Misura della resistenza mediante il metodo volt-amperometrico, Progetti di Laboratorio Di Fisica Generale. Università degli Studi di Salerno
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Misura della resistenza mediante il metodo volt-amperometrico, Progetti di Laboratorio Di Fisica Generale. Università degli Studi di Salerno

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La seguente è una relazione di laboratorio di Fisica II, contiene, oltre all'analisi statistica dei dati anche richiami teorici e applicazioni ai casi limite
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Misura della resistenza mediante il metodo volt-amperometrico

Scopo e previsioni teoriche L’esperimento prevede la misura di 4 resistenze : 82kΩ, 100k Ω, 150kΩ, 270kΩ usando il metodo volt-amperometrico. Questo è un metodo indiretto per la misura di resistenze di qualsiasi valore . Il metodo prevede l’alimentazione della resistenza di cui si desidera misurare il valore attraverso un generatore di tensione continua,e la misura della tensione ai suoi capi e della corrente che la attraversa attraverso un voltmetro e un amperometro che possono essere posizionati nel circuito, in due modi diversi: -Metodo 1: con voltmetro a valle(o anche amperometro a monte) -Metodo 2: con amperometro a valle(o anche voltmetro a monte);

I valori delle resistenze possono essere stimati, per ognuno dei due metodi, come i coefficienti angolari delle rette tensione-corrente che interessano la resistenza in esame, ottenute interpolando i valori misurati per diversi valori della tensione imposta dal generatore. La relazione che ci si aspetta nei due casi,è,approssimativamente quella descritta dalla prima legge di Ohm:

(1) Dove: -“V”:è la tensione ai capi della resistenza R -“R”:è la resistenza incognita -“I”:è la corrente che attraversa la resistenza R

In seguito si mostrerà che la tensione e la corrente misurate nei due metodi sono diverse, e che l’approssimazione di disporre di strumenti ideali,come descritto nel paragrafo “Analisi del circuito equivalente”, crea degli errori sistematici sulla tensione nel caso del voltmetro posto a monte, e sulla corrente nel caso del voltmetro posto a valle. Dimostreremo,inoltre,che il Metodo 1 è adatto per la misura di resistenze di valore “basso” rispetto al resistenza del voltmetro, mentre il secondo è più adatto quando si vuole misurare resistenze di valore “alto” rispetto a quella dell’amperometro

Circuito utilizzato per la misura e suo circuito equivalente

Nell’esperimento per la stima del valore della resistenza di valore incognito, al variare della tensione erogata dal generatore, sono state misurate la tensione V e la corrente I che la interessano, mediante i seguenti circuiti:

Fig 1. Il circuito rappresenta la configurazione del metodo volt-amperometrico con voltmetro posto a valle quando gli strumenti sono reali

Il circuito (Figura 1) utilizzato per la soluzione con voltmetro a valle, è costituito da:

-Un voltmetro analogico(Supertester 680r) con resistenza interna Rv, posto “a valle” rispetto alla restistenza incognita R,che misura la tensione ai suoi capi.

-Un amperometro digitale con resistenza interna Ra, posto “a monte”rispetto ad R, per misurare la corrente che circola nella resistenza R. -Un generatore di tensione(ISO TECH IPS 303-A). -Una resistenza incognita R.

Figura 2. Il circuito rappresenta la configurazione del metodo volt-amperometrico con voltmetro posto a monte quando gli strumenti sono reali Il circuito (Figura 2), utilizzato per la soluzione con voltmetro a monte, è costituito da: -Un voltmetro digitale con resistenza interna Rv, posto “a monte” che misura la tensione ai capi della resistenza incognita . -Un amperometro analogico (Supertester 680r) ,con resistenza interna Ra,posto “a valle”rispetto ad R,per misurare la corrente che circola nella resistenza R. -Un generatore di tensione(ISO TECH IPS 303-A). -Una resistenza incognita

Analisi del circuito equivalente Nei due circuiti precedenti (Figura 1 e Figura 2) ,ricordiamo che è la relazione (1) è valida nell’ipotesi di strumenti approssimabili a quelli ideali,ossia se utilizziamo un Voltmetro e un Amperometro aventi rispettivamente,resistenza infinita e nulla. Infatti:

Fig 3. Il circuito rappresenta la configurazione del metodo volt-amperometrico con voltmetro posto a valle quando gli strumenti sono ideali Fig 4. Il circuito rappresenta la configurazione del metodo volt-amperometrico con voltmetro posto a monte quando gli strumenti sono ideali

Consideriamo il circuito con voltmetro a valle(Figura 3),in queste ipotesi,ossia di strumentazione ideale,la corrente che attraversa la resistenza R è esattamente pari alla corrente I,ossia quella misurata nell’amperometro poiché il voltmetro ha resistenza infinita e quindi non passa corrente attraverso di esso,mentre la tensione ai capi di R è V,cioè quella ai capi del voltmetro(e del generatore di tensione). Nell’altro caso,voltmetro posto a monte(Figura 4),siccome l’amperometro possiede resistenza nulla, la corrente I erogata dal generatore attraversa solo R,per questo motivo,la tensione misurata dal voltmetro è solo quella ai capi di R. Dati e grafici Propagazione degl errori: Per quanto riguarda le misure con il voltmetro a valle è stata usato: -un voltmetro analogico con fondo scala di 50V -un amperometro digitale con risoluzione di 0,1 A. Nell’altro caso,ossia con il voltmetro a monte,è stato usato: -un voltmetro digitale con risoluzione di 0,01V -amperometro analogico con fondo scala di 500µA V(V) errore V(V) I(A) errore I(A)

5 0,5 6,82E-05 1,00E-07 10 0,5 1,34E-04 1,00E-07 15 0,5 2,00E-04 1,00E-07 20 0,5 2,64E-04 1,00E-07

25 0,5 3,29E-04 1,00E-07

V(V) errore V(V) I(A) errore I(A) 4,31 0,01 5,00E-05 2,5E-06 8,49 0,01 1,00E-04 2,5E-06

12,74 0,01 1,50E-04 2,5E-06 16,88 0,01 2,00E-04 2,5E-06 21,08 0,01 2,50E-04 2,5E-06

Ne segue che gli errori assoluti delle misure sono il mezzo intervallo di risoluzione determinati dai fondo scala tenendo conto che la scala è divisa da 5x10 tacchette

R=82000 Ω Tabella 1a: la seguente tabella mostra i dati,con i corrispondenti errori assoluti, della tensione ai capi della resistenza incognita e della corrente che l’attraversa quando il voltmetro è posto a valle

Tabella 1b: la seguente tabella mostra i dati ,con i corrispondenti errori assoluti, della tensione ai capi della resistenza incognita e della corrente che l’attraversa quando il voltmetro è posto a monte

Grafico 1. Il seguente grafico rappresenta l’andamento della tensione in funzione della corrente,ossia la relazione (1) quando,a parità di resistenza,il voltmetro è posto a valle o a monte. I dati sono presenti nelle tabelle 1a e 1b I valori del coefficiente angolare(a) e dell’intercetta(b) con i loro relativi errori assoluti,dei due precedenti grafici,sono: -Voltmetro a valle : a =(76731±252) Ω e b = (-0,27±0,05) V -Voltmetro a monte: a =(83860±167) Ω e b = (0,12±0,03) V

R=100000

V(V) errore V(V) I(A) errore I(A) 5 0,5 5,85E-05 1,00E-07 10 0,5 1,12E-04 1,00E-07 15 0,5 1,70E-04 1,00E-07 20 0,5 2,23E-04 1,00E-07 25 0,5 2,77E-04 1,00E-07

V(V) errore V(V) I(A) errore I(A) 5,2 0,01 5,00E-05 2,5E-06

10,19 0,01 1,00E-04 2,5E-06 15,3 0,01 1,50E-04 2,5E-06

20,21 0,01 2,00E-04 2,5E-06 25,2 0,01 2,50E-04 2,5E-06

Tabella 2a: la seguente tabella mostra i dati,con i corrispondenti errori assoluti, della tensione ai capi della resistenza incognita e della corrente che l’attraversa quando il voltmetro è posto a valle

Tabella 2b: la seguente tabella mostra i dati,con i corrispondenti errori assoluti, della tensione ai capi della resistenza incognita e della corrente che l’attraversa quando il voltmetro è posto a monte

Grafico 2. Il seguente grafico rappresenta l’andamento della tensione in funzione della corrente,ossia la relazione (1) quando,a parità di resistenza,il voltmetro è posto a valle o a monte. I dati sono presenti nelle tabelle 2a e 2b I valori del coefficiente angolare(a) e dell’intercetta(b) con i loro relativi errori assoluti,dei due precedenti grafici,sono: -Voltmetro a valle : a =(91223±732) Ω e b = (-0,33±0,13) V -Voltmetro a monte: a =(100040±329) Ω e b = (0,21±0,05) V

R=150000 V(V) errore V(V) I(A) errore I(A)

5 0,5 4,06E-05 1,00E-07 10 0,5 7,75E-05 1,00E-07 15 0,5 1,16E-04 1,00E-07 20 0,5 1,56E-04 1,00E-07 25 0,5 1,93E-04 1,00E-07

V(V) errore V(V) I(A) errore I(A) 7,92 0,01 5,00E-05 2,5E-06 15,48 0,01 1,00E-04 2,5E-06

23 0,01 1,50E-04 2,5E-06 19,81 0,01 1,30E-04 2,5E-06 12,26 0,01 8,00E-05 2,5E-06

Tabella 3a: la seguente tabella mostra i dati,con i corrispondenti errori assoluti, della tensione ai capi della resistenza incognita e della corrente che l’attraversa quando il voltmetro è posto a valle

Tabella 3b: la seguente tabella mostra i dati,con i corrispondenti errori assoluti, della tensione ai capi della resistenza incognita e della corrente che l’attraversa quando il voltmetro è posto a monte

Grafico 3. Il seguente grafico rappresenta l’andamento della tensione in funzione della corrente,ossia la relazione (1) quando,a parità di resistenza,il voltmetro è posto a valle o a monte. I dati sono presenti nelle tabelle 3a e 3b I valori del coefficiente angolare(a) e dell’intercetta(b) con i loro relativi errori assoluti,dei due precedenti grafici,sono: -Voltmetro a valle : a =(130423±1001) Ω e b = (-0,21±0,13) V -Voltmetro a monte: a =(150662±1485) Ω e b = (0,32±0,16) V

R=270000 V(V) errore V(V) I(A) errore I(A)

5 0,5 2,50E-05 1,00E-07 10 0,5 4,84E-05 1,00E-07 15 0,5 7,28E-05 1,00E-07 20 0,5 9,61E-05 1,00E-07 25 0,5 1,19E-04 1,00E-07

V(V) errore V(V) I(A) errore I(A) 5,25 0,01 2,00E-05 2,5E-06 8,21 0,01 3,00E-05 2,5E-06 14,4 0,01 5,00E-05 2,5E-06

22,09 0,01 8,00E-05 2,5E-06 27,26 0,01 1,00E-04 2,5E-06

Tabella 4a: la seguente tabella mostra i dati ,con i corrispondenti errori assoluti, della tensione ai capi della resistenza incognita e della corrente che l’attraversa quando il voltmetro è posto a valle

Tabella 4b: la seguente tabella mostra i dati,con i corrispondenti errori assoluti, della tensione ai capi della resistenza incognita e della corrente che l’attraversa quando il voltmetro è posto a monte

Grafico 4. Il seguente grafico rappresenta l’andamento della tensione in funzione della corrente,ossia la relazione (1)quando,a parità di resistenza,il voltmetro è posto a valle o a monte. I dati sono presenti nelle tabelle 4a e 4b I valori del coefficiente angolare(a) e dell’intercetta(b) con i loro relativi errori assoluti,dei due precedenti grafici,sono: -Voltmetro a valle : a =(212110±1297) Ω e b = (-0,33±0,10) V -Voltmetro a monte: a =(274500±6324) Ω e b = (0,07±0,42) V

Analisi dei dati e confronto con le previsioni teoriche

La scelta d’usare gli strumenti analogici in queste posizioni del circuito non è di certo la più saggia,infatti essa peggiora ancor di più gli errori sistematici commessi sulla tensione,nel caso del voltmetro posto a monte,e sulla corrente nel caso del voltmetro posto a valle. Per quanto riguarda il metodo 1,facendo riferimento alla Figura 1,la tensione V è esattamente quella ai capi di R,mentre la corrente che attraversa R non

è pari alla corrente I che attraversa l’amperometro ma alla differenza tra quest’ultima e la corrente Iv, cioè quella che attraversa il voltmetro. Quindi per eliminare quest’errore sistematico che si crea sulla corrente bisognerebbs sottrarre a quella misurata la corrente che attraversa il voltmetro. Per quanto concerne il metodo 2,facendo riferimento alla Figura 2,la corrente I che attraversa la resistenza R è quella misurata dall’amperometro mentre la tensione V misurata dal voltmetro è quella ai capi della serie formata dalla resistenza dell’amperometro e da quella incognita quindi,per eliminare l’errore sistematico sulla tensione,bisogna sottrarre alla tensione misurata quella ai capi della resistenza dell’amperometro. Ne consegue,come detto in “Scopo e previsioni teoriche”,che la relazione (1) approssima il comportamento della tensione ai capi di R in funzione dell’intensità di corrente,difatti: -Metodo 1 Facendo riferimento alla Figura 1la tensione ai capi della resistenza è Vr = R Ir (1a) Per la legge dei nodi applicato al nodo a : I=Iv+Ir quindi Ir=I-Iv (2a) Applichiamo la legge delle maglie alla maglia formata dalla resistenza del voltmetro e quella della resistenza incognita: V=Vr ↔ Iv Rv = (I-Iv)R↔ (3a) Sostituendo la (3a) nella (2a) otteniamo ,possiamo quindi scrivere la (1a) in questo modo(4a) la quale differisce dalla (1),quindi la nostra approssimazione consiste nel non considerare la perturbazione creata dal voltmetro. -Metodo 2 Facendo riferimento alla Figura 2 la tensione ai capi della resistenza R è Vr = R Ir (1b) La corrente che attraversa la resistenza dell’amperometro è pari a quella che attraversa la resistenza R,quindi Ir = I (2b) Utilizziamo la legge delle maglie alla maglia formata dalla resistenza del voltmetro,dell’amperometro e da quella incognita: VRv =VRa+VR, ma VRv = V ,quindi V = VRa + VR ↔VR=V-VRa ma VRa = I Ra allora VR=V- I Ra (3b) Sostituendo la (3b) e la (2b) nella (1b) otteniamo (4b) che differisce dalla (1) ,quindi l’approssimazione in questo caso consiste nel trascurare la perturbazione dell’amperometro. Le equazioni (4a) e (4b) diventano uguali alla relazione V = RI quando,rispettivamente e .Da ciò si può dedurre che: -Nel metodo 1,ossia posto il voltmetro a valle,l’approssimazione è tanto migliore quanto più la resistenza del voltmetro è più grande rispetto a quella incognita. -Nel metodo 2,con il voltmetro a monte,l’approssimazione è tanto migliore quanto più la resistenza dell’amperometro è più piccola rispetto a quella incognita. Ne segue che il Metodo 1 è più utile se si vuole misurare resistenze piccole,il viceversa accade con il metodo 2.A prova di ciò valutiamo: -Nel primo metodo la variazione percentuale della tensione ai capi della resistenza incognita quando il voltmetro è e non è presente: La tensione ai capi di R quando il voltmetro non è presente è V0 = R I quindi dalla (4a) otteniamo se

,l’errore percentuale tende a zero,ossia tende a diminuire

- Nel metodo 2 la variazione percentuale della corrente che attraversa la resistenza incognita quando l’amperometro è ed non è presente La corrente che attraversa R quando l’amperometro non è presente è I0 = V/R , dalla (1b) otteniamo Ir = Vr /R sostituendo la (3b) in quest’ultima otteniamo se ,l’errore percentuale tende a zero,ossia tende a diminuire. Un ulteriore verifica per determinare quando il metodo 1 è utile rispetto al 2 è quello di determinare un valore di soglia della resistenza R che si vuole misurare. Questa consiste nel confrontare la resistenza candidata R con la media geometrica delle resistenze interne dell’amperometro e del voltmetro : -Se R<R* è consigliabile usare il metodo 1 -Se R>R* è consigliabile usare il metodo 2 Conclusioni È stato verificato,dai valori dei coefficienti angolari delle rette,che il metodo migliore per misurare le resistenza usate,le quali sono relativamente grandi rispetto a quella del voltmetro,è quello con il voltmetro posto a monte.

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