misure meccaniche (appunti), Appunti di Misure Industriali. Università degli Studi di Salerno
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Appunti di misure meccaniche per ingegneria meccanica
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Corso di Misure Meccaniche A.A. 2008/2009 A cura di Tiano Francesco Antonio

1

MISURE

MECCANICHE

Prof. Adolfo Senatore

Corso di Misure Meccaniche A.A. 2008/2009 A cura di Tiano Francesco Antonio

2

INDICE

1. MISURE E MISURAZIONE 1.1. Considerazioni generali pag. 5

1.2. Definizioni pag. 6

1.3. Grandezze fisiche fondamentali e derivate pag. 7

1.4. I sistemi di misura del passato pag. 81.4.1. Il sistema inglese pag. 8

1.4.2. Il sistema CGS pag. 8

1.4.3. Il sistema pratico pag. 9

1.5. Il sistema S.I. pag. 9

1.6. Scale di temperatura pag. 10

1.7. Cifre significative pag. 11

2. CARATTERISTICHE E PRESTAZIONI STATICHE DI

STRUMENTI E TRASDUTTORI 2.1. Considerazioni generali pag. 13

2.2. Analisi delle caratteristiche statiche degli strumenti pag. 132.2.1. Taratura statica pag. 13

2.2.2. Sensibilità statica pag. 13

2.2.3. Fattori influenzanti l’incertezza di una misura pag. 15

2.2.4. Concetti e definizioni sulla accuratezza degli strumenti

o delle misure pag. 18

3. STRUMENTI DI ELABORAZIONE STATISTICA DELLE

MISURE 3.1. Note di statistica elementare pag. 20

3.2. Distribuzioni di probabilità pag. 23

3.3. Criterio di esclusione di Chauvenet pag. 26

3.4. Il test del χ2 pag. 26

3.5. Rappresentazione con box-plot e

box-plot modificato: outliers pag. 29

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4. CARATTERISTICHE E PRESTAZIONI DINAMICHE DI

STRUMENTI E TRASDUTTORI 4.1. Strumenti del I ordine pag. 32

4.1.1. Risposta ad un segnale a gradino pag. 32

4.1.2. Risposta ad un segnale armonico pag. 34

4.1.3. Risposta ad un segnale generico pag. 35

4.1.4. Risposta ad un segnale rampa pag. 36

4.2. Strumenti del II ordine pag. 374.2.1. Risposta ad un segnale a gradino pag. 37

4.2.2. Risposta ad un segnale armonico pag. 38

4.3. Attenuazione pag. 39

5. MISURE DI SPOSTAMENTO E POSIZIONE 5.1. Generalità pag. 40

5.2. Accelerometri pag. 405.2.1. Gli accelerometri piezoelettrici pag. 40

5.2.2. Modello analitico pag. 41

5.2.3. Tipologie di montaggio dell’accelerometro pag. 42

5.2.4. Problemi in transitorio pag. 42

5.2.5. Condizionatori di segnale pag. 44

5.2.6. Influenza di grandezze esterne pag. 44

5.2.7. Il range di temperatura pag. 44

6. MISURE DI DEFORMAZIONE 6.1. Generalità pag. 45

6.2. Estensimetri a resistenza elettrica pag. 456.2.1. Influenza della temperatura pag. 46

6.2.2. Rosette di estensimetri pag. 47

6.2.3. Trasduttore di forza strain-gage pag. 47

7. MISURE DI FORZA E DI COPPIA 7.1. Generalità pag. 50

7.2. Misure di forza pag. 507.2.1. Trasduttori di forza piezoelettrici

(celle di carico) e tipologia di installazione pag. 51

7.3. Misure di coppia pag. 51

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8. MISURE DI TEMPERATURA 8.1. Generalità pag. 52

8.2. Principio di funzionamento di una termocoppia pag. 528.2.1. Potere termoelettrico pag. 52

8.2.2. Legge delle temperature successive pag. 53

8.2.3. Errori nella misura pag. 54

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1. MISURE E MISURAZIONE

1.1. Considerazioni generali

Gli scopi per cui viene utilizzato un sistema di misura sono molteplici; lo scopo della misura è

quello di controllare un processo, come ad esempio un termostato, tarare uno strumento o misurare

un parametro ignoto.

Fig. 1.1.

In questa figura viene riportato uno schema per l’esecuzione di una misura con lo scopo di

aumentare la comprensione di un fenomeno parzialmente conosciuto, la quale può essere

considerata come la finalità principale del misurare.

Del sistema fisico in questione si ha una serie di conoscenze qualitative, derivanti da precedenti

esperienze, che porta alla definizione di un modello preliminare il quale permette di formulare delle

ipotesi da utilizzare nella scelta o progettazione dello strumento di misura.

All’uscita dello strumento si ottengono delle informazioni che si vanno a confrontare col modello

preliminare per scegliere eventualmente un nuovo modello.

Il processo fisico in questione è in parte già conosciuto sia come fenomeno principale, sia come

fenomeni secondari. Nei fenomeni secondari si considerano le grandezze di disturbo.

Le grandezze di disturbo non identificabili possono avere una influenza piccola o grande; rimane

sempre e comunque una certa incertezza nel misurare.

Una misura è di carattere tecnico-scientifico solo se è riproducibile. La riproducibilità non è mai

assoluta, è assicurata solo entro certi limiti teorici.

Nello stesso processo conoscitivo si possono verificare errori dovuti alle seguenti ragioni:

− impossibilità di raggiungere la “cosa in sé”; in altre parole la complessità e la natura dell’oggetto

sono irraggiungibili dal pensiero umano;

− “traduzione” del fenomeno in un’immagine concepita nel linguaggio interiore del sistema

analizzatore; dalle misure emergono molte informazioni e di queste hanno significato solo

quelle che si è riusciti ad ipotizzare prima;

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− formalizzazione dell’immagine interiore in un “modello” espresso in un linguaggio

trasmissibile; per poter trasmettere la conoscenza scientifica da un sistema all’altro, i due sistemi

devono essere compatibili, avere cioè le stesse basi di conoscenza.

Le informazioni di misura che si ottengono derivano dalla conoscenza dell’uscita dello strumento

(gu) e del fenomeno in ingresso (gi), alle quali occorre aggiungere le grandezze di influenza che

alterano il processo.

Fig. 1.2.

L’incertezza sulla grandezza che si vuol misurare (gi), può essere causata dall’interferenza dello

strumento di misura sull’ambiente. La grandezza d’ingresso non è ben definita; c’è incertezza nel

descrivere il modello della grandezza che si vuol misurare.

Anche le grandezze di disturbo non si conoscono bene e concorrono ad aumentare l’incertezza del

valore in uscita dello strumento.

Indagando con spirito critico l’azione del misurare si scopre che la misura non è un numero, ma è

data dall’associare un numero e un intervallo d’incertezza a un certo fenomeno, di cui si è stabilito

il fenomeno di riferimento (unità di misura).

Secondo la definizione euclidea la misura è il rapporto tra grandezza misurata e l’unità di misura.

La tendenza attuale è di esprimere la misura con insiemi confusi (fuzzy sets) nei casi in cui non è

consentita l’individuazione di un numero nell’intervallo di misura.

1.2. Definizioni

Esistono diverse norme per la definizione dei concetti coinvolti nel processo della misurazione fra

cui si ricordano Misure e misurazioni termini e definizioni fondamentali UNI 4546.

Misura: informazione costituita da un numero, un’incertezza ed un’unità di misura, assegnata a

rappresentare un parametro in un determinato stato del sistema.

Nell’effettuare la misura è importante definire lo stato del sistema, il quale è descritto da un

certo numero di variabili di stato.

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Incertezza: intorno limitato del valore di un parametro, corrispondente agli elementi della fascia

di valore assegnatogli come misura.

Unità di misura: termine di riferimento adottato per convenzione, per confrontare una

grandezza con altre della stessa specie.

Parametro: ogni grandezza pertinente a un sistema alla quale è necessario assegnare valori per

descrivere il sistema stesso, la sua evoluzione, e/o le sue interazioni con altri sistemi e con

l’ambiente.

Stato del sistema: insieme dei valori assunti contemporaneamente dai parametri del sistema.

Compatibilità delle misure: condizione che si verifica quando le fasce di valore assegnate in

diverse occasioni come misura dello stesso parametro nello stesso stato hanno almeno un

elemento in comune.

Perché misure diverse siano compatibili, è necessario e sufficiente che esista un elemento

comune a tutte le fasce di valore: un insieme di misure che soddisfa a questa condizione si dice

mutuamente compatibile.

Incertezza intrinseca: è la minima incertezza che può essere assegnata nella misura di un

parametro.

Modello: insieme organico di relazioni tra valori di parametri, descrivente le interazioni e la

evoluzione dei sistemi.

Il modello permette:

a) previsioni sul comportamento del sistema;

b) verifica della compatibilità tra misure diverse dello stesso parametro;

c) misura di un misurando per mezzo di misure sul altri parametri;

d) misura di parametri non misurabili con metodo diretto.

1.3. Grandezze fisiche fondamentali e derivate

Per la determinazione di una misura sarebbe possibile in teoria applicare il metodo diretto a quasi

tutte le grandezze. Alcune grandezze però, in pratica, sono solo determinabili col metodo di misura

indiretto.

Il procedimento di misura diretto e quello indiretto applicati alla stessa grandezza potrebbero

comportare incertezze diverse e implicherebbero l’uso di numerosi fattori di conversione nella

espressione analitica delle leggi fisiche.

Al fine di ridurre al minimo i fattori di conversione risulta perciò evidente l’opportunità di stabilire

una convenzione che preveda la misura diretta solo per alcune grandezze chiaramente fondamentali,

mentre le altre, dette derivate, possono essere determinate indirettamente a partire dalle prime.

Fissate le grandezze fondamentali, e di conseguenza le derivate, si devono adottare opportune unità

di misura per poter esprimere i risultati tramite numeri. Ad esempio, indicando con:

G = grandezza da misurare

n = numero reale

Ug= unità di misura corrispondente

i = incertezza

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dobbiamo poter esprimere  = ( ± ) ∙ Una convenzione di questo tipo costituisce un sistema di unità di misura.

Per raggiungere il massimo grado di semplicità un sistema di unità di misura dovrebbe essere:

completo: le sue unità di grandezze fondamentali sono sufficienti a rappresentare

quantitativamente tutti i fenomeni;

assoluto: le unità di misura sono invariabili nel tempo e riproducibili nello spazio;

coerente: i fattori di conversione che compaiono nelle espressioni di prodotto o quoziente tra le

unità delle varie grandezze sono uguali ad uno;

omogeneo: tutte le grandezze fisiche derivate e le relative unità di misura possono essere

ricavate dalle grandezze fondamentali e dalle loro unità, mediante espressioni monomie;

decimale: tutti i multipli e sottomultipli delle unità di misura sono scelti secondo le potenze di

dieci;

razionalizzato: i coefficienti numerici che compaiono nelle leggi sono scelti in modo che i

fattori irrazionali multipli di π appaiono solo in formule relative a configurazioni circolari,

sferiche o cilindriche, ma comunque non piane.

1.4. I sistemi di misura del passato

1.4.1.Il sistema inglese

Le unità di misura del sistema inglese sono in uso negli Stati Uniti, in Gran Bretagna e in alcune sue

ex colonie.

Esso assume come grandezze fondamentali la lunghezza, la massa e il tempo e le corrispondenti

unità di misura sono la iarda, la libbra e il secondo.

Si usano multipli e sottomultipli decimali di tali grandezze solo nella fisica.

Per le lunghezze come sottomultipli si usano il piede, uguale ad un terzo di iarda, e il pollice, uguale

ad un trentaseiesimo di iarda.

Nella meccanica è diffuso l’uso di sottomultipli binari del pollice (1/2, 1/4, 1/8, 1/16, 1/32, 1/64).

La libbra ha un multiplo, lo stone, uguale a 14 libbre, e un sottomultiplo, l’oncia, uguale ad un

sedicesimo di libbra.

Il sistema inglese non risulta coerente e non è decimale; il suo uso è piuttosto complesso.

1.4.2.Il sistema CGS

Il sistema CGS fu introdotto nel 1881 dal Congresso Internazionale di Elettricità e che assume come

grandezze fondamentali la lunghezza, la massa e il tempo.

Le corrispondenti unità di misura sono il centimetro, il grammo ed il secondo, i multipli e i

sottomultipli sono tutti decimali.

Il sistema CGS è incompleto poiché non comprende grandezze elettriche né magnetiche quindi è

adatto soltanto per rappresentare dei fenomeni meccanici.

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Per la rappresentazione dei fenomeni elettromagnetici è stato introdotto il sistema (CGS)es

elettrostatico e (CGS)em elettromagnetico.

In ciascuno di essi oltre alle tre grandezze meccaniche si assumono due nuove grande fondamentali

numeriche.

Nel sistema (CGS)es si considerano unitarie la costante dell’elettromagnetismo γ0 e la costante

dielettrica del vuoto ε0.

Nel sistema si (CGS)em si considerano unitarie la costante dell’elettromagnetismo γ0 e la costante

magnetica del vuoto µ0.

Esiste poi il sistema Gauss che è ancora usato in campo scientifico. Esso si basa sull’uso del

(CGS)es per grandezze elettriche e del (CGS)em per quelle di tipo elettromagnetico. Il sistema Gauss

inoltre non è razionalizzato. Il sistema Lorenz si basa sul sistema Gauss ma è razionalizzato. Nel

1935 venne adottato il sistema Giorgi o MKS Ω denominato così dal nome delle quattro grandezze

fondamentali del sistema (metro, chilogrammo, secondo, ohm) che erano definite in via

sperimentale. A questo sistema furono associati altri due sistemi che sostituiscono all’ohm

rispettivamente il Coulomb (sistema MKSC) o l’ampere (sistema MKSA). Questi sistemi vennero

razionalizzati ma sono incompleti.

1.4.3.Il sistema pratico

Il sistema pratico, o tecnico, o degli ingegneri, ha come grandezze fondamentali la lunghezza, la

forza, ed il tempo.

Le corrispondenti unità di misura sono il metro, il kilogrammo-forza ed il secondo.

Le ragioni della sua scelta risiedono nella praticità della misura di alcune grandezze di uso comune

espresse in questo sistema, e nell’immediatezza percettiva.

Pur con questi pregi il sistema pratico ha numerosi difetti. Infatti, pur essendo omogeneo non è

coerente; ad esempio l’unità di massa (indicata con u.p.m.) risulta 9,81 kg. Inoltre se si confonde il

kilogrammo massa con il kilogrammo peso, dipendendo quest’ultimo dalla gravità, che varia da

luogo a luogo, si ha un sistema che non è neanche assoluto.

Nel 1956 la Norma ISO R 51 ha definito il kilogrammo forza come la forza che imprime alla massa

di un kilogrammo una accelerazione di 9,80665 m/s 2 ; tale accelerazione fu chiamata anche gravità

standard o gravità normale.

Questo provvedimento rende il sistema assoluto ma gli fa perdere l’immediatezza dell’equivalenza

forza-peso.

1.5. Il sistema S.I.

Le grandezze di base e le corrispondenti unità di misura nel Sistema Internazionale di Unità di

Misura, o sistema S.I., sono le seguenti. Le prime quattro sono definite indipendentemente l’una

dall’altra, le rimanenti tre sono definite in base alle altre.

Lunghezza (l)

Il metro (m), ovvero la distanza percorsa nel vuoto dalla luce nell’intervallo di tempo di

1/299792458 s.

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Massa (m)

L’unità di misura è il kilogrammo (kg) che è la massa del cilindro di platino-ridio conservato al

Pavillon de Bretenil (Sévres), definito campione primario N. 1.

Tempo (t)

L’unità di misura è il secondo (s) che è la durata di 9.192.631.770 periodi della radiazione emessa in

corrispondenza della transizione fra i due livelli dello stato fondamentale del cesio 133.

Temperatura termodinamica (q)

L’unità di misura è il kelvin (K), che è la frazione di 1/273,16 della scala termodinamica del punto

triplo dell’acqua misurata con un termometro a ciclo di Carnot.

Per un intervallo di temperatura vale la stessa definizione e si usa lo stesso simbolo, la misura può

essere espressa anche in gradi Celsius. L’unità “grado Celsius” è uguale all’unità “kelvin”.

La temperatura Celsius t è definita dalla differenza t = T – T0 tra due temperature termodinamiche T

e T0 con T0 = 273.15 Kelvin.

Intensità di corrente elettrica (i)

L’unità di misura è l’ampere (A) che è l’intensità di una corrente costante che percorrendo due

conduttori paralleli rettilinei, di lunghezza infinita, di sezione circolare trascurabile, posti alla

distanza di un metro l’uno dall’altro nel vuoto, produrrebbe tra questi conduttori una forza uguale a

2 · 10 –6

N.

Quantità di materia (n)

L’unità di misura è la mola (mol), che è la quantità di materia di un sistema che contiene tante entità

elementari quanti sono gli atomi in 0,012 kilogrammi di carbonio 12. Le entità elementari devono

essere specificate e possono essere atomi, ioni, elettroni, altre particelle, oppure gruppi specifici di

tali particelle.

Intensità luminosa (I)

L’unità di misura è la candela (cd), che è l’intensità luminosa, nella direzione perpendicolare ad una

superficie di 1/600000 di metro quadrato di un corpo nero, alla temperatura di solidificazione del

platino alla pressione di 101325 N/m 2 .

Angolo piano (a)

L’unità di misura è il radiante (rad), che è l’angolo piano compreso tra due raggi che, sulla

circonferenza di un cerchio, intercettano un arco di lunghezza pari a quella del raggio.

Angolo solido ()

L’unità di misura è lo steradiante (sr), che è l’angolo solido al centro che su una sfera intercetta una

superficie di area pari a quella del quadrato col lato uguale al raggio della sfera.

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1.6. Scale di temperatura

Le scale di temperatura più note sono cinque: la scala Celsius, la scala Fahrenheit, la scala Rankine,

la scala Réamur e la scala Kelvin.

Scala Celsius

Introdotta nel 1742 dall’astronomo svedese A. Celsius, attribuisce valore 0 alla temperatura del

ghiaccio fondente e valore 100 a quella di ebollizione dell’acqua, quando la pressione è pari ad

un’atmosfera. L’intervallo tra questi due punti fissi è diviso in 100 parti uguali ciascuna delle quali è

detta grado Celsius (°C). La scala è poi estesa al di sopra dei 100 °C e al di sotto di 0 °C.

Scala Fahrenheit

Introdotta dal fisico tedesco G. Fahrenheit nel 1714 attribuisce valore 32 alla temperatura del

ghiaccio fondente e valore 212 a quella di ebollizione dell’acqua, quando la pressione è di

un’atmosfera. La centoottantesima parte del dislivello esistente tra i due punti fissi è il grado

Fahrenheit. Questa scala è usata nei Paesi anglosassoni. La relazione che lega la temperatura

Fahrenheit t°F alla temperatura Celsius t°C è data dalla somma ° = 9 5 ° + 32. • Scala Réamur

Introdotta nel 1720 dal fisico francese A. R. Réamur attribuisce valore 0 alla temperatura del

ghiaccio fondente e valore 80 a quella di ebollizione dell’acqua, quando la pressione è di

un’atmosfera. L’ottantesima parte del dislivello tra questi due punti fissi è il grado Réamur (°r). tale

scala è ormai in disuso.

Scala Kelvin

Introdotta nel 1847 da Lord Kelvin attribuisce valore 273,15 alla temperatura del ghiaccio fondente

e valore 313,15 a quella di ebollizione dell’acqua quando la pressione è di un’atmosfera. Il grado

kelvin (K) è la centesima parte del dislivello tra tali punti fissi. Lo zero di questa scala coincide con

il cosiddetto zero assoluto, perciò viene spesso chiamata scala assoluta delle temperature.

Scala Rankine

Introdotta nel 1860 dal fisico inglese Rankine è una scala assoluta riferita alla scala Fahrenheit. Essa

assegna valore 491,67 alla temperatura del ghiaccio fondente e valore 671,67 a quella di ebollizione

dell’acqua, alla pressione di un’atmosfera. Il grado Rankine (°R) è la 180 a

parte del dislivello tra i

due punti fissi. Anche tale scala è in disuso.

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1.7. Cifre significative

Sono cifre significative quelle che si contano da sinistra escludendo gli zeri. 0,01 1    ! 0,0100 3 "   !" • Prodotto/rapporto

Nel prodotto e nel rapporto guida il numero che ha meno cifre significative, approssimando quindi

per difetto o per eccesso il risultato finale. 1,5 ∙ 3 = 4,5 ≅ 5 %,&' = 1, 6) ≅ 2 Con questa regola di determinazione delle cifre significative si perde la proprietà associativa del

prodotto/rapporto: (1,2 ∙ 2,3) ∙ 3,4 = 2,8 ∙ 3,4 = 9,5 1,2 ∙ (2,3 ∙ 3,4) = 1,2 ∙ 7,8 = 9,4 I risultati sono evidentemente diversi.

Esistono alcune eccezioni, a titolo di esempio si mostrano il caso in cui il numero 2 non è un

vincolo:

− nel calcolo della circonferenza , = 2 ∙ - ∙ ., il 2 indica appunto il doppio di - ∙ .; − nell’elevazione a potenza 3,55/, il 2 non è un vincolo; − nel calcolo della media

/01'// = 30, il 2 indica appunto la metà. • Addizione/sottrazione

Prima di poter procedere ad una addizione o ad una sottrazione bisogna esprimere gli addendi nella

stessa potenza di dieci scegliendo la più grande come quella di riferimento, nel calcolo finale guida

il numero più povero di decimali: 2,32 + 12 ∙ 102 = 0,232 ∙ 102 + 12 ∙ 102 = 12 ∙ 102 Anche per l’addizione/sottrazione si perde la proprietà associativa. 3,8%,3% = 22 ∙ 10/ 3,82%,3 = 21 ∙ 10/ log2& 3,45 = 0,538 "/,' = 10

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2. CARATTERISTICHE E PRESTAZIONI STATICHE DI

STRUMENTI E TRASDUTTORI

2.1. Considerazioni generali

In generale si può affermare che un sistema di misura può essere caratterizzato da un insieme di

grandezze d’ingresso e da un insieme di grandezze di uscita.

La relazione tra le grandezze di uscita e quelle di ingresso può essere espressa da legami funzionali

a volte molto complessi.

Per superare le difficoltà è consuetudine trattare separatamente le caratteristiche statiche e le

caratteristiche dinamiche degli strumenti. Tali caratteristiche sono la sintesi di un modello

matematico che descrive il comportamento dello strumento, cioè il legame tra ingresso ed uscita.

Si distinguono in caratteristiche statiche o per ingressi non variabili nel tempo, e dinamiche o per

ingressi tempo varianti.

2.2. Analisi delle caratteristiche statiche degli strumenti

Introduzione

L’analisi delle caratteristiche statiche di uno strumento comporta un primo esame dello strumento

allo scopo di evidenziare i fenomeni fisici che vi intervengono e tutte le grandezze fisiche a cui lo

strumento è sensibile.

Poi si passa all’esame di tutti gli ingressi possibili per individuare quali di essi hanno un’influenza

significativa sulla misura.

Si procede quindi alla taratura in cui si fanno variare tutti gli ingressi significativi uno alla volta

mantenendo costanti gli altri e si registrano le corrispondenti uscite.

Infine l’analisi dei risultati e la loro elaborazione permettono di determinare sia la sensibilità statica

che l’accuratezza e la ripetibilità dello strumento.

2.2.1.Taratura statica

Il trasduttore viene isolato dal resto del mondo e ai suoi terminali vengono applicate condizioni

costanti accuratamente misurate e controllare. Tali condizioni vengono applicate anche ad un

secondo trasduttore da laboratorio, detto taratore, più preciso di almeno un decimale rispetto a

quello che intendiamo tarare.

L’ingresso u che si vuole studiare viene quindi variato in un certo campo di valori costanti, l’uscita x

corrispondente varierà in un certo campo di valori costanti che vengono accuratamente misurati.

La relazione ingresso-uscita ricavata in questo modo rappresenta la taratura statica valida con le

condizioni statiche stabilite a tutti gli ingressi.

2.2.2.Sensibilità statica

Riportando in un diagramma le coppie di valori sperimentali della grandezza in entrata e quella in

uscita ottenuti nella taratura, si ottiene una serie di punti attraverso i quali si può tracciare la curva,

detta curva di taratura, che rende minima la somma dei quadrati degli scarti.

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Fig. 2.1.

La sensibilità statica assoluta può essere in generale definita come la pendenza della curva di

taratura: 7(8) ≡ :;(8):8 Indicando con umin la portata minima, umax la portata massima e x(umax) il valore di fondo scala,

andiamo a definire la sensibilità statica media:

7< = 18<=> − 8<@A B 7(8)C8DEFGDEHI = 18<=> − 8<@A B :;(8):8 C8 ≈ ;<=> − ;<@A8<=> − 8<@A DEFG

DEHI Nel caso in cui la curva di taratura è un segmento di retta si dice che lo strumento è lineare. Accanto

a questi strumenti ne esistono numerosi altri a caratteristica quadratica o logaritmica.

Quando in uno strumento la relazione tra x ed u non è perfettamente lineare ma la curva di taratura,

in un certo campo di valori, può essere approssimata da un segmento di retta, entro tale campo di

valori lo strumento si può considerare lineare.

Fig. 2.2.

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2.2.3.Fattori influenzanti l’incertezza di una misura

Con il termine di “errore” si intende la differenza tra il valore misurato durante la taratura e la curva

nominale di riferimento ritenuta nota a meno di una incertezza non nulla ma determinabile.

Non linearità

In alcuni casi risulta utile separare gli errori di linearità dagli altri tipi di errore quali quelli di

ripetibilità, di risoluzione, di isteresi e simili, in quanto questi ultimi hanno caratteristica di

distribuzione casuale, mentre i primi sono errori deterministici e quindi valutabili una volta nota la

curva di taratura completa.

La retta che si assume come caratteristica equivalente di una curva di taratura non lineare può essere

tracciata con vari criteri.

In molti casi si usa la retta che rende minima la somma dei quadrati degli scarti. In questo caso è

possibile che la retta non passi per l’origine e per il punto di taratura corrispondente al fondo scala.

In altri casi ancora si può usare la retta dei minimi quadrati che passi però per l’origine.

L’incertezza di non linearità K% si può rappresentare in due modi: a) rappresentazione sul valore corrente;

b) rappresentazione su fondo scala.

a) valore corrente b) fondo scala c) ibrido

Fig. 2.3.

Nel primo caso il valore dell’indicazione dello strumento vale:

;(8) = 7< ∙ 8 ∙ M1 ± K%NO100 P

Nel secondo caso l’incertezza viene assegnata sul fondo scala e poi viene ripetuta fino all’origine. Il

valore dell’indicazione dello strumento vale:

;(8) = 7< ∙ 8 ± ∆;RS con ∆;RS = T%UV2&& ;RS

Inoltre esiste una rappresentazione ibrida tra il valore corrente ed il fondo scala.

La curva caratteristica dello strumento è confinata all’interno dell’intervello di non linearità.

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Isteresi

Quando in uno strumento la caratteristica ottenuta per valori crescenti dell’ingresso è diversa da

quella che sia ha per valori decrescenti dell’ingresso si parla di errori di isteresi.

Fig. 2.4.

Diverse cause possono essere alla base di questo comportamento: nei fenomeni elettrici esso è

dovuto essenzialmente all’isteresi magnetica, in quelli meccanici alla isteresi elastica; in generale è

presenta ogni qualvolta l’energia immessa nello strumento in fase di carica non è restituita

interamente nella fase di scarica.

Mobilità e risoluzione

L’errore di mobilità, detto anche errore di soglia (o incertezza di zero) se è riferito allo zero, in

genere può presentarsi in tutta la scala dello strumento; un esempio tipico è quello dei trasduttori che

impiegano un potenziometro a filo avvolto, nei quali la resistenza compresa tra un terminale fisso ed

il cursore varia di una quantità discreta, corrispondente ad una spira di filo.

Fig. 2.5.

La corrente I che circola nel circuito sappiamo valere:

W(;) = X=.(;) = X=Y Z(;)7 quindi risulta variabile al variare di x poiché è la resistenza che varia al variare dello spostamento x.

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La resistenza si può vedere come somma di un valore fisso e di un valore che varia con lo

spostamento:

.(;) = .& − Y7 2- ;[ Sostituendo nell’espressione della corrente I si ottiene:

W(;) = X=.(;) = X=.& − Y7 2- ;[ = X=.& − \2; KK =

X=.& − \/ ;K = X= .&⁄1 − \/.& ;K =

X= .&⁄1 − \' ;K ∝ 11 − ;K

Fig. 2.6.

L’errore di mobilità può essere presente insieme a quello di isteresi.

Considerando cumulativamente questi tipi di errore si parla di errore di risoluzione, che può essere

definito come la più piccola variazione misurabile della grandezza di ingresso.

Incertezza di deriva: si ha quando l’uscita non è stabile nel tempo. Per esempio in una centralina

estensimetrica può variare l’uscita a causa della variazione di resistenza del ponte di Wheatstone per

effetto Joule.

Incertezza di banda morta: la somma degli effetti di deriva, risoluzione e mobilità possono essere

raggruppati tra loro definendo una banda, intorno alla curva ideale di possibile variazione

dell’uscita.

Dinamometro ad estensimetri

Si consideri un dinamometro ad estensimetri e si voglia calcolare l’effetto della temperatura

sull’uscita

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La temperatura ha un triplice effetto: fa variare il valore della resistenza per cui anche se non c’è

alcuna forza applicata si ha un segnale in uscita diverso da zero; fa variare la lunghezza sia

dell’elemento elastico che della griglia di misura; inoltre la temperatura fa variare il modulo di

elasticità della barra considerata come elemento elastico, quindi a parità di forza applicata varia la

deformazione e quindi la sensibilità del dinamometro. Quindi la temperatura agisce come ingresso

di interferenza e produce, tra l’altro, una deriva dallo zero.

2.2.4.Concetti e definizioni sulla accuratezza degli strumenti o delle misure

Nella classica suddivisione tra errori “sistematici” ed errori “accidentali” i primi sono da attribuirsi

ad ingressi indesiderati per i quali lo strumento presenta una sensibilità apprezzabile. Sono dovuti ad

un fenomeno fisico ben definito e conosciuto. Gli errori “accidentali” sono invece da attribuirsi a

numerosi ingressi ciascuno di debole effetto. Sono legati a fenomeni il cui influsso non è ben

definito e percettibile, o dovuti a piccole variazioni di grandezze estranee non misurabili.

Nell’ambito di tale suddivisione dei tipi di errore si parla quindi di accuratezza e di ripetibilità di

uno strumento, riferendo rispettivamente il primo termine alla capacità degli strumenti di essere

esenti da errori sistematici ed il secondo termine alla qualità di presentare errori accidentali piccoli e

poco dispersi.

Accuratezza

L’accuratezza è la qualità metrologica di strumenti o di misure in cui gli errori sistematici sono

piccoli.

L’errore di accuratezza può essere valutato come somma algebrica di tutti gli errori sistematici

presenti in determinate condizioni di impiego.

Operando a posteriori, l’errore di accuratezza "= può venire calcolato come differenza tra la media delle misure ;_ e il valore ritenuto vero ;`a: "= = ;_ − ;`a • Ripetibilità

La ripetibilità è la qualità metrologica di strumenti o di misure in cui gli errori accidentali sono

piccoli.

L’errore di ripetibilità può essere valutato mediante l’analisi statistica di numerose misure ripetute in

condizioni costanti ed uguali a quelle nominali.

lo scarto di ripetibilità

7` = b∑ (;@ − ;_)/[email protected] − 1 cioè la media quadratica tra n misure ;@ della stessa grandezza e il loro valore medio ;_. − l’errore limite di ripetibilità

pari al doppio dello scarto tipo, che nell’ipotesi di distribuzione gaussiana degli errori determina

l’intervallo compreso tra (;_ ± 7`) in cui una misura estratta a caso ha il 95% di probabilità di cadere;

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il campo di ripetibilità

definito come differenza tra il valore massimo xmax e il valore minimo xmin ottenuti in un numero n

di misure ripetute in condizioni ambientali costanti.

Classi di precisione

Per gli strumenti elettrici si utilizza la definizione di “classe di precisione” in cui al posto dell’errore

assoluto massimo si considera il valore relativo di quest’ultimo espresso in per cento del fondo

scala: ∆;RS;RS ∙ 100 =  Le norme CEI prevedono la seguente tabella di classi di precisione:

Impiego

Strumenti da laboratorio

per misure di precisione

di controllo

Strumenti portatili per

misure e da quadro

Strumenti indicatori portatili

Indice di

classe

0,05 0,1 0,2 0,3 0,5 1 1,5 2,5 5

Limite di

ec %

+0,05 ±0,1±0,2±0,3±0,5±1±1,5±2,5±5

Quindi, ad esempio, se un voltmetro con portata 300 V è in classe 0,5, ciò vuol dire che la misura

può essere affetta da un errore massimo di 1,5 V in qualunque punto della scala si effettui la misura.

L’errore relativo cresce con legge iperbolica per misure che si avvicinino all’inizio della scala.

Perciò se con il voltmetro suddetto si esegue la misura di una tensione di 30 V, l’errore relativo

percentuale possibile è del 5%.

Quando la precisione di uno strumento è indicata mediante la classe di precisione è opportuno

utilizzare solo i 4/5 superiori della scala.

Riferibilità

La riferibilità è la qualità metrologica che acquisisce uno strumento di misura quando viene

sottoposto a taratura impiegando misurandi le cui misure sono state assegnate con riferimento a

campioni riconosciuti come primari.

Quando è stabilita la riferibilità dello strumento esso è in grado di produrre misure compatibili con

quelle prodotte dai campioni primari.

Riproducibilità

La riproducibilità delle misure è il grado di concordanza tra i risultati di misurazione dello stesso

misurando quando le singole misurazioni siano condotte cambiando alcune condizioni come lo

strumento di misura, il luogo, il tempo, il metodo di misura, l’osservatore.

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3. STRUMENTI DI ELABORAZIONE STATISTICA DELLE

MISURE

3.1. Note di statistica elementare

La media ;_ di un campione è una stima della tendenza delle misure a un valore centrale ed è definita da diversi modelli:

Z "" e  f"  ;_ = ∑ ;@[email protected] ["  ;_ = ∑ g ∙ ;ghgd2∑ ghgd2 "ef"  ;_ = ij ;@[email protected] k

2 A

fe  ;_ = ∑ 1;@[email protected] in cui n è il numero di elementi del campione di misure e ;@ è il generico valore di una di tali misure.

Lo scarto quadratico o scarto tipo o deviazione standard s di un campione costituisce una stima della

dispersione dei valori intorno al valore medio e ha le stesse dimensioni delle misure ;@:  = b∑ (;@ − ;_)/[email protected] − 1

Sviluppando tale relazione se ne ottiene una seconda più semplice per i calcoli:

 = b∑ ;@/ − ;_/[email protected] − 1 La varianza l = / di un campione, che è il quadrato della deviazione standard, costituisce al pari di quest’ultima una stima intorno al valore medio ma non ha il pregio di avere le stesse dimensioni

delle misure ;@. Se la media invece di essere riferita a un campione è riferita all’interno universo si indica con la

lettera greca m. Analogamente lo scarto tipo riferito all’intero universo si indica con la lettera greca n. n = b∑ (;@ − m)/[email protected] − 1

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I dati possono essere raggruppati in diversi modi. Una prima forma di raggruppamento si può

osservare in Tab. 3.1. ove si sono sommati tutti gli elementi di ogni colonna facendone poi la media.

Tab. 3.1.

Una forma di raggruppamento molto più usata è quella delle classi di intervalli di appartenenza. Il

numero dei dati che appartengono a una determinata classe o si chiama frequenza della classe e viene indicato con p. Ovviamente, se  è il numero delle classi: risulta:  <

r p = gpd2 Nella Tab. 3.2. i dati della Tab. 3.1. sono raggruppati in nove classi.

Tab. 3.2.

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Per i dati raggruppati in classi, la media, lo scarto quadratico e la varianza possono essere calcolati

mediante le seguenti espressioni che risultano tanto più approssimate quanto più l’intervallo delle

classi è piccolo:

;st = ∑ p ∙ ;pgpd2 s = b∑ p;p/ − (;st )/gpd2 − 1

La distribuzione delle singole misure nelle varie classi può essere illustrata da una rappresentazione

grafica in cui si riportano in ascissa i valori centrali delle classi ;p, in ordinata le frequenze p.

Fig. 3.1.

Oltre a questo tipo di diagramma si può usare la rappresentazione mediante un istogramma in cui si

riporta per ogni classe un rettangolo di base uguale all’ampiezza della classe e di altezza pari alla

frequenza.

Fig. 3.2.

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Un diagramma di tipo diverso si ottiene rappresentando le frequenze cumulate.

Fig. 3.3.

La rappresentazione delle frequenze cumulate si presta al calcolo del valore mediano delle misure

ottenute. Il valore mediano è la misura corrispondente all’elemento centrale degli n valori del

campione di dati (valore al di sotto del quale si ha il 50% dei dati).

3.2. Distribuzioni di probabilità

Variabili continue

Se si va a misurare una variabile continua, la probabilità di distribuzione della stessa variabile è

anch’essa una funzione continua.

Se si verificano le seguenti condizioni:

a) le misure sono sufficientemente numerose e tendono ad un valore centrale finito;

b) la variabilità delle misure dipende da numerose cause, ciascuna con debole tendenza ad

allontanare il risultato dal valore medio in più e in meno con uguale probabilità;

la funzione della densità di probabilità (;) può essere rappresentata dalla legge di Gauss: (;) = 1n√2- "v2/w>vxy z{

in cui m è il valore medio e n è lo scarto tipo. La (;) ha un andamento a campana centrata intorno al valore medio a cui corrisponde il massimo delle probabilità:

[<=> = |(;)}>dx = 1n√2- ≈ 0,399n Tale massimo è inversamente proporzionale allo scarto tipo n. Nella Fig. 3.4. sono rappresentati tre casi con lo stesso valore medio ma con tre diversi valori di n che variano l’acutezza della campana.

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Fig. 3.4.

Nella Fig. 3.5. è possibile confrontare l’andamento della curva di Gauss con il poligono delle

frequenze relativo ai dati della Tab. 3.2.

Fig. 3.5.

Introducendo la variabile adimensionale a cui si da il nome di scarto ridotto:

~ = ; − mn che sostituendola nella funzione (;) fa ottenere la funzione (~):

(~) = 1n√2- "v{/ L’introduzione di (~) è importante perché consente di affrontare i problemi legati alla distribuzione di probabilità con un’unica curva adimensionale normalizzata.

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La funzione (~) è massima per ~ = 0 ed è simmetrica rispetto a questo valore. L’area racchiusa è unitaria: B (~)€v€ C~ = 1

Fig. 3.6.

Dalla caratteristica di valore unitario dell’area sottesa dalla funzione (~) si può ricavare:

Fig. 3.7.

B (~)C~ = 1 −  = 1 −_v€ B (~)C~v_v€ da cui possiamo scrivere:

B (~)C~ +_v€ B (~)C~ = 1v_v€

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