Misura del tempo caratteristico di un circuito RC in seire con delta di dirac, Progetti di Laboratorio Di Fisica Generale. Università degli Studi di Salerno
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Misura del tempo caratteristico di un circuito RC in seire con delta di dirac, Progetti di Laboratorio Di Fisica Generale. Università degli Studi di Salerno

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La seguente è una relazione di laboratorio di Fisica II, contiene, oltre all'analisi statistica dei dati anche richiami teorici e applicazioni ai casi limite
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Misura del tempo caratteristico e verifica della costante di un circuito RC in serie. Segnale d’entrata è la delta di Dirac

Scopo, previsioni teoriche e analisi del circuito L'esperimento prevede la determinazione del tempo caratteristico (τ = RC) di un circuito RC in serie e la verifica che A sia costante a parità di duty cycle1 . La costante di tempo determina la risposta del circuito a qualsiasi segnale d’entrata che può essere una tensione o una corrente, esso è determinato dal coefficiente angolare della seguente retta: (1)

Per comprendere meglio com’è stata ricavata la (1) spendiamo alcune parole sulla risposta del circuito alla delta di Dirac. Il circuito usato è composto da una resistenza R collegata in serie ad un condensatore (capacità C) e in questo caso l’insieme di questi elementi passivi (elementi che non possono erogare energia) è alimentato da un generatore di tensione che eroga una delta di Dirac. La delta di Dirac è una “funzione” tale che:

Essa è rappresentata tramite un impulso d’ampiezza infinitesima.

Si nota che la delta di Dirac è un onda quadra con ampiezza infinitesima. Nel nostro esperimento essa è stata simulata impostando un duty cycle molto basso. Bisogna stare attenti nel farlo poiché se il tempo che il segnale rimane alto è maggiore di quello di risposta del circuito, la risposta del circuito non sarà quello dell’impulso. È Inoltre facile verificare che la delta di Dirac è la derivata della funzione gradino. Quindi affinché essa diventi una tensione bisogna moltiplicarla per un coefficiente k (area dell’impulso) che ha le dimensioni di tensione per tempo. Detto ciò possiamo ricavare l’equazione (1).

Figura 1: Il circuito rappresenta quello utilizzato nell’esperienza

Premettiamo che per determinare il tempo caratteristico è stato impostato un duty cycle dell’1%. Questa impostazione fa si che la risposta del circuito non sia quella dell’impulso ma quella dell’onda quadra. Ne consegue che per determinare la relazione (1) si deve considerare come segnale d’entrata quello costante. La tensione erogata dal generatore è: Vg(t)= (2)

Siccome consideriamo l’onda quadra come un impulso, avendo impostato un duty cycle dell’1%, possiamo riscrivere la (2) nel seguente modo: Vg(t)= Dove 5,4 è la durata del segnale con tensione Vo. (tenendo conto della figura 1) Trascurando la resistenza ed il condensatore interni all’oscilloscopio e la resistenza interna del generatore di tensione, applichiamo la legge di Kirchhoff alla maglia costituita dalla resistenza R e dal condensatore C:

1Il duty cycle è definito come la frazione di tempo che un'entità passa in uno stato attivo in proporzione al tempo totale considerato. Esso è esprimibile come il rapporto tra l’intervallo di tempo a livello alto ed il periodo totale. Quindi più è basso ,minore è la permanenza nel livello alto del segnale.

(3)

-R: Una resistenza da 10 KΩ; -C: condensatore da 4,7 nF; -i(t) : corrente erogata dal generatore di tensione

Che in forma differenziale si presenta come:

Risolvendo la precedente equazione differenziale s’ ottiene come varia la tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo: (4) Dove τ = RC ed è il tempo caratteristico del circuito. Poiché (perché il segnale è presente per tempi molto piccoli), allora ha lo stesso comportamento di .Quindi la relazione (4) diventa : ) Che è la (1)

Ora passiamo a studiare il motivo per cui la quantità è una costante: a parità di duty cycle nel dominio di Laplace2 la (3) ha la seguente forma ( con Vg(t)=kδ(t) ) :

Quindi Per la legge di Ohm =k= (4)

Ora si applica l’anti trasformata3 di Laplace alla (4): (5) La (5) esprime la dipendenza della tensione ai capi del condensatore dal tempo. Ricordando la definizione di k=Vo T dove T è l’intervallo di tempo impiegato dal segnale nella sua fase attiva e poiché (perché il segnale è presente per tempi molto piccoli) ,la (5) si presenterà nella seguente forma: A= Quindi A si approssima tanto meglio a quanto minore è il duty cycle .

Circuito utilizzato per la misura

Facendo riferimento al circuito (Figura 1) esso è composto da: -Un generatore di funzione (mod. TEKTRONIC AFG 3101) : esso permette di scegliere segnali di qualsiasi forma, ed è stata impostata in questo caso, una tensione sinusoidale con ampiezza Vo=2 V -Un oscilloscopio(mod. TEKTRONIC TDS 2012B).Caratteristiche :resistenza interna 1MΩ ±1% in parallelo con condensatore 13 pF±2pF. Esso consente di visualizzare sul suo schermo l’andamento temporale della tensione ai capi del condensatore e del generatore di funzione ;

Il circuito è stato costruito su una breadboard.

2 La Trasformata di Laplace è la funzione definita sull’insieme continuo s data da: . Dove F(t) è definita sui t ≥ 0 ed s =. Con essa è possibile trattare risposte di circuiti a qualsiasi tipo di segnale d’ingresso 3 L’anti-trasformata di Laplace è :

Dati

Tabella 1: La seguente tabella mostra i dati utilizzati per la realizzazione della retta (1) con i relativi errori assoluti. I fondo scala usati per le tensioni Vc e Vo e per il tempo t sono rispettivamente 50mV e 2 µs

x: t(µs) Errore t(µs) Vc(mv) errore Vc(mV) Vo(mv) errore Vo (mV)

y: Vc/Vo Errore Vc/Vo

1,4 0,2 29 5 1000 5 2,9E-02 5,1E-03 2 0,2 40 5 1000 5 4,0E-02 5,2E-03 2,2 0,2 44 5 1000 5 4,4E-02 5,2E-03 2,4 0,2 48 5 1000 5 4,8E-02 5,2E-03 2,6 0,2 52 5 1000 5 5,2E-02 5,3E-03 2,8 0,2 56 5 1000 5 5,6E-02 5,3E-03 3 0,2 60 5 1000 5 6,0E-02 5,3E-03 3,2 0,2 64 5 1000 5 6,4E-02 5,3E-03 3,4 0,2 68 5 1000 5 6,8E-02 5,3E-03 3,6 0,2 72 5 1000 5 7,2E-02 5,4E-03 3,8 0,2 76 5 1000 5 7,6E-02 5,4E-03 4 0,2 80 5 1000 5 8,0E-02 5,4E-03 4,2 0,2 84 5 1000 5 8,4E-02 5,4E-03 4,4 0,2 88 5 1000 5 8,8E-02 5,4E-03 4,6 0,2 92 5 1000 5 9,2E-02 5,5E-03 4,8 0,2 96 5 1000 5 9,6E-02 5,5E-03 5 0,2 100 5 1000 5 1,0E-01 5,5E-03 6 0,2 120 5 1000 5 1,2E-01 5,6E-03 7 0,2 138 5 1000 5 1,4E-01 5,7E-03 8 0,2 157 5 1000 5 1,6E-01 5,8E-03 9 0,2 174 5 1000 5 1,7E-01 5,9E-03 9,6 0,2 184 5 1000 5 1,8E-01 5,9E-03

-Gli errori sul coefficiente angolare e l’intercetta della retta sono stati calcolati mediante il software OriginPro8 -Errore assoluto Vc, Vo, e t sono stati misurati tramite l’oscilloscopio in dotazione. L’errore assoluto attribuito, è il semi-intervallo della risoluzione del fondoscala usato (che indica l’ampiezza di uno degli 8 quadratini della griglia di riferimento dell’oscilloscopio che a loro volta, sono divisi in 5 parti). Tenendo conto di quanto detto sopra avremo che l’errore assoluto sarà:

-Errore assoluto Vc/Vo : Nell’ipotesi in cui gli errori siano massimi e casuali l’errore commesso è:

Tabella 2: Le seguenti tabelle mostrano i dati utilizzati per la determinazione delle costanti A

(Tabella 2.a) Vc(mV) Duty cycle 0,10% 0,20% 0,30% 0,50% 1,00%

Vo (mV) 1000 22 42 63 98 190 2000 43 85 124 206 383 5000 108 213 314 510 965 10000 214 428 628 1040 1940

(Tabella 2.b) t(µs)

Duty cycle T (us) 0,10% 1 0,20% 2,01 0,30% 3 0,50% 5,04 1,00% 10

(Tabella 2.c) A(µs-1)

Duty cycle 0,10% 0,20% 0,30% 0,50% 1,00% Vo (mV) 1000 2,20E-02 2,09E-02 2,10E-02 1,94E-02 1,90E-02 2000 2,15E-02 2,11E-02 2,07E-02 2,04E-02 1,92E-02 5000 2,16E-02 2,12E-02 2,09E-02 2,02E-02 1,93E-02 10000 2,14E-02 2,13E-02 2,09E-02 2,06E-02 1,94E-02 Grafico 1 Il seguente grafico rappresenta il rapporto tra le tensioni Vc e Vo al variare di t:

La precedente retta segue l’equazione : y=(2,69±0,53) x10-3 +(19,20±0,11)x10-3 x

Il tempo caratteristico ricavato dal coefficiente angolare della retta ottenuta è : = (52,07±0,30) μs che differisce da quello teorico () , del 9% circa.

- Gli errori sul coefficiente angolare e l’intercetta della retta sono stati calcolati mediante il software OriginPro8

-Errore assoluto s : Nell’ipotesi in cui gli errori siano massimi e casuali, poiché il coefficiente angolare della retta è l’errore relativo di è ; ne segue che .

Analisi dei dati e confronto con le previsioni teoriche

Osserviamo inoltre che l’oscilloscopio, che può essere rappresentato da un circuito equivalente ad un condensatore in parallelo ad una resistenza ,nel nostro esperimento ha una resistenza interna Ro >>R ,mentre la sua capacità interna è Co<<C. Dimostriamo che in quest’ipotesi la presenza dell’oscilloscopio non perturba l’andamento del circuito infatti : -Collegato al condensatore si ha che la sua capacità è posta in parallelo a quella del circuito e poiché la capacità equivalente è data dalla somma delle capacità, si può ritenere trascurabile quella dello strumento. Per quel che riguarda il confronto tra le resistenze ricordando che quella dell’oscilloscopio Ro è molto grande, grazie al teorema di Thevenin notiamo che la resistenza equivalente sarà approssimabile alla sola resistenza del circuito. -Collegato al generatore : si ottiene un nuovo circuito RC, in cui la resistenza è il parallelo tra quella dell’oscilloscopio e quella del generatore Rg e la capacità è quella del condensatore(Co). Poiché Rg<<Ro(quindi ,essendo le due in parallelo , quella dell’oscilloscopio è trascurata rispetto quella del generatore) il tempo caratteristico del circuito è :τ’~ RgCo. Inoltre τ’ è molto minore di τ = RC, essendo Rg<<R e Co<<C e l’influenza dell’oscillatore collegato al generatore è stimabile per scale temporali più piccole rispetto a quelle da noi considerate nei nostri calcoli. Per questo la perturbazione ai capi del generatore è trascurabile nell’analisi del circuito;

Dalla Tabella 2.c si nota che a parità di duty cycle le costanti “A” ottenute sono molto vicine tra loro. Stimando il valore di A per ciascun gruppo tramite la media aritmetica s’osserva, come previsto in “Scopo, previsioni teoriche e analisi del circuito”, che lo scarto tra A ed il suo valore teorico è minore laddove il duty cycle è più basso.

Duty cycle 0,10% 0,20% 0,30% 0,50% 1,00% Media A 2,16E-02 2,11E-02 2,09E-02 2,02E-02 1,92E-02 A teorico 2,13E-02 2,13E-02 2,13E-02 2,13E-02 2,13E-02

Scarto 2% 1% 2% 5% 10%

Conclusione Dal fit lineare tra e t notiamo che i dati s’approssimano alla retta dei minimi quadrati ottenuta, inoltre i risultati sperimentali si accordano con le previsioni teoriche.

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