consideri ad esempio () = −2 + 4+ 1,  : [0 3]→ R, che ha il seguente grafico:

-1 1 2 3 4

1

2

3

4

5

6

x

y

Allora (0) = 1, (3) = 4, ma Im() non è uguale a [1 4] poiché, ad esempio, (2) = 5 e 5 ∈ [1 4]. (2b) L’affermazione è falsa. Si consideri ad esempio () =

½ + 1 se  ∈ [0 1] 6−  se  ∈ (1 3] , che ha il seguente grafico:

0 1 2 3

1

2

3

4

5

x

y

Questa funzione è iniettiva ma non è monotona strettamente crescente né monotona strettamente decrescente. (2c) L’affermazione è vera. Dimostriamo qui che () ≥ (0) per ogni  ∈ [0 3]. Ponendo 1 = 0 e 2 = 3 nella definizione di funzione concava si ottiene la seguente proprietà: () ≥ (0) + (3)−(0)3  per ogni  ∈ [0 3]. Poiché (3)  (0), si deduce che (3)−(0)3  0 e dunque

(3)−(0) 3  ≥ 0 per ogni  ∈ [0 3]. Pertanto

() ≥ (0) + (3)−(0)3  ≥ (0) per ogni  ∈ [0 3].

Esercizio 3 (3a) lim→4 √ −2

2−3−4 = 0 0 , lim→4

√ −2

(+1)(−4) = lim→4 ( √ −2)(√+2)

(+1)(−4)(√+2) = lim→4 −4

(+1)(−4)(√+2) = lim→4 1(+1)(√+2) =

1 20 .

(3b) lim→0 (−1)

(sin(2))(ln(1+)) = 0 0 , lim→0

−1 

 

sin(2) 

ln(1+) 

= 1·12·1 = 1 2 .

Esercizio 4 (4a) L’insieme di definizione  di  è (0+∞). (4b)  0() = 104 ln() + 24,  00() = 10

¡ 43 ln() + 3

¢ + 83 = 23 (20 ln() + 9).

(4c) Per ogni  ∈  si ha che 23  0, e 20 ln() + 9 ≥ 0 equivale a ln() ≥ − 920 , ovvero  ≥ −920 (20 ln() + 9 ≤ 0 equivale a 0   ≤ −920). Pertanto  è convessa nell’intervallo [−920+∞),  è concava nell’intervallo (0 −920].

Esercizio 5 (5a) Per la disequazione 2 − 5 + 4 ≥ 0 l’insieme delle soluzioni è (−∞ 1] ∪ [4+∞). Per la disequazione 2 − 8  0 l’insieme delle soluzioni è (0 8). Pertanto  = ((−∞ 1] ∪ [4+∞)) ∩ (0 8) = (0 1] ∪ [4 8).

2

(5b) L’insieme dei maggioranti per  è [8+∞), quindi sup = 8. (5c) L’insieme dei punti interni per  è (0 1)∪ (4 8). L’insieme dei punti di accumulazione per  è [0 1]∪ [4 8].

Esercizio 6 L’insieme di definizione di  è  = { ∈ R : 4+ 3 6= 0} = (−∞−34) ∪ (−34 +∞). Per studiare il segno di () è utile osservare che   0 per ogni  ∈ , dunque il segno di () coincide con il segno di 4+3 . Poiché 4+3  0 per  ∈ (−∞−34) e 4+3  0 per  ∈ (− 34 +∞), risulta che ()  0 per  ∈ (−∞−34 ), ()  0 per  ∈ (−34  0), (0) = 0, ()  0 per  ∈ (0+∞).  non è pari, né dispari, né periodica. Per calcolare lim→−∞ () è utile notare che lim→−∞ 4+3 =

1 4 e lim→−∞ 

 = 0, quindi lim→−∞ () = 0.

lim→− 34− () = − 34−34

0− , quindi lim→− 34− () = +∞. lim→− 34+ () =

− 34 −34 0+ , quindi lim→− 34+ () = −∞.

Per calcolare lim→+∞ () è utile notare che lim→+∞ 4+3 = 1 4 e lim→+∞ 

 = +∞, quindi lim→+∞ () = +∞. La derivata prima di  è

 0() = ( + )(4+ 3)− 4

(4+ 3)2 = (42 + 3+ 3)



(4+ 3) 2

Al fine di studiarne il segno in , è utile osservare che  

(4+3)2  0 per ogni  ∈ , e quindi il segno di  0()

coincide con il segno di 42 + 3 + 3. Poiché 42 + 3 + 3  0 per ogni  ∈ , si deduce che  è monotona strettamente crescente nell’intervallo (−∞−34) ed è monotona strettamente crescente anche nell’intervallo (−34 +∞). Pertanto non esistono per questa funzione punti di max/min locali/globali; inf  = −∞, sup  = +∞. Il grafico di  è

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

8

x

y

3

Matematica per le Applicazioni Economiche I, 17 Febbraio 2017 Testo d’esame B

La prova ha la durata di due ore. Spiegate con molta cura le vostre risposte.

Esercizio 1 (3 punti) Si scrivano le seguenti definizioni: funzione continua in un punto, funzione iniettiva, funzione concava.

Esercizio 2 (7 punti) Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false. Si motivino le risposte "vero" for- nendone una dimostrazione, la quale può basarsi su definizioni, proposizioni e teoremi contenuti nel programma del corso. Si motivino le risposte "falso" esibendo un controesempio all’affermazione.

(2a) Se  : [1 4]→ R è continua e (1)  (4), allora Im() = [(4) (1)]. (2b) Se  : [1 4]→ R è iniettiva, allora  è monotona strettamente crescente o monotona strettamente decres- cente.

(2c) Se  : [1 4]→ R è concava e (1)  (4), allora 4 è punto di minimo globale per  .

Esercizio 3 (6 punti) Si calcolino i seguenti limiti

lim →9

√ − 3

2 − 7− 18 , lim→0  sin()

( − 1)(ln(1 + 3))

Esercizio 4 (5 punti) Data la funzione () = 34 ln(),

(4a) si determini l’insieme di definizione  di  ;

(4b) si calcolino la derivata prima e la derivata seconda di  ;

(4c) si determinino gli intervalli di concavità/convessità di  in .

Esercizio 5 (9 punti) Si consideri l’insieme

 = { ∈ R : 2 − 7+ 10 ≥ 0} ∩ { ∈ R : 2 − 9  0}

(5a) si esprima  come unione di intervalli disgiunti;

(5b) si determinino l’insieme dei maggioranti e l’estremo superiore dell’insieme ;

(5c) si determinino l’insieme dei punti interni per  e l’insieme dei punti di accumulazione per .

Esercizio 6 (10 punti) Si studi la funzione

() = 

2+ 5

e si disegni il suo grafico tralasciando lo studio della derivata seconda.

4

Soluzioni per il testo d’esame B

Esercizio 1 Si veda il libro di testo.

Esercizio 2 (2a) L’affermazione è falsa. Si consideri ad esempio () = 2 − 6+ 10,  : [1 4]→ R, che ha il seguente grafico:

1 2 3 4 5 0

1

2

3

4

5

x

y

Allora (1) = 5, (4) = 2, ma Im() non è uguale a [2 5] poiché, ad esempio, (3) = 1 e 1 ∈ [2 5]. (2b) L’affermazione è falsa. Si consideri ad esempio () =

½  se  ∈ [1 2]

7−  se  ∈ (2 4] , che ha il seguente grafico:

0 1 2 3 4 0

1

2

3

4

5

x

y

Questa funzione è iniettiva ma non è monotona strettamente crescente né monotona strettamente decrescente. (2c) L’affermazione è vera. Dimostriamo qui che () ≥ (4) per ogni  ∈ [1 4]. Ponendo 1 = 1 e 2 = 4 nella definizione di funzione concava si ottiene la seguente proprietà: () ≥ (1) + (4)−(1)3 ( − 1) per ogni  ∈ [1 4]. Poiché (1)  (4), si deduce che (4)−(1)3  0 e dunque  = (1) + (4)−(1)3 (− 1) è una funzione strettamente decrescente in , dunque (1)+ (4)−(1)3 (−1) ≥ (1)+ (4)−(1)3 (4−1) = (4) per ogni  ∈ [1 4]. Dunque () ≥ (1) + (4)−(1)3 (− 1) ≥ (4) per ogni  ∈ [1 4].

Esercizio 3 (3a) lim→9 √ −3

2−7−18 = 0 0 , lim→9

√ −3

(+2)(−9) = lim→9 ( √ −3)(√+3)

(+2)(−9)(√+3) = lim→9 −9

(+2)(−9)(√+3) = lim→9 1(+2)(√+3) =

1 66 .

(3b) lim→0  sin()

(−1)(ln(1+3)) = 0 0 , lim→0

  · sin()

−1  · ln(1+3)

= 1·11·3 = 1 3 .

Esercizio 4 (4a) L’insieme di definizione  di  è (0+∞). (4b)  0() = 123 ln() + 33,  00() = 12

¡ 32 ln() + 2

¢ + 92 = 32 (12 ln() + 7).

(4c) Per ogni  ∈  si ha che 32  0, e 12 ln() + 7 ≥ 0 equivale a ln() ≥ − 712 , ovvero  ≥ −712 (12 ln() + 7 ≤ 0 equivale a 0   ≤ −712). Pertanto  è convessa nell’intervallo [−712+∞),  è concava nell’intervallo (0 −712].

Esercizio 5 (5a) Per la disequazione 2 − 7 + 10 ≥ 0 l’insieme delle soluzioni è (−∞ 2] ∪ [5+∞). Per la disequazione 2 − 9  0 l’insieme delle soluzioni è (0 9). Pertanto  = ((−∞ 2] ∪ [5+∞)) ∩ (0 9) = (0 2] ∪ [5 9).

5

(5b) L’insieme dei maggioranti per  è [9+∞), quindi sup = 9. (5c) L’insieme dei punti interni per  è (0 2)∪ (5 9). L’insieme dei punti di accumulazione per  è [0 2]∪ [5 9].

Esercizio 6 L’insieme di definizione di  è  = { ∈ R : 2+ 5 6= 0} = (−∞−52) ∪ (−52 +∞). Per studiare il segno di () è utile osservare che   0 per ogni  ∈ , dunque il segno di () coincide con il segno di 2+5 . Poiché 2+5  0 per  ∈ (−∞−52) e 2+5  0 per  ∈ (− 52 +∞), risulta che ()  0 per  ∈ (−∞−52 ), ()  0 per  ∈ (−52  0), (0) = 0, ()  0 per  ∈ (0+∞).  non è pari, né dispari, né periodica. Per calcolare lim→−∞ () è utile notare che lim→−∞ 2+5 =

1 2 e lim→−∞ 

 = 0, quindi lim→−∞ () = 0.

lim→− 52− () = − 52−52

0− , quindi lim→− 52− () = +∞. lim→− 52+ () =

− 52 −52 0+ , quindi lim→− 52+ () = −∞.

Per calcolare lim→+∞ () è utile notare che lim→+∞ 2+5 = 1 2 e lim→+∞ 

 = +∞, quindi lim→+∞ () = +∞. La derivata prima di  è

 0() = ( + )(2+ 5)− 2

(2+ 5)2 = (22 + 5+ 5)



(2+ 5) 2

Al fine di studiarne il segno in , è utile osservare che  

(2+5)2  0 per ogni  ∈ , e quindi il segno di  0()

coincide con il segno di 22 + 5 + 5. Poiché 22 + 5 + 5  0 per ogni  ∈ , si deduce che  è monotona strettamente crescente nell’intervallo (−∞−52) ed è monotona strettamente crescente anche nell’intervallo (−52 +∞). Pertanto non esistono per questa funzione punti di max/min locali/globali; inf  = −∞, sup  = +∞. Il grafico di  è

-4 -2 2

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

6

Matematica per le Applicazioni Economiche I, 17 Febbraio 2017 Testo d’esame C

La prova ha la durata di due ore. Spiegate con molta cura le vostre risposte.

Esercizio 1 (3 punti) Si scrivano le seguenti definizioni: funzione continua in un punto, funzione iniettiva, funzione convessa.

Esercizio 2 (7 punti) Si dica se le seguenti affermazioni sono vere o false. Si motivino le risposte "vero" for- nendone una dimostrazione, la quale può basarsi su definizioni, proposizioni e teoremi contenuti nel programma del corso. Si motivino le risposte "falso" esibendo un controesempio all’affermazione.

(2a) Se  : R→ R è continua e lim→−∞ () = 7, lim→+∞ () = 12, allora Im() = (7 12). (2b) Se  : [2 5]→ R è iniettiva, allora  è monotona strettamente crescente o monotona strettamente decres- cente.

(2c) Se  : [2 5]→ R è convessa e (2)  (5), allora 5 è punto di massimo globale per  .

Esercizio 3 (6 punti) Si calcolino i seguenti limiti

lim →1

√ − 1

2 + 6− 7 , lim→0  ln(1 + )

(4 − 1)(sin())

Esercizio 4 (5 punti) Data la funzione () = 53 ln(),

(4a) si determini l’insieme di definizione  di  ;

(4b) si calcolino la derivata prima e la derivata seconda di  ;

(4c) si determinino gli intervalli di concavità/convessità di  in .

Esercizio 5 (9 punti) Si consideri l’insieme

 = { ∈ R : 2 − 9+ 18 ≥ 0} ∩ { ∈ R : 2 − 7  0}

(5a) si esprima  come unione di intervalli disgiunti;

(5b) si determinino l’insieme dei maggioranti e l’estremo superiore dell’insieme ;

(5c) si determinino l’insieme dei punti interni per  e l’insieme dei punti di accumulazione per .

Esercizio 6 (10 punti) Si studi la funzione

() = 

3+ 2

e si disegni il suo grafico tralasciando lo studio della derivata seconda.

7

Soluzioni per il testo d’esame C

Esercizio 1 Si veda il libro di testo.

Esercizio 2 (2a) L’affermazione è falsa. Si consideri ad esempio () =

⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 7 se   1

−72+ 212 se  ∈ [1 3] 12− 36 se  ∈ (3 4) 12 se  ≥ 4

,  : R→

R, che ha il seguente grafico:

-10 -5 5 10 -2

2

4

6

8

10

12

14

x

y

Allora lim→−∞ () = 7 e lim→+∞ () = 12, ma Im() = [0 12], che è un insieme diverso dall’intervallo (7 12).

(2b) L’affermazione è falsa. Si consideri ad esempio () = ½ + 1 se  ∈ [2 4] − 3 se  ∈ (4 5] , che ha il seguente grafico:

0 1 2 3 4 5 6 0

1

2

3

4

5

x

y

Questa funzione è iniettiva ma non è monotona strettamente crescente né monotona strettamente decrescente. (2c) L’affermazione è vera. Dimostriamo qui che () ≤ (5) per ogni  ∈ [2 5]. Ponendo 1 = 2 e 2 = 5 nella definizione di funzione convessa si ottiene la seguente proprietà: () ≤ (2) + (5)−(2)3 (− 2) per ogni  ∈ [2 5]. Poiché (5)  (2), si deduce che (5)−(2)3  0 e dunque  = (2) + (5)−(2)3 (− 2) è una funzione strettamente crescente, dunque (2) + (5)−(2)3 ( − 2) ≤ (2) + (5)−(2)3 (5 − 2) = (5) per ogni  ∈ [2 5]. Dunque () ≤ (2) + (5)−(2)3 (− 2) ≤ (5) per ogni  ∈ [2 5].

Esercizio 3 (3a) lim→1 √ −1

2+6−7 = 0 0 , lim→1

√ −1

(+7)(−1) = lim→1 ( √ −1)(√+1)

(+7)(−1)(√+1) = lim→1 −1

(+7)(−1)(√+1) = lim→1 1(+7)(√+1) =

1 16 .

(3b) lim→0  ln(1+)

(4−1)(sin()) = 0 0 , lim→0

  · ln(1+)

4−1  · sin()

= 1·14·1 = 1 4 .

Esercizio 4 (4a) L’insieme di definizione  di  è (0+∞). (4b)  0() = 152 ln() + 52,  00() = 15 (2 ln() + ) + 10 = 5 (6 ln() + 5). (4c) Per ogni  ∈  si ha che 5  0, e 6 ln()+ 5 ≥ 0 equivale a ln() ≥ −56 , ovvero  ≥ −56 (6 ln()+ 5 ≤ 0 equivale a 0   ≤ −56). Pertanto  è convessa nell’intervallo [−56+∞),  è concava nell’intervallo (0 −56].

8

Esercizio 5 (5a) Per la disequazione 2 − 9 + 18 ≥ 0 l’insieme delle soluzioni è (−∞ 3] ∪ [6+∞). Per la disequazione 2 − 7  0 l’insieme delle soluzioni è (0 7). Pertanto  = ((−∞ 3] ∪ [6+∞)) ∩ (0 7) = (0 3] ∪ [6 7). (5b) L’insieme dei maggioranti per  è [7+∞), quindi sup = 7. (5c) L’insieme dei punti interni per  è (0 3)∪ (6 7). L’insieme dei punti di accumulazione per  è [0 3]∪ [6 7].

Esercizio 6 L’insieme di definizione di  è  = { ∈ R : 3+ 2 6= 0} = (−∞−23) ∪ (−23 +∞). Per studiare il segno di () è utile osservare che   0 per ogni  ∈ , dunque il segno di () coincide con il segno di 3+2 . Poiché 3+2  0 per  ∈ (−∞−23) e 3+2  0 per  ∈ (− 23 +∞), risulta che ()  0 per  ∈ (−∞−23 ), ()  0 per  ∈ (−23  0), (0) = 0, ()  0 per  ∈ (0+∞).  non è pari, né dispari, né periodica. Per calcolare lim→−∞ () è utile notare che lim→−∞ 3+2 =

1 3 e lim→−∞ 

 = 0, quindi lim→−∞ () = 0.

lim→− 23− () = − 23−23

0− , quindi lim→− 23− () = +∞. lim→− 23+ () =

− 23 −23 0+ , quindi lim→− 23+ () = −∞.

Per calcolare lim→+∞ () è utile notare che lim→+∞ 3+2 = 1 3 e lim→+∞ 

 = +∞, quindi lim→+∞ () = +∞. La derivata prima di  è

 0() = ( + )(3+ 2)− 3

(3+ 2)2 = (32 + 2+ 2)



(3+ 2) 2

Al fine di studiarne il segno in , è utile osservare che  

(3+2)2  0 per ogni  ∈ , e quindi il segno di  0()

coincide con il segno di 32 + 2 + 2. Poiché 32 + 2 + 2  0 per ogni  ∈ , si deduce che  è monotona strettamente crescente nell’intervallo (−∞−23) ed è monotona strettamente crescente anche nell’intervallo (−23 +∞). Pertanto non esistono per questa funzione punti di max/min locali/globali; inf  = −∞, sup  = +∞. Il grafico di  è

-3 -2 -1 1 2 3

-6

-4

-2

2

4

6

x

y

9

non sono stati rilasciati commenti
Questa è solo un'anteprima
3 pagine mostrate su 9 totali
Scarica il documento