Proiezioni Ortogonali - Appunti di Disegno Tecnico - Bandera, Appunti di Disegno Tecnico. Università di Pisa
am1990l
am1990l7 settembre 2012

Proiezioni Ortogonali - Appunti di Disegno Tecnico - Bandera, Appunti di Disegno Tecnico. Università di Pisa

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Microsoft Word - Appunti di Disegno - monge-2006-a.doc

Camillo Bandera

APPUNTI DI DISEGNO

Le proiezioni ortogonali:

concetti di base e proprietà fondamentali

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

2

INDICE

INTRODUZIONE................................................................................................................................. 3

IL METODO DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI....................................................................... 4

RAPPRESENTAZIONE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI.......................................................... 7

RAPPRESENTAZIONE DEL PUNTO..........................................................................................................................7 RAPPRESENTAZIONE DELLA RETTA......................................................................................................................8 POSIZIONI PARTICOLARI DELLA RETTA ..............................................................................................................10 RAPPRESENTAZIONE DEL PIANO.........................................................................................................................12 PIANI IN POSIZIONE PARTICOLARE: PIANI PROIETTANTI......................................................................................12

CONDIZIONI GEOMETRICHE....................................................................................................... 14

CONDIZIONI DI APPARTENENZA .........................................................................................................................14 Appartenenza tra punti.................................................................................................................................14Appartenenza tra punto e retta.....................................................................................................................14Appartenenza tra rette..................................................................................................................................14Appartenenza tra retta e piano.....................................................................................................................14Appartenenza tra punto e piano ...................................................................................................................17

CONDIZIONI DI PARALLELISMO ..........................................................................................................................17 Parallelismo tra rette ...................................................................................................................................17Parallelismo tra piani ..................................................................................................................................17Parallelismo tra retta e piano ......................................................................................................................18

CONDIZIONI DI PERPENDICOLARITÀ ...................................................................................................................18 Perpendicolarità tra retta e piano................................................................................................................18Perpendicolarità tra rette.............................................................................................................................19Perpendicolarità tra piani............................................................................................................................20

CASI PARTICOLARI: PERPENDICOLARITÀ CON PIANI PROIETTANTI. ....................................................................20

ESEMPI APPLICATIVI...................................................................................................................... 21

RETTA DI INTERSEZIONE TRA DUE PIANI ............................................................................................................21 TRACCE DI UN PIANO DEFINITO DA TRE PUNTI ALLINEATI (TRIANGOLO ABC)..................................................22 PUNTI DI INTERSEZIONE TRA RETTA E PIANO......................................................................................................22 INTERSEZIONE DI UNA COPPIA DI TRIANGOLI .....................................................................................................25

PROBLEMI METRICI......................................................................................................................... 26

VERA GRANDEZZA DELLE LUNGHEZZE DEGLI ANGOLI .......................................................................................26 Ribaltamento di un piano su un piano principale ........................................................................................26Retta di massima pendenza ..........................................................................................................................30

ESEMPI APPLICATIVI...................................................................................................................... 31

CONCLUSIONI .................................................................................................................................. 32

BIBLIOGRAFIA .................................................................................................................................. 32

Le proiezioni ortogonali

3

INTRODUZIONE

Il disegno è il linguaggio usato dai tecnici per trasmettere, ricevere ed elaborare le

informazioni relative ad argomenti e problemi di natura tecnica.

Si può dire che la “grammatica” di tale linguaggio è la geometria descrittiva.

La geometria descrittiva è infatti quella disciplina che si propone di rappresentare elementi

dello spazio a tre dimensioni (oggetti) per mezzo di figure a due dimensioni (disegno).

Il concetto base su cui poggia tutto lo sviluppo di questa teoria di rappresentazione degli

oggetti, è la definizione di proiezione.

Con riferimento alla figura 1, si consideri:

• un oggetto Q qualsiasi;

• un punto C esterno all’oggetto;

• un piano Π non passante per C.

Figura 1 – proiezione di un oggetto da un punto C su un piano Π.

Scelto un generico punto P dell'oggetto e considerata la retta r passante per C e per P, si

definisce proiezione di P su Π il punto P', intersezione della retta r con il piano Π.

Ripetendo l'operazione con tutti i punti dell'oggetto, si ottiene la proiezione dell'oggetto

stesso.

Riassumendo si può dire che:

la proiezione di un oggetto da un punto C su un piano Π equivale all'insieme dei

punti di intersezione tra il piano di proiezione Π con le rette del fascio di centro C,

passanti per l'insieme dei punti costituenti l'oggetto stesso.

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

4

Terminologia :

C - centro di proiezione o punto di vista;

Π - piano di proiezione o quadro;

r - retta proiettante o raggio proiettante;

P' - proiezione o immagine del punto P;

Q' - proiezione o immagine dell'oggetto Q.

E' evidente che si possono avere diversi tipi di proiezione in funzione della posizione del

centro C rispetto al piano di proiezione Π.

In generale l'immagine di un oggetto varia anche con la posizione di questo in relazione al

centro e al quadro di proiezione. Lo studio generale delle proiezioni verrà comunque ripreso

quando verranno trattate le proiezioni centrali (prospettive) e le proiezioni parallele

(assonometrie).

Si vuole ora mettere in evidenza un particolare tipo di proiezione: la proiezione ortogonale.

Se il centro di proiezione è un punto posto all'infinito (punto improprio), i raggi proiettanti

sono tutti paralleli tra loro; la proiezione che si ottiene viene detta proiezione parallela.

Se in una proiezione parallela, il piano di proiezione è perpendicolare alla direzione dei raggi

proiettanti si ha una proiezione ortogonale parallela o proiezione ortogonale propriamente detta.

Nel disegno tecnico, la rappresentazione degli oggetti viene eseguita applicando il metodo

delle proiezioni ortogonali o metodo di Monge1.

IL METODO DELLE PROIEZIONI ORTOGONALI

II metodo delle proiezioni ortogonali considera lo spazio diviso in quattro diedri da una

coppia di piani ortogonali tra loro:

• il piano orizzontale Π1 (o geometrale);

• il piano verticale Π2 (o quadro ).

Π1 e Π2 sono i piani di proiezione e vengono detti anche, rispettivamente, primo e secondo

piano di proiezione; la loro linea di intersezione è chiamata linea di terra.

1 Gaspard Monge (1746-1818)- matematico francese.

http://it.wikipedia.org/wiki/Gaspard_Monge

Le proiezioni ortogonali

5

E' così possibile rappresentare qualunque oggetto dello spazio con due proiezioni ortogonali

( proiezione ortogonale bicentrica ):

• la prima proiezione sul piano orizzontale;

• la seconda proiezione sul piano verticale.

I raggi proiettanti sono sempre perpendicolari ai rispettivi piani di proiezione.

Figura 2 – ribaltamento su piano orizzontale e su piano verticale.

Operando successivamente un ribaltamento del piano orizzontale su quello verticale (con

una rotazione di 90° attorno alla linea di terra nel verso indicato in figura 2) si ottengono le

due proiezioni su uno stesso piano , che si fa coincidere con il piano del disegno.

Talvolta queste due proiezioni non sono sufficienti a rappresentare completamente l'oggetto

ed allora si ricorre ad altre proiezioni ortogonali fatte su piani opportunamente scelti e

quindi ribaltati sul piano verticale (proiezioni ortogonali policentriche).

II terzo piano di proiezione Π3 è scelto di norma perpendicolare ai due piani di proiezione

precedenti (perpendicolare quindi alla linea di terra). La linea di intersezione di Π3 con Π2 è

detta linea di terra secondaria ed a seguito del ribaltamento dei piani Π1 e Π3 su Π2, assume sul

piano del disegno una doppia rappresentazione.

Nella figura 3 con riferimento alle proiezioni ortogonali di un punto P appartenente al

primo diedro, sono illustrate le procedure grafiche normalmente usate per realizzare la

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

6

corrispondenza dei punti appartenenti alla duplice rappresentazione della linea di terra

secondaria.

Figura 3 – proiezione ortogonale di un punto P appartenente al primo diedro.

Alcuni termini:

• linea di richiamo è la perpendicolare alla linea di terra , che unisce le proiezioni di

uno stesso punto;

• quota è la distanza di un punto dal piano orizzontale;

• richiamo o aggetto è la distanza di un punto dal piano di proiezione verticale

(frontale).

Nel seguito di questa trattazione, per brevità, con il termine “proiezione” si vorrà intendere

una proiezione ortogonale bicentrica (o policentrica) eseguita secondo le regole sopraesposte.

Di regola l'oggetto da proiettare viene posto nel primo diedro, cosicché la prima e seconda

proiezione stanno, rispettivamente, sotto e sopra la linea di terra. Non mancano però i casi in

cui si devono considerare anche elementi appartenenti a diedri diversi dal primo ed in

questo caso si deve porre la dovuta attenzione alla posizione assunta dalla proiezione degli

elementi dopo il ribaltamento dei piani.

Le parti degli elementi appartenenti al primo diedro verranno messe in evidenza

disegnandole con tratto grosso.

Come consuetudine nella geometria elementare, si indicheranno:

• i punti con lettera maiuscola (A, B ,P, Q ... );

• le rette con lettera minuscola (a, b, p, q ...);

• i piani con lettera alfabeto greco (α, β, γ…).

Le proiezioni ortogonali

7

Le proiezioni dei vari elementi saranno designate con la stessa lettera dotata di indice

numerico 1, 2, 3 a significare prima, seconda o terza proiezione.

RAPPRESENTAZIONE DEGLI ELEMENTI GEOMETRICI

Rappresentazione del punto

Si consideri un punto nello spazio e le sue proiezioni sui piani Π1 e Π2.

Eseguito il ribaltamento di Π1 su Π2, come in precedenza precisato, si ottengono diverse

rappresentazioni del punto a seconda del diedro di appartenenza del punto stesso.

La figura 4 rappresenta le proiezioni ortogonali di quattro punti appartenenti ai quattro

diversi diedri in cui è diviso lo spazio.

Figura 4 - Rappresentazione dei punti: A appartenente al primo diedro; B appartiene al secondo diedro; C appartenente al terzo diedro; D appartenente al quarto diedro.

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

8

Rappresentazione della retta

Sia data una retta r e due punti A, B appartenenti ad essa.

Le proiezioni r1 e r2 della retta passano per le proiezioni omonime dei due punti considerati.

Figura 5 - retta r passante per due punti A, B.

I punti di intersezione della retta con i piani di proiezione sono detti tracce della retta.

Chiamata r la retta considerata, si indica con:

• R’ la traccia su Π1 (prima traccia),

• R’’ la traccia su Π2 (seconda traccia).

Le tracce, appartenendo ai piani di proiezione, hanno rispettivamente la seconda e la prima

proiezione sulla linea di terra.

La figura 6 rappresenta delle rette, le cui tracce sono in posizioni diverse. E' da porre

attenzione alla posizione assunta dalle tracce dopo il ribaltamento di Π1 su Π2.

E' evidente dalla figura come, assegnate le tracce di una retta, è immediato determinare le

proiezioni ortogonali della retta stessa.

Le proiezioni ortogonali

9

Figura 6 – rette con tracce in posizioni diverse.

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

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Posizioni particolari della retta

Le figure che seguono rappresentano la retta in alcune posizioni particolari.

Figura 7 – retta perpendicolare a Π1 (verticale).

Figura 8 – retta perpendicolare a Π2.

Figura 9 – retta orizzontale.

Le proiezioni ortogonali

11

Figura 10 – retta frontale.

Figura 11 – retta parallela alla linea di terra (frontale - orizzontale).

Figura 12 – retta di profilo.

Una retta di profilo è definita se si conoscono le proiezioni di due dei suoi punti. Questo è un

caso in cui è comodo l’uso del terzo piano di proiezione Π3.

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

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Rappresentazione del piano

Ricordiamo che un piano può essere individuato da :

• tre punti non allineati;

• una retta e un punto esterno ad essa;

• due rette incidenti in un punto (proprio o improprio).

Risulta spesso conveniente rappresentare il piano con due particolari rette incidenti: le sue

tracce che sono le rette di intersezione del piano dato con i piani di proiezione.

Figura 13 - piano rappresentato dalle sue tracce. Detto α il piano assegnato, si è indicato: α’ la traccia su Π1 (prima traccia o traccia orizzontale); α’’ la traccia su Π2, (seconda traccia o traccia frontale).

E' da notare che le tracce di un piano si incontrano sempre sulla linea di terra. Se il piano è

parallelo alla linea di terra, il punto di incontro è un punto improprio; le tracce sono parallele

tra loro e alla linea di terra.

Piani in posizione particolare: piani proiettanti

I piani perpendicolari ai piani di proiezione sono detti piani proiettanti.

Un piano proiettante perpendicolare a Π1 è detto piano primo proiettante; la sua prima traccia

contiene la prima proiezione di qualunque figura appartenente al piano stesso e la sua

seconda traccia è perpendicolare alla linea di terra.

Le proiezioni ortogonali

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Figura 14 - piano primo proiettante.

Un piano perpendicolare al piano di proiezione verticale Π2 si chiama piano secondo

proiettante ed ha caratteristiche analoghe a quelle del piano precedente.

Figura 15 - piano secondo proiettante.

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

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CONDIZIONI GEOMETRICHE

Condizioni di appartenenza

Appartenenza tra punti

Due punti sono coincidenti se sono coincidenti le rispettive proiezioni omonime.

Appartenenza tra punto e retta

Un punto appartiene a una retta quando le proiezioni del punto appartengono alle

proiezioni omonime della retta.

Appartenenza tra rette

Due rette sono incidenti quando i punti di incontro delle loro proiezioni omonime si trovano

su una perpendicolare alla linea di terra.

Infatti, solo in questa condizione, le intersezioni delle proiezioni delle rette rappresentano un

punto dello spazio (il punto di intersezione).

Figura 16 - proiezioni ortogonali di due rette incidenti.

Appartenenza tra retta e piano

Una retta appartiene ad un piano quando le tracce della retta stanno sulle tracce omonime

del piano.

Le proiezioni ortogonali

15

Figura 17 - rette r ed s appartenenti al piano α. Le tracce delle rette stanno sulle tracce del piano.

(Ovviamente le rette sono anche incidenti).

Casi particolari: rette principali del piano.

Le rette di un piano α, parallele a Π1 (orizzontali) hanno la prima proiezione parallela alla

prima traccia del piano e la seconda proiezione parallela alla linea di terra.

Figura 18.1 - retta orizzontale di un piano

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

16

Analoghe caratteristiche hanno le rette di un piano parallele a Π2 (frontali).

Figura 18.2 – retta frontale di un piano

Tali rette sono chiamate rette principali di un piano.

Nella figura 19 sono messe in evidenza due rette principali di un piano individuato da una

coppia di rette incidenti.

Figura 19 – retta orizzontale e retta frontale di un piano individuato dalle rette r ed s appartenenti ad esso.

Le proiezioni ortogonali

17

Appartenenza tra punto e piano

Condizione necessaria e sufficiente affinché un punto appartenga ad un piano è che esso

appartenga ad una retta del piano.

Figura 20 - punto P appartenente al piano (tramite l'appartenenza a una generica retta r del piano α).

Condizioni di parallelismo

Parallelismo tra rette

Due rette sono parallele se le loro proiezioni omonime sono parallele.

Figura 21 - coppia di rette parallele.

Parallelismo tra piani

Due piani sono paralleli se hanno le tracce omonime parallele.

In generale è sufficiente verificare il parallelismo solo di due coppie di tracce. Nel caso

particolare di piani paralleli alla linea di terra, è necessario considerare anche le terze tracce

sul piano di proiezione laterale.

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

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Figura 22 - a) coppia generica di piani paralleli; b) coppia di piani paralleli tra loro

e alla linea di terra.

Parallelismo tra retta e piano

Una retta è parallela ad un piano quando è possibile tracciare una retta appartenente al piano

e parallela alla retta data; (oppure è possibile condurre per la retta un piano parallelo a

quello dato).

Figura 23 - parallelismo tra retta r e piano α assegnati.

Condizioni di perpendicolarità

Perpendicolarità tra retta e piano

Una retta è perpendicolare ad un piano se le proiezioni della retta sono perpendicolari alle

tracce omonime del piano.

Se il piano non è assegnato con le sue tracce, si può verificare la perpendicolarità di una retta

avvalendosi delle proprietà delle rette principali del piano, ricordando cioè il parallelismo tra

le tracce del piano e le proiezioni delle rette principali.

Le proiezioni ortogonali

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Figura 24 - perpendicolarità tra retta r e piano α; a) piano individuato dalle sue tracce; b) piano assegnato con due rette generiche m, n.

Perpendicolarità tra rette

Due rette sono perpendicolari tra loro se esiste un piano passante per una e perpendicolare

alla altra retta.

Le rette sono anche incidenti se è verificata anche l'appartenenza tra le due rette (esistenza di

un punto in comune ).

Figura 25 - coppia di rette perpendicolari: a) sghembe; b) incidenti.

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

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Perpendicolarità tra piani

Due piani sono perpendicolari quando esiste una retta appartenente ad uno e perpendicolare

all'altro piano.

Figura 26 - coppia di piani perpendicolari.

Casi particolari: perpendicolarità con piani proiettanti.

Un primo piano proiettante è perpendicolare a un altro piano quando le prime tracce dei due

piani sono perpendicolari tra loro. Analoga proprietà vale per un secondo piano proiettante

(seconde tracce perpendicolari tra loro).

Figura 27 - perpendicolarità tra un piano α generico e: a) primo piano proiettante; b) secondo piano

proiettante.

Le proiezioni ortogonali

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ESEMPI APPLICATIVI

Gli esempi che seguono sono applicazioni delle proprietà, delle definizioni e dei concetti

base fino ad ora considerati.

Lo sviluppo dei successivi problemi, presuppone pertanto una buona conoscenza della parte

precedente e lo studio di questi non deve essere tanto una assimilazione mnemonica delle

soluzioni proposte, quanto una comprensione del metodo di risoluzione applicato.

E' da tenere presente inoltre che raramente un problema ha una unica soluzione e che la

regola che si deve sempre applicare è quella di ricercare la soluzione più semplice.

Retta di intersezione tra due piani

I piani sono definiti dalle rispettive tracce.

Figura 28 - Le tracce della retta di intersezione di due piani devono appartenere alle tracce omonime di entrambi i piani e corrispondono quindi ai punti di intersezione delle stesse.

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

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Tracce di un piano definito da tre punti non allineati (triangolo ABC)

Figura 29 - Considerate due rette passanti per i punti assegnati, si determinano le loro tracce. Le tracce del piano devono passare per le tracce delle rette. (Verifica grafica: le tracce si devono

incontrare sulla linea di terra.)

Un'altra soluzione dello stesso problema poteva essere quella di considerare una retta

passante per due punti assegnati ed un'altra retta, parallela alla prima, passante per il terzo

punto assegnato e determinare le tracce come nel caso precedente.

Punti di intersezione tra retta e piano

Vengono dati due esempi:

a) piano assegnato con le sue tracce (Figura 30)

b) piano assegnato con un triangolo, ovvero tre punti non allineati o tre rette a due a

due incidenti non in uno stesso punto (Figura 31).

Si vedrà in questo caso la convenienza dell' utilizzazione dei piani proiettanti in prima o

seconda proiezione.

Le proiezioni ortogonali

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a) Dati:

tracce piano α’ e α’’,

proiezioni retta r1 e r2.

Figura 30 - Considerato un piano proiettante contenente r (ad es. il primo piano proiettante), si determina la retta di intersezione tra il piano proiettante e il piano dato. L'intersezione tra r ed i è il

punto di intersezione cercato I.

C.Bandera APPUNTI DI DISEGNO

24

b) Dati:

proiezioni triangolo ABC ,

proiezioni retta r

Figura 31 - II piano primo proiettante, contenente r, taglia il triangolo nel segmento PQ. L'intersezione di r con PQ da il punto I d'intersezione cercato.

Considerando il piano opaco, è stata messa in evidenza solo la parte in vista della retta r (in

prima proiezione la parte di retta sopra il piano, in seconda proiezione la parte di retta

davanti il piano stesso).

Le proiezioni ortogonali

25

Intersezione di una coppia di triangoli

Il problema si risolve come il caso dell'esercizio precedente, determinando l'intersezione dei

singoli lati di un triangolo con il piano dell'altro.

Figura 32 - intersezione coppia di triangoli.

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