Misura del tempo caratteristico di un circuito RC in serie mediante la carica e scarica del condensatore, Progetti di Laboratorio Di Fisica Generale. Università degli Studi di Salerno
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Misura del tempo caratteristico di un circuito RC in serie mediante la carica e scarica del condensatore, Progetti di Laboratorio Di Fisica Generale. Università degli Studi di Salerno

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La seguente è una relazione di laboratorio di Fisica II, contiene, oltre all'analisi statistica dei dati anche richiami teorici e applicazioni ai casi limite
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Misura del tempo caratteristico di un circuito RC in serie mediante la carica e scarica del condensatore

Scopo, previsioni teoriche e analisi del circuito

L'esperimento prevede la determinazione della costante di tempo di un circuito RC (R=resistenza, C=condensatore) in serie. La costante di tempo determina il tempo di risposta del circuito ad un segnale d’entrata che può essere una tensione o corrente. La tecnica utilizzata per ricavare è la carica e scarica del condensatore.

Questo processo consiste nel far accumulare la carica sulle armature del condensatore, in seguito all'applicazione di una differenza di potenziale (Processo di carica), successivamente si fa evolvere liberamente il circuito staccando il generatore di tensione in modo tale da far disperdere le cariche accumulate. Per far ciò si fa erogare dal generatore di tensione un’ onda quadra :

Dove Vo è la tensione erogata dal generatore nell’intervallo di tempo specificato

Il tempo caratteristico del circuito è determinato dal coefficiente angolare delle seguenti rette1 :

Le relazioni (1) e (2) sono state ricavate nel seguente modo:

Trascurando la resistenza ed il condensatore interni all’oscilloscopio e la resistenza interna del generatore di tensione,applichiamo la legge di Kirchhoff delle maglie al circuito di Figura 1:

1 Più precisamente si ci aspetta che i dati ricavati dalle misure seguano l’andamento delle rette (1) e (2)

-R: Una resistenza da 10 KΩ;

-C: condensatore da 4,7 nF;

-i(t) : corrente erogata dal generatore di tensione

Che in forma differenziale si presenta come:

(3)

(4)

Risolvendo le precedenti equazioni differenziali, si ottiene come varia la tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo:

(3)

(4)

Dove τ = RC ed è il tempo caratteristico del circuito.

Per avere una relazione lineare tra il rapporto “ e t ” applichiamo i logaritmi e manipoliamo le relazioni (3) e (4) cosi da ottenere quelle ricercate :

Circuito utilizzato per la misura

Figura 1

Figura 1: Il circuito rappresenta quello utilizzato nell’esperienza

Facendo riferimento al circuito (Figura 1) esso è composto da:

-Un generatore di funzione (mod. TEKTRONIC AFG 3101): esso permette di scegliere segnali di qualsiasi forma ed è stata impostata, in questo caso, un’onda quadra

-Un oscilloscopio (mod. TEKTRONIC TDS 2012B) avente resistenza interna 1MΩ ±1% in parallelo con condensatore 13 pF±2pF.

Esso consente di visualizzare sul suo schermo l’andamento temporale della tensione ai capi del condensatore e del generatore di funzione ;

Il circuito è stato montato su una breadboard.

Dati

Il fondo scala impostato sull’oscilloscopio, sia in fase di carica che di scarica, è :

25 μs per il tempo, mentre per le tensioni 500 mV

Tabella 1: La seguente tabella mostra i dati utilizzati per determinare nella fase di carica

(forniremo nel paragrafo “Analisi dei dati e confronto con le previsioni teoriche” i passaggi utilizzati per il calcolo dei dati da interpolare):

Dove: Vc = ΔVc /2 ; Vo = ΔVo/2

Fase di Carica t (μs) errore t (μs) ΔVc(mV) errore ΔVc (mV) ΔVo (mV) errore ΔVo (mV) 6 2,5 260 50 2000 50

16 2,5 600 50 2000 50 23 2,5 820 50 2000 50 28 2,5 940 50 2000 50 35 2,5 1100 50 2000 50 43 2,5 1220 50 2000 50 57 2,5 1440 50 2000 50 69 2,5 1560 50 2000 50 80 2,5 1660 50 2000 50 98 2,5 1760 50 2000 50 108 2,5 1820 50 2000 50 125 2,5 1880 50 2000 50 140 2,5 1900 50 2000 50 162 2,5 1940 50 2000 50

X:t(s) Errore t(s) Y:log(1-Vc/Vo) Errore log(1-Vc/Vo) 6,0E-06 2,5E-06 -0,14 0,03 1,6E-05 2,5E-06 -0,36 0,05 2,3E-05 2,5E-06 -0,53 0,06 2,8E-05 2,5E-06 -0,63 0,07 3,5E-05 2,5E-06 -0,80 0,09 4,3E-05 2,5E-06 -0,94 0,10 5,7E-05 2,5E-06 -1,27 0,15 6,9E-05 2,5E-06 -1,51 0,20 8,0E-05 2,5E-06 -1,77 0,27 9,8E-05 2,5E-06 -2,12 0,39 1,1E-04 2,5E-06 -2,41 0,53 1,3E-04 2,5E-06 -2,81 0,81 1,4E-04 2,5E-06 -3,00 0,97 1,6E-04 2,5E-06 -3,51 1,64

Propagazione degli errori

-Gli errori sul coefficiente angolare e l’intercetta della retta sono stati calcolati mediante il software OriginPro8

-Errore assoluto ΔVc, ΔVo, e Δt sono stati misurati tramite l’oscilloscopio in dotazione. L’errore assoluto attribuito, è il semi-intervallo della risoluzione del fondoscala usato (che indica l’ampiezza di uno degli 8 quadratini della griglia di riferimento dell’oscilloscopio che a loro volta, sono divisi in 5 parti).

Tenendo conto di quanto detto sopra avremo che l’errore assoluto sarà:

-Errore assoluto di Vc, Vo: Ricordando che sull’oscilloscopio si leggono tensioni che vanno da –V a V ne consegue che ΔVc e ΔVo sono il doppio dell’intervallo desiderato, quindi gli errori per le grandezze in questione sono

-Errore assoluto : Nell’ipotesi in cui gli errori sono massimi e casuali l’errore commesso è:

Grafico 1

Il seguente grafico è ottenuto interpolando t e il corrispondente

La precedente retta segue l’equazione : y=(-9±4)103+(-22,1±0,2)103t

Errore assoluto : Nell’ipotesi in cui gli errori sono massimi e casuali, poiché il coefficiente angolare della retta è l’errore relativo di è ; ne segue che

Fase di Scarica

Tabella 2: La seguente tabella mostra i dati utilizzati per determinare nella fase di scarica

(forniremo nel paragrafo “Analisi dei dati e confronto con le previsioni teoriche” i passaggi utilizzati per il calcolo dei dati da interpolare):

Dove: Vc = ΔVc /2 ; Vo = ΔVo/2

t (μs) errore t (μs) ΔV(mV) errore ΔV (mV) ΔVo (mV) errore ΔVo(mV) 8 2,5 1680 50 2000 50 18 2,5 1360 50 2000 50 24 2,5 1140 50 2000 50 34 2,5 940 50 2000 50 40 2,5 840 50 2000 50 52 2,5 640 50 2000 50 60 2,5 540 50 2000 50 68 2,5 500 50 2000 50 74 2,5 400 50 2000 50 86 2,5 300 50 2000 50 106 2,5 200 50 2000 50 126 2,5 120 50 2000 50 138 2,5 100 50 2000 50

x:Δt(s) Errore Δt(s) y:log(Vc/Vo) Errore log(Vc/Vo) 8,0E-06 2,5E-06 -0,87 0,05 1,8E-05 2,5E-06 -1,08 0,06 2,4E-05 2,5E-06 -1,26 0,07 3,4E-05 2,5E-06 -1,45 0,08 4,0E-05 2,5E-06 -1,56 0,08 5,2E-05 2,5E-06 -1,83 0,10 6,0E-05 2,5E-06 -2,00 0,12 6,8E-05 2,5E-06 -2,08 0,13 7,4E-05 2,5E-06 -2,30 0,15 8,6E-05 2,5E-06 -2,59 0,19 1,1E-04 2,5E-06 -3,00 0,28 1,3E-04 2,5E-06 -3,51 0,44 1,4E-04 2,5E-06 -3,69 0,53

Propagazione degli errori

-Gli errori sul coefficiente angolare e l’intercetta della retta sono stati calcolati mediante il software OriginPro8

-Errore assoluto ΔVc, ΔVo, e Δt sono stati misurati tramite l’oscilloscopio in dotazione. L’errore assoluto attribuito, è il semi-intervallo della risoluzione del fondoscala usato (che indica l’ampiezza di uno degli 8 quadratini della griglia di riferimento dell’oscilloscopio che a loro volta, sono divisi in 5 parti).

Tenendo conto di quanto detto sopra avremo che l’errore assoluto sarà:

-Errore assoluto di Vc, Vo: Ricordando che sull’oscilloscopio si leggono tensioni che vanno da –V a V ne consegue che ΔVc e ΔVo sono il doppio dell’intervallo desiderato, quindi gli errori per le grandezze in questione sono

-Errore assoluto : Nell’ipotesi in cui gli errori sono massimi e casuali l’errore commesso è:

Grafico 2

Il seguente grafico è ottenuto interpolando t e il corrispondente

La precedente retta segue l’equazione : y=(-0,70±0,01)+(-21,5±0,3)103x

Errore assoluto : Nell’ipotesi in cui gli errori sono massimi e casuali, poiché il coefficiente angolare della retta è l’errore relativo di è ; ne segue che

Analisi dei dati e confronto con le previsioni teoriche

Osserviamo inoltre che l’oscilloscopio, che può essere rappresentato da un circuito equivalente ad un condensatore in parallelo ad una resistenza ,nel nostro esperimento ha una resistenza interna Ro >>R ,mentre la sua capacità interna è Co<<C.

Dimostriamo che in queste ipotesi la presenza dell’oscilloscopio non perturba in modo rilevante le misure del circuito, infatti :

-Collegato al condensatore : la capacità dell’oscilloscopio è posta in parallelo a quella del circuito e poiché la capacità equivalente, in questo caso, è data dalla somma delle capacità, si può ritenere trascurabile quella dello strumento. Per quel che riguarda il confronto tra le resistenze ricordando che quella dell’oscilloscopio Ro è molto più grande di quella usata nel circuito, la resistenza equivalente , sarà approssimabile alla sola resistenza del circuito.

-Collegato al generatore : si ottiene un nuovo circuito RC, in cui la resistenza è il parallelo tra quella dell’oscilloscopio e quella del generatore Rg e la capacità è quella del condensatore(Co).

Poiché Rg<<Ro(quindi ,essendo le due in parallelo , quella dell’oscilloscopio è trascurata rispetto quella del generatore) il tempo caratteristico del circuito è τ1~ RgCo

Inoltre τ1 è molto minore di τ = RC, essendo Rg<<R e Co<<C e l’influenza dell’oscillatore collegato al generatore è stimabile per scale temporali più piccole rispetto a quelle da noi considerate nei nostri calcoli. Per questo la perturbazione ai capi del generatore è trascurabile nell’analisi del circuito;

Infine,dallo studio delle relazioni (1) e (2), cioè della tensione ai capi del condensatore in funzione del tempo,si osserva che per tempi minori di prevale il carattere esponenziale della funzione mentre per tempi maggiori di quello lineare.

Questo può essere interpretato rifacendoci alla risoluzione delle rispettive equazioni differenziali (3) e (4)

-Nel primo caso, ossia l’equazione (1), la soluzione di suddetta equazione differenziale è la somma dell’ omogenea associata,ottenuta ponendo uguale a 0 il termine Vo, e quella particolare, ottenuta ricercando una equazione Vc(t) che soddisfi l’equazione differenziale in questione. La soluzione dell’omogenea è l’esponenziale

mentre quella particolare è il termine lineare V0 . In questo primo caso si conclude che indica il tempo necessario al circuito per rispondere al segnale del generatore di tensione; infatti, per tempi minori di τ=47 μs è come se il generatore non ci fosse; invece successivamente, la tensione comincia ad avere l’andamento della tensione erogata dal generatore

-Nel secondo caso, cioè l’equazione (2) , la soluzione è quella dell’omogenea ricavata nel primo caso cioè . Si conclude che dopo 47 μs in cui non viene erogata la tensione Vo, quella ai capi del condensatore comincia a decrescere fino ad annullarsi.

Conclusione

Dai fit lineari (grafico 1) e (grafico 2) si osserva che i dati interpolati si adattano bene alle rette; inoltre dal coefficiente angolare di queste, otteniamo come valori del tempo caratteristico :

-Nella fase di carica del condensatore τs = (45,25±0,33)μs che differisce, nei margini d’errore, del 3% da quello teorico (τt=47μs)

- Nella fase di scarica del condensatore τs = (46,44±0,72)μs che rientra, nei margini d’errore, in quello previsto teoricamente.

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