Misura del tempo caratteristico di un circuito RL in serie con eccitazione cosinusoidale, Progetti di Laboratorio Di Fisica Generale. Università degli Studi di Salerno
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Misura del tempo caratteristico di un circuito RL in serie con eccitazione cosinusoidale, Progetti di Laboratorio Di Fisica Generale. Università degli Studi di Salerno

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La seguente è una relazione di laboratorio di Fisica II, contiene, oltre all'analisi statistica dei dati anche richiami teorici e applicazioni ai casi limite
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Misura del tempo caratteristico di un circuito RL in serie con eccitazione cosinusoidale

Scopo, previsioni teoriche e analisi del circuito equivalente

L'esperimento prevede la determinazione del tempo caratteristico (τ = L/R) di un circuito RL in serie. Ricordiamo che un circuito RL è lineare del primo ordine ed è composto da una resistenza R collegata in serie ad un induttore (induttanza L) e in questo caso l’insieme di questi elementi passivi (elementi che non possono erogare energia), è alimentato da un generatore di tensione che eroga una tensione cosinusoidale.

Figura 1

Figura 1: Il circuito rappresenta quello utilizzato nell’esperienza

Trascurando la perturbazione dell’oscilloscopio e applicando la legge di Kirchhoff alle maglie del circuito in Figura 1 si ha:

(1)

Dove:

-Vo è la tensione massima

-ω è la pulsazione, ovvero ω=2 π f (f è la frequenza ciclica della cosinusoide).

Ne consegue che la tensione ai capi dell’induttore in funzione del tempo è :

(2)

Dove:

- τ = L/R è definito come il tempo caratteristico del circuito

- ϑ = -arctg(ωτ) -

“K” e “θ” sono stati determinati trovando la soluzione particolare dell’equazione differenziale (1).

Il tempo caratteristico del circuito sarà determinato dal coefficiente angolare della seguente retta:

(3)

dove:

-VL è la tensione ai capi del condensatore.

Quindi ci si aspetta che i dati interpolati, e ω2 seguano la relazione (3).

La relazione (3) è stata ricavata nel seguente modo:

Usando il metodo simbolico si può scrivere:

VL = (jωL) i

Trascurando la perturbazione dell’oscilloscopio e la resistenza interna del generatore di tensione, sappiamo che :

Vo = VR + VL = R i + (jωL) i

(per la legge di Kirchhoff alle maglie)

Inoltre si può ricavare che:

Quindi VL =

Passando ai moduli dei numeri complessi e dividendo il primo membro per ed ambo i membri per Vo si ottiene:

(4)

Elevando al quadrato la (4) e passando ai reciproci si ha:

Che è la (3).

Inoltre realizzeremo i diagrammi di Bode, cioè grafici semilogaritmici dell’attenuazione ( ) (in decibel) e dello sfasamento(∆φ = f Δt 360)(in gradi) in funzione della frequenza f . Dai diagrammi si verificherà che il circuito in questione è un filtro passa alto, ossia il circuito lascia passare solo le frequenze più alte di quella di taglio, mentre elimina quelle minori.

Circuito utilizzato per la misura

Facendo riferimento al circuito (Figura 1) esso è composto da:

-Un generatore di funzione (mod. TEKTRONIC AFG 3101) : esso permette di scegliere segnali di qualsiasi forma, e in questo caso, è stata impostata una tensione sinusoidale con ampiezza Vo=2V .

-Un oscilloscopio(mod. TEKTRONIC TDS 2012B).

Caratteristiche: resistenza interna 1MΩ ±1% in parallelo con condensatore (13±2) pF.

Esso consente di visualizzare sul suo schermo l’andamento temporale della tensione ai capi del condensatore e del generatore di funzione ;

-R: Una resistenza da 1 KΩ;

-L: Un induttore da 36 mH;

Il circuito è stato costruito su una breadboard.

Dati

Tabella 1: La seguente tabella mostra i dati utilizzati per il grafico della retta (3) e per il diagramma di Bode.

f (Hz) ΔV (V) Fondo scala ΔV (V)

Errore ΔV (V)

ΔVo (V)

Fondo scala ΔVo(V)

Errore ΔVo(V)

Δt (s) Fondo scala Δt (s)

Errore Δt (s)

100 4,96E-02 1,00E-02 1,00E-0 3

2,1 0,5 0,05 1,80E-03 1,00E-03 1,00E-04

300 1,37E-01 2,00E-02 2,00E-0 3

2,1 0,5 0,05 7,20E-04 5,00E-04 5,00E-05

700 3,10E-01 2,50E-04 2,50E-0 5

2,1 0,5 0,05 3,10E-04 5,00E-04 5,00E-03

1000 4,40E-01 1,00E-01 1,00E-0 2

2,1 0,5 0,05 2,08E-04 1,00E-04 1,00E-05

2000 8,24E-01 1,00E-04 1,00E-0 5

2,1 0,5 0,05 9,20E-05 2,50E-06 2,00E-02

3000 1,12E+00 2,00E-01 2,00E-0 2

2,1 0,5 0,05 4,80E-05 5,00E-05 5,00E-06

10000 1,90E+00 5,00E-01 5,00E-0 2

2,1 0,5 0,05 6,60E-06 5,00E-06 5,00E-07

30000 2,04E+00 5,00E-01 5,00E-0 2

2,1 0,5 0,05 7,00E-07 2,50E-06 2,50E-07

100000 2,06E+00 5,00E-01 5,00E-0 2

2,1 0,5 0,05 6,00E-08 5,00E-07 5,00E-08

-Errori assoluti “ΔVL, ΔVo, Δt” : sono stati misurati tramite l’oscilloscopio in dotazione. Gli errori assoluti attribuiti, sono i semi-intervalli della risoluzione della scala usata, che indica l’ampiezza di uno degli 8 quadratini della griglia di riferimento dell’oscilloscopio che a loro volta, sono divisi in 5 parti.

Tenendo conto di quanto detto sopra avremo che l’errore assoluto sarà:

-Errore assoluto di V, Vo: Tenendo conto che sull’oscilloscopio si leggono tensioni che vanno da –V a V ne consegue che ΔVL e ΔVo sono il doppio dell’intervallo desiderato quindi l’errore per le grandezze in questione è

-Gli errori sul coefficiente angolare e l’intercetta della retta sono stati calcolati mediante il software OriginPro8.

-Errore assoluto Δφ: Tenendo conto che Δφ = 360 f Δt, l’errore sullo sfasamento sarà

ΔΔφ = 360 f ΔΔt -Errore assoluto sull’attenuazione: Tenendo conto che l’attenuazione è l’errore assoluto è

Grafico 1

I seguenti grafici rappresentano il diagramma di Bode (precedentemente descritto).

Grafico 1a

Grafico 1b

Grafico 2

Il seguente grafico rappresenta il rapporto tra i quadrati delle tensioni Vo e VL al variare di ω2:

La precedente retta segue l’equazione : y = (1,04±0,05)+(8,36±0,22)·108x

Analisi dei dati e confronto con le previsioni teoriche

Dall’analisi del diagramma di Bode, si può constatare che il circuito RL si comporta come un filtro passa - alto che ha la caratteristica di far passare tutte le componenti di frequenza maggiori di quella di taglio (che sappiamo dipendere dalle caratteristiche degli elementi utilizzati). Al di là di tale frequenza il filtro elimina le componenti in frequenza del segnale;

Dalla relazione (4)

possiamo giustificare l’andamento del diagramma di Bode e notare che:

1)Per frequenze minori di quella di taglio la tensione ai capi dell’induttore aumenterà sempre di più fino a raggiungere la frequenza di taglio VL ≈ V0

2) per frequenze maggiori di quella di taglio si ha VL ≈ V0 , quindi la tensione ai capi dell’induttore tenderà ad assumere il valore della tensione ai capi del generatore.

3)Se la frequenza è uguale a quella di taglio si ha VL =Vo/√2 .

Osserviamo inoltre che l’oscilloscopio, può essere rappresentato da un circuito equivalente ad un condensatore in parallelo ad una resistenza.

Nel circuito (figura 1) considerando anche la perturbazione dell’oscilloscopio, si ha :

-Collegato al solenoide e considerando nel circuito anche la capacita e la resistenza interna dell’oscilloscopio, la relazione seguente:

(5)

Si nota che se e otteniamo la relazione (4) , quindi ci avviciniamo tanto più al caso ideale al diminuire della capacità interna e all’aumentare della resistenza interna dell’oscilloscopio.

-Collegato al generatore: applicando il teorema di Thevenin otteniamo ancora un circuito RC, in cui la resistenza è il parallelo tra quella dell’oscilloscopio e quella del generatore Rg e la capacità è quella dell’oscilloscopio (Co).Poiché Rg<<Ro(quindi la resistenza dell’oscilloscopio è trascurata rispetto quella del generatore) il tempo caratteristico del circuito è τ1~ Rg Co . Inoltre τ1~ Rg Co<< Ro Co = 13μs è molto minore di τ =L/R=36μs e l’influenza dell’oscillatore collegato al generatore è

stimabile per scale temporali più piccole rispetto a quelle da noi considerate. Per questo la perturbazione ai capi del generatore è trascurabile nell’analisi del circuito.

Infine, dallo studio della relazione (2),cioè della tensione ai capi del solenoide in funzione del tempo,si osserva che, per tempi minori di prevale il carattere esponenziale della funzione mentre per tempi maggiori di quello periodico.

Questo può essere interpretato rifacendoci alla risoluzione dell’equazione differenziale (1),che è la somma della soluzione omogenea associata,ottenuta ponendo uguale a 0 il termine Vo cos(ωt), e una particolare,ottenuta ricercando una equazione VL(t) che soddisfi l’equazione differenziale in questione.

La soluzione dell’omogenea è l’esponenziale mentre quella particolare è il termine periodico . Possiamo concludere che indica il tempo necessario al circuito per rispondere al segnale generato dal generatore di tensione; infatti, per tempi minori di τ=36μs è come se il generatore non ci fosse invece successivamente la tensione comincia ad avere un andamento periodico.

Conclusione

Dal fit lineare tra e notiamo che i valori del coefficiente angolare e dell’intercetta della retta si approssimano bene,nei margini d’errore, a quelli teorici.

Il tempo caratteristico,ottenuto dal coefficiente angolare della retta interpolata,è

τs =(34,58±0,45)μs che differisce,nei margini d’errore, del 3% da quello teorico

τt=36 μs.

Il diagramma di Bode evidenzia come il circuito si comporti da filtro passa – alto.

-Errore assoluto : Nell’ipotesi in cui gli errori sono massimi e casuali,poiché il coefficiente angolare della retta è l’errore relativo di è ; ne segue che

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