Relazione di Fisica di Circuiti 2 Bicocca, Guide, Progetti e Ricerche di Laboratorio Di Fisica Generale

Scarica Relazione di Fisica di Circuiti 2 Bicocca e più Guide, Progetti e Ricerche in PDF di Laboratorio Di Fisica Generale solo su Docsity! Università degli Studi di Milano Bicocca Dipartimento di Fisica Corso di Laurea Triennale CIRCUITI 2 Relazione di laboratorio Arianna Sharmin Hossain, Matteo Masolini, Carolina Nicolini 30 marzo 2023 anno accademico 2022/2023 Indice 1 Obiettivi 3 2 Introduzione 4 2.1 Circuiti RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 2.2 Circuiti RL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.3 Circuiti RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 3 Strumenti 8 4 Circuiti RC in corrente impulsata 12 4.1 Studio di circuiti RC in corrente impulsata . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 4.2 Processo di carica e di scarica in un circuito RC . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2.1 Carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 4.2.2 Scarica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 5 Circuiti RL in corrente impulsata 19 5.1 Processo di carica e di scarica in un circuito RL . . . . . . . . . . . . . . 19 5.1.1 Carica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 5.1.2 Scarica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 6 Studio dei circuiti RLC 25 6.1 Processo di carica di un circuito RLC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.1.1 Regime sottosmorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 6.1.2 Regime sovrasmorzato . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 6.1.3 Regime di smorzamento critico . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 7 Conclusione 32 8 Appendice 33 2 Durante la scarica, ai capi del condensatore è presente una differenza di potenziale che costringe le cariche ad abbandonare le armature del condensatore; in questo modo, la carica del condensatore tende ad annullarsi. 2.2 Circuiti RL I circuiti RL (figura 2.2) sono costituiti, invece, da una resistenza R e da un induttore di induttanza L percorso da corrente, collegati in serie con un generatore di tensione. Durante Figura 2.2: Circuito RL l’apertura del circuito, l’induttanza impedisce alla corrente di aumentare istantaneamente, perché la variazione di corrente genera una forza elettromotrice indotta che si oppone alla crescita della corrente. Al contrario, durante la chiusura l’induttanza impedisce alla corrente di diminuire instantaneamente. 2.3 Circuiti RLC Infine i circuiti RLC sono formati da una resistenza, capacità e induttanza collegate in serie. Questo circuito è l’esempio di un circuito oscillante smorzato. In particolare, una volta inserito il condensatore carico e chiuso il circuito in serie con l’induttanza L e la resistenza R, si genera una corrente variabile nel tempo a causa 5 della scarica del condensatore. La corrente scorrendo nell’induttanza genera in essa un campo magnetico varabile al suo interno. Questo campo magnetico variabile genera a sua volta un’altra corrente di verso opposto a quella che l’ha generata, che andrà a ricaricare il condensatore. La corrente, quindi, oscilla tra induttore e condensatore, e ad ogni ciclo di oscillazione una parte di energia si converte dalla forma elettrica (condensatore) a quella magnetica (induttore). L’equazione del circuito RLC è data da : Ï +2γ İ +ω 2 0 = 0 (2.1) dove γ = R 2L e ω2 0 = 1 LC . A seconda del segno di ∆ = γ2 − ω2 0 si hanno tre differenti tipologie di regime di smorzamento: • regime sottosmorzato con γ < ω0 • regime sovrasmorzato con γ > ω0 • smorzamento critico con γ = ω0 Per alcuni problemi tecnici, probabilmente dovuti a un malfunzionamento delle sonde collegate con l’oscilloscopio, la forma delle onde riportata sull’oscilloscopio non corri- spondeva mai a quella che si sarebbe dovuto ottenere, per quanto la configurazione degli strumenti e del circuito fosse quella corretta. 6 Per questo motivo è stato necessario svolgere l’esperimento virtualmente. 7 fuori del range del segnale perchè altrimenti l’oscilloscopio non sarà in grado di congelare l’immagine del segnale. Infine, in alto si trova il menù degli accessori composto da un pannello di misurazio- ne che consente di effettuare misure automatiche con l’oscilloscopio; da un pannello di acquisizione che consente di modificare il modo con cui l’oscilloscopio acquisisce i dati ed è molto importante perchè consente di ridurre il rumore nel segnale;infine da un menù dei cursori che consente di effettuare misure manualmente. • Sonda(figura3.4),cavo formato da un connettore VCN che viene inserito nell’o- scilloscopio; da una sonda, formata da un puntale che presenta un morsetto con il quale si pinza il componente del circuito sul quale si vuole misurare la differenza di potenziale e infine da un coccodrillo che deve essere collegato alla messa a terra del circuito. La sonda è formata da un settaggio che consente di modificare da x1 a x10: x1 il segnale è mandato nell’oscilloscopio senza essere modificato; invece x10,il segnale viene diviso in 10 e poi mandato all’oscilloscopio. Figura 3.4: sonde • Cavi coassiani(figura 3.5) formati da una calza esterna ovvero la messa a terra. All’interno sono composti da un piccolo conduttore che porta il sengale all’interno del cavo. Questo permette di isolare la propagazione del segnale da tutto ciò che può essere un’ interferenza dell’ambiente • Multimetro digitale palmare(Figura 3.2) strumento utilizzato nella misura di cor- renti, tensioni e resistenze 10 Figura 3.5: cavo coassiano Figura 3.6: multimetro palmare Questo strumento viene solitamente utilizzato nella misura della tensione. Il mul- timetro palmare è composto da un selettore che consente di scegliere il tipo di misura. 11 4. Circuiti RC in corrente impulsata 4.1 Studio di circuiti RC in corrente impulsata Una volta appreso il funzionamento dei diversi strumenti, messi a disposizione in labora- torio, ci si è dedicati alla realizzazione del circuito RC (Figura 4.1). Tra i diversi valori della resistenza messi a disposizione, è stata scelta una resistenza R pari a 4,664 ·103 ± 1 Ω, un ordine di grandezza molto inferiore rispetto alla resistenza interna dell’oscilloscopio del valore di 1 MOhm. E’ stata effettuata questa scelta poichè in questo modo la corrente che attraversa l’oscilloscopio è trascurabile e quella che attraversa C è la stessa che attraversa R. Una volta scelta la resistenza, si è passati alla scelta della capacità. La scelta è ricaduta su una capacità pari a 9,9 ·10−8 ± 0,1 ·10−8F , un valore maggiore rispetto alla capacità di ingresso dell’oscilloscopio pari a 20pF . In questo modo, la carica che fluisce nel circuito si accumula quasi interamente sulla capacità, dato che Q è direttamente proporzionale a C, a parità di differenza di potenziale. Scelti tutti i componenti necessari,è stato messo in funzione il generatore di funzioni al fine di produrre un segnale ad onda quadra. La frequenza scelta è pari a f = 200Hz, una frequenza abbastanza bassa, a cui corrisponde quindi un periodo dilatato. Effettuando tale scelta si è sicuri che l’intervallo di tempo in un periodo, stampato dall’oscilloscopio, è sufficiente affinchè il processo di carica o scarica avvenga quasi completamente. Figura 4.1: circuito RC 12 τblu = 4,642 ·10−41,53 ·10−6 (4.7) τrossa = 4,603 ·10−41,54 ·10−6 (4.8) Questi valori sono in accordo con il τ ricavabile a partire dai valori noti di R e C utilizzate : τ = RC = 4,617 ·10−44,7 ·10−6 (4.9) 0 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 tempo (s) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 te ns io ne (V ) / ndf 2χ 9.494 / 26 Prob 0.9987 p0 06− 1.532e± 0.0004642 RC CARICA ONDA BLU Figura 4.2: Carica RC (andamento resistenza R) Sopra sono riportati i grafici dell’onda blu (VR) e dell’onda rossa (VC). Dalle misure effettuate, si ottiene un esponenziale decrescente per VR, che parte da Vg = 2V e tende a zero. Viceversa, per VC si ricava un esponenziale crescente, che parte da 0 e tende a 1,8 V, che è circa uguale a Vg. Questi risultati sono in linea con le previsioni iniziali. Dal grafico si nota che si ha un chi quadro maggiore del 5% pari a 0,36 (36%) un valore coerente: il valore misurato è compatibile con quello atteso. 15 Figura 4.3: Carica RC (andamento capacità C) 4.2.2 Scarica Durante il processo di scarica, il generatore fornisce al circuito una differenza di potenziale opposta a quella erogata durante la carica: il condensatore passa da una tensione iniziale pari a zero a una finale, pari a −Vg. Si osserva che, in questo caso, VR è negativa e cresce esponenzialmente fino a raggiun- gere il valore zero. Questo perchè, per la prima legge di Kirchoff, −Vg =VR +Vc (4.10) la somma di VR e VC è costante e pari a −Vg, in quanto la tensione erogata dal genera- tore è ora negativa. A mano a mano che il condensatore si scarica, VC decresce esponenzialmente e tende a −Vg e, di conseguenza, VR cresce e tende asintoticamente a zero, in modo che la loro somma sia pari a −Vg. Per interpolare i dati raccolti, è necessario conoscere la forma analitica dell’andamento di VC e di VR. La si ricava applicando al circuito la prima legge di Kirchoff: 16 −Vg =VR +Vc = RI +V = RC dVc dt +Vc (4.11) Si ottiene un’equazione differenziale del primo ordine in VC, lineare, a coefficienti costanti e non omogenea. La soluzione è: VC(t) =Vg( 2 · e−t τ 1+ e −T 2·τ −1) (4.12) Da cui possiamo ricavare anche l’espressione analitica di VR : VR(t) =−Vg −VC =− 2Vg 1+ e −T 2τ · e −t τ (4.13) Dall’interpolazione ricaviamo i valor di τ : τblu = 8,997 ·10−53,82 ·10−7 (4.14) τrosso = 9,01 ·10−53,823 ·10−7 (4.15) Anche in questo caso sono compatibili con il τ ricavato a partire dai valori di R e L. Di seguito sono riportati i grafici dell’onda blu(VR) e dell’onda rossa (VC). Anche qui si può osservare come i risultati siano in linea con quanto ci si aspettava. Il grafico della scarica dell’onda rossa è traslato di 2 V verso l’alto. 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 3−10× tempo (s) 2− 1.5− 1− 0.5− 0 te ns io ne (V ) / ndf 2χ 16.56 / 27 Prob 0.9414 p0 07− 3.832e±05 − 9.016e RC SCARICA ONDA BLU Figura 4.4: Scarica RC (andamento resistenza R) 17 5.1.1 Carica Durante il processo di carica l’induttore inizialmente scarico, cioè con corrente nulla,viene caricato dal generatore con una differenza di potenziale pari a Vg: questa fa crescere la corrente che scorre nel circuito finchè essa non raggiunge un valore stazionario. Si osserva che in questo processo VR ha l’andamento di un esponenziale crescente e, prolungando il periodo a tempi infiniti, tende asintoticamente a Vg. Infatti, per la prima legge di Kirchoff, Vg =VR +VL (5.1) la somma di VR e VL è costante e pari a Vg. Inizialmente, quando la corrente è nulla, la differenza di potenziale ai capi di R è nulla, quindi Vg =VL (5.2) Tuttavia, durante il processo carica dell’induttore, la corrente che scorre nel circuito cresce in modo esponenziale, fino a raggiungere un valore costante. Di conseguenza, anche la VR crescerà seguendo lo stesso andamento, essendo diretta- mente proporzionale alla corrente che scorre nel sistema. Al contrario, VL decresce esponenzialmente tendendo asintoticamente a zero. Quando infatti la corrente è divenuta stazionaria, la forza elettromotrice autoindotta sull’induttanza è nulla, quindi l’induttore è divenuto equivalente a un cortocircuito. Per interpolare i dati raccolti, è necessario conoscere la forma analitica dell’andamento di Vg e di VL. La si ricava applicando al circuito la prima legge di Kirchoff: Vg =VR +VL = RI +L dI dt (5.3) Si ottiene un’equazione differenziale del primo ordine in I, lineare, a coefficienti co- stanti e non omogenea, la cui soluzione è: VL(t) = 2Vg 1+ e −T 2τ · e −t τ (5.4) Da cui possiamo ricavare anche l’espressione analitica di VR: 20 VR =Vg −VL =Vg(1− 2 1+ e −T 2τ · e −t τ ) (5.5) I dati raccolti sono riportati nelle tabelle in fondo alla relazione, nella sezione 8 ”Ap- pendice”. Di seguito si riportano solo i grafici ricavati con i fit. Dall’interpolazione, si può ricavare il valore della costante caratteristica dell’esponen- ziale (vedi grafici): τblu = 9,025 ·10−53,604 ·10−7 (5.6) τrossa = 8,952 ·10−53,598 ·10−7 (5.7) che è compatibile con la τ che avevamo previsto conoscendo il valore della resistenza e dell’induttanza usati: τ = L R = 9,005 ·10−52,19 ·10−7 (5.8) Di seguito sono riportati i grafici e si può osservare come anch’essi siano in linea con le previsioni: Figura 5.2: Carica RL (andamento resistenza R) 21 0 0.05 0.1 0.15 0.2 0.25 0.3 0.35 0.4 3−10× tempo (s) 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 2 te ns io ne (V ) / ndf 2χ 16.17 / 34 Prob 0.9959 p0 07− 3.598e±05 − 8.952e RL CARICA ONDA ROSSA Figura 5.3: RL carica rossa (andamento capacità C) 5.1.2 Scarica Il generatore fornisce al circuito una differenza di potenziale opposta a quella erogata durante la carica . La corrente decresce esponenzialmente fino a raggiungere un valore stazionario, in questo caso negativo. VR segue quindi lo stesso andamento. Si osserva che è negativa e decresce esponen- zialmente. Prolungando il periodo a tempi infiniti, tende asintoticamente a −Vg . Di conseguenza, VL cresce e tende a zero, in modo che la loro somma sia pari a −Vg. Per interpolare i dati raccolti, è necessario conoscere la forma analitica dell’andamento di Vg e di VL. La si ricava applicando al circuito la prima legge di Kirchoff: −Vg =VR +VL = RI +L dI dt (5.9) Si ottiene un’equazione differenziale del primo ordine in I, lineare, a coefficienti co- stanti e non omogenea, la cui soluzione è: VL(t) =− 2Vg 1+ e −T 2τ · e −t τ (5.10) Da cui possiamo ricavare anche l’espressione analitica di VR: VR =−Vg −VL =Vg( 2 1+ e −T 2Tau · e −t Tau −1) (5.11) 22 6. Studio dei circuiti RLC Dopo lo studio dei circuiti RC e RL si è passati allo studio del circuito RLC (figura 6.1). Nella sua realizzazione sono stati utilizzati i componenti circuitali della capacità e in- duttanza, utilizzati precedentemente. Come nei circuiti RL e RC,anche in questo caso l’oscilloscopio ha stampato onde di colore diverso in base al componente circuitale. Figura 6.1: circuito RLC In questa parte dell’esperimento si dovevano creare i vari tipi di regime di smorza- mento,e per tale scopo sono state utilizzate diversi valori della resistenza. La scelta di quest’ultima è stata molto accurata in quanto le forme d’onda variano a seconda della resistenza utilizzata. La resistenza utilizzata nel regime sottosmorzato è di 400 ± 1 Ω, nel regime sovra- smorzato è stata adottata una resistenza pari a 9000 ± 1 Ω mentre per lo smorzamento critico è stata utilizzata una resistenza di 4060 ± 1 Ω. Anche per i circuiti RLC è stato utilizzato un generatore di funzioni per produrre un segnale ad onda quadra, la cui frequenza usata è di 400 Hz, ed un Oscilloscopio, colle- gato al circuito, per la rilevazione della differenza di tensione ai capi della resistenza R mediante una sonda. Per effettuare le misurazioni si sono campionate, attaverso l’utilizzo di cursori, le for- me d’onda assunte dalla differenza di potenziale ai capi della resistenza (VR) al variare del 25 tempo. 6.1 Processo di carica di un circuito RLC Consideriamo il passaggio da una tensione nulla ad una tensione applicata Vg. Dalla legge di Kirchoff, ricaviamo l’equazione differenziale che descrive il circuito: Vg =VR +VL +Vc = RI +L dI dt + Q C (6.1) Derivando una volta, si ottiene un’equazione differenziale omogenea in I, del secondo ordine e a coefficienti costanti: d2I dt2 + R L · dI dt + 1 LC I = 0 (6.2) Per risolverla, scriviamo il polinomio caratteristico associato: λ 2 + R L λ + 1 Lc = 0 (6.3) λ1,2 =− R 2L √ ( R 2L )2 − 1 LC =−γ √ γ2 − (ω0)2 (6.4) Ponendo (ω0) 2 = 1 LC (6.5) γ = R 2L (6.6) Si possono verificare tre casi di smorzamento a seconda del segno di ∆ = γ2 −ω2 0 . 6.1.1 Regime sottosmorzato Una delle tipologie di smorzamento è il regime sottosmorzato (figura 6.2). Questo regime si verifica sotto la seguente condizione: γ < ω0 (6.7) Rtot 2L < √ 1 LC (6.8) 26 Rtot < 2 √ L C (6.9) Abbiamo quindi usato una resistenza bassa. Questo è l’unico caso in cui l’andamento della corrente oscilla in modo sinusoidale, seguendo la legge: I(t) = I0e−γtsen(β t) (6.10) con β = √ ω2 0 − γ2 (6.11) I0 = 2Vg Lβ (6.12) Da cui VR(t) = RI(t) = RI0e−γtsen(β t) (6.13) I dati raccolti sono riportati nelle tabelle in fondo alla relazione, nella sezione 8 ”Appen- dice”. Di seguito si riportano solo i grafici ricavati con i fit. Dall’interpolazione si ricava il seguente andamento, dove: Il parametro p0 = 11,07 ·10−80,512 ·10−9F (6.14) corrisponde alla capacità, che avevamo misurato essere pari a C = 9,9 · 10−8 ± 0,1 ·10−8F Il parametro p2 = 3,87 ·10−11,75 ·10−2H (6.15) corrisponde all’induttanza, che avevamo misurato essere pari a L = 4,2 ·10−11 ·10−1H (6.16) Anche in questo caso i due valori sono in accordo. 27 Dove Rtot è la somma di R e della resistenza interna dell’induttanza, pari a Rinduttanza = 58,6Ω. Come accennato precedentemente l’esperienza è stata svolta virtualmente per vari problemi tecnici: non si è considerata la resistenza del generatore pari a Rgeneratore = 50Ω poichè essendo ideale e non ha resistenza interna. Avendo utilizzato L = 4,20 · 10−1H e C = 9,9 · 10−8F , per ottenere questo regime abbiamo dovuto utilizzare una resistenza R pari a : R = Rtot −Rind = 2 √ L C −Rind = 4,06 ·103 Ω (6.27) Anche in questo caso la corrente ha l’andamento di un esponenziale decrescente; in particolare, questa è la condizione in cui la curva tende a 0 più rapidamente . La soluzione che si ottiene è: I(t) = I0te−γt (6.28) V (t) = RI0te−γt (6.29) Dall’interpolazione si ottengono i parametri: p1 = 4,15 ·10−11,5 ·10−3H (6.30) che corrisponde a L; p2 = 9,732 ·10−81,496 ·10−8F (6.31) corrisponde alla capacità C. 30 tensione (V) 0.7 0.5 0.2 01° CRITICO ll x! ndf 15.52 / 28 l Prob 0.9724 l po 1.041 0.16 Co pi 0.415+0.001473 p2 9.732e-08 + 1.496e-08 rrlisviliv lividi siii La o 0.0002 0.0004 0.0006 0.0008 0.001 0.0012 0.0014 tempo (5) Figura 6.4: regime criticamente smorzato 31 7. Conclusione Nello svolgimento dell’esperimento sono state riscontrate varie problematiche nell’uti- lizzo della strumentazione, in particolare nell’uso dell’oscilloscopio. Una volta finita la costruzione di un determinato tipo di circuito l’oscilloscopio stampava a schermo due onde quadre, e non si otteneva l’esponenziale. Si è cercato di arrivare alla soluzione del problema, verificando che le sonde fossero inserite in modo oppurtuno. In seguito, abbiamo cambiato la resistenza ed effettivamente, avendone scelta una troppo bassa, non veniva rilevata oppurtunamente. Sembrava che il problema fosse stato risolto ma, nella rilevazione delle misure tramite l’oscilloscopio, usando gli oppurtuni cursori, è stato rilevato un errore nelle misure della tensione in quanto oscillavano in maniera sproporzionata. L’oscilloscopio non riusciva a stampare un valore preciso poichè esso cambiava immediatamente. Si è deciso quindi di prendere i valori che abbiamo ritenuto oppurtuni, ma sono sta- ti cosı̀ riscontrati dei problemi nella generazione dei fit, in quanto i grafici ottenuti non rispettavano minimamente quelli attesi. In seguito ad un’ attenta discussione tra tutti i componenti del gruppo, si è arrivati alla decisione di utilizzare l’oscilloscopio virtuale, messo a disposizione dall’Università. Avendo utilizzato misure prese virtualmente, che sono risultate essere molto accurate, i grafici ottenuti da esse sono risultati molto precisi, come ci si aspettava. 32 dr05) ONDA BLU vivi Figura 8.3: RL CARICA ‘ONDA ROSSA 1,837 1,863 1,793 1,653 16 1,552 1,488 1,431 1,365 1274 1,208 1,108 1,013 9,813 0,359 0,765 2,708 085 os74 953 0,478 AAT 0a 0,352 0,308 9,258 0,25 0,213 9,195 0,189 0,138 Quiz 0,082 0,057 35 36 dts) 2525-08) 8025-08) 1.075-05 2005-05) 2825-05) 3,87TE-05) 4.895.058 5.396-05 5856-05 6.32E-05) 7148-05 7608-05) 8078-05) 0.125-05) 0,825-05 1.05E-04 1165-04 1,335-04 1,43E-04 1.53E-04 1.645-04 1.785-04 1.905-04 2045-04) 2.28E-04) 2635-04 2.07E-04 3.82E-04 ONDA ROSSA vivi -0.982| -2.901 -0.352| -0,800] -0,718] -0,656| -0,622| -0,561 -0,457 -0,412| D.37 -0.331 -0.282| -0.248| -0.218| DAT -0,122| -0,0783) -0,0348. Figura 8.4: RL SCARICA ONDA BLU Aviv) -9,06 2914 2A 954 273 283 081 0,85 -1,017 -1,098 -1,147 -1,191 -1,282 -1,334 -1,378 -1,439 -1,543 -1,587 -1,63 -1,663 4717 -1,752 -1,782 -1,83 -1,878 -1,9217 -1,9652 165) AMivi Figura 8.5: sottosmorzato 0,013) 37